文档内容
2015年上海市崇明县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知 ＝ ，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）
A．2a＝5b B． ＝ C．a+b＝7 D． ＝
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列
等式中不一定成立的是（ ）
A．b＝atanB B．a＝ccosB C． D．a＝bcosA
3．（4分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确
的是（ ）
A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＞0
4．（4分）将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所
得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．相切两圆的连心线经过切点
B．长度相等的两条弧是等弧
C．平分弦的直径垂直于弦
D．相等的圆心角所对的弦相等
6．（4分）如图，点D、E、F、G为△ABC两边上的点，且DE∥FG∥BC，若DE、FG
将△ABC的面积三等分，那么下列结论正确的是（ ）
第1页（共29页）A． ＝ B． ＝ ＝1
C． ＝ + D． ＝
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2cm，那么PA＝
cm．
8．（4分）两个相似三角形的面积比1：4，则它们的周长之比为 ．
9．（4分）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝
．
10．（4分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴右侧的部分是 （填“上升”或“下
降”）．
11．（4分）如果将抛物线y＝3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么
平移后的抛物线的表达式为 ．
12．（4分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对
称轴是 ．
13．（4分）某飞机的飞行高度为1500m，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，
此时飞机与这地面控制点的距离为 m．
14．（4 分）已知正六边形的半径为 2cm，那么这个正六边形的边心距为
cm．
15．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G为重心，GH⊥BC，
垂足为点H，那么GH＝ ．
16．（4分）半径分别为8cm与6cm的 O 与 O 相交于A、B两点，圆心距O O
1 2 1 2
第2页（共29页）
⊙ ⊙的长为10cm，那么公共弦AB的长为 cm．
17．（4分）如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD宽5米，坝高10米，斜坡CD
的坡角为45°，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，那么坝底BC的长度为 米．
18．（4分）如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，
折痕为 FH，点 C 落在点 Q处，EQ与BC 交于点 G，则△EBG的周长是
cm．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|cos30°﹣1|+（﹣cot45°）2014+sin60°．
20．（10分）已知：如图， ▱ABCD中，E是AD中点，BE交AC于点F，设 ＝ 、
＝ ．
（1）用 ， 的线性组合表示 ；
（2）先化简，再直接在图中求作该向量：（﹣ + ）﹣（ + ）+（ + ）．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上的一点，CD＝6，
cos∠ADC＝ ，tanB＝ ．
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
第3页（共29页）22．（10分）如图，轮船从港口A出发，沿着南偏西15°的方向航行了100海里到
达B处，沿着北偏东75°的方向航行200海里到达了C处．
（1）求证：AC⊥AB；
（2）轮船沿着BC方向继续航行去往港口D处，已知港口D位于港口A的正东方
向，求轮船还需航行多少海里．
23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠ABC＝2∠C，E与F分
别为边AD与DC上的两点，且有∠EBF＝∠C．
（1）求证：BE：BF＝BD：BC；
（2）当F为DC中点时，求AE：ED的比值．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ x2+bx+c经过直线y＝﹣ x+1与坐标轴的两个
交点A、B，点C为抛物线上的一点，且∠ABC＝90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C坐标；
（3）直线y＝﹣ x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？若存在，请直
接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
第4页（共29页）25．（14分）已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O为边AB上一动点（不与A、
B重合），以O为圆心OB为半径的圆交BC于点D，设OB＝x，DC＝y．
（1）如图1，求y关于x的函数关系式及定义域；
（2）当 O与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；
（3）如图2，若 O与边AC交于点E（有两个交点时取靠近C的交点），联结DE，
⊙
当△DEC与△ABC相似时，求x的值．
⊙
