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2022 年上海市青浦区中考数学一模试卷
答案解析版
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）[每题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的
选项上用2B铅笔正确填涂]
1. 下列图形，一定相似的是（ ）
A. 两个直角三角形 B. 两个等腰三角形 C. 两个等边三角形 D. 两个菱形
【答案】C
【解析】
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，利用排除法求解．
【详解】解：A.两个直角三角形，不一定有锐角相等，故不一定相似；
B.两个等腰三角形顶角不一定相等，故不一定相似；
C.两个等边三角形，角都是60°，故相似；
D..任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似；
故选C．
【点睛】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是
解题的关键．
2. 如图，已知AB CD EF，它们依次交直线 、 于点A、C、E和点B、D、F．如果AC：CE =2：
3，BD=4，那么BF等于（ ）
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
【答案】C【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：∵AB CD EF，
∴ ，
∵AC：CE =2：3，BD=4，
∴ ，
∴DF=6，
∴BF=BD+DF=4+6=10，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理、比例性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理及其应用是解
答的关键．
3. 在Rt△ABC中，∠C=90º，那么 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据锐角A的邻边a与对边b的比叫做∠A的余切，记作cotA．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴ = ，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握余切定义．
4. 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE AC的是（ ）
A. B. C. D.【答案】B
【解析】
【分析】如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．根
据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【详解】A．由 ，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；
B．由 ，能得到DE∥BC，故本选项符合题意；
C．由 ，不能得到DE∥BC，故本选项不合题意；
D．由 ，不能得到DE∥BC，故本选项不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）
所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．
5. 如果 （ 、 均为非零向量），那么下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D. 与 方向相同
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】解：A、正确，不符合题意．因为 所以 ；
B、正确，不符合题意．因为 （ 均为非零向量），所以 与 是方向相反的向量，即 ∥ ；
C、正确，不符合题意．由 可得
D、错误，符合题意．因为 （ 均为非零向量），所以 与 是方向相反的向量，
故选：D．
【点睛】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方
向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．
6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定
正确的是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由ABCD是平行四边形，可得AD//BC，且AD=BC，根据相似三角形对应边成比例，可以得出正
确答案．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，且AD=BC，
∴△FAE∽△CBE，
∴ (相似三角形对应边成比例)，
即
故选：D.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质．根据平行找出相似三角形，是解决本题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）[请将结果直接填入答题纸的相应位置]
7. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a = 1，b = 3，那么c =______．
【答案】
【解析】
【分析】根据线段比例中项的概念可得b2＝ac，然后求出b的值即可．
【详解】解：∵线段b是线段a、c的比例中项，即a：b＝b：c，b = 3
∴b2＝ac，即ac=9，
∵a = 1
∴c=9
故答案为：9．
【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与
另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．8. 计算： =______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】先去括号，然后计算加减法．
【详解】解：原式= ，
，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查了平面向量，平面向量的运算法则与实数的运算法则相同．
9. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应高线的比等于相似比可得到答
案．
【详解】∵两个相似三角形的周长比为 ，
∴两个相似三角形的相似比为 ，
∴对应高线的比为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应高线比等于相似比是解题的关
键．
10. 二次函数 的图像有最______点．（填“高”或“低”）
【答案】高
【解析】
【分析】根据二次函数图象的开口即可解答．
【详解】解：∵二次函数
∴二次函数 的图象开口向下
∴二次函数 的图像有最高点．
故答案是高．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，对于y=ax2+bx+c（a≠0），当a＞0，函数图象开口方向向上，
函数图象开口方向向下．
11. 将抛物线 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是______．【答案】
【解析】
【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝x2向下平移2个单位后所得新抛物线的表达式为y＝x2-2．
故答案是：y＝x2-2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答本题的
关键．
12. 如果抛物线 （其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么
a______0．（填“＜”或“＞”）
【答案】
【解析】
【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，即可得到答案．
【详解】解：∵y=ax2+bx+c在对称轴左侧的部分是下降的，
∴函数图象的开口向上，
∴a＞0，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
13. 在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______．
【答案】
【解析】
【分析】利用正切的定义求解．
【详解】解：∵∠C=90°，
∴tan∠A= =2，
∴BC=2AC=2×3=6．
故答案 为：6．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C=90°．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．
14. 如图，已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA =______．
【答案】
【解析】
【分析】延长 AG交BC于D，根据重心的概念得到 AD⊥BC，BD=DC= BC= ，根据勾股定理求出
AD，根据重心的概念计算即可．
【详解】解：延长AG交BC于D，
∵G是三角形的重心，
∴AD⊥BC，BD=DC= BC= ，
由勾股定理得，AD= ，
∴GA= AD= ，
故答案 为： ．
【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，
且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
15. 如图，如果小华沿坡度为 的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度为______米．【答案】
【解析】
【分析】根据坡度的概念（把坡面的垂直高度 h和水平方向的距离l的比叫做坡度）求出∠A，根据直角三
角形的性质解答．
【详解】解:∵i=1: ，
∴tanA= ，
∴∠A=30°，
∴上升的高度= AB=4（米）.
