文档内容
2015年上海市嘉定区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，
有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上．】
1．（4分）对于抛物线y＝（x﹣2）2，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标是（2，0） B．顶点坐标是（0，2）
C．顶点坐标是（﹣2，0） D．顶点坐标是（0，﹣2）
2．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（ ）
A．a＞0，b＞0； B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等
式中正确的是（ ）
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanB＝ D．cotA＝
4．（4分）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO：DO＝1：2，那么下列式
子正确的是（ ）
A．BO：BC＝1：2 B．CD：AB＝2：1 C．CO：BC＝1：2 D．AD：DO＝3：1
5．（4分）已知非零向量 、 和 ，下列条件中，不能判定 ∥ 的是（ ）
A． ＝﹣2 B． ＝ ， ＝3
C． +2 ＝ ， ﹣ ＝﹣ D．| |＝2| |
6．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．以点A为圆心，半径为
3cm的圆记作圆A，以点B为圆心，半径为4cm的圆记作圆B，则圆A与圆B的
位置关系是（ ）
第1页（共24页）A．外离 B．外切 C．相交 D．内切．
二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题
纸的相应位置】
7．（4分）如果函数y＝（a﹣1）x2是二次函数，那么a的取值范围是 ．
8．（4分）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y＝x2+2向上平移2个单位，那么
所得抛物线的表达式为 ．
9．（4分）已知抛物线y＝x2+2x﹣1的对称轴为l，如果点M（﹣3，0）与点N关于这
条对称轴l对称，那么点N的坐标是 ．
10．（4分）请写出一个经过点（0，1），且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表
达式，这条抛物线的表达式可以是 ．
11．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝ ．
12．（4分）如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的对应中线的比为
．
13．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交DC的
延长线于点F，AB＝2，BE＝3EC，那么DF的长为 ．
14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝12，那么AC＝ ．
15．（4分）小杰在楼上点A处看到楼下点B处的小丽的俯角是36°，那么点B处
的小丽看点A处的小杰的仰角是 度．
16．（4分）正九边形的中心角等于 度．
17．（4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如
果BC＝6，那么MN＝ ．
第2页（共24页）18．（4分）在△ABC中，AB＝9，AC＝5，AD是∠BAC的平分线交BC于点D（如
图），△ABD沿直线AD翻折后，点B落到点B 处，如果∠B DC＝ ∠BAC，那
1 1
么BD＝ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|1﹣sin30°|+ cot30°•tan60°+ ．
20．（10分）已知二次函数y＝mx2﹣2x+n（m≠0）的图象经过点（2，﹣1）和（﹣1，
2），求这个二次函数的解析式，并求出它的图象的顶点坐标和对称轴．
21．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，
∠ANC＝30°，ON：AN＝2：3，OM⊥CD，垂足为点M．
（1）求OM的长；
（2）求弦CD的长．
22．（10分）如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1：2，斜坡AB
的长为6 米，车库的高度为AH（AH⊥BC），为了让行车更安全，现将斜坡的
坡角改造为14°（图中的∠ACB＝14°）．
（1）求车库的高度AH；
（2）求点B与点C之间的距离（结果精确到1米）．
（参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25，cot14＝4.01）
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC＝∠DAG，
第3页（共24页）∠CDG＝∠BAD．
（1）求证： ＝ ；
（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC＝90°．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（8，0），点B在y轴的正
半轴上，且cot∠OAB＝ ，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求b、c的值；
（2）过点B作CB⊥OB，交这个抛物线于点C，以点C为圆心，CB为半径长的圆
记作圆C，以点A为圆心，r为半径长的圆记作圆A．若圆C与圆A外切，求r的
值；
（3）若点D在这个抛物线上，△AOB的面积是△OBD面积的8倍，求点D的坐标．
25．（14分）已知在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，点P是边AC上的一个动点，
∠APD＝∠ABC，AD∥BC，连接DC．
（1）如图1，如果DC∥AB，求AP的长；
（2）如图2，如果直线DC与边BA的延长线交于点E，设AP＝x，AE＝y，求y关于
x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如图3，如果直线DC与边BA的反向延长线交于点F，连接BP，当△CPD与
△CBF相似时，试判断线段BP与线段CF的数量关系，并说明你的理由．
第4页（共24页）第5页（共24页）2015 年上海市嘉定区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每小题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，
有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上．】
1．（4分）对于抛物线y＝（x﹣2）2，下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标是（2，0） B．顶点坐标是（0，2）
C．顶点坐标是（﹣2，0） D．顶点坐标是（0，﹣2）
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣2）2的顶点坐标为（2，0），
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度
不大．
2．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（ ）
A．a＞0，b＞0； B．a＜0，b＞0 C．a＞0，b＜0 D．a＜0，b＜0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【分析】根据函数图象的特点：开口方向、对称轴等即可判断出a、b的符号．
【解答】解：如图所示，抛物线开口向上，则a＞0，
又因为对称轴在y轴右侧，故﹣ ＞0，
因为a＞0，所以b＜0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符
第6页（共24页）号由抛物线开口方向、对称轴确定．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列等
式中正确的是（ ）
A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanB＝ D．cotA＝
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做
∠A的正弦，记作sinA．
（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分
析即可．
【解答】解：A、cosA＝ ，故选项错误；
B、sinB＝ ，故选项错误；
C、tanB＝ ，故选项错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4．（4分）如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，AO：DO＝1：2，那么下列式
子正确的是（ ）
