文档内容
2016 年上海市嘉定区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．2a﹣a=1 B．a2+a2=2a4
C．a2•a3=a5 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
3．（4分）某地气象局预报称：明天A地区降水概率为80%，这句话指的是（ ）
A．明天A地区80%的时间都下雨
B．明天A地区的降雨量是同期的80%
C．明天A地区80%的地方都下雨
D．明天A地区下雨的可能性是80%
4．（4分）某老师在试卷分析中说：参加这次考试的82位同学中，考91的人数最
多，有11人之众，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56了．这说明本次考
试分数的众数是（ ）
A．82 B．91 C．11 D．56
5．（4分）如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，
且四边形KLMN是菱形，那么下列选项正确的是（ ）
A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC=BD
6．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在
AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果 ，那么
的值是（ ）
第1页（共27页）A． B． C． D．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万
人次，用科学记数法可表示为 人次．
8．（4分）因式分解：2a2﹣8= ．
9．（4分）不等式组 的解集是 ．
10．（4分）如果在组成反比例函数 图象的每条曲线上，y都随x的增大而增
大，那么k的取值范围是 ．
11．（4分）如果函数y=（f x）的图象沿x轴的正方向平移1个单位后与抛物线y=x2
﹣2x+3重合，那么函数y=f（x）的解析式是 ．
12．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位
同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加上海市初中数学竞赛，那么
应选 同学．
甲 乙 丙 丁
平均数 70 85 85 70
标准差 6.5 6.5 7.6 7.6
13．（4分）方程 的解是 ．
14．（4分）已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果
、 ，那么向量 = （结果用 、 表示）．
15．（4分）以点A、B、C为圆心的圆分别记作⊙A、⊙B、⊙C，其中⊙A的半径长为
1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cosB的
值是 ．
16．（4分）如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰
角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），
此时测得大厦顶端A的仰角为45°，那么大厦AB的高度为 米（保留根
号）．
第2页（共27页）17．（4分）对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程
x*（a*x）= 有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是 ．
18．（4分）如图，点D在边长为6的等边△ABC的边AC上，且AD=2，将△ABC绕
点C顺时针方向旋转60°，若此时点A和点D的对应点分别记作点E和点F，联
结BF交边AC与点G，那么tan∠AEG= ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）化简求值：（ ）÷ ，其中x= ．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于
的长为半径画弧，相交于两点M、N；②联结MN，直线MN交△ABC的边AC与
点D，联结BD．如果此时测得∠A=34°，BC=CD．求∠ABC与∠C的度数．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣4，2）向x轴作垂线，垂足
第3页（共27页）为B，联结AO得到△AOB，过边AO中点C的反比例函数 的图象与边AB交
于点D．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）求直线CD与x轴的交点坐标．
23．（12分）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
BF⊥CD于F，DE与BF相交于H，BF与AD的延长线相交于G．求证：
（1）CD=BH；
（2）AB是AG和HE的比例中项．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣
x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴
对称．
（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；
（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E
的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用
m表示l；
（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点
A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
第4页（共27页）25．（14分）如图，⊙O与过点O的⊙P交于AB，D是⊙P的劣弧OB上一点，射线
OD交⊙O于点E，交AB延长线于点C．如果AB=24，tan∠AOP= ．
（1）求⊙P的半径长；