故答案为4．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是
解题的关键．
16. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB
的值为______．
【答案】
【解析】
【 分 析 】 如 图 ， 过 点 B 向 AO 作 垂 线 交 点 为 C ， 勾 股 定 理 求 出 ， 的 值 ，求出 的长， 求出值即可．
【详解】解：如图，过点B向AO作垂线交点为C，O到AB的距离为h
∵ ， ， ，
∴
故答案为： ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数值，勾股定理．解题的关键是表示出所需线段长．
17. 如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线
交于点G，与边AB交于点F，如果AB= ，AF=2BF，那么GB=______．
【答案】 ##【解析】
【分析】先说明三角形CDE为等腰直角三角形，并求得其斜边CE的长，然后再说明三角形CEG为等腰
三角形，最后根据△EFA∽△BGF得出比例式，结合 DF AF=2BF得出CG与DE的倍数关系，最后根据
BG=BC+CG进行计算即可.
【详解】解：.∵矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与AD交于E；
∴CD=AB= ,∠DCE=∠BCE=45°，
∴CD=DE= ，
∵直角三角形CDE，
∴CE= ，
又∵∠AEC的角平分线EG与AB交于点F，
∴∠AEG=∠CEG
∵AD//BC
∴∠G=∠AEG
∴∠CEG=∠G
∴CG=CE=6，
∵∠G=∠AEF，∠AFE=∠BFG，
∴△AEF∽△BGF
∴
设BG=x，AE=2x，则BC=AD= +2x
.∵CG=BC+BG
∴6= +2x+x，解得x= .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定以及等腰三角形的性质，证得三角形CEG为等
腰三角形成为解答本题的关键.
18. 如图，一次函数 的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针
旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函
数．如果一次函数 的关联二次函数是 （ ），那么这个一次函
数的解析式为______．【答案】
【解析】
【分析】由题意可知二次函数与坐标轴的三个交点坐标为（0，k），（1，0），（-k，0），将其代入抛物
线 （ ）即可得m、k的二元一次方程组 ，即可解出 ，
故这个一次函数的解析式为 ．
【详解】一次函数 与y轴的交点为（0，k），与x轴的交点为（1，0）
绕O点逆时针旋转90°后，与x轴的交点为（-k，0）
即（0，k），（1，0），（-k，0）过抛物线 （ ）
即
得
将 代入 有
整理得
解得k=3或k=-1（舍）
将k=3代入 得
故方程组的解为
则一次函数的解析式为故答案为： ．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象及其性质，解二元一次方程组，结合旋转的性质以及图象
得出抛物线与坐标轴的三个交点坐标是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）[请将解题过程填入答题纸的相应位置]
.
19 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】先进行绝对值的化简，代入特殊角的三角函数值运算，然后合并．
【详解】解：原式= ，
= ，
=
【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数
值．
20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上， CE、BD相交于点F，BF=3DF．
（1）求AE：ED的值；
（2）如果 ， ，试用 、 表示向量 ．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）先根据平行四边形 的性质得到AD//BC，AD=BC，再利用平行线分线段成比例定理解答即可；
（2）利用平面向量的三角形法则进行计算即可.
【小问1详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AD=BC．
∴ ．
∵BF=3DF，
∴ ．
∴ ．
∴ ，即AE：ED=2．
【小问2详解】
解：∵AE：ED=2：1，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵AD//BC，
∴ ．
∵BF=3DF，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、平面向量等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
21. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4， ．
（1）求AB的长；
（2）求点C到直线AB的距离．
【答案】(1) ；(2)
【解析】
【分析】(1) 过点A作AH⊥BD，垂足为点H．根据等腰三角形的性质求出DH,再根据 ,求出AH,
利用勾股定理即可求出AB；
(2) 过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G，根据 即可求出答案．
【详解】解：（1）∵过点A作AH⊥BD，垂足为点H．
∵AB=AD，
∴BH=HD= BD=2 ．
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD．
∵BD=4，
∴CD=4．
∴HC=HD+ CD=6．
∵ ，∴ ，∴ ．
∵ ，
∴ ．（2）过点C作CG⊥BA，交BA的延长线于点G．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴点C到直线AB的距离为
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理以及锐角的三角比,熟练掌握锐角的三角比是解题的关键．
22. 如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C（AC BD）处测得教学楼顶部D的
仰角为27°，教学楼底部B的俯角为13°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=20米．求教学楼BD
（BD⊥AB）的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，
sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）【答案】教学楼BD的高度约为14.8米．
【解析】
【分析】由题意过点C作CH⊥BD，垂足为点H，进而依据 和 以及
BD =HD+HB进行分析计算即可得出答案.
