精品解析：上海市青浦区实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷（解析版）_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_初中_八年级_上学期_3：期末

上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 上海市青浦实验中学 2022-2023 学年 八年级上学期期末数学试卷 一、填空题：（本大题共 14题，每题 2分，满分 28分） x2 3 1. 方程 的根是________． 【答案】x 3或 3 【解析】 【分析】直接根据平方根的性质，即可求解． 【详解】解：x2 3， ∴x 3或 3． 故答案为：x 3或 3 【点睛】本题主要考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根的性质是解题的关键． 3 2. 若一次函数图象与直线y  x平行，且过点 0,2 ，则此一次函数的解析式是______． 2 3 3 【答案】y  x2##y 2 x 2 2 【解析】 3 【分析】设一次函数的解析式是ykxb ，根据两直线平行求出k  ，把点的坐标代入函数解析式， 2 求出b即可． 【详解】解：设一次函数的解析式是ykxb， 3 ∵一次函数图象与直线y  x平行， 2 3 ∴k  ， 2 3 即y  xb， 2 ∵一次函数的图象过点（0，2）， ∴代入得：2b， 解得：b2， 3 即y  x2， 2 3 故答案为：y  x2． 2 第 1 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【点睛】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数的解析式是解此题 的关键． 3. 当直线y 22kxk3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是_____． 【答案】1k 3. 【解析】 【分析】根据一次函数 ykxb，k 0，b0时图象经过第二、三、四象限，可得22k 0， k30，即可求解； 【详解】y 22kxk3经过第二、三、四象限， ∴22k 0，k30， ∴k 1，k  3， ∴1k 3， 故答案为1k 3. 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数ykxb，k与b对函数图象的影响是解题 的关键． 4. 函数 y  2x1的定义域是___________. 1 【答案】 x 2 【解析】 【分析】根据二次根式成立的条件求解即可. 【详解】解：由题意可得： 2x10 1 解得： x 2 1 故答案为： x 2 【点睛】本题考查二次根式成立的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是本题的解题关键. 5. 在实数范围内因式分解：2x2 2x1___________． 32 32 【答案】2(x )(x ) 4 4 【解析】 1 3 1 3 【分析】解2x2-2x-1=0可得，x= ，根据求根公式的分解方法和特点可知：2x2-2x-1=2(x− )(x− 2 2 第 2 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 1 3 )． 2 1 3 【详解】解：∵2x2-2x-1=0时，x= ， 2 1 3 1 3 ∴2x2-2x-1=2(x− )(x− )； 2 2 1 3 1 3 故答案为2(x− )(x− )． 2 2 【点睛】本题考查了在实数范围内分解因式，求根公式法当首项系数不是1时，往往需要多次试验，务必 注意各项系数的符号．注意当无法用十字相乘法的方法时用求根公式法可分解因式． x 6. 已知函数 f x ，则 f 6________． x3 【答案】2 3 【解析】 【分析】把x6代入计算，即可求解． 6 6 【详解】解：根据题意得： f 6  2 3． 63 3 故答案为：2 3 【点睛】本题考查了函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7. 如果关于x的一元二次方程kx2 3x40有实数根，那么k的取值范围是________． 9 【答案】k  且k 0 16 【解析】 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k 0且0，然后即可求解． 【详解】解：根据题意得k 0且32 4k40， 9 解得k  且k 0． 16 9 故答案为：k  且k 0． 16 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2 bxc  0(a  0)根的判别式=b2 4ac与根的关系，熟练掌握 根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ0 第 3 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ0时，一元二次方程没有实数根． k 8. 如果点 3,a 、 2,b 在反比例函数y  k 0的图像上，那么a、b的大小关系是________．（用 x “＜”号连接） 【答案】ab 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵k 0， ∴反比例函数图象分布在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． ∵320， ∴ab． 故答案为：ab． k 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y  (k是常数，k 0)的图象是双曲线，当 x k 0，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当k 0，反 比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 9. 