第5页（共29页）2015 年上海市崇明县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）已知 ＝ ，那么下列等式中，不一定正确的是（ ）
A．2a＝5b B． ＝ C．a+b＝7 D． ＝
【考点】S1：比例的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据比例的性质，可判断A、B；根据合比性质，可判断D．
【解答】解：A、由比例的性质，得2a＝5b，故A正确；
B、2a＝5b，得 ＝ ，故B正确；
C、a+b有无数个值，故C错误；
D、由合比性质，得 ＝ ，故D正确；
故选：C．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质，合比性质．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列
等式中不一定成立的是（ ）
A．b＝atanB B．a＝ccosB C． D．a＝bcosA
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
菁优网版权所有
【专题】12：应用题．
【分析】根据三角函数的定义就可以解决．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，
∴A、tanB＝ ，则b＝atanB，故本选项正确，
B、cosB＝ ，故本选项正确，
C、sinA＝ ，故本选项正确，
第6页（共29页）D、cosA＝ ，故本选项错误，
故选：D．
【点评】此题考查直角三角形中两锐角的三角函数之间的关系，难度适中．
3．（4分）如果二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断中，不正确
的是（ ）
A．a＞0 B．b＞0 C．c＜0 D．b2﹣4ac＞0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
菁优网版权所有
【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判
断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由二次函数y
＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0．
【解答】解：由图象的开口向上可得a开口向上，由x＝﹣ ＞0，可得b＜0，
由二次函数y＝ax2+bx+c的图象交y轴于负半轴可得c＜0，
由二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，可得b2﹣4ac＞0，所以B不正
确．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个
系数的符号是解决此题的关键，此题运用了数形结合思想．
4．（4分）将二次函数y＝x2的图象向下平移1个单位，再向右平移1个单位后所
得图象的函数表达式为（ ）
A．y＝（x+1）2+1 B．y＝（x+1）2﹣1 C．y＝（x﹣1）2+1 D．y＝（x﹣1）2﹣1
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再利用点的平移规律得到点
（0，0）平移后对应点的坐标为（1，﹣1），然后根据顶点式写出平移的抛物线解
析式．
第7页（共29页）【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位，向
下平移1个单位得到对应点的坐标为（1，﹣1），所以平移后的新图象的函数表
达式为y＝（x﹣1）2﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：由于抛物线平移后的形状不
变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出
原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑
平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
5．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．相切两圆的连心线经过切点
B．长度相等的两条弧是等弧
C．平分弦的直径垂直于弦
D．相等的圆心角所对的弦相等
【考点】M1：圆的认识；M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系；MC：切线的性
质．
菁优网版权所有
【分析】要找出正确命题，可运用相关基础知识分析找出正确选项，也可以通过举
反例排除不正确选项，从而得出正确选项．（1）等弧指的是在同圆或等圆中，能
够完全重合的弧．长度相等的两条弧，不一定能够完全重合；（2）此弦不能是直
径；（3）相等的圆心角所对的弦相等指的是在同圆或等圆中．
【解答】解：A、根据圆的轴对称性可知此命题正确．
B、等弧指的是在同圆或等圆中，能够完全重合的弧．而此命题没有强调在同圆或
等圆中，所以长度相等的两条弧，不一定能够完全重合，此命题错误；
B、此弦不能是直径，命题错误；
C、相等的圆心角指的是在同圆或等圆中，此命题错误；
故选：A．
【点评】本题考查知识较多，解题的关键是运用相关基础知识逐一分析才能找出
正确选项．
6．（4分）如图，点D、E、F、G为△ABC两边上的点，且DE∥FG∥BC，若DE、FG
将△ABC的面积三等分，那么下列结论正确的是（ ）
第8页（共29页）A． ＝ B． ＝ ＝1
C． ＝ + D． ＝
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】根据相似三角形的判定及其性质，求出线段AD、AB、BD、BF、DF之间的
数量关系，即可解决问题．
【解答】解：∵DE、FG将△ABC的面积三等分，
∴设△ADE、△AFG、△ABC的面积分别为 、2 、3
∵DE∥FG∥BC，
λ λ λ
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴ ＝ ， ， ，
∴ ， ，BF＝ ，
DF＝ ，BD＝ ，
∴ ， ， ，
，
