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2015 年上海市嘉定区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在相应的括号里
1．（4分）下列实数中，属无理数的是（ ）
A． B．1.010010001
C． D．cos60°
2．（4分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．﹣a＞﹣b C． a＜ b D．2a＞2b
3．（4分）数据6，7，7，6，13，5，6，8的众数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．5或6或7
4．（4分）抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点
坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣2，0）
5．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．菱形的对角线互相平分且相等
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
6．（4分）Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作
圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都等于2，那么下列结论正确的是（ ）
A．圆A与圆B外离 B．圆B与圆C外离
C．圆A与圆C外离 D．圆A与圆B相交
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）请将结果直接填入相应横线
上
7．（4分）计算：（﹣ ）2= ．
8．（4分）计算：﹣2x（x﹣2）= ．
9．（4分）方程 =3的解是 ．
第1页（共25页）10．（4分）函数y= 的定义域是 ．
11．（4分）如果正比例函数y=kx（k常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，2），那么这个
函数的解析式是 ．
12．（4分）抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），那么m= ．
13．（4分）某班40名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额
如图所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中40个捐款额的中
位数是 元．
14．（4分）在不透明的袋中装有2个红球、5个白球和3个黑球，它们除颜色外其
它都相同，如果从这不透明的袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为黑
球的概率是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，点M在边BC上，MC=2BM，设向量 = ， = ，那
么向量 = （结果用 、 表示）．
16．（4分）如图，在平行四边形ADBO中，圆O经过点A、D、B，如果圆O的半径
OA=4，那么弦AB= ．
第2页（共25页）17．（4分）我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和
Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么
△ABC和△ACD的外心距是 ．
18．（4分）在矩形ABCD中，AD=15，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻
折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为点G，如图，如果AD=3GD，那么
DE= ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ﹣ + ，其中x= ﹣1．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如
图1．已知原来三角形绿化地中道路AB长为16 米，在点B的拐弯处道路AB
与BC所夹的∠B为45°，在点C的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为
2（即tan∠C=2），如图2．
第3页（共25页）（1）求拐弯点B与C之间的距离；
（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点
D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，求圆O的半径长．
22．（10分）已知一水池的容积V（公升）与注入水的时间（t 分钟）之间开始是一次
函数关系，表中记录的是这段时间注入水的时间与水池容积部分对应值．
注入水的时间t（分钟） 0 10 … 25
水池的容积V（公升） 100 300 … 600
（1）求这段时间时V关于t的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；
（2）从t为25分钟开始，每分钟注入的水量发生变化了，到t为27分钟时，水池
的容积为726公升，如果这两分钟中的每分钟注入的水量增长的百分率相同，
求这个百分率．
23．（12分）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，点E在
边AD的右侧，联结CE．
（1）求证：∠ACE=60°；
（2）在边AB上取一点F，使BF=BD，联结DF、EF．求证：四边形CDFE是等腰梯形．
24．（12分）已知平面直角坐标系xOy（如图），双曲线y= （k≠0）与直线y=x+2都
经过点A（2，m）．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B（n，2），过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点