（2）当△AOC为直角三角形时，求线段OD的长；
（3）设线段OD的长度为x，线段CE的长度为y，求y与x之间的函数关系式及其
定义域．
第5页（共27页）2016 年上海市嘉定区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）﹣2的倒数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【考点】17：倒数．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a• =1（ a≠0），就
说a（a≠0）的倒数是 ．
【解答】解：﹣2的倒数是﹣ ，
故选：C．
【点评】此题主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我
们就称这两个数互为倒数．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．2a﹣a=1 B．a2+a2=2a4
C．a2•a3=a5 D．（a﹣b）2=a2﹣b2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．
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【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，即可解答．
【解答】解：A.2a﹣a=a，故错误；
B．a2+a2=2a2，故错误；
C．a2•a3=a5，正确；
D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是熟
记完全平分公式．
第6页（共27页）3．（4分）某地气象局预报称：明天A地区降水概率为80%，这句话指的是（ ）
A．明天A地区80%的时间都下雨
B．明天A地区的降雨量是同期的80%
C．明天A地区80%的地方都下雨
D．明天A地区下雨的可能性是80%
【考点】X3：概率的意义．
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【分析】降水概率就是降水的可能性，根据概率的意义即可作出判断．
【解答】解：“明天A地区降水概率为80%”是指明天A地区下雨的可能性是80%．
且明天下雨的可能性较大，
故A、B、C都错误，只有D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了概率的意义，掌握概率是反映出现的可能性大小的量是
解题的关键．
4．（4分）某老师在试卷分析中说：参加这次考试的82位同学中，考91的人数最
多，有11人之众，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56了．这说明本次考
试分数的众数是（ ）
A．82 B．91 C．11 D．56
【考点】W5：众数．
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【分析】利用众数的定义直接回答即可．
【解答】解：∵考91的人数最多，
∴众数为91分，
故选：B．
【点评】本题考查了众数的定义，一组数据中出现次数最多的数是众数，可能不唯
一．
5．（4分）如果点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA的中点，
且四边形KLMN是菱形，那么下列选项正确的是（ ）
A．AB⊥BC B．AC⊥BD C．AB=BC D．AC=BD
【考点】LN：中点四边形．
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【分析】由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，得出KL，MN是中位线，再得
出四条边相等，根据四条边都相等的四边形是菱形．
第7页（共27页）【解答】解：∵点K、L、M、N分别是四边形ABCD的四条边AB、BC、CD、DA，
∴KL∥AC，KL= AC，MN∥BD，MN= BD，
∵四边形EFGH为菱形，
∴AC=BD，
故选：D．
【点评】本题考查了中点四边形．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理
论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．
6．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠DBC=45°，点E在BC上，点F在
AB上，将梯形ABCD沿直线EF翻折，使得点B与点D重合．如果 ，那么
的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】根据对称的性质得到△BFE≌△DFE，得到DE=BE．根据已知条件得到
∠DEB=90°，设 AD=1，BC=4，过 A 作 AG⊥BC 于 G，根据矩形的性质得到
GE=AD=1，根据全等三角形的性质得到BG=EC=1.5，根据勾股定理得到AB=CD=
=5 ，通过△BDC∽△DEF，得到 ，求出BF= ，于是得
到结论．
【解答】解：∵EF是点B、D的对称轴，
∴△BFE≌△DFE，
第8页（共27页）∴DE=BE．
∵在△BDE中，DE=BE，∠DBE=45°，
∴∠BDE=∠DBE=45°．
∴∠DEB=90°，
∴DE⊥BC．
在等腰梯形ABCD中，∵ ，
∴设AD=1，BC=4，
过A作AG⊥BC于G，
∴四边形AGED是矩形．
∴GE=AD=1，
∵Rt△ABG≌Rt△DCE，
∴BG=EC=1.5，
∴AG=DE=BE=2.5
∴AB=CD= =5 ，
∵∠ABC=∠C=∠FDE，
∵∠CDE+∠C=90°，
∴∠FDE+∠CDE=90°
∴∠FDB+∠BDC+∠FDB=∠FDB+∠DFE=90°，
∴∠BDC=∠DFE，
∵∠DEF=∠DBC=45°，
∴△BDC∽△DEF，
∴ ，
∴DF= ，
∴BF= ，
∴AF=AB﹣BF= ，
第9页（共27页）∴ = ．
故选：B．
【点评】此题考查等腰梯形的性质，翻折的性质，三角形全等的判定与性质，等腰