某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改进经营措施，销售 额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长率相同，设这个增长率为x，那么可 列方程________． 【答案】1000(120%)(1x)2 1352 【解析】 【分析】设这个增长率为x，根据十月份的销售额达到1352万元列方程即可． 【详解】解：设这个增长率为x，由题意得 1000(120%)(1x)2 1352． 故答案为：1000(120%)(1x)2 1352． 【点睛】此类考查了一元二次方程的应用－增长率，要注意增长的基础，解决此题的关键是根据题意找到 数量关系． 10. 若一个多边形从一个顶点可以引8条对角线，则这个多边形的内角和是______． 【答案】1620° 【解析】 第 4 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【分析】设多边形边数为n，根据n边形从一个顶点出发可引出（n−3）条对角线可得n−3＝8，计算出n的 值，再根据多边形内角和（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）可得答案． 【详解】解：设多边形边数为n，由题意得： n−3＝8， n＝11， 内角和：180°×（11−2）＝1620°． 故答案为1620°． 【点睛】本题主要考查了多边形的对角线，以及多边形内角和，关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出 （n−3）条对角线，多边形内角和公式（n−2）•180 （n≥3）且n为整数）． 11. 在Rt△ABC 中，ACB90，CD AB于点D，且AD5，AC 10．则AB______ 【答案】20 【解析】 【 分 析 】 根 据 题 意 画 出 图 ， 在 BD上 找 一 点 E ， 使 得 DE  AD5， 连 接 CE， 证 明 △ADC≌△EDCSAS，得到 AC  EC 10，进而证明△ACE是等边三角形，得到A60，则 B 30，再根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图所示，在BD上找一点E，使得DE  AD5，连接CE， ∵CD AB， ∴ADC EDC 90， 又∵AD  ED，CD CD， ∴△ADC≌△EDCSAS， ∴AC  EC 10， ∵AE  ADDE 10， ∴AC CE  AE 10， ∴△ACE是等边三角形， ∴A60， ∵ACB90， ∴B 30， ∴AB2AC 20 第 5 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的 性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形ABCD中，AB4cm,AD7cm，ABC的平分线交AD于点E，交CD的 延长线于点F，则DF _____cm． 【答案】3 【解析】 【分析】先证明CB CF，再结合平行四边形的性质，计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC  AD,AB∥CF,ABCD， ∴ABF  BFC， ∵BF 平分ABC， ∴ABF CBF ， ∴BFC CBF ， ∴CB CF， ∵CF CDDF ， ∴AD ABDF， ∴DF 743cm ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 13. 如图，平行四边形ABCD中，AE  BC，AF CD，垂足分别是E、F， EAF 60，BE 2，DF 3，则平行四边形ABCD的周长为_______． 第 6 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】20 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，ABCD，AD BC，再证 BAE DAF 30，然后由含30角的直角三角形的性质得AB2BE 4，AD2DF 6即可解 答． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，ABCD，AD BC， ∵AE  BC，AF CD， ∴AEBAFD90，AF  AB，AE  AD， ∴BAF DAE 90， ∵EAF 60， ∴BAE DAF 906030， ∴AB2BE，AD2DF ∵BE 2，DF 3， ∴CD AB4，BC  AD6， ∴平行四边形ABCD的周长2ABBC24620， 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边 形的性质是解题的关键． 14. 已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，ABC DCE 90， ACB30，AB 2，将 ABC绕点C顺时针旋转一定角度090 ，如果在旋转的过程中  ABC有一条边与DE平行，那么此时 BCE的面积是___________．   第 7 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【答案】 3或3 【解析】 【分析】先求解 AB DE 2，CDE 30， AC 4 DE，BD DC  42 22 2 3，再分两 种情况讨论；如图，当AC∥DE时，过B作BH CE于H ，则DEC ACH 60，当BC∥DE 时，过B作BH CE于H ，则DEC BCH 60，再求解  BCE中CE上的高即可得到答案． 