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上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 )
2022-2023 学年上海市杨浦区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．（3分）一次函数y＝﹣2x﹣1的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（3分）下列关于x的方程中，有实数解的是（ ）
A． B． C．x4﹣6＝0 D．2x2+x+3＝0
3．（3分）在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，则下列式子不一定正确的是（ ）
A．AO＝CO B．AB＝CD C．∠BAC＝∠BDC D．∠BAC＝∠ACD
4．（3分）下列关子向量的等式中，正确的是（ ）
A． + ＝0 B． + ＝0 C． D．
5．（3分）在一个不透明的袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球，这些球只是颜色不同．下列事件中，属必
然事件的是（ ）
A．从袋子中摸出一个球，球的颜色是红色
B．从袋子中摸出两个球，它们的颜色相同
C．从袋子中摸出三个球，有颜色相同的球
D．从袋子中摸出四个球，有颜色相同的球
（多选）6．（3分）在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝AD．添加下列条件不能推得四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB＝CD B．AD∥BC C．AB＝BC D．BC＝AD
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．（2分）已知直线y＝ax+b平行于直线y＝2x﹣1，且在y轴上的截距是3，那么这条直线的解析式是 ．
8．（2分）如果一次函数y＝（k+2）x﹣1中，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 ．
9．（2分）方程 的根是 ．
10．（2 分）用换元法解方程 ，如果设 ，则原方程可化为 y 的整式方程是
．
11．（2分）如果关于x的方程 无实数解，那么a的取值范围是 ．
12．（2分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过（﹣2，0）、（0，1），则当y＜0时，x的取值范围是 ．
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13．（2 分）从长度分别为 2、3、4、6 的四条线段中任取三条，这三条线段能构成三角形的概率是
．
14．（2分）如果十边形的各个内角都相等，那么它的一个内角是 ．
15．（2 分）已知矩形 ABCD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，如果∠AOB＝60°，AB＝4，那么 AD 的长是
．
16．（2分）已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积是 ．
17．（2分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别是对角线BD，AC的中点，如果AD＝2，EF＝3，那么
BC＝ ．
18．（2分）定义：有一组对角相等，且另一组对角不相等的凸四边形叫做等对角四边形．已知在等对角四边形ABCD
中，∠DAB＝60°，∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝4，那么BC的长是 ．
三、解答题（本大题共6题，满分40分）
19．（6分）解方程： ﹣ ＝1
20．（6分）解方程组： ．
21．（6分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为（0，﹣2）、（2，1）、（﹣2，2）
．
（1）计算：| |＝ ，| |＝ ；
（2）在图中求作 ．（写出结果，不要求写作法）
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22．（6分）有四张完全相同的卡片A、B、C、D，分别画有不同的几何图形：A（等边三角形）；B（圆）；C（
矩形）；D（等腰梯形），将这四张卡片故在不透明的盒子中洗匀．
（1）从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是 ；
（2）小莉从盒子中同时抽取了两张卡片，取出的两张卡片所画的图形都是中心对称图形的概率是多少？（请用
树形图说明，卡片可用A，B、C、D表示）
23．（8分）近年来，我国逐步完善养老金保险制度．甲、乙两人计划分别缴纳养老保险金12万元和8万元，虽然
甲计划每年比乙计划每年多缴纳养老保险金0.1万元，但是甲计划缴纳养老保险金的年数还是比乙要多4年，已
知甲、乙两人计划缴纳养老保险金的年数都不超过20年，求甲计划每年缴纳养老保险金多少万元？
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，点P在边AD上，BE平分∠PBC交边CD于点E，∠DPE＝∠ABP，延长AD
、BE交于点E，联结CF．求证：四边形BCFP是菱形．
四、解答题（本大题共2题，满分10分）
25．（10分）如图，已知在正方形ABCD中，AB＝4，点P是边CD上一点（不与点C，D重合），联结AP交BD
