文档内容
2016 年上海市嘉定区中考数学一模试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分，每小题只有一个选项是正确的）
1．（4分）已知 = ，那么下列等式中一定正确的是（ ）
A． = B． =
C． = D． =
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3．下列选项中，正确的是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
3．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果 = ，
= ．那么下列选项中，正确的是（ ）
A． = （ + ） B． = （ + ） C． = （ ﹣ ）D． =（ ﹣ ）
4．（4分）已知二次函数y=x2+bx+3如图所示，那么函数y=x2+（b﹣1）x+3的图象可
能是（ ）
A． B．
第1页（共27页）C． D．
5．（4分）下列四个命题中，假命题是（ ）
A．两角对应相等，两个三角形相似
B．三边对应成比例，两个三角形相似
C．两边对应成比例且其中一边的对角相等，两个三角形相似
D．两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似
6．（4分）已知⊙O 的半径为3，⊙O 的半径长（r r＞0），如果O O =3，那么⊙O 与
1 2 1 2 1
⊙O 不可能存在的位置关系是（ ）
2
A．两圆内含 B．两圆内切 C．两圆相交 D．两圆外切
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ﹣（ ﹣ ）= ．
8．（4分）如果两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比是 ．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy内有一点Q（3，4），那么射线OQ与x轴正
半轴的夹角α的余弦值是 ．
10．（4分）已知一个斜坡的坡度i=1： ，那么该斜坡的坡角的度数是 度．
11．（4分）如果抛物线y=（m+1）x2的最低点是原点，那么实数m的取值范围是
．
12．（4分）抛物线y=2（x﹣1）2﹣1与y轴的交点坐标是 ．
13．（4分）如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过原点，那么所得抛物线
的表达式是 ．
14．（4分）如果一个正多边形的中心角为 72°，那么这个正多边形的边数是
．
15．（4分）如果⊙O 与⊙O 外切，⊙O 的半径为6，圆心距O O =10，那么⊙O 的
2 1 1 1 2 2
第2页（共27页）半径长是 ．
16．（4分）在⊙O中，已知 =2 ，那么线段AB与2AC的大小关系是 ．
（从“＜”或“=”或“＞”中选择）
17．（4分）将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，
那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常
生活中随处可见．如，我们常见的A 纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信
4
息求A 纸的较长边与较短边的比值．这个比值是 ．
4
18．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=CB，tan∠C= （如图），点E
在CD边上运动，联结BE．如果EC=EB，那么 的值是 ．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•cot45°．
20．（10分）如图，已知△ABC中，AB＞AC，BC=6，BC边上的高AN=4．直角梯形
DEFG的底EF在BC边上，EF=4，点D、G分别在边AB、AC上，且DG∥EF，
GF⊥EF，垂足为F．设GF的长为x，直角梯形DEFG的面积为y，求y关于x的函
数关系式，并写出函数的定义域．
21．（10分）已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是 的中点，当
OA=5cm，cos∠OAB= 时．
（1）求△OAB的面积；
（2）联结AC，求弦AC的长．
第3页（共27页）22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸边选取B、C两点，在对岸岸边
选择点A．测得∠B=45°，∠C=60°，BC=30米．求这条河的宽度（这里指点A到直
线BC的距离）．（结果精确到1米，参考数据 ≈1.4， ≈1.7）
23．（12分）已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA=DE．如
果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：DA•OC=OD•CE．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= x2+bx+c经过点A（4，0）、
点C（0，﹣4），点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称．
（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；
（2）联结AC、BC，求∠ACB的正弦值；