C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
第4页（共25页）（3）若（2）的条件下，设直线y=x+2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果
以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，Rt△ABC绕着点B按顺时针方向旋转，
使点C落在斜边AB上的点D处，设点A旋转后与点E重合，连接AE，过点E作
直线EM与射线CB垂直，交点为M．
（1）若点M与点B重合，如图1，求cot∠BAE的值；
（2）若点M在边BC上如图2，设边长AC=x，BM=y，点M不与点B重合，求y关于
x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若∠BAE=∠EBM，求斜边AB的长．
第5页（共25页）2015 年上海市嘉定区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号填在相应的括号里
1．（4分）下列实数中，属无理数的是（ ）
A． B．1.010010001
C． D．cos60°
【考点】26：无理数．
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【分析】根据无理数的三种形式求解．
【解答】解： =3 ，是无理数．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①
开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．
2．（4分）如果a＞b，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A．a﹣b＜0 B．﹣a＞﹣b C． a＜ b D．2a＞2b
【考点】C2：不等式的性质．
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【分析】根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等
式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）
同一个负数，不等号的方向改变．
【解答】解：A、不等式的两边都减b，不等号的方向不变，故A错误；
B、不等式的两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故B错误；
C、不等式的两边都乘以 ，不等号的方向不变，故C错误；
D、不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，故D正确；
故选：D．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等
式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本
第6页（共25页）性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，不等式两
边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式两边乘（或除以）同一
个负数，不等号的方向改变．
3．（4分）数据6，7，7，6，13，5，6，8的众数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．5或6或7
【考点】W5：众数．
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【分析】直接根据众数的定义求解．
【解答】解：数据6，7，7，6，13，5，6，8中6出现了3次，出现次数最多，所以此数
据的众数为6．
故选：B．
【点评】本题考查了众数：在一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．
4．（4分）抛物线y=﹣（x+2）2﹣3向右平移了3个单位，那么平移后抛物线的顶点
坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣3） B．（1，﹣3） C．（﹣1，﹣3） D．（﹣2，0）
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行解答．
【解答】解：抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标是（﹣2，﹣3），向右平移3个单位
后，所得抛物线的顶点坐标是（﹣2+3，﹣3），即（1，﹣3）．
故选：B．
【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加
下减．
5．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．菱形的对角线互相平分且相等
B．矩形的对角线互相垂直平分
C．对角线相等且垂直的四边形是正方形
D．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据菱形的性质对A进行判断；根据矩形的性质对B进行判断；根据正方
形的判定方法对C进行判断；根据平行四边形的判定方法对D进行判断．
【解答】解：A、菱形的对角线互相平分且垂直，所以A选项错误；
第7页（共25页）B、矩形的对角线互相平分且相等，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项错误；
D、对角线互相平分的四边形为平行四边形，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是
由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，
一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实
的，这样的真命题叫做定理．
