文档内容
2015 年上海市长宁区中考数学二模试卷
一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分）
1．（4分）将抛物线y=x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是（ ）
A．y=（x﹣3）2 B．y=（x+3）2 C．y=x2﹣3 D．y=x2+3
2．（4分）下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． ﹣1 B． C． D．
3．（4分）一组数据：5，7，4，9，7的中位数和众数分别是（ ）
A．4，7 B．7，7 C．4，4 D．4，5
4．（4分）用换元法解方程 + = 时，如果设x= ，那么原方程可化为
（ ）
A．2x2﹣5x+2=0 B．x2﹣5x+1=0 C．2x2+5x+2=0 D．2x2﹣5x+1=0
5．（4分）在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形．其
中既是轴对称图形又是中心对称的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点O，AO=CO，
∠AOD=∠ADO，E是DC边的中点，下列结论中，错误的是（ ）
A．OE= AD B．OE= OB C．OE= OC D．OE= BC
二、填空题（本题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： = ．
8．（4分）计算：（﹣m3n）2= ．
9．（4分）方程 的解为 ．
10．（4分）若关于x的二次方程x2+ax+a+3=0有两个相等的实数根，则实数a=
第1页（共23页）．
11．（4分）从数字1，2，3，4中，任意取两个数字组成一个两位数，这个数是素数
的概率是 ．
12．（4分）2015年1月份，某区体委组织“迎新春长跑活动”，现将报名的男选
手分成：青年组、中年组、老年组，各组人数所占比例如图所示，已知青年组
120人，则中年组的人数是 ．
13．（4分）已知 =k ，如果| |=2，| |=6，那么实数k= ．
14．（4分）已知⊙O 和⊙O 的半径分别是5和3，若O O =2，则两圆的位置关系是
1 2 1 2
．
15．（4分）已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯
角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为 米．
16．（4分）已知线段AB=10，P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），则AP=
．
17．（4分）请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+1和双曲
线y= ，如图所示，利用两图象的交点个数和位置来确定方程x2+1= 有一个正
实数根，这种方法称为利用的图象判断方程根的情况请用图象法判断方程﹣
（x﹣3）2+4= 的根的情况 （填写根的个数及正负）．
第2页（共23页）18．（4分）如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC=5，BC=6，
△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C
重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE=
．
三、解答题（本题共7题，满分78分）
19．（10分）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来．
20．（10分）先化简，再求代数式的值： ，其中 ．
21．（10分）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地
卸货后返回甲地，设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y
与x的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）汽车在乙地卸货停面 （h）；
（2）求汽车返回甲城时y与x的函数解析式，并写出定义域；
（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．
第3页（共23页）22．（10分）如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD=4，sinB= ，若E是AC边上
的点，且满足AE：EC=2：3，连接DE，求cot∠ADE的值．
23．（12分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE=AF，AC和EF交
于点O，延长AC至点G，使得AO=OG，连接EG、FG．
（1）求证：BE=DF；
（2）求证：四边形AEGF是菱形．
24．（12分）如图，已知抛物线y=x2﹣2tx+t2﹣2的顶点A在第四象限，过点A作
AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点
D，并交抛物线与点P．
（1）若点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，求点P的坐标；
（2）若直线AP交y轴负半轴于点E，且AC=CP，求四边形OEPD的面积S关于t的
函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当△ADE的面积等于2S时，求t的值．
第4页（共23页）25．（14分）如图，已知矩形ABCD，AB=12cm，AD=10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都
相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形
ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、xcm/s、
1.5cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动，设运动时间为t
（单位：s）
（1）求证：DE=CF；