于点E，延长AP交∠BCD的外角角平分线于点F，联结DF．
（1）当CF＝2 时，求△ADF的面积；
（2）求证：AE＝EF；
（3）联结CE，当CE∥DF时，求CF的长．
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参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）
1．【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．
【解答】解：一次函数y＝﹣2x﹣1中，
∵﹣2＜0，﹣1＜0，
∴函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故选：A．
2．【分析】分别根据算术平方根是非负数，分母不能为0，偶数幂是非负数，根的判断式不能是负数进行求解．
【解答】解：∵. ，
∴ ，
∴方程无实数解，故A错误；
，
方程两边同乘x﹣2，去分母可得x＝2，
当x＝2时，x﹣2＝0，方程有增根，
∴方程无实数解，故B错误；
x4﹣6＝0，
x4＝6，
∴ ，或 （不合题意，舍去），
∴ 或 ，
∴方程有实数解，正确；
2x2+x+3＝0，
Δ＝12﹣4×2×3＝﹣23＜0，
∴方程无实数解，故D错误．
故选：C．
3．【分析】根据平行四边形的性质求解即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AO＝OC，AB∥DC，
∴∠BAC＝∠ACD，
无法得到∠BAC＝∠BDC．
故选：C．
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4．【分析】根据平面向量的加减运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A、 ，
B、 ，
C、 ，
D、 ，
∴选项A、B、D错误，选项C正确，
故选：C．
5．【分析】根据袋子中装有3个红球、1个黄球、1个白球以及必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可
．
【解答】解：从袋子中摸出1个球，球的颜色是红色是随机事件；
从袋子中摸出2个球，它们的颜色相同是随机事件；
从袋子中摸出3个球，有颜色相同的球是随机事件；
从袋子中摸出4个球，有颜色相同的球是必然事件，
故选：D．
6．【分析】依据AB∥CD，AB＝AD，即可得到四边形ABCD是平行四边形；再根据一组邻边相等的平行四边形是
菱形，进行判断即可．
【解答】解：∵AB∥CD，AB＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
当AB＝CD时，能得到四边形ABCD为菱形，故A选项不符合题意；
当AD∥BC时，能得到四边形ABCD为菱形，故B选项不符合题意；
当AB＝BC时，不能得到四边形ABCD为菱形，故C选项符合题意；
当BC＝CD时，不能得到四边形ABCD为菱形，故D选项符合题意；
故选：CD．
二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分）
7．【分析】根据互相平行的直线的解析式的值相等确定出a，根据“在y轴上的截距为3”求出b值，即可得解．
【解答】解：∵直线y＝ax+b平行于直线y＝2x﹣1，
∴k＝2．
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又∵直线y＝ax+b在y轴上的截距为3，
∴b＝3，
∴这条直线的解析式是y＝2x+3．
故答案为：y＝2x+3．
8．【分析】根据一次函数的增减性得出k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵一次函数y＝（k+2）x﹣1中，y随着x的增大而减小，
∴k+2＜0，即k＜﹣2．
故答案为：k＜﹣2．
9．【分析】方程利用直接开立方法求解即可．
【解答】解： ，
，
x3＝﹣8，
x＝﹣2．
故答案为：x＝﹣2．
10．【分析】利用换元的思想把已知方程化为关于y的整式方程即可．
【解答】解：设y＝ ，
方程 + ＝5化为：y+ ＝5，
去分母得：y2﹣5y+2＝0．
故答案为：y2﹣5y+2＝0．
11．【分析】根据算术平方根是非负数可知方程无实数解时a﹣1＜0，求解即可得出a的值．
【解答】解：∵关于x的方程 无实数解，
∴a﹣1＜0，
∴a＜1．
故答案为：a＜1．
12．【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象经过（﹣2，0）、（0，1），可知y随着x增大而增大，进一步即可确
定x的取值范围．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过（﹣2，0）、（0，1），
∴y随着x增大而增大，
∴当函数值y＜0时，x的取值范围是x＜﹣2，
故答案为：x＜﹣2．
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13．【分析】利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形的有几种，然后根据概
率公式求解．
【解答】解：从长度分别为2，3，4，6的四条线段中任取三条，共有（2、3、4）、（2、3、6）、（2、4、6）
、（3、4、6）四种可能，
其中能组成三角形有（2、3、4）、（3、4、6），
所以能组成三角形的概率为 ．
故答案为： ．