直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，注意结合图形，作出常
用辅助线解决问题．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）据统计，今年上海“樱花节”活动期间顾村公园入园赏樱人数约312万
人次，用科学记数法可表示为 3.12 × 1 0 6 人次．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将312万用科学记数法表示为3.12×106，
故答案为：3.12×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．（4分）因式分解：2a2﹣8= 2 （ a + 2 ）（ a﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式
是解题关键．
第10页（共27页）9．（4分）不等式组 的解集是 1 ＜ x ＜ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别求出两个不等式的解集，然后再求出两个解集的公共部分．
【解答】解：解不等式x+1＜3得，x＜2；
解不等式2x﹣1＞1得，x＞1；
则不等式组 的解集为1＜x＜2．
故答案为1＜x＜2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照
“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”
确定不等式组的解集．
10．（4分）如果在组成反比例函数 图象的每条曲线上，y都随x的增大而增
大，那么k的取值范围是 k ＞ 1 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】根据反比例函数的增减性列出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【解答】解：∵反比例函数 图象的每条曲线上，y都随x的增大而增大，
∴1﹣k＜0，解得k＞1．
故答案为：k＞1．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数y= （k≠0）的图象是
双曲线，当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y
随x的增大而增大是解答此题的关键．
11．（4分）如果函数y=（f x）的图象沿x轴的正方向平移1个单位后与抛物线y=x2
﹣2x+3重合，那么函数y=f（x）的解析式是 y= x 2 + 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】把y=x2﹣2x+3沿x轴负方向平移1个单位后得到要求的抛物线．
【解答】解：根据题意，y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，沿x轴负方向平移1个单位，得到
第11页（共27页）y=x2+2．
故答案为y=x2+2．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，不仅考查了对平移的理解，同
时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
12．（4分）甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如下表．如果从这四位
同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加上海市初中数学竞赛，那么
应选 乙 同学．
甲 乙 丙 丁
平均数 70 85 85 70
标准差 6.5 6.5 7.6 7.6
【考点】W8：标准差．
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【分析】此题有两个要求：①成绩较好，②状态稳定．于是应选平均数大、方差小的
同学参赛．
【解答】解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙．
故答案为：乙．
【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，
方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，
方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，
数据越稳定．
13．（4分）方程 的解是 x=﹣1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据方程 可知等号左边的 x+1≤0，等号右边根号里面的
x+1≥0，联立不等式组，即可解答本题．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
解得，x=﹣1，
故答案为：x=﹣1．
【点评】本题考查解无理方程，解题的关键是明确无理方程的解法，由无理方程可
第12页（共27页）以发现隐含条件．
14．（4分）已知在平行四边形ABCD中，点M、N分别是边AB、BC的中点，如果
、 ，那么向量 = + （结果用 、 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先根据题意画出图形，然后连接AC，由三角形法则，即可求得 ，然后
由点M、N分别是边AB、BC的中点，根据三角形中位线的性质，求得答案．
【解答】解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ = = ，
∵ ，
∴ = + = + ，
∵点M、N分别是边AB、BC的中点，
∴ = = + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形中位线的性
质．注意掌握三角形法则的应用是关键．
15．（4分）以点A、B、C为圆心的圆分别记作⊙A、⊙B、⊙C，其中⊙A的半径长为
1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，如果这三个圆两两外切，那么cosB的