【详解】解：∵ABC DCE 90，ACB30，AB 2，且两个三角形一样， ∴AB DE 2，CDE 30，AC 4 DE，BC  DC  42 22 2 3， 如图，当AC∥DE时，过B作BH CE于H ，则DEC ACH 60， 1 ∴BCH 603030，BH  BC  3， 2 1 1 ∴S BCE  2 CE  BH  2 2 3  3， 当BC∥DE时，过B作BH CE于H ，则DEC BCH 60， 1 ∴CBH 30，CH  BC  3，BH  BC2 CH2  3， 2 1 1 ∴S BCE  2 CE  BH  2 233， 故答案为：3或 3． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含30的直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟 练的利用旋转的性质解题是关键． 二、单项选择题：（本大题共 4小题，每题 3分，满分 12分） 第 8 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 15. 下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ） 1 A. x2   x B. x22 5 C. x2 2x0 D. 2x2  2x10 4 【答案】A 【解析】 【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判 断． 【详解】解：A、原方程整理得4x2 4x10，42 4410，方程有两个相等的实数根， 该选项符合题意； B、原方程整理得x2 4x10，42 411200，方程有两个不相等的实数根，该选 项不符合题意； C、x2 2x0，22 41040，方程有两个不相等的实数根，该选项不符合题意；  2 D、2x2  2x10，Δ  2 42160，方程没有实数根，该选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2 bxc  0(a  0)的根与b2 4ac有如下关系， 当0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0时，方程无实 数根．上面的结论反过来也成立． 16. 如图．函数y kxb(k 、b为常数，k 0)的图象如图，则关于x的不等式kxb0的解集为 （ ） A. x0 B. x 0 C. x2 D. x  2 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用图象与x轴的交点坐标和函数增减性可得出答案． 【详解】解：函数ykxb的图象经过点(2，0)，并且函数值y随x的增大而减小， 第 9 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 所以当x  2时，函数值大于0，即关于x的不等式kxb0的解集是x  2． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确利用数形结合和函数增减性求解是解题关键． 17. 下列说法正确的是（ ） A. 一个人的体重与他的年龄成正比例关系 B. 圆的周长与直径成正比例关系 C. 周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系 D. 车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成反比例关系 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用反比例函数、正比例函数关系分别分析得出答案． 【详解】解：A.一个人的体重与他的年龄成正比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； B、圆的周长与直径成正比例关系，该说法正确，故本选项符合题意； C、周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； D、车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成反比例关系，该说法错误，故本选项不符合题意； 故选：B 【点睛】此题主要考查了反比例函数、正比例函数关系，正确得出函数关系是解题关键． 18. 美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形ABCD中， AB∥CD，ÐB=90°，E是边BC上一点，且BE CDa，AB EC b．如果 ABE的面积为1，  且ab1，那么VADE的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由题意求得a2 b2 5，根据VADE的面积为梯形面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即 第 10 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 可求解． 【详解】解：∵ ABE的面积为1，  1 ∴ ab1，即ab2， 2 ∵ab1，即ab2 1， ∴a2 b2 2ab1，即a2 b2 5， 1 1 1 ∴VADE的面积 abab2 ab  a2 b2 2.5． 2 2 2 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是利用面积关系，完全平方公式的变形求解． 三、解答题：（本大题共有 7题，第 19、20题每题 6分，第 21、22、23题每题 8分，第 24、25题每题 12分，满分 60分） 19. 解方程：x12 55x． 【答案】x 1，x 4 1 2 【解析】 【分析】先移项，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵x12 55x， ∴x12 5x10， ∴ x1x150， ∴x10或x150， ∴x 1，x 4． 1 2 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式 法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 20. 