6．（4分）Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，以点A、B、C为圆心的圆分别记作
圆A、圆B、圆C，这三个圆的半径长都等于2，那么下列结论正确的是（ ）
A．圆A与圆B外离 B．圆B与圆C外离
C．圆A与圆C外离 D．圆A与圆B相交
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据三角形的三边长确定两圆的圆心距，与两圆的半径的和比较后即可
确定正确的选项．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=BC=4，
∴AB= AC=4 ，
∵三个圆的半径长都等于2，
∴圆A与圆C外切，圆B与圆C外切，圆A与圆B外离，
故选：A．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据圆的两边的长求得第
三边的长，然后根据两圆的半径之和和两圆的圆心距的大小关系确定两圆的
位置关系，难度不大．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）请将结果直接填入相应横线
上
7．（4分）计算：（﹣ ）2= ．
【考点】1E：有理数的乘方．
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【分析】本题考查有理数的乘方运算，（﹣ ）2表示2个（﹣ ）的乘积．
第8页（共25页）【解答】解：（﹣ ）2= ．
故答案为： ．
【点评】乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负数的奇数
次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
8．（4分）计算：﹣2x（x﹣2）= ﹣ 2 x 2 + 4 x ．
【考点】4A：单项式乘多项式．
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【分析】直接利用单项式乘以多项式运算法则求出即可．
【解答】解：﹣2x（x﹣2）=﹣2x2+4x．
故答案为：﹣2x2+4x．
【点评】此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
9．（4分）方程 =3的解是 x=﹣8 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】先把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可．
【解答】解：两边平方得：1﹣x=9，
x=﹣8，
检验：当x=﹣8时，
原方程的左边=3，右边=3，
则x=﹣8是原方程的根．
故答案为：x=﹣8．
【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程时最常用的方法是两边平方法
及换元法，本题用了平方法；注意要把求得的x的值代入原方程进行检验．
10．（4分）函数y= 的定义域是 x ≠ 2 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分式有意义的条件是分母不为0；分析原函数式可得关系式4﹣
2x≠0，解可得自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意，有4﹣2x≠0，
解可得x≠2；
第9页（共25页）故函数y= 的定义域是x≠2．
故答案为x≠2．
【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
11．（4分）如果正比例函数y=kx（k常数，k≠0）的图象经过点（﹣1，2），那么这个
函数的解析式是 y=﹣2 x ．
【考点】FB：待定系数法求正比例函数解析式．
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【分析】首先把（﹣1，2）代入正比例函数y=kx中可得k的值，进而得到函数解析式．
【解答】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点（﹣1，2），
∴2=﹣1×k，
解得：k=﹣2，
∴该正比例函数的解析式为y=﹣2x，
故答案为：y=﹣2x．
【点评】此题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式，关键是掌握凡是函数
经过的点必能满足解析式．
12．（4分）抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），那么m= ﹣ 2 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】把（0，﹣4）代入抛物线的解析式得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+2x+m﹣2与y轴的交点为（0，﹣4），
∴m﹣2=﹣4，
解得：m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，函数与 x轴交点坐标就要
y=0，函数与y轴的交点坐标就要x=0．
13．（4分）某班40名学生参加了一次“献爱心一日捐”活动，捐款人数与捐款额
如图所示，根据图中所提供的信息，你认为这次捐款活动中40个捐款额的中
位数是 1 5 元．
第10页（共25页）【考点】VD：折线统计图；W4：中位数．
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【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个
数的平均数为中位数．
【解答】解：∵捐款的总人数为40，第20个与第21个数据都是15元，
∴中位数是15元．
故答案为：15．
【点评】此题考查了中位数的求法：给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇
数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数
