文档内容
2015年上海市静安区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各式中与（﹣a2）3相等的是（ ）
A．a5 B．a6 C．﹣a5 D．﹣a6
2．（4分）下列方程中，有实数解的是（ ）
A． ＝﹣1 B． ＝﹣x C． ＝0 D． ＝0
3．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为
（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣2
4．（4分）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，
正确的是（ ）
A．两条直角边成正比例
B．两条直角边成反比例
C．一条直角边与斜边成正比例
D．一条直角边与斜边成反比例
5．（4分）在四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，要
使四边形ABCD是菱形，那么还需满足下列条件中的（ ）
A．CD＝CB B．OB＝OD C．OA＝OC D．AC⊥BD
6．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，如果对角线AC与BD
相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S 、S 、S 、S ，那
1 2 3 4
么下列结论中，不正确的是（ ）
A．S ＝S B．S ＝2S
1 3 2 4
C．S ＝2S D．S •S ＝S •S
2 1 1 3 2 4
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
第1页（共26页）7．（4分）计算： +40＝ ．
8．（4分）使代数式 有意义的实数x的取值范围为 ．
9．（4分）如果方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 ．
10．（4分）布袋中有两个红球和两个白球除了颜色外其他都相同，从中摸出两个
球，那么摸到一红一白两球概率为 ．
11．（4分）如果抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是
．
12．（4分）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x＝﹣1，由此可知这
个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是 ．
13．（4分）如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE＝2，CE＝3，
要使DE∥AB，那么BC：CD应等于 ．
14．（4分）已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于
．
15．（4分）已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设 ＝ ， ＝ ．那么 ＝
．（用向量 、 的式子表示）．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，如果BC＝3，CD＝2，那
么cos∠DCB＝ ．
17．（4分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图
1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与
地面的夹角的正弦值为 ，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝
米．
第2页（共26页）18．（4分）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不
变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换
中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换
比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣ ，2），C（0，2），将
△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为 ，
那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）化简： + ，并求当x＝ 时的值．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知直线x＝m（m＞0）与双曲线y＝ 和直线y＝﹣x﹣2分别相交于
点A、B，且AB＝7，求m的值．
22．（10分）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆
下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米
并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的
长度；（结果精确到 0.1 米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，
tan40°≈0.84）
第3页（共26页）23．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延
长DE至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
（1）求证： ＝ ；
（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点
（1，﹣3）和点（﹣1，5）；
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代
数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的
值．
第4页（共26页）25．（14分）已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作
射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如
果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y；
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当AP＝4时，求∠EBP的正切值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．
第5页（共26页）2015 年上海市静安区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各式中与（﹣a2）3相等的是（ ）
A．a5 B．a6 C．﹣a5 D．﹣a6
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a6．
故选：D．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积
的乘方的运算法则．
2．（4分）下列方程中，有实数解的是（ ）
A． ＝﹣1 B． ＝﹣x C． ＝0 D． ＝0
【考点】AG：无理方程；B2：分式方程的解．
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【分析】对所给的方程逐一分析、判断，即可解决问题．
【解答】解：∵ ，
∴x2﹣4＝0，
∴x＝﹣2或2；
经检验：x＝2是原方程的增根，
∴原方程的解为x＝﹣2，
故选：C．
【点评】该题主要考查了无理方程或分式方程的求解、判断问题；解题的关键是借
助无理方程或分式方程的有关定理、定义，来灵活分析、判断、求解．
3．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为
（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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第6页（共26页）【专题】46：几何变换．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），再
利用点平移的规律得到点（1，0）平移后对应点的坐标为（﹣1，0），然后根据顶
点式写出平移后抛物线的表达式．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移2个单位
