文档内容
2023 学年第一学期九年级期终学业质量调研
数学试卷
（时间：100分钟，满分：150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，
在草稿纸、本试卷上答题一律无效．
2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计
算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）
1. 下列图形中，一定相似的是（ ）
A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据“对应角相等，对应边成比例的图形相似”逐个判断即可．
【详解】解：A、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合
题意．
B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
C、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项符合题意；
D、两个等腰梯形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项不符合题意；
故选C．
2. 已知，在Rt ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC=5，则cosA的值是（ ）
△
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先利用勾股定理求得斜边AB的长，然后利用三角函数的定义即可求解．【详解】解：AB= = =13
则cosA= =
故选C．
【点睛】本题考查勾股定理以及三角函数，解题关键是理解三角函数的定义．
3. 如图，在 中，点D、E分别在边 上， ，则下列判断错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
证明 ，则 ， ， ，然后利用性质对各选项
进行判断作答即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求；
故选：B．4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. B. 如果 是单位向量，那么
C. 如果 ，那么 D. 如果 非零向量，且 ，那么
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查向量的相关概念，根据向量的概念和性质逐项判断即可．
【详解】解：A、 ，所以A错误，不符合题意．
B、如果 是单位向量，那么 ，所以B错误，不符合题意．
C、如果 ，那么 ，这两个向量方向不一定相同，所以C错误，不符合题意．
D、如果 非零向量，且 ，那么 ，D正确，符合题意．
故选：D．
5. 如图，在 中，点 D 在边 上，点 E 在线段 上，点 F，G 在边 上，且
，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，解题的关键是掌握相似三角形
对应边成比例．根据题意得出 ，再逐个判断即可．【详解】解：A、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故A不正确，不符合题意；
B、∵ ，
∴ ，
∴ ，故B不正确，不符合题意；
C、∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
当 时， ，故C不正确，不符合题意；
D、∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故D正确，符合题意；
故选：D．6. 如图，二次函数 的图像的顶点在第一象限，且过点 和 ，下列结论：
① ；② ；③ ；④当 时， ．其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】将 代入解析式，可得 ，即可判断①，根据抛物线开口方向得 ，利用对称轴在
轴的右侧得 ，可得 ，即可判断②；将点 代入解析式可得 ，即可判断③，
观察函数图象得到 时，抛物线有部分在 轴上方，有部分在 轴下方，即可判断④．
【详解】解：二次函数 的图像的顶点在第一象限，且过点 和 ，
∴ ， ，故①③正确；
∵根据抛物线开口方向得 ，利用对称轴在 轴的右侧得 ，
∴ ，故②正确；
观察函数图象得到 时，抛物线有部分在 轴上方，有部分在 轴下方，则 或 或 ，
故④不正确，
故选：C．
二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）
7. 如果 ，那么 ________．【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比例的性质，设 ，将其代入 进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴设 ，
∴ ，
故答案为： ．
8. 已知线段 ，点P是 的黄金分割点，且 ．那么 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，公式法解一元二次方程．熟练掌握黄金分割，公式法解一元二次方程是解
题的关键．
由题意知， ，即 ，计算求出满足要求的解即可．
【详解】解：由题意知， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得， 或 （舍去），故答案为： ．
9. 已知向量 与单位向量 方向相同，且 ，那么 ________．（用向量 的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握单位向量以及向量同向的定义是解题的关键．根据“单位向量是
指模等于1的向量”以及“向量同向意味着它们的方向角度相同”即可解答．
【详解】解：∵向量 与单位向量 方向相同， ，
∴ ，
故答案为： ．
10. 如果两个相似三角形的周长的比等于 ，那么它们的面积的比等于________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟知“相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平
方”是解题关键．根据两个相似三角形的周长的比等于 ，得到相似比为 ，即可得到它们的面积比
等于 ．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长的比等于 ，
∴这两个相似三角形的相似比是 ，
∴它们的面积比等于 ．
故答案为：
11. 如果抛物线 的对称轴是直线 ，那么b的值等于________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的对称轴，根据二次函数 的对称轴为直线即可解答．
【详解】解：∵抛物线 的对称轴是直线 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
12. 如果点 和点 是抛物线 （m常数）上的两点，那么 ________ ．（填