就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数的，但中位数不一定是这组数
据里的数．
14．（4分）在不透明的袋中装有2个红球、5个白球和3个黑球，它们除颜色外其
它都相同，如果从这不透明的袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为黑
球的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】由在不透明的袋中装有2个红球、5个白球和3个黑球，它们除颜色外其
它都相同，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在不透明的袋中装有2个红球、5个白球和3个黑球，它们除颜色外
其它都相同，
∴如果从这不透明的袋里随机摸出一个球，所摸到的球恰好为黑球的概率是：
= ．
故答案为： ．
第11页（共25页）【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
15．（4分）如图，在△ABC中，点M在边BC上，MC=2BM，设向量 = ， = ，那
么向量 = 3 ﹣3 （结果用 、 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由向量 = ， = ，利用三角形法则，可求得 ，然后由点M在边BC上，
MC=2BM，即可求得答案．
【解答】解：∵向量 = ， = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ，
∵点M在边BC上，MC=2BM，
∴ =3 =3 ﹣3 ．
故答案为：3 ﹣3 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．
16．（4分）如图，在平行四边形ADBO中，圆O经过点A、D、B，如果圆O的半径
OA=4，那么弦AB= 4 ．
【考点】LA：菱形的判定与性质；M2：垂径定理．
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【分析】由四边形ADBO是平行四边形，OA=OB，有一组邻边相等的平行四边形是
第12页（共25页）菱形，得到 ▱ADBO是菱形，证得AB，OD互相垂直平分，再由勾股定理求得结
果．
【解答】解：∵四边形ADBO是平行四边形，
∵OA=OB，
∴ ▱ADBO是菱形，
∴AB，OD互相垂直平分，
∴OC= OD= OA=2，
∴AC= =2 ，
∴AB=2AC=4 ．
故答案为：4 ．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，勾股定理的应用，圆的性质，熟记同圆的
半径相等是解题的关键．
17．（4分）我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距．如图，在Rt△ABC和
Rt△ACD中，∠ACB=∠ACD=90°，点D在边BC的延长线上，如果BC=DC=3，那么
△ABC和△ACD的外心距是 3 ．
【考点】MA：三角形的外接圆与外心．
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【专题】23：新定义．
【分析】利用直角三角形的性质得出两三角形的外心距为△ABD的中位线，即可
得出答案．
第13页（共25页）【解答】解：∵∠ACB=∠ACD=90°，
∴Rt△ABC和Rt△ACD分别是AB，AD的中点，
∴两三角形的外心距为△ABD的中位线，即为 BD=3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了三角形的外心，得出外心的位置是解题关键．
18．（4分）在矩形ABCD中，AD=15，点E在边DC上，联结AE，△ADE沿直线AE翻
折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为点G，如图，如果AD=3GD，那么
DE= 3 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】11：计算题．
【分析】作 EH⊥FG 于 H，如图，设 DE=x，先根据折叠的性质得 AF=AD=15，
EF=DE=x，再利用AD=3GD可计算出DG=5，AG=10，则在Rt△AFG中，根据勾股
定理可计算出 FG=5 ，接着利用四边形 DEHG 为矩形得到 HG=DE=x，
HE=GD=5，所以 HF=FG﹣HG=5 ﹣x，然后在 Rt△FHE中利用勾股定理得到
52+（5 ﹣x）2=x2，然后解方程求出x即可．
【解答】解：作EH⊥FG于H，如图，设DE=x，
∵△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，
∴AF=AD=15，EF=DE=x，
∵AD=3GD，
∴DG=5，
∴AG=10，
在Rt△AFG中，FG= = =5 ，
易得四边形DEHG为矩形，
∴HG=DE=x，HE=GD=5，
第14页（共25页）∴HF=FG﹣HG=5 ﹣x，
在Rt△FHE中，∵HE2+HF2=EF2，
∴52+（5 ﹣x）2=x2，解得x=3 ，
即DE=3 ．
故答案为3 ．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后
图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性
质和勾股定理．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ﹣ + ，其中x= ﹣1．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式前两项约分后，利用同分母分式的加减法则计算得到最简结果，把x
的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= ﹣ +
= ﹣ +
=
= ，
当x= ﹣1时，原式= = +1．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
