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2023 届青浦区高考数学二模
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 __．
【答案】平行或相交
【解析】
【分析】利用平面的基本性质求解即可.
【详解】因为直线a，b确定一个平面，
所以a，b的位置关系为平行或相交，
故答案为：平行或相交
2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 _______________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据复数的除法运算法则即可求得结果．
【详解】 ，
，
故答案为： ．
3. 已知向量 ， ，则 在 方向上的投影是_______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据向量投影的知识求得正确答案.
【详解】 在 方向上的投影是 .
故答案为：
4. 过点 与直线 垂直的直线方程为_______________.
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【答案】
【解析】
【分析】设所求直线方程为 ，将点 的坐标代入所求直线方程，求出 的值，即可得出所
求直线的方程.
【详解】设所求直线方程为 ，将点 的坐标代入所求直线方程可得 ，
解得 ，
故所求直线方程为 .
故答案为： .
5. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为___________.
【答案】
【解析】
【分析】求函数的定义域求得集合 ，根据 求得 的取值范围.
【详解】由 解得 ，所以 ，
由于 ，所以 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
6. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为 ，则球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】设球的半径为 ,根据圆柱的体积可求得 ，利用球的表面积公式即可求得答案.
【详解】设球的半径为 ,则圆柱的底面直径和高皆为 ，
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故圆柱的体积为 ，
故球的表面积为 ，
故答案为：
7. 已知函数 的图像如图所示，则不等式 的解集是
_______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据图像判断出 的关系，进而求得不等式 的解集.
【详解】根据函数 的图像可知：
，即 ，
不等式 可化为 ，
即 ，
解得 或 ，
所以不等式 的解集是 .
故答案为：
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8. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ， ，则
________.
【答案】
【解析】
【分析】推导出函数 为周期函数，且周期为 ，求出 、 、 、 ，结合周期性
可求得 的值.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，则 ，
因为 ，即 ，
所以，函数 为周期函数，且周期为 ，则 ，
在等式 中，令 ，可得 ，所以， ，
因为 ，则 ，
因为 ，
所以，
.
故答案为： .
9. 如图所示，要在两山顶 间建一索道，需测量两山顶 间的距离.已知两山的海拔高度分别是
米和 米，现选择海平面上一点 为观测点，从 点测得 点的仰角
，点 的仰角 以及 ，则 等于_________米.
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【答案】
【解析】
【分析】先求得 ，再利用余弦定理求得 .
【详解】 ，
，
在三角形 中，
由余弦定理得 米.
故答案为：
10. 已知数列 满足 ，若满足 且对任意 ，都有
，则实数 的取值范围是____.
【答案】
【解析】
【分析】利用等差数列前 项和公式与二次函数的关系即可得到不等式组，解出即可.
【详解】由题意数列 的通项公式为 ， ,满足
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，且 对任意的 恒成立，
当 时，显然不合题意，根据二次函数性质可得 ，解得
，所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
11. 如图，已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足
，且 ，则椭圆C的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长 ，与椭圆交于点 L，连接 ，设 可得 ，在
中，用余弦定理可得到 ，继而得到 ，即可求解
【详解】设椭圆的半焦距为 ，
如图，延长 ，与椭圆交于点L，连接 ，
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由 ，所以根据对称性可知， ，
设 ，则 ， ，
从而 ，故 ，
在 中， ，所以 ，
在 中， ，即 ，
所以 ，所以 ，所以离心率 ，
故答案为：
12. 已知函数 的图像绕着原点按逆时针方向旋转 弧度，若得到的
图像仍是函数图像，则 可取值的集合为________.
【答案】
【解析】
【分析】题中函数为圆 的一段劣弧，在旋转过程中，只需根据函数的定义考虑一个 只有唯一
确定的 与之对应，即图形与 只有一个交点时旋转的角度符合题意.
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【详解】画出函数 的图象，如图1所示：
圆弧所在的圆方程为 ， ， ，在图象绕原点旋转的过程中，当 从图1
的位置旋转到 点时，根据函数的定义知这个旋转过程所得的图形均为函数的图象，如图2所示：
此时绕着原点旋转弧度 ；
为
若函数图象在图2位置绕着原点继续旋转，当点 在 轴上方，点 在 轴下方时，根据函数的定义知，
所得图形不是函数的图象，如图3所示：
此时转过的角度为 ，不满足题意；
若函数的图象在图3位置绕着原点继续旋转，当整个图象都在 轴下方时，根据函数的定义知，所得图形
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是函数的图象，如图4所示：
此时转过的角度为 ；
故答案为： .
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）
13. 设 是两个不平行的向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
【答案】C
【解析】
【分析】根据基底的知识确定正确答案.
【详解】依题意， 不共线，
A选项，不存在 使 ，
所以 和 可以组成基底.
B选项，不存在 使 ，
所以 和 可以组成基底.
C选项， ，
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所以 和 不能构成基底.
D选项，不存在 使 ，
所以 和 可以组成基底.
故选：C
14. 已知 为正整数，则“ 是3的倍数”是“ 的二项展开式中存在常数项”的（ ）条件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项式展开式的通项公式以及充分、必要条件的知识确定正确答案.
【详解】 展开式的通项公式为 ，
令 ，解得 ，
所以，若 的二项展开式中存在常数项，则 是 的倍数.
所以“ 是3的倍数”是“ 的二项展开式中存在常数项”的充要条件.