（3）点P是这条抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m（m＞0）．过点P作y
轴的垂线PQ，垂足为Q．如果∠QPO=∠BCO，求m的值．
第4页（共27页）25．（14分）已知：△ABC，∠ABC=90°，tan∠BAC= ，点D点在AC边的延长线上，
且DB2=DC•DA（如图）．
（1）求 的值；
（2）如果点E在线段BC的延长线上，联结AE．过点B作AC的垂线，交AC于点F，
交AE于点G．
①如图1，当CE=3BC时，求 的值；
②如图2，当CE=BC时，求 的值；
第5页（共27页）2016 年上海市嘉定区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分，每小题只有一个选项是正确的）
1．（4分）已知 = ，那么下列等式中一定正确的是（ ）
A． = B． =
C． = D． =
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用比例的性质由 = 得2x=3y，然后再根据比例的性质变形四个比例式，
若结果为2x=3y可判断其正确；否则判断其错误．
【解答】解：A、3x•2=9y，则2x=3y，所以A选项正确；
B、5（x+3）=6（y+3），则5x﹣6y=3，所以B选项错误；
C、2y（x﹣3）=3x（y﹣2），则xy﹣6x+6y=0，所以C选项错误；
D、2（x+y）=5x，则3x=2y，所以D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合
分比性质；等比性质．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3．下列选项中，正确的是（ ）
A．sinA= B．cosA= C．tanA= D．cotA=
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】首先在直角△ABC中利用勾股定理求得BC的长，然后利用三角函数的定
义进行判断．
【解答】解：在直角△ABC中BC= = =4．
A、sinA= = ，选项错误；
第6页（共27页）B、cosA= = ，选项正确；
C、tanA= = ，选项错误；
D、cotA= = ，选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如果 = ，
= ．那么下列选项中，正确的是（ ）
A． = （ + ） B． = （ + ） C． = （ ﹣ ）D． =（ ﹣ ）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由在平行四边形ABCD中， = ， = ，利用平行四边形法则，可求得 ，
然后由三角形法则，求得 与 ，再由平行四边形的对角线互相平分，即可求
得答案．
【解答】解：A、∵在平行四边形ABCD中， = ， = ，
∴ = = ， = ，
∴ = + = + ，
第7页（共27页）∴ = （ + ）；故正确；
B、∵ =﹣ =﹣ （ + ）；故错误；
C、∵ = ﹣ = ﹣ ，
∴ = = （ ﹣ ），故错误；
D、 = ﹣ = ﹣ ；故错误．
故选：A．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的性质．注意掌握平行四边
形法则与三角形法则的应用是解此题的关键．
4．（4分）已知二次函数y=x2+bx+3如图所示，那么函数y=x2+（b﹣1）x+3的图象可
能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】H2：二次函数的图象．
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【专题】2B：探究型．
【分析】根据函数y=x2+（b﹣1）x+3可知该函数的开口方向和一定过点（0，3），且
通过变形可以与二次函数y=x2+bx+3建立关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵函数y=x2+（b﹣1）x+3的a=1＞0，过点（0，3），
∴该函数的图象开口向上，一定过点（0，3），
故选项A、D错误；
第8页（共27页）又∵二次函数y=x2+bx+3的图象已知，对称轴在y轴右侧，故可知b＜0，所以b﹣1
＜0，
抛物线y=x2+（b﹣1）x+3的对称轴为x= ＞0，即对称轴也在y轴的右侧，
故选项B错误，选项C正确，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想
解答问题．
5．（4分）下列四个命题中，假命题是（ ）
A．两角对应相等，两个三角形相似
B．三边对应成比例，两个三角形相似
C．两边对应成比例且其中一边的对角相等，两个三角形相似
D．两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据相似三角形的判定进行解答即可．
【解答】解：A、两角对应相等，两个三角形相似是真命题；
B、三边对应成比例，两个三角形相似是真命题；
C、两边对应成比例且两边的夹角相等，两个三角形相似，故是假命题；
D、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似是真命题；
故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，
一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实
的，这样的真命题叫做定理．
6．（4分）已知⊙O 的半径为3，⊙O 的半径长（r r＞0），如果O O =3，那么⊙O 与
1 2 1 2 1