∴该题答案为C．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用；应牢固掌握相似三
角形的判定及其性质定理，这是灵活运用的基础和关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2cm，那么PA＝
第9页（共29页）﹣ 1 cm．
【考点】S3：黄金分割．
菁优网版权所有
【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝ AB，代入运算
即可．
【解答】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝2× ＝（ ﹣1）cm．
故答案为：（ ﹣1）cm．
【点评】此题考查了黄金分割的定义，应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原
线段的 ，难度一般．
8．（4分）两个相似三角形的面积比1：4，则它们的周长之比为 1 ： 2 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
菁优网版权所有
【分析】由两个相似三角形的面积比1：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的
平方，相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比1：4，
∴它们的相似比为：1：2，
∴它们的周长之比为：1：2．
故答案为：1：2．
【点评】此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是解此题的
关键．
9．（4分）如果二次函数y＝（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，那么m＝ ﹣ 1
．
【考点】H1：二次函数的定义；H5：二次函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】把原点坐标代入函数解析式求解即可得到m的值，再根据二次项系数不
等于0求出m≠1．
【解答】解：∵二次函数y＝（m﹣1）x2+5x+m2﹣1的图象经过原点，
∴m2﹣1＝0，
解得m＝±1，
第10页（共29页）∵函数为二次函数，
∴m﹣1≠0，
解得m≠1，
所以，m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的定义，要注意二次
项系数不等于0．
10．（4分）抛物线y＝2x2﹣1在y轴右侧的部分是 上升 （填“上升”或“下
降”）．
【考点】H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．
【解答】解：
∵y＝2x2﹣1，
∴其对称轴为y轴，且开口向上，
∴在y轴右侧，y随x增大而增大，
∴其图象在y轴右侧部分是上升，
故答案为：上升．
【点评】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右
侧y随x的增大而增大是解题的关键．
11．（4分）如果将抛物线y＝3x2平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（2，2），那么
平移后的抛物线的表达式为 y ＝ 3 （ x ﹣ 2 ） 2 + 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【分析】平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，
根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式．
【解答】解：∵原抛物线解析式为y＝3x2，的顶点坐标是（0，0），平移后抛物线顶点
坐标为（2，2），
∴平移后的抛物线的表达式为：y＝3（x﹣2）2+2．
故答案为：y＝3（x﹣2）2+2．
【点评】本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系．关键是明确抛物线的平
移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移后的抛物线解析式．
第11页（共29页）12．（4分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对
称轴是 直线 x ＝ 2 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即
可得解．
【解答】解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ＝2．
故答案为：直线x＝2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．
13．（4分）某飞机的飞行高度为1500m，从飞机上测得地面控制点的俯角为60°，
此时飞机与这地面控制点的距离为 100 0 m．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
菁优网版权所有
【分析】因为俯角为60°，飞机在1500米的上空，设此时飞机与地面控制点的距离
为x米，根据三角函数可求距离．
【解答】解：设此时飞机与地面控制点的距离为x米．
sin60°＝ ，
x＝1000 ．
故答案为：1000 ．
【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三
角形．
14．（4分）已知正六边形的半径为2cm，那么这个正六边形的边心距为
cm．
【考点】MM：正多边形和圆．
菁优网版权所有
【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角
形的有关知识解决．
【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，
∵OA＝2cm，∠AOG＝30°，
第12页（共29页）∴OG＝OA•cos 30°＝2× ＝ （cm）．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解
答此题的关键．