“>”、“=”、“<”）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是掌握 时，函数开口向上，在对称轴左边，
y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大， 时，函数开口向下，在对称轴左边，y随
x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小．据此即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴抛物线对称轴为y轴，开口向上，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
为
故答案 ： ．
13. 如图，某人沿着斜坡 方向往上前进了30米，他的垂直高度上升了15米，那么斜坡 的坡比
________．【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求正切值，解题的关键是掌握坡比等于坡角的正切值，先根据勾股定理求出前进
的水平距离，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：根据题意可得： ，
根据勾股定理可得： ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如果抛物线 的顶点在 x 轴的正半轴上，那么这条抛物线的表达式可以是
________．（只需写一个）
【答案】 （答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的表达式，解题的关键是掌握二次函数 的顶点坐标为
．
【详解】解：当 ，顶点坐标为 时，
抛物线的表达式为： ，
故答案为： （答案不唯一）．
15. 如图，点 G为等腰直角三角形 的重心， ，连接 ，如果 ，那么
________．【答案】2
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形中心的性质，全等三角形和相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握
三角形的中心是三角形三条中线的的交点．延长 交 于点E，连接 并延长，交 于点F，过点
A作 的平行线，交 延长线于点D，通过证明 ，得出 ，
，则 ，再证明 ，推出 ，即可求解．
【详解】解：延长 交 于点E，连接 并延长，交 于点F，过点A作 的平行线，交 延
长线于点D，
∵ ， 为等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵点G为三角形 的重心，
∴ 为 中线，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
故答案为：2．
16. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，
相交于点O，那么 的值为________．【答案】
【解析】
【分析】如图， 向下2个格点，向右2个格点为 ，连接 ， ，设正方形的边长为 ，
由勾股定理得 ， ， ，由 ，可知 是直角三角
形， ，则 ，由 ，可得 ，计算求解即可．
为
【详解】解：如图， 向下2个格点，向右2个格点 ，连接 ， ，
设正方形的边长为 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形， ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行线的性质．熟练掌握勾股定理，勾股定理
的逆定理，正弦，平行线的性质是解题的关键．
17. 如图，在矩形 中， ， ，点E在边 上，将 沿直线 翻折，点D的对
应点为点G．延长 交边 于点F，如果 ，那么 的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的折叠问题，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关性质定
理，正确作出辅助线，构造相似三角形．过点G作 ， 交 于点M，交 于点N，先得
出 ，通过证明 ，得出 ，则 ，根据折叠的性质得
出 ，进而求证 ，则 ，
求出 ，即可求解．【详解】解：过点G作 ， 交 于点M，交 于点N，
∵四边形 为矩形， ，
∴四边形 为矩形，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
∴ ，
∵ 沿直线CE翻折得到 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
18. 规定：平面上一点到一个图形的距离是指这点与这个图形上各点的距离中最短的距离．如图①当
时，线段 的长度是点 到线 的距离；当 时，线段 的长度是点
到线段MN的距离；如图②，在 中， ， ， ，点D为边 上一
点， ，如果点Q为边 上一点，且点Q到线段 的距离不超过 ，设 的长为d，
那么d的取值范围为________．
【答案】【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，解题的关键是理解题目所给平面上一
点到一个图形的距离的定义．根据题意进行分类讨论：当点Q到线段 的距离为垂线段时，当点Q到线
段 的距离为 时．即可解答．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
根据勾股定理可得： ，
当点Q到线段 的距离为垂线段时，过点Q作 于点H，
当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
∵点Q到线段 的距离不超过 ，
∴ ，当点Q到线段 的距离为 时，过点D作 于点G，
当 时，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴
∴ ，
则 ，
设 ，则 ，
在
中，根据勾股定理可得： ，
即 ，
解得： ，
则 ，
在 中，根据勾股定理可得： ，∴ ，
∵点Q到线段 的距离不超过 ，
∴ ，
综上： ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算： ．
【答案】0
【解析】
【分析】本题主要考查了特殊角度的锐角三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记各个特殊角度的锐角
三角函数值．先将各个特殊角度的锐角三角函数值化简，再进行计算即可．
【详解】解：
．
20. 如图，在梯形 中， ，对角线 、 相交于点O， ， ．（1）求 的长；
（2）如果 ， ，试用 表示向量 ．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平面向量，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
（1）根据 ，得出 ，则 ，进而得出 ，最后根据
即可求解；
（2）先得出 ，则 ，进而得出 ，由（1）可得
，则 ，进而得出 ，即可求解．
【小问1详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
解得： ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由（1）可得 ，