（2）设x=3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；
（3）设△PAQ关于直线PQ对称轴的图形是△PA′Q，当t和x分别为何值时，点A′
与圆心O恰好重合，求出符合条件的t，x的值．
第5页（共23页）2015 年上海市长宁区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共6小题，每题4分，满分24分）
1．（4分）将抛物线y=x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是（ ）
A．y=（x﹣3）2 B．y=（x+3）2 C．y=x2﹣3 D．y=x2+3
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据函数图象左加右减，可得答案．
【解答】解：将抛物线y=x2向右平移3个单位得到的抛物线表达式是y=（x﹣3）2，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下
减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
2．（4分）下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． ﹣1 B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】先化简二次根式，再判定即可．
【解答】解：A、不是同类二次根式，错误；
B、不是同类二次根式，错误；
C、 ，不是同类二次根式，错误；
D、 是同类二次根式，正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．
3．（4分）一组数据：5，7，4，9，7的中位数和众数分别是（ ）
A．4，7 B．7，7 C．4，4 D．4，5
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个
数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以
不止一个．
【解答】解：把这组数据从小到大排列：4，5，7，7，9，
第6页（共23页）最中间的数是7，
则这组数据的中位数是7；
7出现了2次，出现的次数最多，则众数是7；
故选：B．
【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列
后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数
是一组数据中出现次数最多的数．
4．（4分）用换元法解方程 + = 时，如果设x= ，那么原方程可化为
（ ）
A．2x2﹣5x+2=0 B．x2﹣5x+1=0 C．2x2+5x+2=0 D．2x2﹣5x+1=0
【考点】B4：换元法解分式方程．
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【分析】根据换元法，可得关于x的分式方程，根据等式的性质，可得整式方程．
【解答】解：换元法解方程 + = 时，如果设x= ，那么原方程可化为
2x+2× ﹣5=0，
化简，得2x2﹣5x+2=0，
故选：A．
【点评】本题考查了换元法解分式方程，换元是解题关键，注意要化简成整式方程．
5．（4分）在下列图形中，①等边三角形，②正方形，③正五边形，④正六边形．其
中既是轴对称图形又是中心对称的图形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对
称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：②、④两者都既是中心对称图形又是轴对称图形，①③只是轴对称图
形．
故选：B．
第7页（共23页）【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状
是解决问题的关键．
6．（4分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，对角线AC、BD交于点O，AO=CO，
∠AOD=∠ADO，E是DC边的中点，下列结论中，错误的是（ ）
A．OE= AD B．OE= OB C．OE= OC D．OE= BC
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理．
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【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OE= AD，
根据等角对等边可得AO=AD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一
半可得OB=OC=AO，然后作出判断即可．
【解答】解：∵AO=CO，E是DC边的中点，
∴OE= AD，
∵∠AOD=∠ADO，
∴AO=AD，
∵∠ABC=90°，AO=CO，
∴OB=OC=AO，
∴OE= OB，OE= OC，
只有∠BAC=30°时，BC= AC=AO，OE= BC．
所以，结论错误的是OE= BC．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等角对等边的性质，熟记定理与
第8页（共23页）各性质并准确识图是解题的关键．
二、填空题（本题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算： = ．
【考点】6F：负整数指数幂．
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【分析】根据负指数次幂，以及分数指数次幂的意义即可求解．
【解答】解： = = ，
故答案是： ．
【点评】本题主要考查了负指数次幂以及分数指数次幂的意义，正确理解意义是
解题的关键．
8．（4分）计算：（﹣m3n）2= m 6 n 2 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据积的乘方，即可解答．
【解答】解：（﹣m3n）2=m6n2．
故答案为：m6n2．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方公式．