14．【分析】利用多边形的内角和公式（n﹣2）×180°计算出十边形的内角和，然后再除以10即可．
【解答】解：由题意得：180°×（10﹣2）÷10＝144°，
故答案为：144°．
15．【分析】先判定△AOB是等边三角形，即可得出BD＝8，再根据∠BAD＝90°，利用勾股定理进行计算，即可
得到AD的长．
【解答】解：∵矩形ABCD，
∴AO＝BO，
又∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴BO＝AB＝4＝DO，
即BD＝8，
又∵∠BAD＝90°，
∴AD＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
16．【分析】画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股
定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．
【解答】解：因为周长是40，所以边长是10．
如图所示：AB＝10，AC＝12．
根据菱形的性质，AC⊥BD，AO＝6，
∴BO＝8，BD＝16．
∴面积S＝ AC×BD＝12×16× ＝96．
故答案为96．
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17．【分析】连接DF，并延长交BC于G，由△AFD≌△CFG（AAS），推出DF＝FG，CG＝AD＝2，得到EF是
△DBG的中位线，即可求出BG的长，于是得到BC的长．
【解答】解：连接DF，并延长交BC于G，
∵AD∥BC，
∴∠DAF＝∠GCF，∠ADF＝∠CGF，
∵AF＝CF，
∴△AFD≌△CFG（AAS），
∴DF＝FG，CG＝AD＝2，
∵DE＝BE，
∴EF是△DBG的中位线，
∴EF＝ BG，
∵EF＝3，
∴BG＝6，
∴CB＝BG+CG＝6+2＝8．
故答案为：8．
18．【分析】分两种情况：①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，先用含30°角的直角三角形
的性质求出AE，得出BE、DE，再用三角函数求出CE，即可求出BC；②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，过点D
作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形，先求出AM、DM，再由矩形的
性质得出DN＝BM＝3，BN＝DM＝2 ，即可求出BC．
【解答】解：分两种情况：
①当∠ADC＝∠ABC＝90°时，延长AD，BC相交于点E，如图1所示：
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∵∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，
∴∠E＝30°，
∵AB＝6，
∴AE＝2AB＝12，
∴BE＝ ，
∴BE＝6 ，
∴DE＝AE﹣AD＝12﹣4＝8，
∵∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠EDC＝90°，∠E＝30°，
∴EC＝ ，
∴EC＝ ，
∴BC＝BE﹣EC＝6 ＝ ；
②当∠BCD＝∠DAB＝60°时，
过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥BC于点N，如图2所示：
则∠AMD＝90°，四边形BNDM是矩形，
∵∠DAB＝60°，
∴∠ADM＝30°，
∴AM＝ AD＝2，
∴DM＝2 ，
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∴BM＝AB﹣AM＝6﹣2＝4，
∵四边形BNDM是矩形，
∴DN＝BM＝4，BN＝DM＝2 ，
∵∠BCD＝60°，
∴CN＝ ＝ ，
∴BC＝CN+BN＝ ＝ ，
综上所述：BC的长为 或 ．
三、解答题（本大题共6题，满分40分）
19．【分析】无理方程左右两边平方，整理后再平方求出解，检验即可．
【解答】解：两边平方得：2x﹣4+x+5﹣2 ＝1，即3x＝2 ，
再两边平方得：9x2＝4（2x2+6x﹣20），即x2﹣24x+80＝0，
解得：x ＝4，x ＝20，
1 2
经检验x＝4和x＝20都是无理方程的解．
20．【分析】利用因式分解的办法把方程组中的第一个方程化为两个一次方程，与方程组中的第二个方程组成新的
方程组，求解即可．
【解答】解： ，
由①，得（x﹣2y）（x﹣3y）＝0．
∴x﹣2y＝0或x﹣3y＝0．
所以原方程组可变形为 或者 ．．
解这两个方程组，得 ， ， ， ．
∴原方程组的解为： ， ， ， ．
21．【分析】（1）向量的大小的计算方法为：末点横纵坐标分别减去起点横纵坐标，计算它们各自的差的平方和
的算术平方根即可．根据此方法解答即可．
（2）先作出向量 ，然后作 ﹣ 得到向量 ，将它平移，得到以坐标原点O为起点的向量 ，再分别以
向量 和 为邻边作平行四边形OCED，连接对角线OE并指向点E的向量即为向量 ﹣ + ．
【解答】解：（1）| |＝ ＝ ．
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故答案为： ．
| |＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
（2）
22．【分析】（1）运用概率公式直接计算即可；
（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出两张卡片所画的图形都是中心对称图形的结果数，然后根据
