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上海市青浦实验中学 2022-2023 学年八年级上学期期末数学试
卷（解析版）
一、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分）
1．方程x2＝3的根是 ．
2．若一次函数图象与直线 平行，且过点（0，2），则此一次函数的解析式
是 ．
3．当直线y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是 ．
4．函数 的定义域是 ．
5．在实数范围内因式分解：2x2+2x﹣1＝ ．
6．已知函数 ，则f（6）＝ ．
7．如果关于x的一元二次方程kx2+3x+4＝0有实数根，那么k的取值范围是 ．
8．如果点（﹣3，a）、（﹣2，b）在反比例函数 （k＜0）的图象上，那么a、b的大小
关系是 ．（用“＜”号连接）
9．某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改
进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长
率相同，设这个增长率为x，那么可列方程 ．
10．如果过多边形的一个顶点共有8条对角线，那么这个多边形的内角和是 度．
11．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，且 AD＝5，AC＝10．则 AB
＝ ．
12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD
于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝ cm．
13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE
＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 ．
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14．已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90
°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），
如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是 ．
二、单项选择题：（本大题共4小题，每题3分，满分12分）
15．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A． B．（x﹣2）2＝5
C．x2+2x＝0 D．
16．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0
的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2．
17．下列说法正确的是（ ）
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A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系
B．圆的周长与直径成正比例关系
C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系
D．车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成反比例关系
18．美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯
形 ABCD 中，AB∥CD，∠B＝90°，E 是边 BC 上一点，且 BE＝CD＝a，AB＝EC＝
b．如果△ABE的面积为1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
三、解答题：（本大题共有7题，第19、20题每题6分，第21、22、23题每题8分，第
24、25题每题12分，满分60分）
19．（6分）解方程：（x﹣1）2＝5﹣5x．
20．（6分）用配方法解方程：x2﹣4 x﹣2＝0．
21．（8分）A、B两地相距45千米，甲骑电瓶车从A地出发前往B地，乙同时骑自行车从
距离A地20千米的C地出发前往B地．图中的线段OP和线段MN分别反映了两人与
A地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）的函数关系．
根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）两人谁先到达B地？ ．（填“甲”或“乙”）
（2）甲到达B地用了 小时．
（3）两人在出发多少小时后相遇？
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22．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2．对角线AC的垂直平分线分别
交AB、CD于点E、F．求线段CF的长．
23．（8分）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于点H，D是AC中点，DE∥AB，
求证：EH＝ AC．
24．（12分）已知：如图，反比例函数 的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x
轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．
（1）求直线y＝kx的函数解析式；
（2）求点C到直线OA的距离；
（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．
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25．（12分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D
作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG＝DF，
联结EF、AG，已知AB＝10，BC＝6，AC＝8．
（1）求证：AC⊥AG；
（2）设AE＝x，CF＝y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．
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参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14题，每题2分，满分28分）
1．方程x2＝3的根是 x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【分析】把方程两边开方即可．
【解答】解：x2＝3，