得到对应点的坐标为（﹣1，0），所以平移后抛物线的表达式为y＝（x+1）2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
4．（4分）如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系中，
正确的是（ ）
A．两条直角边成正比例
B．两条直角边成反比例
C．一条直角边与斜边成正比例
D．一条直角边与斜边成反比例
【考点】F2：正比例函数的定义；G1：反比例函数的定义．
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【分析】直角三角形的面积一定，则该直角三角形的两直角边的乘积一定．
【解答】解：设该直角三角形的两直角边是a、b，面积为S．则
S＝ ab．
∵S为定值，
∴ab＝2S是定值，
则a与b成反比例关系，即两条直角边成反比例．
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数和正比例函数的定义．反比例函数上点的坐标的
横、纵坐标的乘积是定值．
5．（4分）在四边形ABCD中，AB＝AD，AC平分∠DAB，AC与BD相交于点O，要
使四边形ABCD是菱形，那么还需满足下列条件中的（ ）
第7页（共26页）A．CD＝CB B．OB＝OD C．OA＝OC D．AC⊥BD
【考点】L9：菱形的判定．
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【分析】根据等腰三角形的性质可得BO＝DO，再添加条件AO＝CO，可得四边形
ABCD是平行四边形，又AB＝AD，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可进
行判定．
【解答】解：添加条件AO＝CO，
∵AB＝AD，AC平分∠DAB，
∴BO＝DO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故选：C．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握邻边相等的平行四边形是菱形．
6．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，如果对角线AC与BD
相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S 、S 、S 、S ，那
1 2 3 4
么下列结论中，不正确的是（ ）
A．S ＝S B．S ＝2S
1 3 2 4
C．S ＝2S D．S •S ＝S •S
2 1 1 3 2 4
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】证三角形相似，再根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相
似比的平方，以及三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，则S ＝S ，
△ABD △ACD
第8页（共26页）∴S ＝S ，故命题正确；
1 3
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
又∵BC＝2AD，
∴ ＝（ ）2＝ ，
则S ＝2S 正确．故命题错误；
2 4
C、作MN⊥BC于点N，交AD于点M．
∵△AOD∽△COB，
又∵BC＝2AD，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，
则设S△OBC＝2x，则S△ABC＝3x，则S△AOB＝x，
即S ＝2S ，故命题正确；
2 1
D、设AD＝y，则BC＝2y，设OM＝z，则ON＝2z，
则S ＝ ×2y×2z＝2yz，S ＝ ×y×z＝ yz，
2 4
S ＝ BC•MN＝ ×2y•3z＝3yz，
△ABC
则S ＝S ＝3yz﹣2yz＝yz，
1 3
则S •S ＝y2z2，
1 3
S •S ＝y2z2，
2 4
故S •S ＝S •S 正确．
1 3 2 4
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形面的比等于相似比的
第9页（共26页）平方，高线的比等于相似比，正确表示出S 、S 、S 、S ，是解决本题的关键．
1 2 3 4
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： +40＝ ．
【考点】2F：分数指数幂；6E：零指数幂．
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【分析】根据分数指数幂的运算法则进行计算．
【解答】解：原式＝ +1＝ +1＝ ．
故答案是： ．
【点评】本题考查了分数指数幂和零指数幂．任何不等于0的数的0次幂都等于
1．
8．（4分）使代数式 有意义的实数x的取值范围为 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件．
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【分析】二次根式的被开方数是非负数．
【解答】解：依题意得 2x﹣1≥0，
解得 ．
故答案是： ．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：
二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
9．（4分）如果方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】由方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，即可得根的判别式△＝b2﹣
4ac＝0，即可得方程9﹣4m＝0，解此方程即可求得答案．
【解答】解：∵方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＝0，
解得：m＝ ．
第10页（共26页）故答案为： ．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一
元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： 当△＞0
时，方程有两个不相等的两个实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的两个
①
实数根； 当△＜0时，方程无实数根．
②
10．（4分）布袋中有两个红球和两个白球除了颜色外其他都相同，从中摸出两个
③
球，那么摸到一红一白两球概率为 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可求出摸到一红一白
两球概率．
【解答】解：画树形图得：
共有4×3＝12种可能，所以摸到一红一白两球概率为 ＝ ．
故答案为：
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的
列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上
完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为
概率＝所求情况数与总情况数之比．
11．（4分）如果抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是 a
＜﹣ 3 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，
从而确定a的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限，
∴a+3＜0，
第11页（共26页）解得：a＜﹣3，
故答案为：a＜﹣3．
【点评】考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴
判断抛物线经过的象限．
12．（4分）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x＝﹣1，由此可知这
个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是 （﹣ 3 ， 3 ）
．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】先确定点（1，3）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣3，3），然后根据抛
物线的对称性求解．
【解答】解：点（1，3）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣3，3），