∴ ，
∴ ．
21. 如图，在 中， ， ， 的平分线 交边 于点 ，点 在边
上，且 ， 与 相交于点 ．（1）求 的长；
（2）求 的值．
【答案】（1） ；
（2） 值为 ．
的
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角函数，相似三角形的性质与判定，熟练掌握知识点的应用是
解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质得出 ， ，根据 ，可设 ，
，根据勾股定理得出 ，进而求出 ，得出 ， ，即可得出答案；
（2）先得出 ， ，根据相似三角形的性质得出 ，再得出
，进而得出 ，由 ，得出 ，即可得出答案．
【小问1详解】
∵ ， 平分 ，
∴ ， ，
在 中， ，
设 ， ，
由勾股定理得： ，即 ，
∴ ，解得 ，∴ ， ，
∴ ；
【小问2详解】
过 作 于点 ，
由（ ）得： ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由 ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的值为 ．
22. 北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧
选取 、 两点，在 处测得浦仓路桥顶部点 的仰角为 ，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米
至 处，在 处测得点 的仰角为 ，在 处测得地面 到水面 的距离 为 米（点 、 、
在一条直线上， ， ， ），求浦仓路桥顶部 到水面的距离 ．（精
确 到 米 ） （ 参 考 数 据 ： ， ， ； ，
， ）
【答案】浦仓路桥顶部 到水面的距离 约为 米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，延长 交 于点 ，结合题干的条件，设 米，则
米，分别在 和 中，利用锐角三角函数表示出 的长，列出关于 的
方程，算出 ，最后利用 ，即可解题．
【详解】解：延长 交 于点 ，如图所示：
由题意得： ， 米， 米，设 米，则 米，
在 中，由题知 ，
（米），
在 中，由题知 ，
（米），
，
解得 ，
，
（米），
答：浦仓路桥顶部 到水面的距离 约为 米．
23. 已知：如图，在 中，点 、 分别在边 、 上， 与 相交于点 ， ，
．
（1）求证： ；
（2）如果 ，求证： ．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析．【解析】
【分析】（ ）先由 ， 得到 ，再根据性质可得
，由 和等角的补角相等，得出 ，即可求证；
（ ）由 ，得 ， ， ，则有
，从而证明 ，可得 ，故可证明；
此题考查了相似三角形的性质与判定．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：由（1）得： ，
∴ ， ， ，∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
24. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 过点 和点 ，与 轴交于点 ．
（1）求 、 的值和点 的坐标；
（2）点 为抛物线上一点（不与点 重合），当 时，求点 的坐标；
（3）在（ ）的条件下，平移该抛物线，使其顶点在射线 上，设平移后的抛物线的顶点为点 ，当与 相似时，求平移后的抛物线的表达式．
【答案】（1） ， ， ，
（2） ；
（3） ．
【解析】
【分析】（ ）由待定系数法即可求解；
（ ）证明 ，则直线 的表达式为 ，即可求解；
（ ）当 与 相似时，证明 ，得到 ，则 ，
即可求解；
本题考查了二次函数综合运用，涉及到三角形相似、一次函数的图象和性质等，解题的关键是熟练掌握知
识点的应用．
【小问1详解】
由题意得:
，解得： ，
当 时， ，则 ，
【小问2详解】
由（ ）得：
∴抛物线解析式为 ，由点 、 的坐标知， 轴，
由点 、 的坐标知， ，
则直线 的表达式为： ，
联立 得： ，解得： （舍去）或 ，
∴ 时， ，
则点 ；
【小问3详解】
由点 、 的坐标得直线 的表达式为： ，
故设点 ，
由点 、 、 、 的坐标得， ， ， ，
当 与 相似时，
∵ ， ，
则 ，
∴ ，
则 ，
即 ，
即 ，
解得： ，
则点 ，则抛物线的表达式为： ．
25. 在 中， ， ， ．点D、E分别在边 、 上，连接 ，将线
段 绕点E按顺时针方向旋转 得到线段 ．
（1）如图1，当点E与点C重合， 时， 与 相交于点O，求 的值；
（2）如图2，如果 ，当点A、E、F在一条直线上时，求 长；
（3）如图3，当 ， 时，连接 ，求 的正切值．
【答案】（1）
（2） 或 ；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理得出 ，根据 ，求出
，进而得出 ，根据旋转的性质得出 ， ，
则 ，通过证明 ，即可求解；（2）过点D作 于点H，求出 ，进而得出 ，
，设 ，则 ，通过证明 ，得出
，求出x 的值即可；
（3）以点E为原点建立平面直角坐标系，令 相交于点G，过点D作y轴的垂线，垂足为P，过点
F作y轴的垂线，垂足为点Q，则 ， ， ，用待定系数法求出 的函数解析式为
，通过证明 ，得出 ，再用待定系数法求出 的函数解析式为
，进而得出 ，即可解答．
【小问1详解】
解：∵ ， ， ，
∴根据勾股定理可得： ，
∵ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
在 中，根据勾股定理可得： ，∵线段 绕点E按顺时针方向旋转 得到线段 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ；
【小问2详解】
解：过点D作 于点H，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，则 ，
解得： ，
∴ ， ，设 ，则 ，
∵线段 绕点E按顺时针方向旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵点A、E、F在一条直线上，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ， ，
∴ 或 ；
【小问3详解】解：以点E为原点建立平面直角坐标系，令 相交于点G，过点D作y轴的垂线，垂足为P，过点
F作y轴的垂线，垂足为点Q，
∵ ，
∴ ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 的函数解析式为 ，
将 代入得： ，
解得： ，
∴ 的函数解析式为 ，
∵线段 绕点E按顺时针方向旋转 得到线段 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
设 的函数解析式为 ，
把 ， 代入得：
，
解得： ，
∴ 的函数解析式为 ，
联立：
解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解直角三角
形，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．