值是 ．
【考点】MK：相切两圆的性质．
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【分析】由已知条件得出△ABC的三边长，由勾股定理的逆定理证明△ABC是直角
三角形，∠A=90°，再由三角函数的定义即可得出结果．
第13页（共27页）【解答】解：如图所示：
∵⊙A的半径长为1，⊙B的半径长为2，⊙C的半径长为3，且这三个圆两两外切，
∴AB=1+2=3，AC=3+1=4，BC=3+2=5，
∵AB2+AC2=BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A=90°，
∴cosB= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理的逆定理、三角函数；熟练掌握相
切两圆的性质，由勾股定理的逆定理证出三角形是直角三角形是解决问题的
关键．
16．（4分）如图，如果在大厦AB所在的平地上选择一点C，测得大厦顶端A的仰
角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D处（C、D、B三点在同一直线上），
此时测得大厦顶端A的仰角为45°，那么大厦AB的高度为 2 0 + 2 0 米（保
留根号）．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】先设AB=x；根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和
Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得DB、CB的数值，
第14页（共27页）再根据CD=BC﹣BD=40，进而可求出答案．
【解答】解：设AB=x，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
∵∠C=30°，∠ADB=45°，CD=40，
∴DB=x，AC=2x，
∴BC= = x，
∴∵CD=BC﹣BD=40，
x﹣x=40，
∴x=20（ +1），
故答案为：20 +20．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概
念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹
角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（4分）对于实数m、n，定义一种运算“*”为：m*n=mn+n．如果关于x的方程
x*（a*x）= 有两个相等的实数根，那么满足条件的实数a的值是 0 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】23：新定义．
【分析】由于定义一种运算“*”为：m*n=mn+n，所以关于x的方程x*（a*x）= 变
为（a+1）x2+（a+1）x+ =0，而此方程有两个相等的实数根，所以根据判别式和一
元二次方程的一般形式的定义可以得到关于a的关系式，即可解决问题．
【解答】解：由x*（a*x）=﹣ ，
得（a+1）x2+（a+1）x+ =0，
依题意有a+1≠0，
△=（a+1）2﹣（a+1）=0，
解得，a=0，或a=﹣1（舍去）．
第15页（共27页）故答案为：0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的判别式，解题时首先正确理解定义的运
算法则得到关于x的方程，然后根据判别式和一元二次方程的定义得到关系式
解决问题．
18．（4分）如图，点D在边长为6的等边△ABC的边AC上，且AD=2，将△ABC绕
点C顺时针方向旋转60°，若此时点A和点D的对应点分别记作点E和点F，联
结BF交边AC与点G，那么tan∠AEG= ．
【考点】KK：等边三角形的性质；R2：旋转的性质．
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【分析】作GM⊥AE于M，则∠AMG=90°，由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=6，
∠BAC=∠ABC=60°，由旋转的性质得出△AEC≌△ABC，EF=AD=2，因此
AE=CE=AB=6 ， ∠ EAC=∠ ACE=60° ， CF=CE﹣EF=4 ， 得 出 AB∥ CF ， 证 出
△ABG∽△CFG，得出对应边成比例 = ，求出AG，再求出AM，得出
GM、ME，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：作GM⊥AE于M，
则∠AMG=90°，
∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠BAC=∠ABC=60°，
由旋转的性质得：△AEC≌△ABC，EF=AD=2，
∴AE=CE=AB=6，∠EAC=∠ACE=60°，CF=CE﹣EF=4，
∴AB∥CF，
∴△ABG∽△CFG，
∴ = = ，
第16页（共27页）∴AG= AC=3.6，
∵∠AGM=90°﹣60°=30°，
∴AM= AG=1 ，
∴GM= AM= ，ME=AE﹣AM= ，
∴tan∠AEG= = = ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、
相似三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握旋转的性质和等边三角形的性
质，求出GM和ME是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）化简求值：（ ）÷ ，其中x= ．
【考点】7A：二次根式的化简求值．
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【分析】括号内通分，化除法为乘法进行化简，然后代入求值．
【解答】解：原式= × = ．
将x= 代入，得
原式= = ．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到
