文档内容
2015 年上海市虹口区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）计算（a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．3a2
2．（4分）下列代数式中， +1的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． +1 D． ﹣1
3．（4分）不等式组 的解集是（ ）
A．x≥﹣ B．x＜1 C．﹣ ≤x＜1 D．﹣ ＜x＜1
4．（4分）下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．上海明天会下雨
B．将要过马路时恰好遇到红灯
C．有人把石头孵成了小鸭
D．冬天，盆里的水结成了冰
5．（4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
6．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）据报道，截止2015年3月，某市网民规模达5180000人．请将数据
5180000用科学记数法表示为 ．
8．（4分）分解因式：2x2﹣8x= ．
9．（4分）如果关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根，那么a= ．
10．（4分）方程 的根是 ．
11．（4分）函数y= 的定义域是 ．
第1页（共22页）12．（4分）在反比例函数y= 的图象所在的每个象限中，如果函数值y随自变
量的x值增大而增大，那么常数k的取值范围是 ．
13．（4分）为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查
了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”．由此，估计该校全体学生
中约有 名学生“步行上学”．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是Rt△ABC的重心，如果CG=6，那么斜边
AB的长等于 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，点E、F分别在边AC、BC上，EF∥AB，CE= AE，若 =
， = ，则 = ．
16．（4分）如图，⊙A、⊙B的半径分别为1cm、2cm，圆心距AB为5cm．将⊙A由图
示位置沿直线 AB 向右平移，当该圆与⊙B 内切时，⊙A 平移的距离是
cm．
17．（4分）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2+3x﹣2的
“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y=﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将
“特征数”是[2，0，4]的函数图象向下平移3个单位，得到一个新函数图象，
那么这个新函数的解析式是 ．
18．（4分）在RtABC中，∠C=90°，AC=BC= （如图），若将△ABC绕点A顺时针方
向旋转60°到△AB′C′的位置，联结C′B，则C′B的长为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
第2页（共22页）19．（10分）先化简，再求值（ ﹣ ）÷ ，其中x= ﹣3．
20．（10分）解方程组： ．
21．（12分）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB=AC，tan∠ABC= ．求BC
的长．
22．（12分）某商店试销一种成本为10元的文具．经试销发现，每天销售件数y
（件）是每件销售价格x（元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每
天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．
（1）试求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售
价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）
23．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，
交BC边于点F，联结BE．
（1）求证：AB•AD=BF•ED；
（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、
B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
（2）分别联结AD、DC，CB，直线y=4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形
ABCD的面积平分时，求m的值；
第3页（共22页）（3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形
时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．
25．（16分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．AB=13，CD∥AB．点E为射线CD上
一动点（不与点C重合），联结AE，交边BC于点F，∠BAE的平分线交BC于点
G．
（1）当时CE=3，求S ：S 的值；
△CEF △CAF
（2）设CE=x，AE=y，当CG=2GB时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC=5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．
第4页（共22页）2015 年上海市虹口区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）计算（a2）3的结果是（ ）
A．a5 B．a6 C．a8 D．3a2
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
菁优网版权所有
【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．
【解答】解：（a2）3=a6．