【详解】解： 过点C作CH⊥BD，垂足为点H，
由题意，得∠DCH=27°，∠HCB=13°，AB=CH=20（米），
在Rt△DHC中，∵ ，
∴ ，
在Rt△HCB中，∵ ，
∴ ，
∴BD =HD+HB 10.2 +4.6=14.8（米）．
答：教学楼BD的高度约为14.8米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
23. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点E，∠ABD=∠CBD， ．（1）求证：△AEB∽△DEC；
（2）求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）先证明△DCB∽△DEC，推出∠DCE=∠DBC，再推出∠DCE=∠ABD，即可证明△AEB∽△DEC；
（2）先证明△AED ∽△BEC，推出∠ADE=∠BCE，再证明△BDA ∽△BCE，即可得到结论．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
又∵∠CDE=∠BDC，
∴△DCE∽△DBC，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠ABD=∠DBC，
∴∠DCE=∠ABD，
又∵∠AEB=∠DEC，
∴△AEB ∽△DEC；
【小问2详解】
∵△AEB ∽△DEC，
∴ ，
又∵∠AED=∠BEC，
∴△AED ∽△BEC，
∴∠ADE=∠BCE，又∵∠ABD=∠DBC，
∴△BDA ∽△BCE，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与
y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）联结BC、BD，求∠CBD的正切值；
（3）若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．
【答案】（1） ，点C的坐标为（0，-3）
（2）
（3）（-3，0）或（- ，0）
【解析】
【分析】（1）把A、B两点坐标代入函数求出b，c的值即可求函数表达式；再令x=0，求出y从而求出C
点坐标；
（2）先求B、C、D三点坐标，再求证△BCD为直角三角形，再根据正切的定义即可求出；
（3）分两种情况分别进行讨论即可．
【小问1详解】
解：（1）将A（-1，0）、B（3，0）代入 ，得
解得：所以， ．
当x=0时， ．∴点C的坐标为（0，-3）．
【小问2详解】
解：连接CD，过点D作DE⊥y轴于点E，
∵ ，
∴点D的坐标为（1，-4）．
∵B（3，0）、C（0，-3）、D（1，-4），E（0，-4），
∴OB=OC=3，CE=DE=1，
∴BC= ，DC= ，BD= ．
∴ ．
∴∠BCD=90°．
∴tan∠CBD= ．
【小问3详解】
解：∵tan∠ACO= ，
∴∠ACO=∠CBD．
∵OC =OB，
∴∠OCB=∠OBC=45°．
∴∠ACO+∠OCB =∠CBD+∠OBC．
即：∠ACB =∠DBO．
∴当△BDP与△ABC相似时，点P在点B左侧．
（i）当 时，∴ ．
∴BP=6．
∴P（-3，0）．
（ii）当 时，
∴ ．
∴BP= ．
∴P（- ，0）．
综上，点P的坐标为（-3，0）或（- ，0）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，掌握相关知识是解题的关键．
25. 在四边形ABCD中，AD BC，AB= ，AD=2，DC= ，tan∠ABC=2（如图）．点E是射线AD
上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB．
（1）求线段BC的长；
（2）当FB=FE时，求线段BF的长；
（3）当点E在线段AD 的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
【答案】（1）7 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G，进而依据正切值和
勾股定理进行分析计算即可；（2）由题意过点E作EM⊥BC，垂足为点M，由（1）得，tan∠C= ，进而得出 ，最后
利用勾股定理得出 进行计算即可；
（3）根据题意过点E作EN//DC，交BC的延长线于点N,证明四边形DCNE是平行四边形以及△BEF
∽△BNE，进而过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q利用 进行计算求解.
【小问1详解】
解：过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．
可得：AD=HG=2，AH=DG，
∵tan∠ABC=2，AB= ，
∴AH=2，BH=1，
∴DG=2，
∵DC= ，
∴CG= ，
∴BC=BH+HG+GC=1+2+4=7．
【小问2详解】
解：过点E作EM⊥BC，垂足为点M．可得EM=2，
由（1）得，tan∠C= ，
∵FB=FE，
∴∠FEB=∠FBE，
∵∠FEB=∠C，
∴∠FBE=∠C，∴tan∠FBE= ，
∴ ，
∴BM=4，
∵ ，
∴ ，
∴BF= ．
【小问3详解】
解：过点E作 ，交BC的延长线于点N．
∵ ，
∴四边形DCNE是平行四边形，
∴DE=CN，∠DCB=∠ENB，
∵∠FEB=∠DCB，
∴∠FEB=∠ENB，
又∵∠EBF=∠NBE，
∴△BEF ∽△BNE,
∴ ,
∴ ，
过点E作EM⊥BC，垂足为点M．可得EM=2，BM=x+3．
∴ ，
∴ ，
∴当 时，
解得： （负根舍去）
．
【点睛】本题主要考查四边形的综合问题，熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理以及相似三角形
的判定与性质利用数形结合思维分析是解题的关键.