所以这个二次函数的图象一定点（﹣3，3）．
故答案为（﹣3，3）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满
足其解析式．也考查了抛物线的对称性．
13．（4分）如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE＝2，CE＝3，
要使DE∥AB，那么BC：CD应等于 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【专题】11：计算题．
【分析】直接根据平行线分线段成比例进行计算．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
第12页（共26页）【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线
段成比例．
14．（4分）已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于
9 cm 2 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】首先根据题意画出图形，由三角形重心的性质得出AG：GD＝2：1，利用比
例的性质结合三角形的面积公式得到S ＝ S ，然后代入数值计算即可．
△AGC △ABC
【解答】解：如图，∵点G是△ABC的重心，连结AG并延长交BC于点D，
∴AG：GD＝2：1，
∴S ＝2S ，S ＝ S ，
△AGC △CGD △AGC △ACD
∵D为BC中点，
∴S ＝ S ，
△ACD △ABC
∴S ＝ × S ＝ S ＝ ×27＝9（cm2）．
△AGC △ABC △ABC
故答案为：9cm2．
【点评】此题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对
边中点的距离的2倍．根据题意得出S ＝ S 是解题的关键．
△AGC △ABC
15．（4分）已知在△ABC中，AD是边BC上的中线．设 ＝ ， ＝ ．那么 ＝
﹣ ．（用向量 、 的式子表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先根据题意画出图形，然后由三角形中线的性质，求得 ＝ ＝ ，
再利用三角形法则求解即可求得答案．
第13页（共26页）【解答】解：如图，∵在△ABC中，AD是边BC上的中线， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，
注意数形结合思想的应用．
16．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，如果BC＝3，CD＝2，那
么cos∠DCB＝ ．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】根据题意画出图形，将cos∠DCB转化为cos∠DBC解答．
【解答】解：如图，
∵∠BCA＝90°，BC＝3，CD＝2，
∴BD＝AD＝4，
∵BD＝CD，
∴∠DCB＝∠DBC，
∴cos∠DCB＝cos∠DBC＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，熟悉直角三角形的性质和三角函数的定义是
第14页（共26页）解题的关键．
17．（4分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图
1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与
地面的夹角的正弦值为 ，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝
米．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而
求出即可．
【解答】解：设OH＝x，
∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，
∴AO＝2xm，
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为 ，
∴BO＝3xm，
则AO+BO＝2x+3x＝3m，
解得；x＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确用未知数表示出AB的长是解
题关键．
18．（4分）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不
变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换
中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换
比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣ ，2），C（0，2），将
第15页（共26页）△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为 ，
那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为 （﹣ ， 0 ） ．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
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【专题】23：新定义．
【分析】根据题意判断△ABC为直角三角形，得到∠BAC＝30°，根据T﹣变换角为
60°，得到经过T﹣变换后点C所对应的点在x轴上，计算得到答案．
【解答】解：∵B（﹣ ，2），C（0，2），
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝30°，
绕点A逆时针旋转60°后，B′A⊥y轴，
则点C′在x轴上，
T﹣变换比为 ，AC＝3，
∴AC′＝2，
OC′＝ ，
∴经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为（﹣ ，0）．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化，理解新定义和旋转的概念是解题的关键，
注意旋转中心、旋转方向和旋转角在旋转中的应用．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）化简： + ，并求当x＝ 时的值．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x＝ 代入进行计算
即可
第16页（共26页）【解答】解：原式＝ +
＝ +
＝ ．
当x＝ 时，
原式＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】将方程 借助因式分解来降次、转化；再次联立方程 ，得到两个低次方
程组；解方程组即可解决问题．
② ①
【解答】解： ，
由（2）得（x﹣2y）（y﹣1）＝0，x﹣2y＝0或y﹣1＝0，
原方程可化为 ．
解两个方程组得： ．
【点评】该题主要考查了高次方程的解法问题；解高次方程的一般策略是运用因
式分解法，化高次方程为低次方程，然后求解．
21．（10分）已知直线x＝m（m＞0）与双曲线y＝ 和直线y＝﹣x﹣2分别相交于
点A、B，且AB＝7，求m的值．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】根据题意求得A、B的坐标，然后根据AB＝7列出关于m的方程，解方程
第17页（共26页）即可求得m．
【解答】解：∵直线x＝m（m＞0）与双曲线y＝ 和直线y＝﹣x﹣2分别相交于点
A、B，
∴点A、B的坐标分别为（ ）、（m，﹣m﹣2），
∵AB＝7，
∴ ，
整理得m2﹣5m+6＝0，解得m ＝2，m ＝3．
1 2
经检验它们都是原方程的根，且符合题意，
所以m的值为2或3．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标符合反比例函
数的解析式，同时也符合一次函数的解析式．
22．（10分）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆
下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米
并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的
长度；（结果精确到 0.1 米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，
tan40°≈0.84）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】过点B作BF⊥DE于点F，可得四边形ABFE为矩形，先在△BCF中求出