15．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，点G为重心，GH⊥BC，
垂足为点H，那么GH＝ 2 ．
【考点】K5：三角形的重心．
菁优网版权所有
【分析】连结BG并延长交AC于点D．由点G为△ABC的重心，根据三角形重心
的性质得出DC＝ AC＝3，且BG＝2DG，于是 ＝ ．易证GH∥DC，根据平
行线分线段成比例定理得出 ＝ ＝ ，则GH＝ DC＝2．
【解答】解：连结BG并延长交AC于点D．
∵点G为△ABC的重心，
∴DC＝ AC＝3，且BG＝2DG，
∴ ＝ ．
∵∠ACB＝90°，GH⊥BC，
∴GH∥DC，
∴ ＝ ＝ ，
第13页（共29页）∴GH＝ DC＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了三角形重心的定义及性质，三角形三边中线的交点叫做三角
形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了
平行线分线段成比例定理，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．
16．（4分）半径分别为8cm与6cm的 O 与 O 相交于A、B两点，圆心距O O
1 2 1 2
的长为10cm，那么公共弦AB的长为 9. 6 cm．
⊙ ⊙
【考点】ML：相交两圆的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据相交两圆的性质以及垂径定理得出AC＝ AB，进而利用勾股定理得
出AC的长即可得出AB的长．
【解答】解：连接AO ，AO ．
1 2
∵ O ， O 相交于A、B两点，两圆半径分别为8cm和6cm，两圆的连心线O O
1 2 1 2
的长为10cm，
⊙ ⊙
∴O O ⊥AB，
1 2
∴AC＝ AB，
设O C＝x，则O C＝10﹣x，
1 2
∴82﹣x2＝62﹣（10﹣x）2，
解得：x＝6.4，
∴AC2＝82﹣x2＝64﹣6.42＝23.04，
∴AC＝4.8cm，
∴弦AB的长为：9.6cm．
故答案为：9.6．
第14页（共29页）【点评】此题考查了相交圆的性质与勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的
作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
17．（4分）如图，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD宽5米，坝高10米，斜坡CD
的坡角为45°，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，那么坝底BC的长度为 3 0 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
菁优网版权所有
【分析】首先过A、D作AE⊥BC、DE⊥BC，可得四边形AEFD是矩形，又由斜坡
CD的坡角为45°，斜坡AB的坡度i＝1：1.5，根据坡度的定义，即可求解．
【解答】解：分别过A、D作AE⊥BC、DE⊥BC，垂足为E、F，
可得：BE∥CF，
又∵BC∥AD，
∴AD＝EFAE＝DF
由题意，得EF＝AD＝5，DF＝AE＝10，
∵斜坡CD的坡角为45°，
∴CF＝DF×cot45°＝10×1＝10
∵斜坡AB的坡度i＝1：1.5，
∴BE＝1.5AE＝15，
∴坝底BC＝BE+EF+CF＝15+5+10＝30米．
故答案为：30．
【点评】此题考查了坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助
于解直角三角形的知识求解是关键．
第15页（共29页）18．（4分）如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，
折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是 12
cm．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
菁优网版权所有
【专题】121：几何图形问题；16：压轴题．
【分析】根据翻折的性质可得DF＝EF，设EF＝x，表示出AF，然后利用勾股定理
列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似
三角形对应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算
即可得解．
【解答】解：由翻折的性质得，DF＝EF，
设EF＝x，则AF＝6﹣x，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE＝ ×6＝3，
在Rt△AEF中，AE2+AF2＝EF2，
即32+（6﹣x）2＝x2，
解得x＝ ，
∴AF＝6﹣ ＝ ，
∵∠FEG＝∠D＝90°，
∴∠AEF+∠BEG＝90°，
∵∠AEF+∠AFE＝90°，
∴∠AFE＝∠BEG，
又∵∠A＝∠B＝90°，
∴△AEF∽△BGE，
第16页（共29页）∴ ＝ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，
解得BG＝4，EG＝5，
∴△EBG的周长＝3+4+5＝12．
故答案为：12．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记
性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各
边的长是解题的关键，也是本题的难点．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|cos30°﹣1|+（﹣cot45°）2014+sin60°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】根据特殊角的三角函数计算即可．
【解答】解：|cos30°﹣1|+（﹣cot45°）2014+sin60°．
＝| ﹣1|+（﹣1）2014+
＝1﹣ +1+
＝2．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经
常出现，题型以选择题、填空题为主．解题的关键是：熟记特殊角三角函数值．
