2015年上海高考数学真题（理科）试题及答案_0122026上海中考一模二模真题试卷_2026年上海一模_上海1500初中高中试卷_高中_高考真题_2.上海高考数学2023-2014

上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 绝密★启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学试卷（理工农医类） （满分150分，考试时间120分钟） 考生注意 1.本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页. 2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答 题纸指定位置. 3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一 律不得分. 4.用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 1、设全集U R ．若集合 1,2,3,4 ，  x 2 x3  ，则ð  ． U 2、若复数z满足3zz 1i，其中i为虚数单位，则z  ． 2 3 c  x3 3、若线性方程组的增广矩阵为 1 、解为 ，则c c  ． 0 1 c  y 5 1 2 2 4、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 3，则a  ． 5、抛物线 y2 2px（ p 0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则 p  ． 6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为 ． 7、方程log  9x15  log  3x12  2 的解为 ． 2 2 8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 9、已知点和Q的横坐标相同，的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，和Q的轨迹分别为双 曲线C 和C ．若C 的渐近线方程为 y  3x，则C 的渐近线方程为 ． 1 2 1 2 x 10、设 f 1 x 为 f  x 2x2  ，x 0,2 的反函数，则 y  f  x  f 1 x 的最大值 2 为 ．上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 10  1  11、在1x  的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．  x2015 12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随 机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张， 将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和 分 1 2 别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则  （元）． 1 2 13、已知函数 f  x sinx．若存在x ，x ，，x 满足0 x  x  x 6，且 1 2 m 1 2 m f  x  f  x   f  x  f  x  f  x  f  x  12（m2，m），则m 1 2 2 3 n1 n 的最小值 为 ． 1 14、在锐角三角形C中，tan ，D为边C上的点，D与CD的面积分 2   别为2和4．过D作D于，DFC于F，则DDF ． 二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 15、设z ，z C，则“z 、z 中至少有一个数是虚数”是“z z 是虚数”的（ ） 1 2 1 2 1 2 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件    16、已知点的坐标为 4 3,1 ，将绕坐标原点逆时针旋转 至，则点的纵 3 坐标为（ ） 3 3 5 3 11 A． B． C． 2 2 2 13 D． 2 17、记方程①：x2 a x10，方程②：x2 a x20，方程③：x2 a x40， 1 2 3 其中a ，a ，a 是正实数．当a ，a ，a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无 1 2 3 1 2 3 实根的是（ ）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 n 18、设  x ,y 是直线2x y  （n）与圆x2  y2  2在第一象限的交点， n n n n1 y 1 则极限lim n （ ） n x 1 n 1 A． 1 B．  C．1 2 D．2 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19、（本题满分12分）如图，在长方体CD C D 中， 1，D 2， 1 1 1 1 1 、F分别是、C的中点．证明 、C 、F、四点共面，并求直线CD 与平面 C F 1 1 1 1 1 所成的角的大小. 20、（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分 如图，，，C三地有直道相通，5千米，C3千米，C4千米.现甲、乙 两警员同时从地出发匀速前往地，经过t小时，他们之间的距离为 f  t （单位：千米）. 甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是C，速度为8千米/小时.乙到达地 后原地等待.设t t 时乙到达C地. 1 （1）求t 与 f  t 的值； 1 1 （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t t 1时，求 f  t 的表达式，并判 1 断 f  t 在 t ,1 上得最大值是否超过3？说明理由. 1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知椭圆x2 2y2 1，过原点的两条直线l 和l 分别于椭圆交于、和C、D，记得 1 2 到的平行四边形CD的面积为S. （1）设  x ,y ，C  x ,y  ，用 、C 的坐标表示点C 到直线l 的距离，并证明 1 1 2 2 1 S 2 x y x y ； 1 1 2 1 1 （2）设l 与l 的斜率之积为 ，求面积S 的值. 1 2 2 22、（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分6分. 