⊙O 不可能存在的位置关系是（ ）
2
A．两圆内含 B．两圆内切 C．两圆相交 D．两圆外切
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】两圆半径和等于圆心距时，两圆外切．设两圆的半径分别为 R和r，且
R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内
第9页（共27页）切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．根据题意得出R+r＞d，即可得出结论．
【解答】解：∵⊙O 的半径为3，⊙O 的半径长r（r＞0），
1 2
∴3+r＞3，
即R+r＞d，
∴⊙O 与⊙O 不可能存在的位置关系是两圆外切．
1 2
故选：D．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，利用了两圆外切时圆心距等于两圆半径
的和．
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）计算： ﹣（ ﹣ ）= + ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．
【解答】解： ﹣（ ﹣ ）= ﹣ + = + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号时的符号的变化是解
此题的关键．
8．（4分）如果两个相似三角形的周长比为4：9，那么它们的面积比是 1 6 ： 8 1 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比
的平方解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为4：9，
∴两个相似三角形的相似比为4：9，
∴两个相似三角形的面积比为16：81，
故答案为：16：81．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、
相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
9．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy内有一点Q（3，4），那么射线OQ与x轴正
第10页（共27页）半轴的夹角α的余弦值是 ．
【考点】D5：坐标与图形性质；T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】作QA⊥x轴于点A，在直角△OAQ中利用勾股定理求得OQ的长，然后根
据余弦的定义求解．
【解答】解：作QA⊥x轴于点A．
则OA=3，QA=4，
在直角△OAQ中，OQ= = =5，
则cosα= = ．
故答案是： ．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
10．（4分）已知一个斜坡的坡度i=1： ，那么该斜坡的坡角的度数是 3 0 度．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】坡度=坡角的正切值，据此直接解答．
【解答】解：∵tanα=1： = ，
∴坡角=30°．
【点评】此题主要考查学生对坡度及坡角的理解及掌握．
11．（4分）如果抛物线y=（m+1）x2的最低点是原点，那么实数m的取值范围是
m ＞ ﹣ 1 ．
第11页（共27页）【考点】H7：二次函数的最值．
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【分析】直接利用二次函数的性质得出m+1的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵抛物线y=（m+1）x2的最低点是原点，
∴m+1＞0，
解得：m＞﹣1．
故答案为：m＞﹣1．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数的性质是解题关键．
12．（4分）抛物线y=2（x﹣1）2﹣1与y轴的交点坐标是 （ 0 ， 1 ） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】2B：探究型．
【分析】根据y轴上点的坐标特点令x=0，求出y的值即可．
【解答】解：令x=0，则y=2（0﹣1）2﹣1=1，
故抛物线y=2（x﹣1）2﹣1与y轴的交点坐标是（0，1）．
故答案为：（0，1）
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点及y轴上点的坐标特点，熟知
y轴上点的横坐标为0的特点是解答此题的关键．
13．（4分）如果将抛物线y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过原点，那么所得抛物线
的表达式是 y= x 2 + 2 x ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据图象向上平移加，可得答案．
【解答】解：y=x2+2x﹣1向上平移，使它经过原点y=x2+2x，
故答案为：y=x2+2x．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右
减，上加下减．
14．（4分）如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是 5
．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】根据正多边形的中心角和为360°和正多边形的中心角相等，列式计算即