9．（4分）方程 的解为 x=﹣1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】把方程两边平方去根号后求解．
【解答】解：两边平方得：2x+3=1
解得：x=﹣1
经检验x=﹣1是原方程的解．
故答案是：x=﹣1
【点评】本题主要考查了无理方程的解法，在解无理方程是最常用的方法是两边
平方法及换元法，本题用了平方法．
10．（4分）若关于x的二次方程x2+ax+a+3=0有两个相等的实数根，则实数a= ﹣
2 或 6 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据二次方程x2+ax+a+3=0有两个相等的实数根得到△=a2﹣4（a+3）=0，
第9页（共23页）解一元二次方程求出a的值．
【解答】解：∵关于x的二次方程x2+ax+a+3=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即a2﹣4（a+3）=0，
∴a2﹣4a﹣12=0，
∴a =﹣2，a =6，
1 2
故答案为：﹣2或6．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当
△=0，方程有两个相等的实数根，解答此题还需要掌握因式分解法解一元二次
方程的步骤，此题难度不大．
11．（4分）从数字1，2，3，4中，任意取两个数字组成一个两位数，这个数是素数
的概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】根据题意画出树状图，找到素数的个数，根据概率公式解答即可．
【解答】解：列树状图得，
P（两位数为素数）= ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了列表法与树状图，熟悉树状图的列法和概率公式是解题的关
键．
12．（4分）2015年1月份，某区体委组织“迎新春长跑活动”，现将报名的男选
手分成：青年组、中年组、老年组，各组人数所占比例如图所示，已知青年组
120人，则中年组的人数是 4 0 ．
【考点】VB：扇形统计图．
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第10页（共23页）【分析】首先根据青年组所占的百分比和青年组人数求得总人数，然后乘以中间
组所占的百分比即可求得中年组人数．
【解答】解：观察扇形统计图知：青年组有120人，占60%，
所以全部人数为：120÷60%=200人，
∴中年组有200（1﹣60%﹣20%）=40人，
故答案为：40．
【点评】本题考查扇形统计图，关键知道扇形统计图表现部分占整体的百分比，根
据青年人数和百分比求出总数，然后再根据中年人和老年人的百分比可求出
中年组与老年组人数分别是多少．
13．（4分）已知 =k ，如果| |=2，| |=6，那么实数k= ± 3 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由 =k ，如果| |=2，| |=6，根据相等向量的知识，即可求得k的值．
【解答】解：∵ =k ，| |=2，| |=6，
∴k=±3．
故答案为：±3．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握向量模的意义．
14．（4分）已知⊙O 和⊙O 的半径分别是5和3，若O O =2，则两圆的位置关系是
1 2 1 2
内切 ．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】由⊙O 和⊙O 的半径分别是5和3，若O O =2，根据两圆位置关系与圆心
1 2 1 2
距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．
【解答】解：∵⊙O 和⊙O 的半径分别是5和3，
1 2
∴半径差为：2，
∵O O =2，
1 2
∴两圆的位置关系是：内切．
故答案为：内切．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆
半径R，r的数量关系间的联系．
15．（4分）已知在离地面30米的高楼窗台A处测得地面花坛中心标志物C的俯
第11页（共23页）角为60°，那么这一标志物C离此栋楼房的地面距离BC为 1 0 米．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】利用解直角三角形的知识知一边和角求另一边即可．
【解答】解：根据题意得到AB=30米，∠BAC=30°，
∵AB⊥BC，
∴BC=AB•tan30°=30× =10 米，
∴标志物C离此栋楼房的地面距离BC为10 米，
故答案为10 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是从实际问题中整理出直
角三角形并选择合适的边角关系求解．
16．（4分）已知线段AB=10，P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），则AP= 5 ﹣
5 ．
【考点】S3：黄金分割．
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【专题】11：计算题．
【分析】直接根据黄金分割的定义计算．
【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP= AB= ×10=5 ﹣5．
故答案为5 ﹣5．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使
AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C
叫做线段AB的黄金分割点．其中AC= AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金
分割点有两个．
第12页（共23页）17．（4分）请阅读下列内容：我们在平面直角坐标系中画出抛物线y=x2+1和双曲
线y= ，如图所示，利用两图象的交点个数和位置来确定方程x2+1= 有一个正
实数根，这种方法称为利用的图象判断方程根的情况请用图象法判断方程﹣
（x﹣3）2+4= 的根的情况 两个正根一个负根 （填写根的个数及正负）．
【考点】G2：反比例函数的图象；H2：二次函数的图象．
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【分析】画出y=﹣（x﹣3）2+4和y= d的图象，根据图象观察﹣（x﹣3）2+4= 的根