故选：B．
【点评】本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．（4分）下列代数式中， +1的一个有理化因式是（ ）
A． B． C． +1 D． ﹣1
【考点】76：分母有理化．
菁优网版权所有
【分析】根据有理化因式的定义进行求解即可．两个含有根式的代数式相乘，如果
它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
【解答】解：∵由平方差公式，（ ）（ ）=x﹣1，
∴ 的有理化因式是 ，
故选：D．
【点评】本题主要考查了对有理化因式的理解，正确选择两个二次根式，使它们的
积符合平方差公式是解答问题的关键．
3．（4分）不等式组 的解集是（ ）
A．x≥﹣ B．x＜1 C．﹣ ≤x＜1 D．﹣ ＜x＜1
【考点】CB：解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【分析】先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的方法
得出解集．
【解答】解：解不等式①的x≥﹣ ，
第5页（共22页）解不等式②得x＜1，
所以不等式的解集是﹣ ≤x＜1．
故选：C．
【点评】此题考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求
不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到
（无解）．
4．（4分）下列事件中，是确定事件的是（ ）
A．上海明天会下雨
B．将要过马路时恰好遇到红灯
C．有人把石头孵成了小鸭
D．冬天，盆里的水结成了冰
【考点】X1：随机事件．
菁优网版权所有
【分析】利用确定事件包括必然事件和不可能事件．必然事件就是一定发生的事
件，即发生的概率是1的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的
事件，进而判断得出即可．
【解答】解：A，B，D都不一定发生，属于不确定事件．
有人把石头孵成了小鸭，是不可能事件．
故选：C．
【点评】本题考查了随机事件，理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件
指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发
生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生
的事件．
5．（4分）下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
【考点】MM：正多边形和圆．
菁优网版权所有
【分析】设正边形的边数是n，根据内角根据中心角等于内角，就可以得到一个关
于n的方程，解方程就可以解得n的值
【解答】解：设正边形的边数是n．
根据题意得：180﹣ = ，
第6页（共22页）解得：n=4．
故选：B．
【点评】本题考查了正多边形和圆，考查正多边形的中心角和内角和的知识，正确
利用n表示出正多边形的中心角和内角是关键．
6．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
B．有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
C．有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
D．有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等
【考点】KB：全等三角形的判定；O1：命题与定理．
菁优网版权所有
【分析】根据三角形全等的判定方法对A、D进行判断；利用三角形高的位置不同
可对B、C进行判断．
【解答】解：A、有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以A选项错误
B、有两边和第三边上的高对应相等的两个锐三角形全等，所以B选项错误；
C、有两边和其中一边上的高对应相等的两个锐三角形全等，所以C选项错误；
D、有两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，
一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实
的，这样的真命题叫做定理．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）据报道，截止2015年3月，某市网民规模达5180000人．请将数据
5180000用科学记数法表示为 5.18 × 1 0 6 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将5180000用科学记数法表示为5.18×106．
第7页（共22页）故答案为：5.18×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
8．（4分）分解因式：2x2﹣8x= 2 x （ x﹣4 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
菁优网版权所有
【分析】直接提取公因式2x，进而得出答案．
【解答】解：原式=2x（x﹣4）．
故答案为：2x（x﹣4）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．（4分）如果关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根，那么a= ﹣ ．
【考点】AA：根的判别式．
菁优网版权所有
【分析】根据方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根可得△=32﹣4（﹣a）=9+4a=0，
求出a的值即可．
【解答】解：∵关于的方程x2+3x﹣a=0有两个相等的实数根，
∴△=0，
∴32﹣4（﹣a）=9+4a=0，
∴a=﹣ ，
故答案为：﹣ ．
【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方
程根的情况与判别式△的关系：△=0 方程有两个相等的实数根，此题难度不
大．
⇔
10．（4分）方程 的根是 x=1 ．
【考点】AG：无理方程．
菁优网版权所有
【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，
