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2023 学年第一学期八年级数学学科期末质量调研
（满分100分，时间90分钟）
一、选择题：（本大题共6题，每题2分，满分12分）[下列各题的四个选项中，有且只有一
个选项是正确的，请选择正确项的代号直接填入答题纸的相应位置]
1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因
式的二次根式，叫做最简二次根式．根据最简二次根式的概念判断即可．
【详解】解：A、 ，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题
意；
B、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、 ，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意；
D、 是最简二次根式，符合题意；
故选：D．
2. 如果 与 是同类二次根式，那么下列各数中， 可以取的数为（ ）．
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】先化简二次根式，然后再判断是否与 是同类二次根式．
【详解】解：A、 ，与 不是同类二次根式；
B、 与 不是同类二次根式；
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学科网（北京）股份有限公司C、 ＝2 ，与 是同类二次根式，正确；
D、 ，与 不是同类二次根式；
故选：C．
【点睛】本题考查了同类二次根式的定义．要化简为最简二次根式后再判断．
3. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
【详解】解：A、 ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
B、 ，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；
C、 ，所以方程有两个相等的实数根，故本选项不符合题意；
D、 ，所以方程没有的实数根，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数 ，当
时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；
当 时，方程没有实数根是解题的关键．
4. 满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A. 三内角之比为3：4：5 B. 三边长的平方之比为1：2：3
C. 三边长之比为7：24：25 D. 三内角之比为1：2：3
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理及三角形内角和可直接进行排除选项．
【详解】解：A、由三内角之比为3：4：5可设这个三角形的三个内角分别为 ，根据三角形内角
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学科网（北京）股份有限公司和可得 ，所以 ，所以这个三角形的最大角为5×15°=75°，故不是直角三角
形，符合题意；
B、由三边长的平方之比为1：2：3可知该三角形满足勾股定理逆定理，即1+2=3，所以是直角三角形，故
不符合题意；
C、由三边长之比为7：24：25可设这个三角形的三边长分别为 ，则有
，所以是直角三角形，故不符合题意；
D、由三内角之比为1：2：3可设这个三角形的三个内角分别为 ，根据三角形内角和可得
，所以 ，所以这个三角形的最大角为3×30°=90°，是直角三角形，故不符合
题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理及三角形内角和，熟练掌握勾股定理逆定理及三角形内角和是解题
的关键．
5. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于D，DE⊥AB于E．AB＝10cm，则
的
△DEB 周长为（ ）
A. 8cm B. 10cm C. 12cm D. 14cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出BE=DE，由角平分线的性质可得出DE=DC、AE=AC，根据周
长的定义即可得出C =BE+DE+BD=AB=10，此题得解．
DEB
△
【详解】解：∵△ABC中，∠C=90°，AC=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
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学科网（北京）股份有限公司∵DE⊥AB，即
∴
∴DE=BE
∴△BDE为等腰直角三角形，
∴BE=DE．
∵AD平分∠CAB交BC于D，
∴DE=DC，
又∠C＝90°，
∴在 和 中，
∵
∴
∴AE=AC，
∴C =BE+DE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=10cm．
DEB
△
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形以及角平分线的性质，根据角平分线的性质结合等腰直角三角形的性
质找出BE=DE、DE=DC、AE=AC是解题的关键．
6. 如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线 在第一象限内的图象经过OB边的中点
C，则点B的坐标是
.