用配方法解方程：x2 4 2x20． 【答案】x  102 2 ，x 2 2 10 1 2 【解析】 【分析】首先把2移到等号右边，然后再等式两边同时加上8，可得（x2 2）2 10，然后再利用直接开 平方法解方程即可． 第 11 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：x2 4 2x20， x2 4 2x810， （x2 2）2 10， 则x2 2  10，x2 2  10， 解得：x  102 2 ，x 2 2 10 1 2 【点睛】此题主要考查了配方法解一元二次方程，关键是掌握用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方 程化为ax2 bxc（0 a 0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项 移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一 个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则 判定此方程无实数解． 21. A、B两地相距45千米，甲骑电瓶车从A地出发前往B地，乙同时骑自行车从距离A地20千米的C 地出发前往B地．图中的线段OP和线段MN 分别反映了两人与A地的距离y（千米）和行驶时间x（小 时）的函数关系．根据图像提供的信息回答下列问题： （1）两人谁先到达B地？________．（填“甲”或“乙”） （2）甲到达B地用了________小时． （3）两人在出发多少小时后相遇？ 9 【答案】（1）甲 （2） 5 4 （3） 3 【解析】 【分析】（1）直接观察图象，即可求解； 第 12 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （2）求出甲的速度，即可求解； （3）设两人在出发t小时后相遇，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：观察图象得：甲先到达B地； 故答案为：甲 【小问2详解】 25 解：根据题意得：甲的速度为 25千米/小时， 1 45 9 ∴甲到达B地用了  小时； 25 5 9 故答案为： 5 【小问3详解】 解：设两人在出发t小时后相遇，根据题意得： 3020 25t 20 t， 1 4 解得：t  ， 3 4 即两人在出发 小时后相遇． 3 【点睛】本题主要考查了函数图象，准确从函数图象获取信息，利用数形结合思想解答是解题的关键． 22. 已知：如图，在矩形ABCD中，AB= 4，BC= 2．对角线AC的垂直平分线分别交AB、 CD于点 E、F，求线段CF 的长． 5 【答案】 2 【解析】 【分析】联结 AF ，由矩形的性质得AD= BC= 2，DC= AB= 4，D=90，由线段的垂直平分线的 5 性质得AF=CF，根据勾股定理得AD2 DF2 = AF2，则22 4CF2 =CF2，即可求得CF = ． 2 第 13 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 【详解】解：联结 AF ， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD= BC= 2，DC= AB= 4，D=90， ∵EF 垂直平分AC， ∴AF=CF， ∵AD2 DF2=AF2，DF=4CF ， ∴22 4CF2 CF2， 5 解得CF = ， 2 5 ∴CF 的长为 ． 2 【点睛】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用等知识，正确地作出所需 要的辅助线是解题的关键． 23. 如图，已知 ABC中， C 2B， AH  BC于点 H ， D是 AC中点， DE∥AB，求证：  1 EH  AC． 2 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】连接DH ，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得出等腰三角形，再等量代换即可得到 结论； 【详解】证明：连接DH ， 第 14 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵AH  BC， ∴AHB90 ， ∵D是AC中点， 1 ∴DH  AD DC  AC ； 2 ∴DHC C 2B ∵DE∥AB ∴DEH B 在△DEH 中 外角DHC DEH EDH ∴DEH EDH 1 ∴EH  DH  AC 2 1 ∴EH  AC 2 【点睛】本题考查了三角形的外角定理，平行线额性质以及直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的 关键． 8 24. 已知：如图，反比例函数y  的图象与直线y kx相交于点A，直线AC与x轴交于点C2,0 ， x 与y轴交于点B，点C是AB的中点． 第 15 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) （1）求直线y kx的函数解析式； （2）求点C到直线OA的距离； （3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标． 1 【答案】（1）y  x 2 2 5 （2） 5  4 2  4 2 （3）D   ， 或  ，   3 3  5 5 【解析】  8  【分析】（1）设点A  m，  ，B0，b ，根据点C是AB的中点，可得到m4，b2，再把点A的  m 坐标代入，即可求解； 1 1 （2）点C到直线OA的距离为h，根据S  OCy  AOh，即可求解； AOC 2 A 2  1   1  2  1  2 （3）设点D的坐标为 a, a ，可得AD2 4a2   2 a  ，BD2 a2   2 a  ，  2   2   2  AB2 42 222 32，再根据勾股定理，即可求解． 