已知数列 a 与 b 满足a a  2  b b ，n. n n n1 n n1 n （1）若b 3n5，且a 1，求数列 a 的通项公式； n 1 n （2）设 a 的第n 项是最大项，即a a （n），求证：数列 b 的第n 项是最大 n 0 n 0 n n 0 项； （3）设a 0，b n（n），求的取值范围，使得 a 有最大值与最小 1 n n  值m，且 2,2 . m 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分8分. 对于定义域为R 的函数g  x ，若存在正常数，使得cosg  x 是以为周期的函数，则 称g  x 为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知 f  x 是以为余弦周期的余弦周期函 数，其值域为R .设 f  x 单调递增， f  0 0， f 4. x （1）验证h  x  xsin 是以6为周期的余弦周期函数； 3 （2）设ab．证明对任意cf  a  , f  b ，存在x  a,b ，使得 f  x c；   0 0 （3）证明：“u 为方程cos f  x 1在 0,上得解”的充要条件是“u 为方程 0 0 cos f  x 1在,2上有解”，并证明对任意x 0,都有 f  x f  x  f .上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（理科） 一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 1、设全集U R ．若集合 1,2,3,4 ，  x 2 x3  ，则ð  ． U 【答案】 1,4  【解析】因为C B{x|x3或x2}，所以AC B{4,1} U U 【考点定位】集合运算 2、若复数z满足3zz 1i，其中i为虚数单位，则z  ． 1 1 【答案】  i 4 2 1 1 【解析】设zabi(a,bR)，则3(abi)abi1i4a1且2b1z  i 4 2 【考点定位】复数相等，共轭复数 2 3 c  x3 3、若线性方程组的增广矩阵为 1 、解为 ，则c c  ． 0 1 c  y 5 1 2 2 【答案】16 【解析】由题意得：c 2x3y233521,c 0x y5,c c 21516. 1 2 1 2 【考点定位】线性方程组的增广矩阵 4、若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16 3，则a  ． 【答案】4 3 【解析】a a2 16 3a3 64a4 4 【考点定位】正三棱柱的体积 5、抛物线 y2 2px（ p 0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则 p  ． 【答案】2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 【考点定位】抛物线定义 6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2，则其母线与轴的夹角的大小为 ．  【答案】 3 1  【解析】由题意得：rl:( h2r)2l 2h 母线与轴的夹角为 2 3 【考点定位】圆锥轴截面 7、方程log  9x15  log  3x12  2 的解为 ． 2 2 【答案】2 [ 【考点定位】解指对数不等式 8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有， 则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120 【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：C5 C5 1266120. 9 6 【考点定位】排列组合 9、已知点和Q的横坐标相同，的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，和Q的轨迹分别为双 曲线C 和C ．若C 的渐近线方程为 y  3x，则C 的渐近线方程为 ． 1 2 1 2 3 【答案】 y  x 2 【考点定位】双曲线渐近线 x 10、设 f 1 x 为 f  x 2x2  ，x 0,2 的反函数，则 y  f  x  f 1 x 的最大值 2 为 ．上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 【答案】4 【解析】由题意得：f(x)2x2  x 在[0,2]上单调递增，值域为[ 1 ,2]，所以 f 1 x 在[ 1 ,2] 2 4 4 1 上 单 调 递 增 ， 因 此 y  f  x  f 1 x  在 [ ,2] 上 单 调 递 增 ， 其 最 大 值 为 4 f(2) f 1(2)224. 【考点定位】反函数性质 10  1  11、在1x  的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．  x2015 【答案】45 【考点定位】二项展开式 12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随 机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张， 将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量和 分 1 2 别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则  （元）． 1 2 【答案】0.2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 13、已知函数 f  x sinx．若存在x ，x ，，x 满足0 x  x  x 6，且 1 2 m 1 2 m f  x  f  x   f  x  f  x  f  x  f  x  12（m2，m），则m 1 2 2 3 n1 n 的最小值 为 ． 【答案】8 【考点定位】三角函数性质 1 14、在锐角三角形C中，tan ，D为边C上的点，D与CD的面积分 2   别为2和4．过D作D于，DFC于 F，则DDF ． 16 【答案】 15上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 【考点定位】向量数量积，解三角形 二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 15、设z ，z C，则“z 、z 中至少有一个数是虚数”是“z z 是虚数”的（ ） 1 2 1 2 1 2 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【考点定位】复数概念，充要关系 []    16、已知点的坐标为 4 3,1 ，将绕坐标原点逆时针旋转 至，则点的纵 3 坐标为（ ） 3 3 5 3 11 A． B． C． 