可．
【解答】解：根据题意得：
第12页（共27页）这个多边形的边数是360°÷72°=5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是正多边形的中心角的有关计算，掌握正多边形的中心角和
边数的关系是解题的关键．
15．（4分）如果⊙O 与⊙O 外切，⊙O 的半径为6，圆心距O O =10，那么⊙O 的
2 1 1 1 2 2
半径长是 4 ．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】由两圆相切得出R+r=O O ，即可得出结果．
1 2
【解答】解：∵⊙O 与⊙O 外切，
2 1
∴两圆的半径之和等于圆心距，即R+r=O O ，
1 2
∴r=0 0 ﹣R=10﹣6=4．
1 2
故答案为：4．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系；由两圆位置关系来判断半径和圆心距之
间数量关系是解决问题的关键；设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为
d．外离：d＞R+r；外切：d=R+r；相交：R﹣r＜d＜R+r；内切：d=R﹣r；内含：d＜R﹣
r．
16．（4分）在⊙O中，已知 =2 ，那么线段AB与2AC的大小关系是 ＜ ．（从
“＜”或“=”或“＞”中选择）
【考点】K6：三角形三边关系；M4：圆心角、弧、弦的关系．
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【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到AC=BC，根据三角形三边关系定理解
得即可．
【解答】解：如图，∵ =2 ，
∴ = ，
∴AC=BC，
在△ABC中，AC+BC＞AB，
∴AB＜2AC，
故答案为：＜．
第13页（共27页）【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、三角形三边关系，掌握在同圆或等圆
中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余
各组量都分别相等是解题的关键．
17．（4分）将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，
那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常
生活中随处可见．如，我们常见的A 纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信
4
息求A 纸的较长边与较短边的比值．这个比值是 ．
4
【考点】S6：相似多边形的性质．
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【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．
【解答】解：由题意得，四边形ABFE∽四边形ADCB，
∴ = ，
∴AB2= ，
∴ = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等、对
应角相等是解题的关键．
18．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=CB，tan∠C= （如图），点E
第14页（共27页）在CD边上运动，联结BE．如果EC=EB，那么 的值是 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】根据AB=AC以及tan ，可以假设AB=BC=4a，求出DE，CD即可．
【解答】解：如图作DM⊥BC，EN⊥BC垂足分别为M．N，设AB=BC=4a，
∵tan∠C= = ，
∴CM=3a，CD=5a，
∵EB=EC，EN⊥BC，
∴NC=BN=2a，
∵tan∠C= = ，
∴ ，
∴EN= ，
∴EC= = ，
∴DE=CD﹣EC=5a﹣ = ，
∴ = = ．
【点评】本题考查直角梯形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，设未知
数，列出相应的代数式是解决问题的关键．
第15页（共27页）三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•cot45°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】把特殊角的三角函数值代入原式计算即可．
【解答】解：原式=3× ﹣2× ﹣ ×1=﹣ ．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值、正确进行
二次根式的加减运算是解题的关键．
20．（10分）如图，已知△ABC中，AB＞AC，BC=6，BC边上的高AN=4．直角梯形
DEFG的底EF在BC边上，EF=4，点D、G分别在边AB、AC上，且DG∥EF，
GF⊥EF，垂足为F．设GF的长为x，直角梯形DEFG的面积为y，求y关于x的函
数关系式，并写出函数的定义域．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式；S4：平行线分线段成比例．
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【分析】由平行线分线段成比例定理得出 = ，证出四边形GFMN为矩形，得出