的情况．
【解答】解：如图可知，﹣（x﹣3）2+4= 有两个正根和一个负根．
故答案为：两个正根和一个负根．
【点评】本题考查的是运用函数图象法求方程的解的知识，掌握函数图象的交点
与方程的解的关系是解题的关键．
18．（4分）如图，△ABC≌△DEF（点A、B分别与点D、E对应），AB=AC=5，BC=6，
△ABC固定不动，△DEF运动，并满足点E在BC边从B向C移动（点E不与B、C
重合），DE始终经过点A，EF与AC边交于点M，当△AEM是等腰三角形时，BE=
1 或 ．
第13页（共23页）【考点】KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】25：动点型；32：分类讨论．
【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分别从
AE=EM与AM=EM去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可
求得答案；
【解答】解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，
∴∠AME＞∠AEF，
∴AE≠AM；
当AE=EM时，则△ABE≌△ECM，
∴CE=AB=5，
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，
当AM=EM时，则∠MAE=∠MEA，
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，
即∠CAB=∠CEA，
又∵∠C=∠C，
∴△CAE∽△CBA，
∴ = ，
∴CE= = ，
∴BE=6﹣ = ；
∴BE=1或 ．
故答案为1或 ．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三
第14页（共23页）角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
三、解答题（本题共7题，满分78分）
19．（10分）解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【分析】分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的
解集即可．
【解答】解： ，
由①得：m≥1，
由②得：m＜2，
不等式组的解集为：1≤m＜2．
在数轴上表示为：
．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，解决此类问题的关键在于正确解
得不等式的解集．
20．（10分）先化简，再求代数式的值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】先将1﹣a2因式分解，再通分进行化简，代值求结果．
【解答】解：原式=
=
=
= ，
当 时，
第15页（共23页）原式= ．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，把分式化到最简然后解题比较简单．
21．（10分）在一次运输任务中，一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地，到达乙地
卸货后返回甲地，设汽车从甲地出发x（h）时，汽车与甲地的距离为y（km），y
与x的关系如图所示．根据图象回答下列问题：
（1）汽车在乙地卸货停面 0. 5 （h）；
（2）求汽车返回甲城时y与x的函数解析式，并写出定义域；
（3）求这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）从图象可以看出汽车在乙地卸货停了2.5﹣2=0.5小时；
（2）设返程中y与x的函数关系式为：y=kx+b，运用待定系数法可以直接求出其解
就可以了；
（3）根据时间的定义域得出t是4h时，应该代入返回时的解析式解答即可．
【解答】解：（1）根据图象可得：汽车在乙地卸货停了2.5﹣2=0.5小时；
故答案为：0.5；
（2）设汽车返回甲城时y与x的函数解析式为y=kx+b，
把（2.5，120）和（5，0）代入解析式可得：
，
解得： ，
所以解析式为：y=﹣48x+240（2.5≤x≤5）；
（3）因为2.5＜4＜5，所以把x=4代入y=﹣48x+240中，
可得：y=48，
第16页（共23页）答：这辆汽车从甲地出发4h时与甲地的距离为48km．
【点评】本题时一道关于一次函数的综合试题，考查了速度=路程÷时间的运用，
待定系数法求一次函数的解析式的运用，在解答时读懂图意是关键．
22．（10分）如图，AD是等腰△ABC底边上的高，且AD=4，sinB= ，若E是AC边上
的点，且满足AE：EC=2：3，连接DE，求cot∠ADE的值．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】作AF∥BC交DE的延长线于F，如图，根据等腰三角形的性质得BD=CD，
AB=AC，在Rt△ABD中利用∠B的正弦可求出AB=5，再利用勾股定理可计算出
BD=3，所以CD=3，AC=5，然后通过△AEF∽△CED，利用相似比可计算出AF=2，
然后在Rt△DAF中，根据余切的定义求解．
【解答】解：作AF∥BC交DE的延长线于F，如图，
∵AD是等腰△ABC底边上的高，
∴BD=CD，AB=AC，
在Rt△ABD中，∵sinB= = ，而AD=4，
∴AB=5，
∴BD= =3，
∴CD=3，AC=5，
∵AF∥CD，
∴∠DAF=90°，△AEF∽△CED，
∴ = ，即 = ，
∴AF=2，
在Rt△DAF中，cot∠ADF= = =2，
第17页（共23页）即cot∠ADE的值为2．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过
程就是解直角三角形．也考查了相似三角形的判定与性质．
23．（12分）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE=AF，AC和EF交
于点O，延长AC至点G，使得AO=OG，连接EG、FG．
（1）求证：BE=DF；
（2）求证：四边形AEGF是菱形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；L9：菱形的判定；LE：正方形的性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据正方形的性质可得∠B=∠D=90°，AD=AB，然后再证明