A （1， ） B. （ ，1） C. （2， ） D，（ ，2）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：如图，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，设点B的坐标为（a，b）（a＞0），
∵三角形OAB是等边三角形，∴∠BOA=60°．
在Rt△BOA中， ，
∴b= ．∴点B的坐标为（a， ）．
∵点C是OB的中点，∴点C坐标为 ．
∵点C在双曲线 上，∴ ．
∴a=2（负值已舍去）．
∴点B的坐标是（2， ）．故选C．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）[请将结果直接填入答题纸的相应位
置]
7. 方程 的解是______
【答案】
【解析】
【分析】移项后根据因式分解法求解方向即可．解题的关键是因式分解法在解一元二次方程中的灵活运用．
【详解】∵
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学科网（北京）股份有限公司∴
∴ 或
∴
故答案为： ．
8. 函数 的定义域是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了函数自变量的范围．根据被开方数大于等于 0以及分式的分母不能为0列式计算即可
得解．
【详解】解：由题意得， ， ，
解得 且 ．
故答案为： ．
9. 函数 ，则 ______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据题目所给函数，代入求函数值即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了求函数值以及分母有理化，读懂题意，熟练掌握分母有理化是解本题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司10. 写出一个一元二次方程的一般式，使它同时满足以下要求：①二次项系数为2，②两根分别为 和 ：
_______．
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系．先计算 3与 的和与积，则根据根与系数的关系得到方程
，然后把系数化为整数系数即可．
【详解】解： ， ，
以3和 为根的一元二次方程可为 ，
即 ．
故答案为： ．
11. 定理“全等三角形的对应角相等”_______（填“有”或“没有”）逆定理．
【答案】没有
【解析】
【分析】本题考查了定理和逆定理之间的关系，要注意，一个命题肯定有逆命题，但一个定理不一定有逆
定理，只有当一个定理的逆命题经过推理是正确的命题，这个定理的逆命题才是逆定理，据此写出命题
“全等三角形的对应角相等”的逆命题，再判断真假即可得到答案．
【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个
假命题，
∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理，
故答案为：没有．
12. 已知线段 ，那么满足 的点P的轨迹是_______．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查了点的轨迹．根据点的轨迹即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
∴点P的轨迹是线段 ．
故答案为： ．
13. 已知直角坐标平面上点 和 ，则 _______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点的距离．根据平面直角坐标系中两点的距离公式直接计算即可．
【详解】解： 和 ，
．
故答案为： ．
14. 一种型号的手机，原来每台售价 元，经过两次降价后，现在每台售价为 元，假设两次降价
的百分率均为 ，则 _________．
【答案】20%
【解析】
【分析】设两次降价的百分率均为 ，根据两次降价后，售价从7500元到4800元列出方程求解即可．
【详解】设两次降价的百分率均为 ，根据题意得，
，
解得 或 （舍去），
∴两次降价的百分率均为20%，
故答案为：20%．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，读懂题意列出方程是关键．
15. 如果直角三角形的面积是8，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是_______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线的性质．设直角三角形的斜边长为 ，根据三角形的面积可
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学科网（北京）股份有限公司得： ，然后利用直角三角形斜边上的中线性质进行计算，即可解答．
【详解】解：设直角三角形的斜边长为 ，
直角三角形的面积是8，斜边上的高是2，
，
解得： ，
直角三角形的斜边长为8，
斜边上的中线长是4，
故答案为：4．
16. 若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为______．
【答案】 或
【解析】
【分析】分该三角形顶角为锐角和该三角形顶角为钝角两种情况，结合“直角三角形中30度角所对的直角
边等于斜边的一半”的逆用以及等腰三角形的性质，即可获得答案．
【详解】解：（1）当该三角形顶角为锐角时，如下图，
由题意可知， ， ，且 ，
∴ ，
∴ ；
为
（2）当该三角形顶角 钝角时，如下图，
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学科网（北京）股份有限公司由题意可知， ， ，且 ，
∴ ，
∴ ．
综上所述，这个等腰三角形的底角为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形
外角的定义和性质等知识，运用分类讨论的思想分析问题是解题关键．
17. 已知直角三角形两边 的长满足 ，则第三边的长___________．
【答案】 或 或
【解析】
【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性分别求出x、y，分三种情况讨论，根据勾股定理计算，得到答
案．
【详解】解：∵x、y为直角三角形的两边长，满足 ，
∴ ， ，
解得 （负值不合题意，舍去）， 或 ，
当直角边长分别为2，2时，则第三边长为： ；
当直角边长分别为2，3时，则第三边长为： ；
当直角边长为2，斜边长为3，则第三边长为 ．
故答案为： 或 或 ．
的