然后进行检验即可．
【解答】解：两边平方得：2﹣x=x2，
整理得：x2+x﹣2=0，
解得：x=1或﹣2．
第8页（共22页）经检验：x=1是方程的解，x=﹣2不是方程的解．
故答案是：x=1．
【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．
11．（4分）函数y= 的定义域是 x ≥ ﹣ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
菁优网版权所有
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
12．（4分）在反比例函数y= 的图象所在的每个象限中，如果函数值y随自变
量的x值增大而增大，那么常数k的取值范围是 k ＜ ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】先根据函数y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x
的增大而增大列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y= 的图象在其所在的每一象限内，函数值y随自变量x的
增大而增大，
∴2k﹣3＜0，
解得k＜ ．
故答案为：k＜ ．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解答此题
的关键．
13．（4分）为了了解某中学学生的上学方式，从该校全体学生900名中，随机抽查
了60名学生，结果显示有15名学生“步行上学”．由此，估计该校全体学生
中约有 22 5 名学生“步行上学”．
【考点】V5：用样本估计总体．
菁优网版权所有
第9页（共22页）【分析】先通过样本计算“步行上学”的学生所占百分比，然后估计整体中“步
行上学”的学生人数．
【解答】解：∵从该校全体学生900名中，随机抽查了60名学生，结果显示有15
名学生“步行上学”，
∴“步行上学”的学生所占百分比为 ×100%=25%，
∴估计该校全体学生中“步行上学”的人数为900×25%=225．
故答案为225．
【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数
据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是Rt△ABC的重心，如果CG=6，那么斜边
AB的长等于 1 8 ．
【考点】K5：三角形的重心．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】CD为斜边上的中线，如图，根据重心的性质得到DG= CG=3，则CD=9，然
后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到AB的长．
【解答】解：CD为斜边上的中线，如图，
∵点G是Rt△ABC的重心，
∴CG：GD=2：1，
∴DG= CG= ×6=3，
∴CD=3+6=9，
∴AB=2CD=18．
故答案为18．
【点评】本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到
第10页（共22页）顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了直角三角形斜边上
的中线性质．
15．（4分）如图，在△ABC中，点E、F分别在边AC、BC上，EF∥AB，CE= AE，若 =
， = ，则 = ﹣ ．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】由 = ， = ，利用三角形法则，即可求得 ，然后由EF∥AB，可证得
△CEF∽△CAB，再利用相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】解：∵ = ， = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∵CE= AE，
∴ = = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意掌握三
角形法则的应用．
16．（4分）如图，⊙A、⊙B的半径分别为1cm、2cm，圆心距AB为5cm．将⊙A由图
示位置沿直线AB向右平移，当该圆与⊙B内切时，⊙A平移的距离是 4 或 6
cm．
第11页（共22页）【考点】MJ：圆与圆的位置关系；Q2：平移的性质．
菁优网版权所有
【分析】可根据圆心距与半径之间的数量关系判断⊙A与⊙B的位置关系．
【解答】解：当内切时，圆心距为2﹣1=1，
当点A在点B的左侧时，移动的距离为5﹣1=4cm；
当点A在点B的右侧时，移动的距离为5+1=6cm；
所以向右移动4或6cm时两圆内切，
故答案为：4或6．
【点评】考查了圆与圆的位置关系，解此题的关键是熟练掌握由数量关系来判断
两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P；外离P
＞R+r；外切P=R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P=R﹣r；内含P＜R﹣r．
17．（4分）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的“特征数”．如：函数y=x2+3x﹣2的
“特征数”是[1，3，﹣2]，函数y=﹣x+4的“特征数”是[0，﹣1，4]．如果将
“特征数”是[2，0，4]的函数图象向下平移3个单位，得到一个新函数图象，
那么这个新函数的解析式是 y=2 x 2 + 1 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【专题】23：新定义．
【分析】根据“特征数”的定义得到：“特征数”是[2，0，4]的函数的解析式为：
y=2x2+4，则该抛物线的顶点坐标是（0，4），根据平移规律得到新函数解析式．
【解答】解：依题意得：“特征数”是[2，0，4]的函数解析式为：y=2x2+4，其顶点坐
标是（0，4），向下平移3个单位后得到的顶点坐标是（0，1），
所以新函数的解析式为：y=2x2+1．
故答案是：y=2x2+1．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟
练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