故选：C
15. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用 （万元） 4 2 3 5
销售额 （万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元
【答案】B
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【解析】
【详解】试题分析： ，
∵数据的样本中心点在线性回归直线上，
回归方程 中的 为9.4，
∴42=9．4×3．5+a，
∴ =9．1，
∴线性回归方程是y=9．4x+9．1，
∴广告费用为6万元时销售额为9．4×6+9．1=65．5
考点：线性回归方程
16. 已知数列 满足 ，存在正偶数 使得 ，且对任意正
奇数 有 ，则实数 的取值范围是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
的
【分析】利用累加法求出 ，对 分为奇数、偶数两种情况讨论 单调性，结合能成立与恒成立的处
理方法求出答案.
【详解】当 时，
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，
所以 ，
易得，当 为奇数时， 单调递减；当 为偶数时， 单调递增，
又当 为正偶数时，存在 ，即 ，
所以 ，此时有 ，所以 ，
又对于任意的正奇数 ， ，即 ，
所以 或 恒成立，所以 或 ，
综上，实数 的取值范围是 ，
故选：D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期及对称轴方程
（2）求 在 上的值域.
【答案】（1） ，
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（2）
【解析】
【分析】（1）先利用倍角公式及辅助角公式变形化简，然后利用周期公式及正弦函数的性质求解即可；
（2）通过 的范围求出 的范围，进而可求出 的范围，则 在 上的值域可求.
【小问1详解】
由已知
则函数 的最小正周期为 ，
令 ，得 ，
即函数 的对称轴方程为 ；
【小问2详解】
由（1） ，
，
，
，
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，
即 在 上的值域为 .
18. 如图，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角， ， 为侧棱
的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）证明出 ， ，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标徐，利用空间
向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
【小问1详解】
解：因为 是等腰直角三角形，且 ，则 ，
因为在直三棱柱 中， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，
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因为 ， 、 平面 ，故 平面 .
【小问2详解】
为
解：因 平面 ， ，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则 、 、 、 ，
设平面 的法向量为 ， ， ，
则 ，取 ，可得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
，则 ，
因此，二面角 的正弦值为 .
19. 在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家
学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位： )的频率分布直方图如下，若被抽取的这
100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.
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（1）求频率分布直方图中实数 的值；
（2）每天学习时间在 的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知
抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在 和 的学生中按比例分层抽样抽取8人，再
从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在 的人数 分布和数学期望.
【答案】（1） ，
（2）
（3）分布列详见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的知识求得 .
（2）根据古典概型的知识求得所求概率.
（3）根据超几何分布的的知识求得分布列并求得数学期望.
【小问1详解】
.
，解得 .
【小问2详解】
已知抽取的学生有男生，
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则抽取的2人恰好为一男一女的概率为 .
【小问3详解】
每天学习时间在 和 的学生比例为 ，
所以在 的学生中抽取 人，在 的学生中抽取 人.
再从这8人中选3人进行电话访谈，
抽取的3人中每天学习时间在 的人数 的取值为 ，
，
，
，
所以 的分布列如下：
数学期望 .
20. 如图，已知 是抛物线 上的三个点，且直线 分别与抛物线 相
切， 为抛物线 的焦点．
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（1）若点 的横坐标为 ，用 表示线段 的长；
（2）若 ，求点 的坐标；
（3）证明：直线 与抛物线 相切．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见详解
【解析】
【分析】（1）求出抛物线 的准线方程，利用抛物线定义将 的长度转化成点 到准线的距离即可；
（2）设 与直线 ，根据直线直线 分别与抛物线 相切，
可将直线与抛物线方程联立得到判别式为0，进而得出 的两根，结合韦达定理
与 可得 即可求解；
（3）根据题设，直线 分别与抛物线 相切，可将直线 分别与抛物线
联立得到等量关系，要证明直线 与抛物线 相切，最后再将直线 与抛物线 联立证
明判别式为0即可．
【小问1详解】
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设 ，且在抛物线 上，故满足
为抛物线 的焦点， ，抛物线 的准线为 ，
线段 的长等于点 到准线 的距离，即 ．
【小问2详解】
设 ，显然直线 的斜率存在且不为0，设直线 ，
联立 ，化简得： ，
直线 与抛物线 相切， ，即 ①，
又直线 均与抛物线 相切，
为方程①的两根，且有 ，
， ，解得 ，
将 代入 得： ，故 的坐标为 ．
【小问3详解】
设 ， ， ，
，直线 ，
联立 ，化简可得： ，
又直线 与抛物线 相切， ，即 ②，
同理，直线 与抛物线 相切，可得 ③，
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由方程②③可得， 为方程 的两根，
， ，
又 ， ，故直线 ，
联立 ，化简得： ，
，
直线 与抛物线 相切，故得证．
21. 设 是定义域为 的函数，当 时， .
（1）已知 在区间 上严格增，且对任意 ，有 ，证明：函数
在区间 上是严格增函数；
（2）已知 ，且对任意 ，当 时，有 ，若当
时，函数 取得极值，求实数 的值；
（3）已知 ，且对任意 ，当 时，有
，证明： .
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】
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【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；
（2）结合（1），利用极值的定义进行求解即可；
（3）利用题目条件，代入，分情况进行讨论即可证明.
【小问1详解】
不妨设 ， 在区间 上严格增，
对任意 ，有 ，
又 ，
函数 在区间 上是严格增函数；
【小问2详解】
由（1）可知： 在区间 上严格增时， 在区间 上是严格增，
当 在区间 上严格减时， 在区间 上是严格减，
又当 时，函数 取得极值，当 时，函数 也取得极值，
可得 ，
当 时， ， 在 左右附近两侧异号，
满足条件，所以 .
【小问3详解】
当 时，
由条件知 ，
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当 时，对任意 ，有 ，
即 ，
又 的值域是 ， ，
当 时，对任意 ，有 ，
，
又 的值域是 ， ，
综上可知，任意 ， .
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