【点睛】此题考查勾股定理、非负数 性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，
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学科网（北京）股份有限公司那么 ．
18. 我们规定：如果一个三角形一边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫
做这个三角形的“等底”．如图，已知直线 ， 与 之间的距离是3，“等高底” 的“等底” 在
直线 上（点 在点 的左侧），点 在直线 上， ，将 绕点 顺时针旋转 得到
，点 的对应点分别为点 ，那么 的长为____________．
【答案】 或
【解析】
【分析】根据题意分情况画出相应图，然后根据旋转性质找到线段对应关系求解即可．
【详解】解：当如下图所示时，
， ，
点 到直线 的距离为 ，
，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ，
；
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学科网（北京）股份有限公司当如下图所示时，
， ，
点 到直线 的距离为 ，
， ，
将 绕点 顺时针旋转 得到 ， ， ，
，
在 中， ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了旋转性质、勾股定理、二次根式 的运算等知识，分情况讨论并画出相应图像是解题关
键．
三、简答题（本大题共5题，满分32分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置
上]
19. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算．先算除法及乘法，再算加减即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：
．
20. 用配方法解方程：
【答案】 ，
【解析】
【分析】根据配方法解一元二次方程的方法步骤求解即可得到答案．
【详解】解： ，
移项得 ，
系数化为1得 ，
配方得 ，
因式分解得 ，
即 ，
， ．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程的方法步骤，熟练掌握配方法解一元二次方程是解决问题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司21. 已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当 时， ；当 时，
．求 与 的函数关系式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查正比例函数和反比例函数定义的应用．由题意设 ， 则 ，
将已知的 和 的值代入可求出 和 的值，从而可得 与 之间的函数关系．
【详解】解：由题意设 ， ，
则 ，
将 时， 和 时， 代入得：
，
解得： ，
故 与 之间的函数关系为 ．
22. 某县在实施“村村通”工程中，决定在 、 两村之间修筑一条公路，甲、乙两个工程队分别从 、
两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由甲队单独完成，直到道路修
通．下图是甲、乙两个工程队修道路的长度 （米 与修筑时间 （天 之间的函数图象，请根据图象所提
供的信息，解答下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司（1）写出乙工程队修道路的长度 与修筑时间 之间的函数关系式： ；
（2）甲工程队前4天平均每天修路 米，后12天平均每天修路 米；
（3）该公路的总长度为 米．
【答案】（1）
（2）90；50 （3）1800
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用．
（1）设出正比例函数解析式，把 代入可得所求函数解析式；
（2）让前4天修路的总路程除以4即可得到甲工程队前4天平均每天修路米数，求得甲在第4天到第16
天的函数解析式，进而求得后12天修路的总路程，除以12即为后12天平均修路的米数；
（3）让甲修路的总路程 乙修路的总路程即为公路的总长度．
【小问1详解】
解：设 ，
经过 ，
，
解得 ，
，
故答案为： ；
【小问2详解】
解：甲工程队前4天平均每天修路米数为 ；
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司设当 时，甲工程队的函数解析式为 ，
，
解得 ，
，
当 时， ，
后12天平均每天修路米数为 ．
故答案为：90；50；
【小问3详解】
解：公路的总长度为 米，
故答案为：1800．
23. 已知：如图，在四边形 中， ， 平分 ，点 是 中点，
，垂足为点 ．求证：
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【 分 析 】 （ 1 ） 由 垂 直 的 定 义 得 到 ， 再 由 三 角 形 内 角 和 定 理 得 到
，则 ；
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学科网（北京）股份有限公司（2）如图所示，连接 ，根据直角三角形的性质得到 ，则
，再由角平分线的定义证明 ，
推出 ，即可证明 垂直平分 ，则 ．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接 ，
∵ ， 是 中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ．
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学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和
定理，相等垂直平分线的性质与判定等等，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
四、解答题：（本大题共2题，满分20分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位
置上]
24. 已知：如图，点P是一个反比例函数的图象与正比例函数y＝﹣2x的图象的公共点，PQ垂直于x轴，
垂足Q的坐标为（2，0）．
（1）求这个反比例函数的解析式；
（2）如果点M在这个反比例函数的图象上，且 MPQ的面积为6，求点M的坐标．
△
【答案】（1）y＝﹣ ；（2）M（5，﹣ ）或（﹣1，8）．
【解析】
【分析】（1）由Q（2，0），推出P（2，-4），利用待定系数法即可解决问题；
（2）根据三角形的面积公式求出MN的长，分两种情形求出点M的坐标即可.