2 2 2 13 D． 2 【答案】D     1 3 3 3 13 13 【解析】OBOA(cos isin )(4 3i)(  i)  i ，即点的纵坐标为 3 3 2 2 2 2 2 【考点定位】复数几何意义 17、记方程①：x2 a x10，方程②：x2 a x20，方程③：x2 a x40， 1 2 3 其中a ，a ，a 是正实数．当a ，a ，a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无 1 2 3 1 2 3 实根的是（ ）上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） A．方程①有实根，且②有实根 B．方程①有实根，且②无实根 C．方程①无实根，且②有实根 D．方程①无实根，且②无实根 【答案】B a4 82 【解析】当方程①有实根，且②无实根时，a2 4,a2 8，从而a2  2  16,即方程③： 1 2 3 a2 4 1 x2 a x40无实根，选B.而A,D由于不等式方向不一致，不可推；C推出③有实根 3 【考点定位】不等式性质 n 18、设  x ,y 是直线2x y  （n）与圆x2  y2  2在第一象限的交点， n n n n1 y 1 则极限lim n （ ） n x 1 n 1 A． 1 B．  C．1 2 D．2 【答案】A 【考点定位】极限 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19、（本题满分12分）如图，在长方体CD C D 中， 1，D 2， 1 1 1 1 1 、F分别是、C的中点．证明 、C 、F、四点共面，并求直线CD 与平面 C F 1 1 1 1 1 所成的角的大小.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 15 【答案】arcsin 15 【考点定位】空间向量求线面角 20、（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分 如图，，，C三地有直道相通，5千米，C3千米，C4千米.现甲、乙 两警员同时从地出发匀速前往地，经过t小时，他们之间的距离为 f  t （单位：千米）. 甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是C，速度为8千米/小时.乙到达地 后原地等待.设t t 时乙到达C地. 1 （1）求t 与 f  t 的值； 1 1 （2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当t t 1时，求 f  t 的表达式，并判 1上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 断 f  t 在 t ,1  上得最大值是否超过3？说明理由. 1 [来  3 7 25t2 42t18, t   3 3  8 8 【答案】（1）t  ， f  t  41（2） f(t) 不超过3. 1 8 1 8 7  55t, t 1   8 ， 3 7 3 3 41 7  因为 f  t  在  ,  上的最大值是 f    ， f  t  在  ,1  上的最大值是 8 8 8 8 8  7 5 3  3 41 f    ，所以 f  t 在  ,1  上的最大值是 ，不超过3. 8 8 8  8 【考点定位】余弦定理 21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 已知椭圆x2 2y2 1，过原点的两条直线l 和l 分别于椭圆交于、和C、D，记得 1 2 到的平行四边形CD的面积为S. （1）设  x ,y ，C  x ,y  ，用 、C 的坐标表示点C 到直线l 的距离，并证明 1 1 2 2 1 S 2 x y x y ； 1 1 2 1 1 （2）设l 与l 的斜率之积为 ，求面积S的值. 1 2 2 【答案】（1）详见解析（2）S  2 22、（本题满分16分）本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分6分. 已知数列 a 与 b 满足a a  2  b b ，n. n n n1 n n1 n （1）若b 3n5，且a 1，求数列 a 的通项公式； n 1 n （2）设 a 的第n 项是最大项，即a a （n），求证：数列 b 的第n 项是最大 n 0 n n n 0 0上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 项； （3）设a 0，b n（n），求的取值范围，使得 a 有最大值与最小 1 n n  值m，且 2,2 . m  1  【答案】（1）a 6n5（2）详见解析（3）  ,0 n  2  [来 当n1时，a ，符合上式. 1 所以a 2n . n 因为0，所以a 22n ，a 22n1. 2n 2n1 ①当1时，由指数函数的单调性知， a 不存在最大、最小值； n 3 ②当1时， a 的最大值为3，最小值为1，而 2,2 ； n 1 ③当10时，由指数函数的单调性知， a 的最大值 a  22，最小值 n 2上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） 22  1 ma ，由2 2及10，得 0. 1  2  1  综上，的取值范围是  ,0.  2  【考点定位】等差数列，数列单调性 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3 小题满分8分. 对于定义域为R 的函数g  x ，若存在正常数，使得cosg  x 是以为周期的函数，则 称g  x 为余弦周期函数，且称为其余弦周期.已知 f  x 是以为余弦周期的余弦周期函 数，其值域为R .设 f  x 单调递增， f  0 0， f 4. x （1）验证h  x  xsin 是以6为周期的余弦周期函数； 3 （2）设ab．证明对任意c  f  a  , f  b   ，存在x  a,b ，使得 f  x c； 0 0 （3）证明：“u 为方程cos f  x 1在 0,上得解”的充要条件是“u 为方程 0 0 cos f  x 1在,2上有解”，并证明对任意x 0,都有 f  x f  x  f . 【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析上海最大个人家教平台---【嘉惠家教】 帮上海数万家庭匹配满意老师， 对接 V:jiajiao6767 （嘉惠老师） （3）若u 为cos f  x 1在 0,上的解，则cos f  u 1，且u ,2， 0 0 0 cos f  u cos f  u 1，即u 为方程cos f  x 1在,2上的解 0 0 0 【考点定位】新定义问题