x＝± ，
所以x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
故答案为：x ＝ ，x ＝﹣ ．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥
0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
2．若一次函数图象与直线 平行，且过点（0，2），则此一次函数的解析式是 y＝﹣
x+2 ．
【分析】设一次函数的解析式是y＝kx+b，根据两直线平行求出k＝﹣ ，把点的坐标代
入函数解析式，求出b即可．
【解答】解：设一次函数的解析式是y＝kx+b，
∵一次函数图象与直线y＝﹣ x平行，
∴k＝﹣ ，
即y＝﹣ x+b，
∵一次函数的图象过点（0，2），
∴代入得：2＝b，
即y＝﹣ x+2，
故答案为：y＝﹣ x+2．
【点评】本题考查了两直线平行和用待定系数法求一次函数的解析式，能求出一次函数
的解析式是解此题的关键．
3．当直线 y＝（2﹣2k）x+k﹣3 经过第二、三、四象限时，则 k 的取值范围是 1＜k＜
3 ．
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【分析】根据一次函数y＝kx+b，k＜0，b＜0时图象经过第二、三、四象限，可得2﹣2k
＜0，k﹣3＜0，即可求解；
【解答】解：y＝（2﹣2k）x+k﹣3经过第二、三、四象限，
∴2﹣2k＜0，k﹣3＜0，
∴k＞1，k＜3，
∴1＜k＜3；
故答案为1＜k＜3；
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系；掌握一次函数y＝kx+b，k与b对函数图
象的影响是解题的关键．
4．函数 的定义域是 ．
【分析】让被开方数为非负数列式求值即可．
【解答】解：由题意得2x+1≥0，
解得x≥﹣ ，
故答案为x≥﹣ ．
【点评】考查求函数自变量的取值；用到的知识点为：二次根式有意义，被开方数是非
负数．
5．在实数范围内因式分解：2x2+2x﹣1＝ 2（x+ ）（x+ ） ．
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2+x﹣ ）
＝2（x2+x+ ﹣ ﹣ ）
＝2（x+ + ）（x+ ﹣ ）
＝2（x+ ）（x+ ），
故答案为：2（x+ ）（x+ ）．
【点评】本题考查了实数范围内分解因式，以及算术平方根，掌握因式分解的方法是关
键．
6．已知函数 ，则f（6）＝ 2 ．
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【分析】把x＝6代入计算即可．
【解答】解：f（6）＝ ＝ ＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查函数值，理解函数值的定义是解决问题的前提，把x的值代入函数关
系式按照关系式指明的运算进行计算是得出正确答案的关键．
7．如果关于x的一元二次方程kx2+3x+4＝0有实数根，那么k的取值范围是 k≤ 且k≠
0 ．
【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝32﹣4×k•4≥0，然
后求出两不等式的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝32﹣4×k•4≥0，
解得k≤ 且k≠0．
故答案为：k≤ 且k≠0．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac
有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的
实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
8．如果点（﹣3，a）、（﹣2，b）在反比例函数 （k＜0）的图象上，那么a、b的大小
关系是 a＜b ．（用“＜”号连接）
【分析】先根据反比例函数中k＜0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横
坐标的特点即可得出结论．
【解答】解：∵反比例函数 （k＜0）中k＜0，
∴函数图象的两个分式分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，
∵﹣3＜0，﹣2＜0，
∴点（﹣3，a），（﹣2，b）位于第二象限，
∴a＞0，b＞0，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴a＜b．
故答案为：a＜b．
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【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答
此题的关键．
9．某商场七月份的销售额为1000万元，八月份的销售额下降了20%，商场从九月份起改
进经营措施，销售额稳步增长，十月份的销售额达到1352万元，如果每月的销售额增长
率相同，设这个增长率为x，那么可列方程 1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352 ．
【分析】利用十月份的销售额＝八月份的销售额×（1+每月的销售额增长率）2，即可得
出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．
故答案为：1000×（1﹣20%）（1+x）2＝1352．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二
次方程是解题的关键．
10．如果过多边形的一个顶点共有8条对角线，那么这个多边形的内角和是 1620 度．
【分析】从多边形一个顶点可作8条对角线，则这个多边形的边数是11，n边形的内角
和可以表示成（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和．
【解答】解：∵过多边形的一个顶点共有8条对角线，
∴n﹣3＝8，
∴n＝11，
∴该多边形边数为11，
∴（11﹣2）•180°＝1620°，
∴这个多边形的内角和为1620°．
故答案为：1620．
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要熟记的内容，比较简单．
11．在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，且 AD＝5，AC＝10．则 AB＝
20 ．
【分析】先根据CD⊥AB于D，AD＝5，AC＝10得到∠ACD＝30°，再利用同角的余角
相等得到∠B＝∠ACD＝30°，所以AB＝2AC＝20．
【解答】解：如图，∵CD⊥AB于D，AD＝5，AC＝10，
∴∠ACD＝30°，
∵CD⊥AB于D，
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∴∠B+∠BCD＝90°，
又∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AC＝10，
∴AB＝2AC＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了直角三角形30°所对的直角边等于斜边的一半，解题的关键是掌握
直角三角形的这条性质．
12．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线BF交AD
于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝ 3 cm．
【分析】由BF平分∠ABC得到∠ABE＝∠CBE，又由平行四边形两组对边分别平行可以
推出∠ABE＝∠BFC，然后可以得到BC＝CF，从而求出DF．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
又∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BFC，
∴∠CBE＝∠BFC，
∴BC＝CF，
∴DF＝CF﹣CD＝BC﹣AB＝7﹣4＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要利用利用平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别相等；平行
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四边形两组对边分别平行．
13．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别是E、F，∠EAF＝60°，BE
＝2，DF＝3，则平行四边形ABCD的周长为 20 ．
【分析】由平行四边形的性质得AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，再证∠BAE＝∠
DAF＝30°，然后由含30°角的直角三角形的性质得AB＝2BE＝4，AD＝2DF＝6，即可
解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，AF⊥AB，AE⊥AD，
∴∠BAF＝∠DAE＝90°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠DAF＝90°﹣60°＝30°，
∴AB＝2BE，AD＝2DF
∵BE＝2，DF＝3，
∴CD＝AB＝4，BC＝AD＝6，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2×（4+6）＝20，
故答案为：20．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌
握平行四边形的性质是解题的关键．
14．已知两块相同的三角板如图所示摆放，点B、C、E在同一直线上，∠ABC＝∠DCE＝90
°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转一定角度α（0°＜α＜90°），
如果在旋转的过程中△ABC有一条边与DE平行，那么此时△BCE的面积是 或3 ．
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【分析】分两种情况画图讨论：如图1，当AC∥DE时，如图2，当BC∥DE时，利用含
30度角的直角三角形即可解决问题．
【解答】解：如图1，当AC∥DE时，过点B作BF⊥EC延长线于点F，
根据题意可知：∠DEC＝60°，∠ACB＝30°，
∵AC∥DE，
∴∠ACF＝∠DEC＝60°，
∴∠BCF＝30°，
∵AB＝2，
∴BC＝ AB＝2 ，
∴BF＝ BC＝ ，
∴△BCE的面积＝ CE•BF＝ 2× ＝ ；
如图2，当BC∥DE时，过点B作BG⊥EC延长线于点G，
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∵BC∥DE，
∴∠BCG＝∠DEC＝60°，
∵BC＝ AB＝2 ，
∴BG＝ BC＝3，
∴△BCE的面积＝ CE•BG＝ 2×3＝3．
综上所述：△BCE的面积是 或3．
故答案为： 或3．
【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的面积，含30度角的直角三角
形的性质，关键是利用分类讨论思想解决问题．
二、单项选择题：（本大题共4小题，每题3分，满分12分）
15．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）
A． B．（x﹣2）2＝5
C．x2+2x＝0 D．
【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判
别式的意义进行判断．
【解答】解：A．x2﹣x+ ＝0，
∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1× ＝0，
∴方程有两个相等的实数根；
B．x2﹣4x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
C．x2+2x＝0，
∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，
∴方程有两个不相等的实数根；
D．2x2﹣ x+1＝0，
∵Δ＝（﹣ ）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，
∴方程没有实数根．
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故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac
有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的
实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
16．已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数）的图象如图所示，那么关于x的不等式kx+b＞0
的解集是（ ）
A．x＞0 B．x＜0 C．x＜2 D．x＞2．
【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0
的解集．
【解答】解：函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，
所以当x＜2时，函数值大于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻
求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度
看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
17．下列说法正确的是（ ）
A．一个人的体重与他的年龄成正比例关系