20．（10分）已知：如图， ▱ABCD中，E是AD中点，BE交AC于点F，设 ＝ 、
＝ ．
（1）用 ， 的线性组合表示 ；
（2）先化简，再直接在图中求作该向量：（﹣ + ）﹣（ + ）+（ + ）．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
第17页（共29页）【分析】（1）利用三角形法则，可求得 ，易证得△AEF∽△CBF，然后由相似三
角形的对应边成比例，求得 ＝ ，继而求得答案；
（2）首先利用平面向量的加减运算法则化简此题，然后利用三角形法则，求得答
案．
【解答】解：（1）∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵ ▱ABCD中，E是AD中点，
∴AE＝ AD＝ BC，AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ﹣ ；
（2）（﹣ + ）﹣（ + ）+（ + ）＝﹣ + ﹣ ﹣ + + ＝ + ．
如图，∵ ＝ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ + ＝ + ．
∴ 即为所求．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边上的一点，CD＝6，
cos∠ADC＝ ，tanB＝ ．
（1）求AC和AB的长；
（2）求sin∠BAD的值．
第18页（共29页）【考点】T7：解直角三角形．
菁优网版权所有
【分析】（1）通过解Rt△ACD得到AD边的长度；然后在该直角三角形中利用勾
股定理来求AC的长度；然后通过解Rt△ABC可以求得BC的长度，再利用勾
股定理求线段AB的长度．
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E，构建Rt△ADE，通过解该直角三角形来求
sin∠BAD的值．
【解答】解：（1）如图，在Rt△ACD中，∵∠ACD＝90°，CD＝6，cos∠ADC＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
则AD＝10，
∴由勾股定理知，AC＝ ＝ ＝8．
又∵tanB＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
则BC＝12．
∴在Rt△ABC中，利用勾股定理知，AB＝ ＝ ＝4 ．
综上所述，AC＝8，AB＝4 ；
（2）如图，过点D作DE⊥AB于点E．
由（1）易知，BD＝6．
∵tanB＝ ，
∴ ＝ ．则BE＝ DE．
第19页（共29页）则由勾股定理得到：62＝DE2+ DE2，
解得 DE＝ ，
∴sin∠BAD＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了解直角三角形．要熟练掌握好边角之间的关系．
22．（10分）如图，轮船从港口A出发，沿着南偏西15°的方向航行了100海里到
达B处，沿着北偏东75°的方向航行200海里到达了C处．
（1）求证：AC⊥AB；
（2）轮船沿着BC方向继续航行去往港口D处，已知港口D位于港口A的正东方
向，求轮船还需航行多少海里．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
菁优网版权所有
【分析】（1）利用方向角结合锐角三角函数关系得出AN的长，进而求出∠ACB的
度数，进而得出答案；
（2）根据题意得出AC＝DC，进而求出答案．
【解答】（1）证明：过点A作AN⊥BC于点N，
由题意可得：∠EBA＝∠BAM＝15°，∠EBC＝75°，
则∠ABC＝60°，
∵AB＝100海里，
∴BN＝50海里，AN＝50 海里，
第20页（共29页）故NC＝200﹣50＝150（海里），
则tan∠ACN＝ ＝ ，
故∠ACF＝30°，
故∠BAC＝90°，
则AC⊥AB；
（2）解：如图所示：延长BC交于一点D，
∵∠BAC＝90°，∠BAM＝15°，
∴∠DAC＝15°，
∵∠DAB＝90°+15°＝105°，∠ABC＝60°，
∴∠ADC＝15°，
∴AC＝DC，
∵AC＝ ＝100 （海里），
答：轮船还需航行100 海里．
【点评】此题主要考查了方向角问题，根据题意求出∠ACB的度数是解题关键．
23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠ABC＝2∠C，E与F分
别为边AD与DC上的两点，且有∠EBF＝∠C．
（1）求证：BE：BF＝BD：BC；
（2）当F为DC中点时，求AE：ED的比值．
第21页（共29页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】（1）如图，证明∠EBD＝∠FBC，此为解决问题的关键性结论；证明
△EBD∽△FBC，即可解决问题．
（2）如图，证明 ；证明△ABE∽△DBF，得到 ， ，根据DF
＝CF，即可解决问题．
【解答】解：（1）如图，∵AD∥BC，AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB；∠ADB＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABC＝2∠DBC，而∠ABC＝2∠C，
∴∠DBC＝∠C，而∠EBF＝∠C，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴∠EBD＝∠FBC，而∠EDB＝∠C，
∴△EBD∽△FBC，
∴BE：BF＝BD：BC．
（2）如图，∵△EBD∽△FBC，
∴ ；
∵∠AEB＝∠ADB+∠DBE，∠DFB＝∠C+∠FBC，
∴∠AEB＝∠DFB，且∠ABE＝∠DBF，
∴△ABE∽△DBF，
∴ ， ，
∵DF＝CF，
∴AE＝DE，
∴AE：DE＝1．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、平行线的性质、三角形外角
第22页（共29页）的性质等几何知识点的应用问题；
对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
24．（12分）如图，已知抛物线y＝ x2+bx+c经过直线y＝﹣ x+1与坐标轴的两个