最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
第17页（共27页）20．（10分）解方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】方程两边乘以x（2x﹣1）去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到
x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程两边同时乘以x（2x﹣1），得（2x﹣1）2﹣3x2+2x（2x﹣1）=0，
整理后，得5x2﹣6x+1=0，
解得：x =1，x = ，
1 2
经检验：x =1，x = 是原方程的根，
1 2
则原方程的根是x =1，x = ．
1 2
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以A、B为圆心，大于
的长为半径画弧，相交于两点M、N；②联结MN，直线MN交△ABC的边AC与
点D，联结BD．如果此时测得∠A=34°，BC=CD．求∠ABC与∠C的度数．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图—基本作图．
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【专题】13：作图题．
【分析】利用基本作图可判断MN垂直平分AB，则DA=DB，根据等腰三角形的性质
和三角形外角性质得∠CDB=68°，再由 CB=CD得到∠CBD=∠CDB=68°，所以
∠ABC=∠DBA+∠CBD=102°，然后利用三角形内角和定理计算∠C的度数．
【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，则DA=DB，
∴∠DBA=∠A=34°，
第18页（共27页）∴∠CDB=∠DBA+∠A=68°，
∵CB=CD，
∴∠CBD=∠CDB=68°，
∴∠ABC=∠DBA+∠CBD=34°+68°=102°，
∠C=180°﹣68°﹣68°=44°．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线
段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过
一点作已知直线的垂线）．利用等腰三角形的性质和三角形内角和进行角度计
算．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣4，2）向x轴作垂线，垂足
为B，联结AO得到△AOB，过边AO中点C的反比例函数 的图象与边AB交
于点D．求：
（1）反比例函数的解析式；
（2）求直线CD与x轴的交点坐标．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．
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【分析】（1）由A点的坐标结合中点的坐标公式可得出点C的坐标，将点C的坐标
代入到反比例函数解析式即可求出k值，从而得出反比例函数的解析式；
（2）令x=﹣4，找出D点的坐标，由待定系数法求出直线CD的函数解析式，再令
y=0，解关于x的一元一次方程即可得出直线CD与x轴的交点坐标．
【解答】解：（1）∵点C为线段AO的中点，
∴C点的坐标为（﹣2，1），
将点C（﹣2，1）代入到反比例函数 中得：
第19页（共27页）1= ，解得：k=﹣2．
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ．
（2）令x=﹣4，则y=﹣ = ．
即点D的坐标为（﹣4， ）．
设直线CD的解析式为y=ax+b，
由点C、D在直线CD的图象上可知：
，解得： ．
∴直线CD的解析式为y= x+ ．
令y=0，则有 x+ =0，
解得：x=﹣6．
∴直线CD与x轴的交点坐标为（﹣6，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式以及中点坐标公式，解题的关键是：
（1）求出点C的坐标；（2）由待定系数法求出直线CD的函数解析式．本题属于
基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函
数解析式是关键．
23．（12分）如图，BD是平行四边形ABCD的对角线，若∠DBC=45°，DE⊥BC于E，
BF⊥CD于F，DE与BF相交于H，BF与AD的延长线相交于G．求证：
（1）CD=BH；
（2）AB是AG和HE的比例中项．
第20页（共27页）【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据已知利用AAS判定△BEH≌△DEC，从而得到BH=DC；
（2）根据两组角对应相等的两个三角形相似得到△BEH∽△GBA，相似三角形的
对应边成比例所以BH•AB=EH•AG，由于BH=DC=AB所以推出了AB2=GA•HE．
【解答】证明：（1）∵在 ▱ABCD中，DE⊥BC，∠DBC=45°，
∴∠DEC=∠BEH=90°，DE=BE，
∵∠EBH+∠BHE=90°，∠DHF+∠CDE=90°，
∴∠EBH=∠EDC，
在△BEH与△DEC中，
，
∴△BEH≌△DEC．
∴BH=DC；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AG∥BC，∠A=∠C=∠BHE，AB=CD，
∴∠G=∠HBE，
∴△BEH∽△GBA，
∴BH•AB=EH•AG，
∵BH=DC=AB，
∴AB2=GA•HE．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角
形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y=﹣
x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴
对称．
（1）求b的值以及直线AD与x轴正方向的夹角；
（2）如果点E是抛物线上一动点，过E作EF平行于x轴交直线AD于点F，且F在E