GF=MN=x，由平行线分线段成比例定理得出 = ，得出 = ，因此DG=6
﹣ x，即可得出结果．
【解答】解：∵DG∥EF，
∴DG∥BC，
∴ = ，
∵GF⊥EF，AN⊥BC，四边形DEFG为直角梯形，
∴四边形GFMN为矩形，
∴GF=MN=x，
∵DG∥BC，
第16页（共27页）∴ = = = ，
∴ = ，
即： = ，
解得：DG=6﹣ x，
∴y= •MN= •x=﹣ x2+5x，
即y关于x的函数关系式为：y═﹣ x2+5x（0＜x＜4）．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、直角梯形面积的计算、矩形的判定
与性质；本题难度适中，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解决问题的
关键．
21．（10分）已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是 的中点，当
OA=5cm，cos∠OAB= 时．
（1）求△OAB的面积；
（2）联结AC，求弦AC的长．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；M2：垂径定理；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据cos∠OAB= ，得到 ，求得AH=3cm，
OH=4cm，AB=2AH=6cm，根据三角形的面积公式即可进行求解；
（2）设AC交OB于M，由B是 的中点，得到 ，求出AB=BC，推出OB垂直平
分AC，即可得到结论．
【解答】解：（1）过O作OH⊥AB于H，
第17页（共27页）∵cos∠OAB= ，
∴ ，
∴AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm，
∴S = AB•OH=12cm2；
△OAB
（2）设AC交OB于M，∵B是 的中点，
∴ ，∴AB=BC，
∵OA=OC，
故O，B均在线段AC的垂直平分线上，
∴OB垂直平分AC，
∴AM=AB•sin∠MBA=6× = ，
∴AC=2AM= cm．
【点评】本题考查了垂径定理，解直角三角形，线段垂直平分线的判定和性质，正
确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸边选取B、C两点，在对岸岸边
选择点A．测得∠B=45°，∠C=60°，BC=30米．求这条河的宽度（这里指点A到直
线BC的距离）．（结果精确到1米，参考数据 ≈1.4， ≈1.7）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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第18页（共27页）【分析】作AD⊥BC与D，由三角函数得出CD= AD，AD=BD，由已知条件得出关
于AD的方程，解方程即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示：
在Rt△ACD中，∵∠C=60°，
∴tanC= = ，
∴CD= AD，
在Rt△ABD中，∵∠B=45°，
∴tan∠B= =1，
∴AD=BD，
∵BC=BD+CD=30米，
∴AD+ AD=30米，
解得：AD=15（3﹣ ）≈20．
答：河的宽度约为20米．
【点评】考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解此题的关键是把实际问题
抽象到直角三角形中，利用三角函数求解．
23．（12分）已知：如图，已知△ABC与△ADE均为等腰三角形，BA=BC，DA=DE．如
果点D在BC边上，且∠EDC=∠BAD．点O为AC与DE的交点．
（1）求证：△ABC∽△ADE；
（2）求证：DA•OC=OD•CE．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
第19页（共27页）【分析】（1）根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE，由于
=1，根据得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE，证
得△COD∽△EOA，根据相似三角形的性质得到 ，由∠AOD=∠COE，推
出△AOD∽△COE，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠ADC=∠ABC+∠BAD=∠ADE+∠EDC，
∴∠B=∠ADE，
∵ =1，
∴△ABC∽△ADE；
（2）∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAD=∠CAE=∠CDE，
∵∠COD=∠EOA，
∴△COD∽△EOA，
∴ ，
∵∠AOD=∠COE，
∴△AOD∽△EOC，
∴DA：CE=OD：OC，
即DA•OC=OD•CE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，熟练掌握相
似三角形的判定定理是解题的关键．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y= x2+bx+c经过点A（4，0）、
点C（0，﹣4），点B与点A关于这条抛物线的对称轴对称．
（1）用配方法求这条抛物线的顶点坐标；
（2）联结AC、BC，求∠ACB的正弦值；
第20页（共27页）（3）点P是这条抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为m（m＞0）．过点P作y