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），可得EB=DF；
（2）首先证明EC=FC，再由AE=AF可得AC垂直平分EF，再根据对角线互相垂直且
平分的四边形是菱形可得四边形AEGF是菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=90°，AD=AB，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴EB=DF；
第18页（共23页）（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=DC，
∵EB=DF，
∴EC=FC，
∴AC垂直平分EF，
∵AO=GO，
∴四边形AEGF是菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，以及全等三角形的判定和性质，关键
是掌握对角线互相垂直且平分的四边形是菱形．
24．（12分）如图，已知抛物线y=x2﹣2tx+t2﹣2的顶点A在第四象限，过点A作
AB⊥y轴于点B，C是线段AB上一点（不与A、B重合），过点C作CD⊥x轴于点
D，并交抛物线与点P．
（1）若点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，求点P的坐标；
（2）若直线AP交y轴负半轴于点E，且AC=CP，求四边形OEPD的面积S关于t的
函数解析式，并写出定义域；
（3）在（2）的条件下，当△ADE的面积等于2S时，求t的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）把解析式转化成顶点式，得出顶点坐标，进而根据已知得出A（2，﹣
2），从而得出抛物线的解析式，把x=1代入即可求得P的坐标；
（2）根据已知得出三角形ABE是等腰直角三角形，得出BE=AB=t，即E（0，﹣2+t），
根据待定系数法求得AE的解析式，然后和抛物线的解析式联立方程，解方程
即可求得P（t﹣1，﹣1），然后根据梯形的面积公式即可求得；
（3）根据已知得出 PD•t=2（﹣ t2﹣2t+ ），即 t=t2+4t﹣3，解方程即可求得．
第19页（共23页）【解答】解：（1）∵抛物线y=x2﹣2tx+t2﹣2=（x﹣t）2﹣2，
∴顶点A（t，﹣2），
∵点C的横坐标为1，且是线段AB的中点，
∴ =1，
∴t=2，
∴A（2，﹣2），
∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2﹣2=x2﹣4x+2，
当x=1时，y=1﹣4+2=﹣1，
∴P（1，﹣1）；
（2）当AC=CP时，∠EAB=45°，
∴BE=AB=t，即E（0，﹣2+t），
∴直线AE的解析式为y=﹣x+t﹣2，
由 得P（t﹣1，﹣1），
∴S= OD×（OE+DP）= （t﹣1）×（﹣t+2+1），
∴S=﹣ t2+2t﹣ （1＜t＜2）；
（3）∵S =2S，
△ADE
∴ PD•t=2（﹣ t2﹣2t+ ），即 t=t2+4t﹣3，
解得t=2（舍去）或t= ．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求解析式，抛物线的顶点以
及抛物线和直线的交点，梯形的面积，三角形的面积等．
25．（14分）如图，已知矩形ABCD，AB=12cm，AD=10cm，⊙O与AD、AB、BC三边都
相切，与DC交于点E、F．已知点P、Q、R分别从D、A、B三点同时出发，沿矩形
ABCD的边逆时针方向匀速运动，点P、Q、R的运动速度分别是1cm/s、xcm/s、
第20页（共23页）1.5cm/s，当点Q到达点B时停止运动，P、R两点同时停止运动，设运动时间为t
（单位：s）
（1）求证：DE=CF；
（2）设x=3，当△PAQ与△QBR相似时，求出t的值；
（3）设△PAQ关于直线PQ对称轴的图形是△PA′Q，当t和x分别为何值时，点A′
与圆心O恰好重合，求出符合条件的t，x的值．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）作OG⊥EF于G，设⊙O与AD边相切于M，连接MO并延长交BC于
N，则MN⊥AD，由矩形的性质和垂径定理证出DG=CG，EG=FG，即可得出结论；
（2）分两种情况：①当△PAQ∽△QBR 时，得出 ，求出 t 的值；②当
△PAQ∽△RBQ时，得出 ，求出t的值即可；
（3）根据题意得出AA′被直线PQ垂直平分，得出△APQ为等腰直角三角形，得出
PQ=AA′=6 ，AP=AQ=6，得出 ，解方程即可．
【解答】（1）证明：作OG⊥EF于G，设⊙O与AD边相切于M，连接MO并延长交
BC于N，如图1所示：
则MN⊥AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴MN⊥BC，
∵BC是⊙O的切线，
∴N为切点，
∴四边形CDMN是矩形，
第21页（共23页）∴MN=CD，
∵OG⊥CD，
∴DG=CG，EG=FG，
∴DE=CF；
（2）解：分两种情况：
①x=3时，0≤t≤4，∠A=∠B，
当△PAQ∽△QBR时， ，
即 = =2，
解得：t= ；
②当△PAQ∽△RBQ时， ，
即 ，
解得：t=2 ﹣14；
综上所述：t的值为 或2 ﹣14；
（3）解：如图2所示：根据题意得：AA′被直线PQ垂直平分，
∴△APQ为等腰直角三角形，
∴PQ=AA′=6 ，
∴AP=AQ=6，
∴ ，
解得：t=4，x= ．
第22页（共23页）【点评】本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、切线的性质、垂径定理、三角形
相似的性质、轴对称的性质以及等腰直角三角形的性质；本题难度较大，综合
性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，由相似三角形的对应边成比例得出比
例式才能得出结果．
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日期：2018/12/24 0:28:22；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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