的右边，过点E作EG⊥AD与点G，设E的横坐标为m，△EFG的周长为l，试用
第21页（共27页）m表示l；
（3）点M是该抛物线的顶点，点P是y轴上一点，Q是坐标平面内一点，如果以点
A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式可求得b的值，然后可得到抛物
线的解析式，从而可求得抛物线的对称轴，再依据对称性可求得D（2，3），B
（3，0），最后依据待定系数法求得AD的解析式可求得直线AD与x轴正方向的
夹角；
（2）设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+m+2．然后证
明△EFG为等腰直角三角形，从而得到EF=（1+ ）EF，于是可求得l与m的关
系式；
（3）先利用配方法求得点M的坐标，然后根据①AM为矩形的对角线时，②当AM
为矩形的一边时两种情况求解即可．
【解答】解：（1）∵将点A（﹣1，0）代入抛物线的解析式得：﹣1﹣b+3=0，解得：
b=2，
∴y=﹣x2+2x+3．
∴抛物线的对称轴为直线x=1．
令x=0得：y=3，则C（0，3）．
∵点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称，
∴D（2，3），B（3，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b．
第22页（共27页）∵将A（﹣1，0）、D（2，3）代入得： ，解得：k=1，b=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1．
∴直线AD与x轴正方向的夹角为45°．
（2）如图1所示：
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（﹣m2+2m+2，﹣m2+2m+3），EF=﹣m2+2m+2﹣m=﹣
m2+m+2．
∵∠EGF=90°，∠EFG=45°，
∴△EFG为等腰直角三角形．
∴l=EF+FG+EG=EF+ EF+ EF=（1+ ）EF=（1+ ）（﹣m2+m+2）=﹣（ ）m2+
（ +1）m+2 +2．
（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴M（1，4）．
①AM为矩形的对角线时，如图2所示：
∵由矩形的性质可知：N为AM的中点，A（﹣1，0），M（1，4），
∴N（0，2）．
第23页（共27页）∵由两点间的距离公式可知：MN= = ．
∴NQ =NQ = ，
1 2
∴Q （0，2+ ），Q （0，2﹣ ）．
1 2
②当AM为矩形的一边时，如图3所示：过Q 作Q E⊥y轴，垂直为E，过Q 作
3 3 4
Q F⊥y轴，垂足为F．
4
∵在△ANO中，AO=1，ON=2，
∴tan∠ANO= ，
∴tan∠MNP = ，
4
∴P M MN= ，NP = MN= ．
4 4
∴P Q = ．
4 3
∴P E= P Q =1，EQ3= P Q =2．
4 4 3 4 3
∵OE=OP ﹣P E=4.5﹣1=3.5，
4 4
∴Q 的坐标为（2，3.5）．
3
∵点Q 与Q 关于点N对称，
3 4
∴Q （﹣2， ）．
4
综上所述，点Q的坐标为（0，2+ ），或（0，2﹣ ）或（2，3.5）或（﹣2， ）．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
第24页（共27页）法求二次函数的解析式、配方法求抛物线的顶点坐标、矩形的性质、锐角三角
函数的定义，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
25．（14分）如图，⊙O与过点O的⊙P交于AB，D是⊙P的劣弧OB上一点，射线
OD交⊙O于点E，交AB延长线于点C．如果AB=24，tan∠AOP= ．
（1）求⊙P的半径长；
（2）当△AOC为直角三角形时，求线段OD的长；
（3）设线段OD的长度为x，线段CE的长度为y，求y与x之间的函数关系式及其
定义域．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）首先设OP的延长线交AB于点H，连接AP，由垂径定理可求得AH的
长，然后由三角函数，求得OH的长，再设⊙P的半径为r，由在Rt△AHP中，
AH2+PH2=AP2，即可求得答案；
（2）首先过点P作PG⊥OD于点G，求得OA的长，易证得△PGO∽△OHA，然后由
相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（3）首先过点H作HI⊥OC于点I，可得PG∥HI，然后由平行线分线段成比例定理，
求得OI，再由△OHI∽△OCH，求得答案．
【解答】解：（1）设OP的延长线交AB于点H，连接AP，
∵AH= AB= ×24=12，tan∠AOP= ，
∴OH= =18，
设⊙P的半径为r，
在Rt△AHP中，AH2+PH2=AP2，
∴（18﹣r）2+122=r2，
第25页（共27页）解得：r=13，
答：⊙P的半径长为13；
（2）过点P作PG⊥OD于点G，
则OA= = =6 ，
∵∠AOC=90°，
∴∠POG+∠AOH=90°，
∵∠AOH+∠OAH=90°，
∴∠POG=∠OAH，
∴△PGO∽△OHA，
∴ ，
即 = ，
解得：OD=4 ；
（3）如图2，过点H作HI⊥OC于点I，则OE=OA=6 ，
∴PG∥HI，
∴ ，
即 ，
∴OI= x，
∵∠O是公共角，∠OUH=∠OHC=90°，
∴△OHI∽△OCH，
∴ ，
∴ ，
第26页（共27页）∴y= ﹣6 （0＜x＜6 ）．
【点评】此题属于圆的综合题．考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性
质、平行线分线段成比例定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解
此题的关键．
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日期：2018/12/24 0:20:37；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第27页（共27页）