【小问1详解】  8  解：设点A  m，  ，B0，b ，  m ∵点C是AB的中点，C2，0 ， 8 ∴m04， b0， m 解得：m4，b2， ∴点A4，2，B0，2 ， 把点A4，2 代入y kx得：24k， 1 解得：k  ， 2 1 ∴直线y kx的函数解析式为y  x； 2 【小问2详解】 第 16 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 设点C到直线OA的距离为h， 由（1）得：点A4，2 ， ∴OA 42 22 2 5， ∵C2，0 ， ∴OC 2， 1 1 ∴S  OCy  AOh， AOC 2 A 2 1 1 即S  22 2 5h， AOC 2 2 2 5 解得：h ， 5 2 5 点C到直线OA的距离为 ； 5 【小问3详解】  1  设点D的坐标为 a，a ，  2  ∵点A4，2，B0，2 ， 2 2 ∴AD2 4a2    2 1 a   ，BD2 a2    2 1 a   ，AB2 42 222 32，  2   2  由题意知DAB90，则分两种情况讨论： ①当△ABD是以AD为斜边的直角三角形， ∴AD2  AB2 BD2， 2 2  1   1  ∴4a2   2 a  a2   2 a  32，  2   2  4 解得：a ， 3  4 2 ∴点D的坐标为  ， ；  3 3 ②当△ABD是以AB为斜边的直角三角形， ∴AB2  AD2 BD2， 第 17 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 2 2  1   1  ∴324a2   2 a  a2   2 a  ，  2   2  4 解得：a  ,a 4， 1 5 2 ∵当a 4时，与A4，2 重合，故舍去， 2  4 2 ∴点D的坐标为  ， ．  5 5  4 2  4 2 综上所述：点D的坐标为  ， ，  ， ．  3 3  5 5 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，正比例函数的图形和性质，勾股定理，熟练掌握相关 知识点，利用数形结合思想解答是解题的关键． 25. 如图，在 ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，连接DE，过点D作DF  DE交边  BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG＝DF ，连接EF、AG，已知 AB 10，BC 6，AC 8． （1）求证：AC  AG； （2）设AE  x，CF  y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （3）当VBDF是以BF 为腰的等腰三角形时，求AE的长． 【答案】（1）见解析； 4x7 7 25 （2）y  ，自变量x的取值范围：  x ； 3 4 4 5 25 （3） 或 ． 2 8 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到 ABC是直角三角形，由D是AB的中点，得到AD BD，根  第 18 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) 据全等三角形的性质得到GAB B，推出CAG 90，于是得到结论； （2）连接EG，根据勾股定理得到EF2 8x2  y2，根据全等三角形的性质得到AG  BF，由勾 股定理得到EG2  x2 6 y2 ，于是得到方程8x2  y2  x2 6 y2 ，即可得到结论 5 （3）①当BF  DB时，6 y 5，列方程得到AE  ；②当DF  FB时，连接DC ，过点 2 D作DH  FB，垂足为点H，可得DF  FB 6 y，根据勾股定理得方程6 y2 42 3 y2 ， 11 25 求得y  ，于是求得AE  ． 6 8 【小问1详解】 证明：∵BC 6，AC 8，AB 10， ∴BC2  AC2  AB2， ∴ ABC是直角三角形，且ACB90，  ∵D是AB的中点， ∴AD BD， 在△ADG和 BDF中，   AD BD  ADG BDF  DG  DF  ∴  ADG≌  BDFSAS， ∴GAB B， ∴AG  BC ， ∴∠CAG 180∠ACB 90，即AC  AG； 【小问2详解】 连接EG， ∵AE  x，AC 8， ∴EC 8x， ∵ACB90， ∴由勾股定理，得EF2 8x2  y2， ∵ ADG≌ BDF ，   ∴AG  BF， 第 19 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵CF  y，BC 6， ∴AG  BF 6 y， ∵EAG 90， ∴由勾股定理，得EG2  x2 6 y2 ， ∵DG  DF，DF  DE ， ∴EF EG， ∴8x2  y2  x2 6 y2 ， 4x7 7 25 ∴y  ，自变量x的取值范围：  x ； 3 4 4 【小问3详解】 解：①当BF  DB时，6 y 5， ∴y 1， 4x7 ∴1 ， 3 5 5 ∴x ，即AE  ； 2 2 ②当DF  FB时，连接DC ，过点D作DH  FB，垂足为点H， ∴DF  FB 6 y， ∵ACB90，D是AB的中点， ∴DC  DB5， ∵DH  FB，BC 6， ∴CH  HB3， ∴FH 3 y ， 第 20 页 共 21 页上海最大家教平台---嘉惠家教 2万余上海老师任您选（在职老师、机构老师、985学霸大学生应有尽有 ，+V: jiajiao6767 ) ∵DH  FB， ∴由勾股定理，得DH 4， 在Rt△DHF中，由勾股定理可得6 y2 42 3 y2 ， 11 解得：y  ， 6 25 25 ∴x ，即AE  ， 8 8 5 25 综上所述，AE 的长度是 或 ． 2 8 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，正确 的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 第 21 页 共 21 页