第15页（共25页）20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】把方程②通过因式分解化为两个二元一次方程，把这两个方程分别与①
组成方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：由②得，x+y=0，x﹣6y=0，
得到方程组 ， ，
第一个方程组的解为： ，
第二个方程组的解为： ．
所以方程组的解： ， ．
【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，通过因式分解把其中的二元二次
方程化为两个二元一次方程是解题的关键，本题也可以用代入法解方程组．
21．（10分）某住宅小区将现有一块三角形的绿化地改造为一块圆形的绿化地如
图1．已知原来三角形绿化地中道路AB长为16 米，在点B的拐弯处道路AB
与BC所夹的∠B为45°，在点C的拐弯处道路AC与BC所夹的∠C的正切值为
2（即tan∠C=2），如图2．
（1）求拐弯点B与C之间的距离；
（2）在改造好的圆形（圆O）绿化地中，这个圆O过点A、C，并与原道路BC交于点
D，如果点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，求圆O的半径长．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】（1）作AE⊥BC于E，根据正弦函数求得AE，根据等腰直角三角形的性质
求得BE，根据正切函数求得EC，进而即可求得BC；
第16页（共25页）（2）连接AD，先根据已知求得三角形ADC是等腰三角形，进而根据垂径定理的推
论求得AE经过圆心，连接OC，根据勾股定理即可求得圆的半径．
【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，
∵∠B=45°，
∴AE=AB•sin45°=16 × =16，
∴BE=AE=16，
∵tan∠C=2，
∴ =2，
∴EC= =8，
∴BC=BE+EC=16+8=24；
（2）连接AD，
∵点A是圆弧（优弧）道路DC的中点，
∴∠ADC=∠C，
∴AD=AC，
∴AE垂直平分DC，
∴AE经过圆心，
设圆O的半径为r，
∴OE=16﹣r，
在RT△OEC中，OE2+EC2=OC2，
即（16﹣r）2+82=r2，
解得r=10，
∴圆O的半径为10．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，这就要求学生把实际问题转化为直角
第17页（共25页）三角形的问题，利用三角函数解决问题．
22．（10分）已知一水池的容积V（公升）与注入水的时间（t 分钟）之间开始是一次
函数关系，表中记录的是这段时间注入水的时间与水池容积部分对应值．
注入水的时间t（分钟） 0 10 … 25
水池的容积V（公升） 100 300 … 600
（1）求这段时间时V关于t的函数关系式（不需要写出函数的定义域）；
（2）从t为25分钟开始，每分钟注入的水量发生变化了，到t为27分钟时，水池
的容积为726公升，如果这两分钟中的每分钟注入的水量增长的百分率相同，
求这个百分率．
【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设V关于t的函数关系式为V=kt+b，根据图表所给出的数据代入计算
即可得出这段时间时V关于t的函数关系式；
（2）设这个百分率为x，根据t为25分钟时水池的容积是600公升和t为27分钟
时，水池的容积为726公升，列出方程，求解即可．
【解答】解：（1）设V关于t的函数关系式为V=kt+b，由题意，得
，
解得： ．
则这段时间时V关于t的函数关系式是V=20t+100；
（2）设这个百分率为x，根据题意得：
600（1+x）2=726，
解得：x =0.1=10%，x =﹣2.1（舍去）．
1 2
答：这个百分率为10%．
【点评】本题考查了一次函数和一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的
意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
23．（12分）如图，已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在边BC上，点E在
边AD的右侧，联结CE．
（1）求证：∠ACE=60°；
（2）在边AB上取一点F，使BF=BD，联结DF、EF．求证：四边形CDFE是等腰梯形．
第18页（共25页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；LK：等腰梯形的判
定．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据∠BAD+∠CAD=60°，∠EAC+∠CAD=60°，得到∠BAD=∠EAC，证明
△ABD≌△ACE，得到答案；
（2）证明四边形BCEF是平行四边形，得到EF∥BC，再证明DF=CE即可．
【解答】证明：（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠BAD+∠CAD=60°，∠EAC+∠CAD=60°，
∴∠BAD=∠EAC，
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=60°；
（2）∵∠ACE=60°，∠ABD=60°，∠ACB=60°，
∴EC∥AB，
∵BF=BD，BD=CE，∴BF=CE，
∴四边形BCEF是平行四边形，
∴EF∥BC，
∵∠ABD=60°，BF=BD，
∴BF=DF，又BD=CE，
∴DF=CE，EF∥BC，
∴四边形CDFE是等腰梯形．
【点评】本题考查的是等边三角形的性质和等腰梯形的判定，找出三角形全等的
条件是解题的关键，证明等腰梯形时，先证明一组对边平行，再证明另一组对
第19页（共25页）边相等．
24．（12分）已知平面直角坐标系xOy（如图），双曲线y= （k≠0）与直线y=x+2都
经过点A（2，m）．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B（n，2），过点B的直线BC与直线y=x+2平行交y轴于点
