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2023 届青浦区高考数学二模
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）
1. 直线a、b确定一个平面，则a、b的位置关系为 __．
2. 已知复数 满足 （ 为虚数单位），则 _______________.
3. 已知向量 ， ，则 在 方向上的投影是_______________.
4. 过点 与直线 垂直的直线方程为_______________.
5. 已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为___________.
6. 已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的体积为 ，则球的表面积为______．
7. 已知函数 的图像如图所示，则不等式 的解集是
_______________.
8. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且满足 ， ，则
________.
9. 如图所示，要在两山顶 间建一索道，需测量两山顶 间的距离.已知两山的海拔高度分别是
米和 米，现选择海平面上一点 为观测点，从 点测得 点的仰角
，点 的仰角 以及 ，则 等于_________米.
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10. 已知数列 满足 ，若满足 且对任意 ，都有
，则实数 的取值范围是____.
11. 如图，已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足
，且 ，则椭圆C的离心率为________．
12. 已知函数 的图像绕着原点按逆时针方向旋转 弧度，若得到的
图像仍是函数图像，则 可取值的集合为________.
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）
的
13. 设 是两个不平行 向量，则下列四组向量中，不能组成平面向量的一个基底的是（ ）
A. 和 B. 和
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C. 和 D. 和
14. 已知 为正整数，则“ 是3的倍数”是“ 的二项展开式中存在常数项”的（ ）条件.
A. 充分非必要 B. 必要非充分
C. 充要 D. 既不充分也不必要
15. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用 （万元） 4 2 3 5
销售额 （万元） 49 26 39 54
根据上表可得回归方程 中的 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A. 63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元
16. 已知数列 满足 ，存在正偶数 使得 ，且对任意正
奇数 有 ，则实数 的取值范围是（ ）.
.
A B.
C. D.
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期及对称轴方程
（2）求 在 上的值域.
18. 如图，在直三棱柱 中，底面 是等腰直角三角， ， 为侧棱
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的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
19. 在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家
学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位： )的频率分布直方图如下，若被抽取的这
100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.
（1）求频率分布直方图中实数 的值；
（2）每天学习时间在 的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电舌访谈，已知
抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取 的样本，从每天学习时间在 和 的学生中按比例分层抽样抽取8人，再
从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在 的人数 分布和数学期望.
20. 如图，已知 是抛物线 上的三个点，且直线 分别与抛物线 相
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切， 为抛物线 的焦点．
（1）若点 的横坐标为 ，用 表示线段 的长；
的
（2）若 ，求点 坐标；
（3）证明：直线 与抛物线 相切．
21. 设 是定义域为 的函数，当 时， .
（1）已知 在区间 上严格增，且对任意 ，有 ，证明：函数
在区间 上是严格增函数；
（2）已知 ，且对任意 ，当 时，有 ，若当
时，函数 取得极值，求实数 的值；
（3）已知 ，且对任意 ，当 时，有
，证明： .
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