概率公式求解．
【解答】解：（1）∵等边三角形，圆，矩形，等腰梯形都是轴对称图形，
∴盒子中有4张卡片，卡片上的几何图形是轴对称图形的有4种，
故从盒子中抽取出一张卡片，取出的卡片所画的图形是轴对称图形的概率是1．
故答案为：1；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，摸出的两张卡片图形都是中心对称图形的结果为2种，
所以摸出的两张卡片图形都是中心对称的概率为 ．
23．【分析】设甲计划每年缴纳养老保险金x万元，则乙计划每年缴纳养老保险金（x﹣0.1）万元，根据甲计划缴
纳养老保险金的年数比乙要多4年，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设甲计划每年缴纳养老保险金x万元，则乙计划每年缴纳养老保险金（x﹣0.1）万元，
根据题意得： ﹣ ＝4，
整理得：10x2﹣11x+3＝0，
解得：x ＝0.5，x ＝0.6，
1 2
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经检验，x ＝0.5，x ＝0.6均为所列方程的解，x ＝0.5不符合题意，舍去，x ＝0.6符合题意．
1 2 1 2
答：甲计划每年缴纳养老保险金0.6万元．
24．【分析】利用已知条件判定Rt△BPE≌Rt△BCE（HL），即可得到BP＝BC；再根据PB＝PF，即可得到BC＝
PF，进而得出四边形BCFP是平行四边形，再结合条件BP＝BC，即可得出四边形BCFP是菱形．
【解答】证明：∵矩形ABCD中，∠A＝90°，
∴∠ABP+∠APB＝90°，
又∵∠DPE＝∠ABP，
∴∠DPE+∠APB＝90°，
∴∠BPE＝90°，
又∵∠BCE＝90°，BE平分∠CBP，
∴PE＝CE，
又∵BE＝BE，
∴Rt△BPE≌Rt△BCE（HL），
∴BP＝BC，
∵BE平分∠PBC，PE∥BC，
∴∠PBE＝∠CBE，∠PFE＝∠CBE，
∴∠PBE＝∠PFE，
∴PB＝PF，
∴BC＝PF，
∴四边形BCFP是平行四边形，
又∵BP＝BC，
∴四边形BCFP是菱形．
四、解答题（本大题共2题，满分10分）
25．【分析】（1）如图1，作FG⊥BC于点G，延长AD，GF延长线交于点H，得四边形DCGH是矩形，然后证
明△FCG是等腰直角三角形，得HF＝GH﹣FG＝2，进而可以解决问题；
（2）如图2，延长CF，AD交于点R，证明△DCR是等腰直角三角形，得D是AR的中点，然后证明BD∥CR，
可得E是AF的中点，进而可以解决问题；
（3）如图3，证明四边形DECF是平行四边形，可得EP＝FP，DP＝CP＝2，EC＝DF，根据正方形的性质，结
合（2）利用勾股定理可得AE＝CE＝DF＝ ，设CG＝FG＝x，则CF＝ x，得DH＝CG＝x，FH＝GH﹣FG
＝4﹣x，再利用勾股定理列出方程求出x的值，进而可以解决问题．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝4，∠ADC＝∠DCB＝90°，
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如图1，作FG⊥BC于点G，延长AD，GF延长线交于点H，
∴∠CGH＝∠DCG＝∠HDC＝90°，
∴四边形DCGH是矩形，
∴GH＝CD＝4，
∵CF是∠BCD的外角∠DCG的平分线，
∴∠GCF＝ DCG＝45°，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∵CF＝2 ，
∴CG＝FG＝ CF＝2，
∴HF＝GH﹣FG＝2，
∴△ADF的面积＝ AD•FH＝ 4×2＝4；
（2）证明：如图2，延长CF，AD交于点R，
∵CF是∠BCD的外角∠DCG的平分线，
∴∠DCR＝ DCG＝45°，
∴△DCR是等腰直角三角形，
∴DC＝DR＝AD，
∴D是AR的中点，
∵∠ADB＝∠DCR＝45°，
∴CR∥BD，
∴AE＝EF；
（3）解：如图3，
由（2）知：CR∥BD，
∵CE∥DF，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴EP＝FP，DP＝CP＝2，EC＝DF，
∴AP＝ ＝ ＝2 ，
∵AE＝EF，EP＝FP，
∴AP＝3EP＝2 ，
∴EP＝ ，
∴AE＝EF＝2EP＝ ，
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∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBE，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∴AE＝CE＝DF＝ ，
设CG＝FG＝x，则CF＝ x，
∴DH＝CG＝x，FH＝GH﹣FG＝4﹣x，
在Rt△DFH中，根据勾股定理得：
DH2+FH2＝DF2，
∴x2+（4﹣x）2＝（ ）2，
整理得9x2﹣36x+32＝0，
∴x ＝ ，x ＝ ，
1 2
∴CF＝ x＝ 或 ．
∴CF的长为 或 ．
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声 明 ： 试 题 解 析 著 作 权 属 所 有 ， 未 经 书 面 同 意 ， 不 得 复 制 发 布 日 期 ： 2023/9/3 16:21:23 ； 用 户 ： 李 娜 ， 物 理 ； 邮 箱 ： 18806363985 ； 学 号 ： 22903376
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