轴的垂线PQ，垂足为Q．如果∠QPO=∠BCO，求m的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得顶点坐标；
（2）根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据等腰直角三角形
的性质，可得BH的长，根据勾股定理，可得BC的长，根据锐角三角的正弦函
数等于对边比斜边；
（3）根据相等角的正切值相等，可得P点纵坐标与横坐标的关系，根据点在函数
图象上，可得点的坐标满足函数解析式，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）将A、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得 ，
抛物线的解析式为y= x2﹣x﹣4，
配方得y= （x﹣1）2﹣ ，
顶点坐标为（1，﹣ ）；
第21页（共27页）（2）作BH⊥AC于H点，如图1 ，
抛物线的对称轴为x=1，
A到对称轴的距离是4﹣1=3，
B点的横坐标为1﹣3=﹣2，B（﹣2，0），
AB=4﹣（﹣2）=6．
由OA=OC=4，得∠OAC=45°，
∴△ABH是等腰直角三角形，BH=AH=3 ，
又BC= =2 ．
在Rt△BCH中，sin∠ACB= = = ；
（3）如图2 ，
Rt△BOC中，tan∠BCO= = = ，
故Rt△OPQ中，tan∠QPO= = = ，
第22页（共27页）①设P（m， m），将P点代入抛物线的解析式y= x2﹣x﹣4，得
m2﹣m﹣4= m．
解得m= ，m= （不符合题意，舍）；
②设P（m，﹣ m），将P点代入抛物线的解析式y= x2﹣x﹣4，得
m2﹣m﹣4=﹣ m．
解得m= ，m= （不符合题意，舍），
综上所述：m = ，m = ．
2 1
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用配方法是求顶点坐标的关键；利用等腰
直角三角形的性质得出BH的长是解题关键；利用相等角的正切值相等得出 P
点纵坐标与横坐标的关系是解题关键．
25．（14分）已知：△ABC，∠ABC=90°，tan∠BAC= ，点D点在AC边的延长线上，
且DB2=DC•DA（如图）．
（1）求 的值；
（2）如果点E在线段BC的延长线上，联结AE．过点B作AC的垂线，交AC于点F，
交AE于点G．
①如图1，当CE=3BC时，求 的值；
②如图2，当CE=BC时，求 的值；
第23页（共27页）【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】（1）由三角函数和已知条件得出得出 = ， = ，证出
△DBC∽△DAB，得出对应边成比例，即可得出结果；
（2）①作EH⊥BG交BG的延长线于H，由平行线得出△BCF∽△BEH，得出 =
= = ，证明△CFB∽△BFA，得出 = = = ，得出 = • = ，证出
AF=EH，再由平行线证出△AFG∽△EHG，得出 = =1，设BF=a，则BH=4a，得
出FG=GH= a，即可得出结果；
②作EH⊥BG交BG的延长线于H，同①1得出 = • = ，设CF=a，则AF=4a，
EH=2a，CA=CF+AF=5a，由（1）知 = ，得出 DC= a，由平行线得出
△AFG∽△EHG，得出 = = =2，设 GH=b，则 FG=2b，BF=FH=3b，
BG=BF+FG=5b，由三角形的面积公式即可得出结果．
【解答】解（1）在Rt△ABC中，tan∠BAC= = ，
∵DB2=DC•DA，
∴ = ，
第24页（共27页）∵∠D=∠D，
∴△DBC∽△DAB，
∴ = = = ，
∴ = ，
∴ = = ；
（2）①作EH⊥BG交BG的延长线于H，如图1所示：
∵CE=3BC，
∴ = ，
∵BF⊥AD，
∴AD∥EH，
∴△BCF∽△BEH，
∴ = = = ，
∵∠ABC=90°，BF⊥AD，
∴△CFB∽△BFA，
∴ = = = ，
∴ = • = × = ，
∵ = ，
∴AF=EH，
∵AD∥EH，
∴△AFG∽△EHG，
∴ = =1，
设BF=a，
∵ = ，
第25页（共27页）∴BH=4a，
∴FH=BH﹣BF=4a﹣a=3a，
∴FG=GH= a，
∴ = = ；
②作EH⊥BG交BG的延长线于H，如图2所示：
∵CE=BC，
∴ = ，
∵BF⊥AD，
∴AD∥EH，
∴△BCF∽△BEH，
∴ = = = ，
∵∠ABC=90°，BF⊥AD，
∴△CFB∽△BFA，
∴ = = = ，
∴ = • = × = ，
设CF=a，则AF=4a，EH=2a，CA=CF+AF=a+4a=5a，
由（1）知 = ，
∴DC= a，
∵AD∥EH，
∴△AFG∽△EHG，
∴ = = =2，
设GH=b，则FG=2b，BF=FH=3b，BG=BF+FG=3b+2b=5b，
第26页（共27页）∴ = = = ．
【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、平行线的性质、
三角形面积的计算、比例的性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（2）
中，需要多次证明三角形相似才能得出结果．
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日期：2018/12/24 0:17:16；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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