B．圆的周长与直径成正比例关系
C．周长一定时，长方形的长与宽成反比例关系
D．车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成反比例关系
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【分析】根据正比例函数的定义和反比例函数的定义，可以判断各个选项中的说法是否
正确，从而可以解答本题．
【解答】解：一个人的体重与他的年龄不成正比例关系，故选项A不符合题意；
圆的周长与直径成正比例关系，故选项B符合题意；
周长一定时，长方形的长与宽不成反比例关系，故选项C不符合题意；
车辆行驶的速度v一定时，行驶的路程s与时间t成正比例关系，故选项D不符合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了反比例函数和正比例函数的定义，正确得出函数关系是解题关
键．
18．美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯
形 ABCD 中，AB∥CD，∠B＝90°，E 是边 BC 上一点，且 BE＝CD＝a，AB＝EC＝
b．如果△ABE的面积为1，且a﹣b＝1，那么△ADE的面积为（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．5
【分析】根据全等三角形的性质得到AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，推出△AED是等腰直
角三角形，求得△ADE的面积＝ AE2，根据完全平方公式和勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C＝∠B＝90°，
∵BE＝CD＝a，AB＝EC＝b，
∴△ABC≌△ECD（SAS），
∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC，
∵∠EDC+∠DEC＝∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴△AED是等腰直角三角形，
∴△ADE的面积＝ AE2，
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∵△ABE的面积为1，
∴ ab＝1，
∴ab＝2，
∵a﹣b＝1，
∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝1，
∴a2+b2＝5，
∴△ADE的面积＝ ×5＝ ，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判
定和性质，三角形面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
三、解答题：（本大题共有7题，第19、20题每题6分，第21、22、23题每题8分，第
24、25题每题12分，满分60分）
19．（6分）解方程：（x﹣1）2＝5﹣5x．
【分析】原方程整理为（x﹣1）2+5（x﹣1）＝0，再利用提公因式法求解即可．
【解答】解：（x﹣1）2＝5﹣5x，
（x﹣1）2﹣5+5x＝0，
（x﹣1）2+5（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（x﹣1+5）＝0，
x﹣1＝0或x+4＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣4．
1 2
【点评】本题考查了解一元二次方程，掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．
20．（6分）用配方法解方程：x2﹣4 x﹣2＝0．
【分析】解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
【解答】解：x2﹣4 x﹣2＝0，
x2﹣4 x＝2，
x2﹣4 x+8＝2+8，
（x﹣2 ）2＝10，
x﹣2 ＝± ，
解得x ＝2 + ，x ＝2 ﹣ ．
1 2
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【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的
倍数．
21．（8分）A、B两地相距45千米，甲骑电瓶车从A地出发前往B地，乙同时骑自行车从
距离A地20千米的C地出发前往B地．图中的线段OP和线段MN分别反映了两人与
A地的距离y（千米）和行驶时间x（小时）的函数关系．
根据图象提供的信息回答下列问题：
（1）两人谁先到达B地？ 甲 ．（填“甲”或“乙”）
（2）甲到达B地用了 小时．
（3）两人在出发多少小时后相遇？
【分析】（1）根据图象可知，甲先到达B地；
（2）根据图象中的数据，可以先计算出甲的速度，然后即可计算出甲到达B地用的时间；
（3）根据图象中的数据，先计算乙的速度，然后设两人在出发a小时后相遇，再根据甲
行驶的路程＝乙行驶的路程+20，列出相应的方程，然后求解即可．
【解答】解：（1）由图象可得，
甲先到达B地，
故答案为：甲；
（2）由图象可得，
甲的速度为：25÷1＝25（千米/小时），
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甲到达B地用了：45÷25＝ （小时），
故答案为： ；
（3）由图象可，
乙的速度为：（30﹣20）÷1＝10（千米/小时），
设两人在出发a小时后相遇，
20+10a＝25a，
解得a＝ ，
即两人在出发 小时后相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答．
22．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2．对角线AC的垂直平分线分别
交AB、CD于点E、F．求线段CF的长．
【分析】联结AF，由矩形的性质得AD＝BC＝2，DC＝AB＝4，∠D＝90°，由线段的垂
直平分线的性质得AF＝CF，根据勾股定理得AD2+DF2＝AF2，则22+（4﹣CF）2＝CF2，
即可求得CF＝ ．
【解答】解：连接AF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，DC＝AB＝4，∠D＝90°，
∵EF垂直平分AC，
∴AF＝CF，
∵AD2+DF2＝AF2，且DF＝4﹣CF，
∴22+（4﹣CF）2＝CF2，
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解得CF＝ ，
∴CF的长为 ．
【点评】此题重点考查矩形的性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理的应用等知识，
正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．（8分）如图，已知△ABC中，∠C＝2∠B，AH⊥BC于点H，D是AC中点，DE∥AB，
求证：EH＝ AC．