18．（4分）在RtABC中，∠C=90°，AC=BC= （如图），若将△ABC绕点A顺时针方
向旋转60°到△AB′C′的位置，联结C′B，则C′B的长为 ﹣ 1 ．
第12页（共22页）【考点】R2：旋转的性质．
菁优网版权所有
【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB=AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据
等边三角形的三条边都相等可得 AB=BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和
△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′=∠B′BC′，延长BC′交AB′
于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后
根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出 BD、C′D，然后根据
BC′=BD﹣C′D计算即可得解．
【解答】解：如图，连接BB′，
∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，
∴AB=AB′，∠BAB′=60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∴AB=BB′，
在△ABC′和△B′BC′中，
，
∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），
∴∠ABC′=∠B′BC′，
延长BC′交AB′于D，
则BD⊥AB′，
∵∠C=90°，AC=BC= ，
∴AB=2，
∴BD=2× = ，
C′D= ×2=1，
∴BC′=BD﹣C′D= ﹣1．
第13页（共22页）故答案为 ﹣1．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与
性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边
三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值（ ﹣ ）÷ ，其中x= ﹣3．
【考点】6D：分式的化简求值．
菁优网版权所有
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算
即可．
【解答】解：原式=[ ﹣ ]•（x﹣3）
= •（x﹣3）
= ，
当x= ﹣3时，原式= = =2﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
菁优网版权所有
【分析】把①化为x+3y=1和x+3y=﹣1，再把x+3y=1和x+3y=﹣1分别与x﹣y﹣3=0
组成方程组，解出方程组得到答案．
第14页（共22页）【解答】解： ，
由①得，（x+3y）2=1
即x+3y=1，x+3y=﹣1，
得到方程组 ， ，
分别解这两个方程组，得原方程组的解： ， ．
【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程通过因式分解化
为两个二元一次方程，再把这两个二元一次方程分别与另一个方程组成二元
一次方程组，解方程组即可．
21．（12分）如图，等腰△ABC内接于半径为5的⊙O，AB=AC，tan∠ABC= ．求BC
的长．
【考点】M2：垂径定理；T7：解直角三角形．
菁优网版权所有
【分析】连接AO，交BC于点E，连接BO，求出 = ，根据垂径定理得出OA⊥BC，
BC=2BE，设AE=x，则BE=3x，OE=5﹣x，根据勾股定理得出方程（3x）2+（5﹣x）
2=52，求出方程的解即可．
【解答】解：连接AO，交BC于点E，连接BO，
∵AB=AC，
∴ = ，
又∵OA是半径，
∴OA⊥BC，BC=2BE，
在Rt△ABE中，∵tan∠ABC= ，
第15页（共22页）∴ = ，
设AE=x，则BE=3x，OE=5﹣x，
在Rt△EO中，BE2+OE2=OB2，
∴（3x）2+（5﹣x）2=52，
解得：x =0（舍去），x =1，
1 2
∴BE=3x=3，
∴BC=2BE=6．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，垂径定理，解直角三角形，勾股定
理的应用，解此题的关键是构造直角三角形，用了方程思想，难度适中．
22．（12分）某商店试销一种成本为10元的文具．经试销发现，每天销售件数y
（件）是每件销售价格x（元）的一次函数，且当每件按15元的价格销售时，每
天能卖出50件；当每件按20元的价格销售时，每天能卖出40件．
（1）试求y关于x的函数解析式（不用写出定义域）；
（2）如果每天要通过销售该种文具获得450元的利润，那么该种文具每件的销售
价格应该定为多少元？（不考虑其他因素）
【考点】AD：一元二次方程的应用；FG：根据实际问题列一次函数关系式．
菁优网版权所有
【分析】（1）设出一次函数解析式y=kx+b，用待定系数法建立关于k和b的方程组
解之即可求出所求；
（2）按照等量关系“每月获得的利润=（销售价格﹣进价）×销售件数”列出二次
函数，并求得最值．
【解答】解：（1）由题意，知：当x=15时，y=50；当x=20时，y=40，
设所求一次函数解析式为y=kx+b，
由题意得： ，
解得：
第16页（共22页）∴所求的y关于x的函数解析式为y=﹣2x+80．
（2）由题意，可得：（x﹣10）（﹣2x+80）=450
解得：x=25
答：该种文具每件的销售价格应该定为25元．
【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注
意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握
一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用
二次函数求最值．
23．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E为DC延长线上一点，联结AE，
交BC边于点F，联结BE．
（1）求证：AB•AD=BF•ED；
（2）若CD=CA，且∠DAE=90°，求证：四边形ABEC是菱形．
【考点】L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）由四边形 ABCD 是平行四边形得到∠ABC=∠D，AB∥CD，