CF的长度，然后在△BDF中求出DF的长度，最后DF﹣CF可求得CD的长度．
【解答】解：过点B作BF⊥DE于点F，
则四边形ABFE为矩形，
在△BCF中，
第18页（共26页）∵∠CBF＝40°，∠CFB＝90°，BF＝AE＝24m，
∴ ＝tan40°，
∴CF＝0.84×24≈20.16（m），
在△BDF中，
∵∠DBF＝45°，
∴DF＝24m，
则CD＝DF﹣CF＝24﹣20.16＝3.84≈3.8（m）．
故旗杆CD的长为3.8m．
【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三
角形，利用三角函数解直角三角形．
23．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延
长DE至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
（1）求证： ＝ ；
（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应
边的比相等，以及DE＝EF即可证得；
第19页（共26页）（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得 ＝ ，∠FCE＝∠CBF，然后根据平行线
的性质证明∠FEG＝∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则 ＝ ＝ ，即可
证得 ＝ ，则所证结论即可得到．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，
∴ ＝ ， ＝ ，
又∵DE＝EF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；
（2）∵CF2＝FG•FB，
∴ ＝ ，
又∵∠CFG＝∠CFB，
∴△CFG∽△BFC，
∴ ＝ ，∠FCE＝∠CBF，
又∵DF∥BC，
∴∠EFG＝∠CBF，
∴∠FCE＝∠EFG，
又∵∠FEG＝∠CEF，
∴△EFG∽△ECF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，即CG•CE＝BC•DE．
第20页（共26页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的判定方法，
证明∠FEG＝∠CEF，证得△EFG∽△ECF是解决本题的关键．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点
（1，﹣3）和点（﹣1，5）；
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代
数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的
值．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M点的坐标；
（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，
根据解方程组，可得答案．
【解答】解：（1）由二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5），得
，解得 ．
二次函数的解析式y＝x2﹣4x；
第21页（共26页）（2）y＝x2﹣4x的顶点M坐标（2，﹣4），
这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，
顶点M坐标向上平移m，即M（2，m﹣4）；
（3）由待定系数法，得CP的解析式为y＝ x+m，
如图：
作MG⊥PC于G，设G（a， a+m）．
由角平分线上的点到角两边的距离相等，
DM＝MG．
在Rt△DCM和Rt△GCM中 ，
Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．
CG＝DC＝4，MG＝DM＝2，
，
化简，得8m＝36，
解得m＝ ．
【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）
利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的性质，
全等三角形的性质．
25．（14分）已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作
第22页（共26页）射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如
果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y；
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当AP＝4时，求∠EBP的正切值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；LB：矩形的性质；SO：相似形综
合题；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x
的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该
函数的定义域；
（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP＝x＝4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面
积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正切值；
（3）可分 EB＝EC 和 CB＝CE 两种情况讨论： 当 EB＝EC 时，可证到
△AMB≌△DPC，则有AM＝DP，从而有x﹣y＝5﹣x，即y＝2x﹣5，代入（1）中
①
函数解析式就可求出x的值； 当CB＝CE时，可得到PC＝EC﹣EP＝BC﹣
MP＝5﹣y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于
②
x的函数解析式，就可求出x的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
∵∠ABE＝∠CBP，
∴∠ABM＝∠APB．
又∵∠A＝∠A，
∴△ABM∽△APB，
第23页（共26页）∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝x﹣ ．
∵P是边AD上的一动点，
∴0≤x≤5．
∵y＞0，
∴x﹣ ＞0，
∴x＞2，
∴函数的定义域为2＜x≤5；
（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．
∵AP＝x＝4，∴y＝x﹣ ＝3，
∴MP＝3，AM＝1，
∴BM＝ ＝ ，BP＝ ＝2 ．
∵S ＝ MP•AB＝ BP•MH，
△BMP
∴MH＝ ＝ ，
∴BH＝ ＝ ，
∴tan∠EBP＝ ＝ ；
（3） 若EB＝EC，
则有∠EBC＝∠ECB．
①
∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EBC，∠DPC＝∠ECB，
第24页（共26页）∴∠AMB＝∠DPC．
在△AMB和△DPC中，
，
∴△AMB≌△DPC，
∴AM＝DP，
∴x﹣y＝5﹣x，
∴y＝2x﹣5，
∴x﹣ ＝2x﹣5，
解得：x ＝1，x ＝4．
1 2
∵2＜x≤5，
∴AP＝x＝4；
若CE＝CB，
则∠EBC＝∠E．
②
∵AD∥BC，
∴∠EMP＝∠EBC＝∠E，
∴PE＝PM＝y，
∴PC＝EC﹣EP＝5﹣y，
∴在Rt△DPC中，
（5﹣y）2﹣（5﹣x）2＝22，
∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）＝4，
∴（10﹣x﹣x+ ）（x﹣x+ ）＝4，
整理得：3x2﹣10x﹣4＝0，
解得：x ＝ ，x ＝ （舍负）．
3 4
∴AP＝x＝ ．
终上所述：AP的值为4或 ．
第25页（共26页）【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩
形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB
是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关
键，运用勾股定理建立x与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．
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