【分析】连接DH，由平行线的性质可得∠C＝2∠DEC，利用直角三角形斜边上中线的
性质可得HD＝ AC＝CD，结合等腰三角形的性质可得∠DHC＝2∠DEC，再根据三角
形外角的性质可得∠DEC＝∠HDE，即可得DH＝EH，进而可证明结论．
【解答】证明：连接DH，
∵DE∥AB，
∴∠B＝∠DEC，
∵∠C＝2∠B，
∴∠C＝2∠DEC，
∵AH⊥BC于点H，D是AC中点，
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∴HD＝ AC＝CD，
∴∠C＝∠DHC，
∴∠DHC＝2∠DEC，
∵∠DHC＝∠DEC+∠HDE，
∴∠DEC＝∠HDE，
∴DH＝EH，
∴EH＝ AC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，证
明DH＝EH是解题的关键．
24．（12分）已知：如图，反比例函数 的图象与直线y＝kx相交于点A，直线AC与x
轴交于点C（2，0），与y轴交于点B，点C是AB的中点．
（1）求直线y＝kx的函数解析式；
（2）求点C到直线OA的距离；
（3）若点D是直线OA上一点，且△ABD是直角三角形，求点D的坐标．
【分析】（1）根据中点坐标公式求出点A的横坐标，进而求出点A坐标，即可求出答案；
（2）先求出点B坐标，进而求出AB，最后用面积公式建立方程求解，即可求出答案；
（3）设出点D的坐标，分三种情况利用勾股定理建立方程求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）设点A的坐标为（m， ），
∵点C（2，0）是AB的中点，
∴2（m+0）＝2，
∴m＝4，
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∴A（4，2），
∵点A在直线y＝kx上，
∴4k＝2，
∴k＝ ，
∴直线y＝kx的解析式为y＝ x；
（2）由（1）知，点A（4，2），
∴OA＝2 ，
∵点C（2，0），
∴直线AC的解析式为y＝x﹣2，
∴B（0，﹣2），
设点C到直线OA的距离为h，
则S△AOB＝ OB•|x |＝ OA•h，
A
∴h＝ ＝ ＝ ，
即点C到直线OA的距离为 ；
（3）由（1）知，直线OA的解析式为y＝ x，
设点D（n， n），
∵A（4，2），B（0，﹣2），
∴AB2＝32，BD2＝n2+（ n+2）2，AD2＝（n﹣4）2+（ n﹣2）2，
∵△ABD是直角三角形，
∴①当∠ABD＝90°时，BD2+AB2＝AD2，
∴n2+（ n+2）2+32＝（n﹣4）2+（ n﹣2）2，
∴n＝﹣ ，
∴D（﹣ ，﹣ ），
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②当∠BAD＝90°时，AD2+AB2＝BD2，
∴（n﹣4）2+（ n﹣2）2+32＝n2+（ n+2）2，
∴n＝4（不符合题意，舍去），
③当∠ADB＝90°时，AD2+BD2＝AB2，
∴（n﹣4）2+（ n﹣2）2+n2+（ n+2）2＝32，
∴n＝4（不符合题意，舍去）或n＝﹣ ，
∴D（﹣ ，﹣ ），
即D（﹣ ，﹣ ）或（﹣ ，﹣ ）．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，勾股
定理，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
25．（12分）如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是边AC上一动点，联结DE，过点D
作DF⊥DE交边BC于点F（点F与点B、C不重合），延长FD到点G，使DG＝DF，
联结EF、AG，已知AB＝10，BC＝6，AC＝8．
（1）求证：AC⊥AG；
（2）设AE＝x，CF＝y，求y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当△BDF是以BF为腰的等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，由D是AB的中点，得
到AD＝BD，根据全等三角形的性质得到∠GAB＝∠B，推出∠EAG＝90°，于是得到结
论；
（2）连接EG，根据勾股定理得到EF2＝（8﹣x）2+y2，根据全等三角形的性质得到AG＝
BF，由勾股定理得到EG2＝x2+（6﹣y）2，于是得到方程（8﹣x）2+y2＝x2+（6﹣y）2，
即可得到结论
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（3）①当BF＝DB时，6﹣y＝5，列方程得到AE＝ ；②当DF＝FB时，连接DC，过
点D作DH⊥FB，垂足为点H，可得DF＝FB＝6﹣y，根据勾股定理得方程（6﹣y）2＝42+
（3﹣y）2，求得y＝ ，于是得到 ＝ 求得AE＝ ．
【解答】（1）证明：∵BC＝6，AC＝8，
∴BC2+AC2＝36+64＝100，
∵AB2＝100，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∵D是AB的中点，
∴AD＝BD，
在△ADG和△BDF中，
∴△ADG≌△BDF，
∴∠GAB＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAB+∠GAB＝90°，
∴∠EAG＝90°，
即：AC⊥AG；
（2）连接EG，
∵AE＝x，AC＝8，
∴EC＝8﹣x，
∵∠ACB＝90°，
由勾股定理，得EF2＝（8﹣x）2+y2，
∵△ADG≌△BDF，
∴AG＝BF，
∵CF＝y，BC＝6，
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∴AG＝BF＝6﹣y，
∵∠EAG＝90°，
由勾股定理，得EG2＝x2+（6﹣y）2，
∵DG＝DF，DF⊥DE，
∴EF＝EG，
∴（8﹣x）2+y2＝x2+（6﹣y）2，
∴y＝ ，自变量x的取值范围： ＜x＜ ；
（3）①当BF＝DB时，6﹣y＝5，∴y＝1，
∴1＝ ，
∴x＝ ，
即AE＝ ；
②当DF＝FB时，连接DC，过点D作DH⊥FB，垂足为点H，
可得DF＝FB＝6﹣y，
∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴DC＝DB＝5，
∵DH⊥FB，BC＝6，∴CH＝HB＝3，
∴FH＝3﹣y，
∵DH⊥FB，
由勾股定理，得DH＝4，
在Rt△DHF中，可得（6﹣y）2＝42+（3﹣y）2，
解得：y＝ ，
∴ ＝
解得x＝ ，即AE＝ ，
综上所述，AE的长度是 ， ．
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【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定
理的逆定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
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