∠BAF=∠DEA，推出△ABF∽△EDA，于是即可得到结论；
（2）根据∠DAE=90°，得到∠AED+∠D=90°，∠EAC+∠DAC=90°，根据CD=CA，推出
四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB∥CD且AB=CD，证
出四边形ABEC是平行四边形．由于CE=CA，推出四边形ABEC是菱形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠D，AB∥CD，
∴∠BAF=∠DEA，
∴△ABF∽△EDA，
∴ = ，
∴AB•AD=BF•ED；
（2）∵∠DAE=90°，
第17页（共22页）∴∠AED+∠D=90°，∠EAC+∠DAC=90°，
∵CD=CA，
∴∠DAC=∠D，
∴∠AED=EAC，
∴CE=CA，
∴CE=CD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD且AB=CD，
∴AB∥EC且AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形．
∵CE=CA，
∴四边形ABEC是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的
判定，熟记定理是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、
B（3，0）．C（2，3）三点，且与y轴交于点D．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；
（2）分别联结AD、DC，CB，直线y=4x+m与线段DC交于点E，当此直线将四边形
ABCD的面积平分时，求m的值；
（3）设点F为该抛物线对称轴上的一点，当以点A、B、C、F为顶点的四边形是梯形
时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0）、B（3，0）．C（2，3）三点，列方程组
第18页（共22页）可求得．
（2）由梯形的面积公式列方程即可求得m的值．
（3）由以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形，分类讨论当CF∥AB时，点F在线段
CD上，求得F（1，3），当AF∥BC时，直线BC的解析式为；y=﹣3x+9，直线AF的
解析式为 y=﹣3x﹣3，求得F（1，﹣6），当CA∥BF时，直线AC的解析式为；
y=x+1，直线BF的解析式为；y=x﹣3，求得F（1，﹣2）．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（2，3）三点，
∴ 解得： ，
∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，其对称轴是直线x=1，
（2）由题意，得：D（0，3），
∵DC∥AB，AB=4，CD=3，
∵直线y=4x+m与线段DC交于点E，且将四边形ABCD的面积平分，
∴直线y=4x+m与边AB相交，设交点为点G，
∴点E的纵坐标是3，点G的纵坐标是0，
∴可求得E（ ，3），G（﹣ ，0），
由题意，得：S =2S ，
四边形ABCD 四边形AGED
∴AB+CD=2（AG+DE）
∴4+2=2（﹣ +1+ ），
解得：m=﹣ ．
（3）当CF∥AB时，点F在线段CD上，
∴F（1，3），
当AF∥BC时，
直线BC的解析式为；y=﹣3x+9，
∴直线AF的解析式为 y=﹣3x﹣3，
当x=1时，y=﹣6，
第19页（共22页）∴F（1，﹣6），
当CA∥BF时，
直线AC的解析式为；y=x+1，
∴直线BF的解析式为；y=x﹣3，
∴当x=1时，y=﹣2，
∴F（1，﹣2）；
综上所述；点F的坐标：（1，3），（1，﹣2），（1，﹣6）．
【点评】此题考查了抛物线解析式的确定、梯形的判定、梯形的面积的求法重要知
识点，（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，
做到不重不漏．
25．（16分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．AB=13，CD∥AB．点E为射线CD上
一动点（不与点C重合），联结AE，交边BC于点F，∠BAE的平分线交BC于点
G．
（1）当时CE=3，求S ：S 的值；
△CEF △CAF
（2）设CE=x，AE=y，当CG=2GB时，求y与x之间的函数关系式；
（3）当AC=5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．
【考点】SO：相似形综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）过点C作CH⊥AE于H，根据等高的两个三角形面积之比等于底的比，
求出EF：AF即可；
（2）延长AG交射线CD于点K，根据相似三角形对应边成比例求出y与x之间的
函数关系式；
（3）分∠AGE=90°、∠AEG=90°两种情况进行解答，求出BG的长．
【解答】解：（1）过点C作CH⊥AE于H，
第20页（共22页）∴ = = ，
∵CD∥AB，∴ ，
∵CE=3，AB=13，∴ = ，
∴ = ．
（2）延长AG交射线CD于点K，
∵CD∥AB，
∴∠EKA=∠KAB，
∵AG平分∠BAE，
∴∠EAK=∠KAB，
∴∠EKA=∠EAK，
∴AE=EK，
∵CE=x，AE=y，
∴CK=CE+EK=CE+AE=x+y，
∵CD∥AB，
∴ = ，
∵CG=2GB，
第21页（共22页）∴ =2，
∴ ，
∴y=26﹣x．
（3）由题意，得：BC=12，
①当∠AGE=90°时，则AG=GK，
∵CD∥AB，
∴BG= BC=6．
②当∠AEG=90°时，则△ACF∽△GEF，
∴ = ，∠CFE=∠AFG，
∴△ECF∽△GAF，
∴∠ECF=∠FAG，
又∵∠FAG=∠GAB，∠ECF=∠B，
∴∠B=∠GAB，∴GA=GB，
过点G作GN⊥AB于N，∴BN= AB= ，
∴BG= BN= ．
【点评】本题考查的是相似三角形的综合应用，灵活运用相似三角形的判定定理
和性质定理是解题的关键，本题可以提高学生综合运用知识的能力、逻辑思维
能力．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:26:49；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第22页（共22页）