【详解】（1）把x＝2代入y＝﹣2x得 y＝﹣4
∴P（2，﹣4），
设反比例函数解析式y＝ （k≠0），
∵P在此图象上
∴k＝2×（﹣4）＝﹣8，
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学科网（北京）股份有限公司∴y＝﹣ ；
（2）
∵P（2，﹣4），Q（2，0）
∴PQ＝4，过M作MN⊥PQ于N．
则 •PQ•MN＝6，
∴MN＝3，
设M（x，﹣ ），
则 x＝2+3＝5或x＝2﹣3＝﹣1
当x＝5时，﹣ ＝﹣ ，
当x＝﹣1时，﹣ ＝1，
∴M（5，﹣ ）或（﹣1，8）．
故答案为（1）y＝﹣ ；（2）M（5，﹣ ）或（﹣1，8）．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是用待定系数法求反比例函数的解析式,
利用数形结合的思想表示出三角形的面积也是解答本题的关键.
25. 如图，△ABC中，AC=2 ，BC=4 ，AB=6，点P是射线CB上一点（不与点B重合），EF为PB的垂直
平分线，交PB于点F，交射线AB于点E，联结PE、AP．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求∠B的度数；
（2）当点P在线段CB上时，设BE=x，△ACP的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果BE=2，请直接写出△ACP的面积．
【答案】（1）∠B=30°．（2）y= ，（0＜x＜4）；（3）9 ．
【解析】
【分析】（1）先根据勾股定理逆定理判断出△ABC是直角三角形，再由AC= BC即可得出答案；
（2）作AD⊥BC，垂足为点D．由直角三角形30°角所对边等于斜边一半知AD= AB=3，EF= BE=
x，根据勾股定理知BF= x，继而由S = CP•AD可得答案．
ACP
△
（3）点P在线段BC上时，由BE=2知x=2，代入（2）中所得解析式计算即可得；当点P在射线CB上时，
作AM⊥BC，根据已知条件得出EF= BE=1，PF=BF= ，AM =AB=3，利用三角形的面积公式计算可
得．
【详解】解：（1）在△ABC中，
∵AC=2 ，BC=4 AB=6，
∴AC2+AB2=48，BC2=48，
∴AC2+AB2=BC2．
∴∠BAC=90°．
又∵AC=2 ，BC=4 ，
∴AC =BC，
∴∠B=30°．
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学科网（北京）股份有限公司（2）过点A作AD⊥BC，垂足为点D．
在△ADB中，∵∠ADB=90°，∠B=30°，
∴AD= AB=3，
同理，EF= BE= x．
在Rt△EFB中，EF2+FB2=EB2，即（ x）2+BF2=x2，
∴BF= x，
又∵BP=2BF，
∴BP= x．
∴CP=CB﹣PB=4 ﹣ x，
∵S = CP•AD，
ACP
△
∴y= （4 ﹣ x）×3=6 ﹣ x，（0＜x＜4）；
（3）当点P在线段BC上时，由BE=2知x=2，
由（2）知此时△ACP的面积为6 ﹣ ×2=3 ；
当点P在射线CB上时，如图，过点A作AM⊥BC于点M，
∵BE=2，∠EBF=∠ABC=30°，
∴EF =BE=1，
则PF=BF= ，
∵AB=6，
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学科网（北京）股份有限公司∴AM= AB=3，
则△ACP的面积为 ×PC×AM= ×（4 + + ）×3=9 ．
【点睛】本题是三角形的综合问题，解题的关键是掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质及三角
形的面积公式和分类讨论思想的运用．
第22页/共22页
学科网（北京）股份有限公司