C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）若（2）的条件下，设直线y=x+2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果
以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】（1）可把A点坐标代入直线解析式求得m，再把A点坐标代入反比例函
数解析式可求得k；
（2）可先求得B点坐标，再求得直线BC的方程，可求得C点坐标，可判断△ABC
为直角三角形，可求得其面积；
（3）先求得D点坐标，计算出AD、CD、AC长，结合条件只有△ACD∽△CAE，再由
相似三角形的性质可求得CE长，设出E点坐标，表示出CE长，可求得E点坐标．
【解答】解：（1）∵直线y=x+2都经过点A（2，m），
∴m=2+2=4，则A（2，4），
∵双曲线y= （k≠0）经过点A，
∴k=2×4=8；
（2）∵双曲线经过点B（n，2），
∴2n=8，解得n=4，
∴B（4，2），
第20页（共25页）由题意可设直线BC解析式为y=x+b，
把B点坐标代入可得2=4+b，解得b=﹣2，
∴直线BC解析式为y=x﹣2，
∴C（0，﹣2），
∴ AC= = =2 ， BC= = =4 ，
AB= = =2 ，
∴BC2+AB2=AC2，
∴△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴S = AB•BC= ×2 ×4 =8；
△ABC
（3）∵直线y=x+2与y轴交于点D，
∴D（0，2），
∴AD= =2 ，且AC=2
如图所示，
∵AD∥CE，
∴∠DAC=∠ACE，
若∠ACD=∠EAC，则AE∥CD，四边形AECD为平行四边形，此时△ADC≌△CEA，不
满足条件，
∴∠ACD=∠AEC，
第21页（共25页）∴△ACD∽△CAE，
∴ = ，即 = ，解得CE=10 ，
∵E点在直线BC上，
∴可设E（x，x﹣2）（x＞0），
又∵C（0，﹣2），
∴CE= = x，
∴ x=10 ，解得x=10，
∴E点坐标为（10，8）．
【点评】本题主要考查反比例函数的综合应用，涉及知识点有待定系数法求函数
解析式、直角三角形的判定、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等．
在（1）中注意反比例函数中k=xy的应用，在（2）中判定△ABC为直角三角形是
解题的关键，在（3）中根据相似求得CE的长是解题的关键．本题涉及知识点较
多，综合性较强，难度较大．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，Rt△ABC绕着点B按顺时针方向旋转，
使点C落在斜边AB上的点D处，设点A旋转后与点E重合，连接AE，过点E作
直线EM与射线CB垂直，交点为M．
（1）若点M与点B重合，如图1，求cot∠BAE的值；
（2）若点M在边BC上如图2，设边长AC=x，BM=y，点M不与点B重合，求y关于
x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）若∠BAE=∠EBM，求斜边AB的长．
【考点】RB：几何变换综合题．
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【专题】15：综合题．
第22页（共25页）【分析】（1）由旋转有，BC=BD=2，AC=ED，∠CBA=∠EBD=∠C=90°，通过计算出
AC=CB=2，AB=2 ，DE=DB=2，即可；
（2）由（1）中的结论得出△EDG∽△BDE，再由cos∠ABC= ，建立函数关系；
（3）由旋转有，AB=EB，∠AEB=∠BAE，∠CBA=x经过简单的计算出：HC=BC=2，
HB=HE=4，∠CBA=60°即可．
【解答】解：（1）由旋转有，BC=BD=2，AC=ED，∠CBA=∠EBD=∠C=90°，
∵EM⊥CB，
∴∠EBC=90°，
∴∠CBA=∠EBD=45°，
∴AC=CB=2，
∴AB=2 ，
∵DE=DB=2，
∴AD=AB﹣BD=2 ﹣2，
∴cot∠BAE= = ﹣1，
（2）设EM与边AB交于G，
由（1）有∠DEM+∠DGE=90°，∠BGM+∠ABM=90°，∠DGE=∠BGM，
∴∠DEM=∠CBA，∠EBD=∠CBA，
∴∠DEM=∠EBD，∠EDG=∠BDE，
∴△EDG∽△BDE，
∴ ，
∵BC=BD=2，AC=ED=x，
∴ ，
∴DG= ，
∵cos∠ABC= ，
∴AB= ，GB= ，
第23页（共25页）∴ ，
∴y= （0＜x＜2）
（3）延长EA，BC交于H，如图1，
由旋转有，AB=EB，∠AEB=∠BAE，∠CBA=x
∴∠ABE=x，∠BAE=∠EBM，
∴∠AEB=∠BAE=∠EBM=2x，
∵∠ABE+∠BAE+∠AEB=180°，
∴x=36°，
∴∠H=∠ABH=∠ABE=36°，
∠HBE=∠BAE=∠AEB=72°，
∴AH=AB=BE，HB=HE，
∵∠ACB=90°
∴HC=BC=2，
∴HB=HE=4，
∴△BAE∽△HBE，
∴ ，
∵BE=AB，
∴AE=HE﹣HA=4﹣AB，
∴ ，
∴AB=﹣2+2 或AB=﹣2﹣2 （舍），
第24页（共25页）当点M在CB延长线时，如图2，
∵∠AEB=∠BAE=∠EBM，
∴∠AEB=∠EBM，
∴AE∥MC，
∴∠BAE=∠CBA，
∵∠CBA=∠EBA，
∴∠EBM=∠CBA=∠EBA，
∴∠CBA=60°，
∵cos∠CBA= ，
∴BC=2，
∴AB=4，
即：AB=﹣2+2 或4．
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了平移，旋转的性质，三角函数相似三
角形的性质和判定，由平移，旋转得出结论是解本题的关键．
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日期：2018/12/24 0:28:42；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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