交点A、B，点C为抛物线上的一点，且∠ABC＝90°．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点C坐标；
（3）直线y＝﹣ x+1上是否存在点P，使得△BCP与△OAB相似？若存在，请直
接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）根据直线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得
抛物线的解析式；
（2）作CD⊥x轴于D，根据题意求得∠OAB＝∠CBD，然后求得△AOB∽△BDC，
根据相似三角形对应边成比例求得CD＝2BD，从而设BD＝m，则C（2+m，
2m），代入抛物线的解析式即可求得；
（3）分两种情况分别讨论即可求得．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣ x+1得，y＝1，
∴A（0，1），
把y＝0代入y＝﹣ x+1得，x＝2，
∴B（2，0），
把A（0，1），B（2，0）代入y＝ x2+bx+c得， ，解得 ，
第23页（共29页）∴抛物线的解析式y＝ x2﹣ x+1，
（2）如图，作CD⊥x轴于D，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBD＝90°，
∴∠OAB＝∠CBD，
∵∠AOB＝∠BDC，
∴△AOB∽△BDC，
∴ ＝ ＝2，
∴CD＝2BD，
设BD＝m，
∴C（2+m，2m），
代入y＝ x2﹣ x+1得，2m＝ （m+2）2﹣ （m+2）+1，解得，m＝2或m＝0（舍去）
∴C（4，4）；
（3）∵OA＝1，OB＝2，
∴AB＝ ，
∵B（2，0），C（4，4），
∴BC＝2 ，
当△AOB∽△PBC时，则 ＝
①
∴ ＝ ，解得，PB＝ ，
作PE⊥x轴于E，则△AOB∽△PEB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴PE＝1，
∴P的纵坐标为±1，代入y＝﹣ x+1得，x＝0或x＝4，
∴P（0，1）或（4，﹣1）；
当△AOB∽△CBP时，则 ＝ ，
② 第24页（共29页）即 ＝ ，解得，PB＝4 ，
作PE⊥x轴于E，则△AOB∽△PEB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴PE＝4，
∴P的纵坐标为±4，代入y＝﹣ x+1得，x＝﹣6或x＝10，
∴P（﹣6，4）或（10，﹣4）；
综上，P的坐标为（0，1）或（4，﹣1）或（﹣6，4）或（10，﹣4）．
【点评】本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法、三角形相似的
判定和性质，数形结合运用是解题的关键．
25．（14分）已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，O为边AB上一动点（不与A、
B重合），以O为圆心OB为半径的圆交BC于点D，设OB＝x，DC＝y．
（1）如图1，求y关于x的函数关系式及定义域；
（2）当 O与线段AC有且只有一个交点时，求x的取值范围；
（3）如图2，若 O与边AC交于点E（有两个交点时取靠近C的交点），联结DE，
⊙
当△DEC与△ABC相似时，求x的值．
⊙
【考点】MR：圆的综合题．
菁优网版权所有
第25页（共29页）【分析】（1）连接OD，求得 OD∥AC，得出△BOD∽△BAC， ＝ ，从而求得
＝ ，即可求得y关于x的函数关系式．
（2）设切点为M，作BN⊥AC于N，连接OM，得出OM∥BN， ＝ ，根据三角
形的面积公式求得BN＝ ，从而求得 ＝ ，解得x＝ ，所以x＝
或2.5＜x＜5时， O与线段AC有且只有一个交点．
（3） 如果△DEC∽△ABC时，根据圆内接四边形的性质得出∠EDC＝∠A，
⊙
∠DEC＝∠B，就可证得△DEC∽△ABC，从而证得AB是圆O的直径，即可求
①
得x的值， 如果△DEC∽△BAC时，先证得四边形AODE是平行四边形，进
而根据余弦函数即可求得．
②
【解答】解：（1）如图1，连接OD，
∵OB＝OD，AB＝AC，
∴∠B＝∠ODB．∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴ ＝ ．
∵AB＝AC＝5，BC＝6，OB＝x，DC＝y，
∴ ＝ ，
∴y＝﹣ x+6．
∵O为边AB上一动点（不与A、B重合），
∴0＜x＜5；
∴y关于x的函数关系式为y＝﹣ x+6，定义域为0＜x＜5；
第26页（共29页）（2）如图2，当 O与AC相切时，设切点为M， O与线段AC有且只有一个交点
作BN⊥AC于N，连接OM，
⊙ ⊙
∴OM⊥AC，
∴OM∥BN，
∴ ＝ ，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BC边上的高为4，
∵ BC×4＝ AC•BN，
∴BN＝ ，
∴ ＝ ，
解得x＝ ，
∴x＝ 或2.5＜x＜5时， O与线段AC有且只有一个交点．
（3）如图3， 若以AB为直⊙径作圆O，交AC于E时，根据圆内接四边形的性质
∠EDC＝∠A，∠DEC＝∠B，
①
则△DEC∽△ABC，
此时x＝ AB＝ ．
若DE∥AB时，如图4，∵OB＝OD＝x，
∴∠B＝∠ODB，
②
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴DE＝OA＝5﹣x，∠ODE＝∠A，
作CM⊥AB于M，ON⊥DE于N，
第27页（共29页）∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴52﹣AM2＝62﹣（5﹣AM）2，
解得AM＝ ，
∴cos∠A＝ ＝ ＝ ，
∵OD＝OE，
∴DN＝ DE＝ ，
∴cos∠ODE＝ ＝cos∠A＝ ，即 ＝ ，
解得x＝ ．
综上，当△DEC与△ABC相似时，x的值为 或 ．
第28页（共29页）【点评】本题考查了切线的性质，三角形相似的判定和性质，三角形的面积等，作
出辅助线构建相似三角形是本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:07:22；用户：甘磊；邮箱：orFmNt__mrhHvuyQQ587Kva-SkWk@weixin.jyeoo.com；学号：25899201
第29页（共29页）