A．BO：BC＝1：2 B．CD：AB＝2：1 C．CO：BC＝1：2 D．AD：DO＝3：1
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】证明△AOB∽△DOC，得到AB：CD＝AO：DO＝1：2，即可解决问题．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
第7页（共24页）∴AB：CD＝AO：DO＝1：2，
∴CD：AB＝2：1，
故选：B．
【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题；解题的关键是
判断出△AOB∽△DOC．
5．（4分）已知非零向量 、 和 ，下列条件中，不能判定 ∥ 的是（ ）
A． ＝﹣2 B． ＝ ， ＝3
C． +2 ＝ ， ﹣ ＝﹣ D．| |＝2| |
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分
析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、 ＝﹣2 |，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；
B、 ＝ ， ＝3 ，则 ∥ ∥ ，故本选项错误；
C、由已知条件知 ＝﹣ ，3 ＝2 ，则 ∥ ∥ ，故本选项错误；
D、| |＝2| |只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反， 与 不一
定平行，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．
6．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm．以点A为圆心，半径为
3cm的圆记作圆A，以点B为圆心，半径为4cm的圆记作圆B，则圆A与圆B的
位置关系是（ ）
A．外离 B．外切 C．相交 D．内切．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】首先利用勾股定理求得斜边AB的长，然后与两圆的半径的和比较即可确
定两圆的位置关系．
【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，
第8页（共24页）∴AB＝ ＝5cm，
∵以点A为圆心，半径为3cm的圆记作圆A，以点B为圆心，半径为4cm的圆记
作圆B，
∴两圆的半径之和为7cm，大于AB的长，
∴两圆相交，
故选：C．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是利用勾股定理求得斜边的
长，难度不大．
二、填空题：（本大题共12题，每小题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题
纸的相应位置】
7．（4分）如果函数y＝（a﹣1）x2是二次函数，那么a的取值范围是 a ＞ 1 或 a ＜ 1
．
【考点】H1：二次函数的定义．
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【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
【解答】解：由y＝（a﹣1）x2是二次函数，得
a﹣1≠0．解得a≠1，
即a＞1或a＜1，
故答案为：a＞1或a＜1．
【点评】本题考查二次函数的定义，注意二次函数二次项的系数不能为零．
8．（4分）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y＝x2+2向上平移2个单位，那么
所得抛物线的表达式为 y ＝ x 2 + 4 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新
抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，2），向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为
（0，4）；
则新抛物线的解析式为：y＝x2+4．
故答案是：y＝x2+4．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决
第9页（共24页）本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
9．（4分）已知抛物线y＝x2+2x﹣1的对称轴为l，如果点M（﹣3，0）与点N关于这
条对称轴l对称，那么点N的坐标是 （ 1 ， 0 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】首先确定该二次函数的对称轴，然后根据关于对称轴对称的两点到对称
轴的距离相等确定正确的选项．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣1的对称轴为l，
∴l：x＝﹣ ＝﹣1，
∵点M（﹣3，0）与点N关于这条对称轴l对称，
∴设N（a，0），则 ＝﹣1，
解得：a＝1，
故点N的坐标为（1，0），
故答案为（1，0）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解位于抛物线上的纵坐标
相同的点到对称轴的距离相等．
10．（4分）请写出一个经过点（0，1），且在对称轴右侧部分是下降的抛物线的表
达式，这条抛物线的表达式可以是 y ＝﹣ x 2 + 1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】26：开放型．
【分析】首先根据在对称轴右侧部分是下降确定其开口方向，然后根据经过的点
的坐标确定解析式即可．
【解答】解：∵在对称轴右侧部分是下降，
∴设抛物线的解析式为y＝﹣x2+b，
∵经过点（0，1），
∴解析式可以是y＝﹣x2+1，
故答案为：y＝﹣x2+1．
【点评】考查了二次函数的性质，掌握二次函数在对称轴两侧的增减性相反是解
题的关键，即根据增减性可以确定出开口方向进而确定出a的符号．
11．（4分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝ 2 ．
第10页（共24页）【考点】S2：比例线段．
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【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．
【解答】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝4，
∴b＝±2（负数舍去）．
故答案是：2．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．
12．（4分）如果两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的对应中线的比为
1 ： 2 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比可求得其相似比，再根据对应中线
的比等于相似比可得到答案．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为1：2，
∴两个相似三角形的相似比为1：2，
∴对应中线的比为1：2，
故答案为：1：2．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比、对应中线比
等于相似比是解题的关键．
13．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，射线AE交DC的
延长线于点F，AB＝2，BE＝3EC，那么DF的长为 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】如图，证明AB∥CD，CD＝AB＝2，得到△ABE∽△FCE，列出比例式求出
CF的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，
第11页（共24页）∴AB∥CD，CD＝AB＝2；
∴△ABE∽△FCE，
∴ ，
∴CF＝ ，DF＝2+ ＝ ，
故答案为 ．
【点评】该题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质的应用
问题；应牢固掌握平行四边形的性质、相似三角形的判定及其性质等知识点．
14．（4分）在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，BC＝12，那么AC＝ 5 ．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】先根据正切的定义得到sinA＝ ＝ ，则可得到AB＝13，然后根据勾股
定理计算AC的长．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，
∵sinA＝ ＝ ，BC＝12，
∴AB＝13，
∴AC＝ ＝5．
故答案为5．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过
程就是解直角三角形．
15．（4分）小杰在楼上点A处看到楼下点B处的小丽的俯角是36°，那么点B处
的小丽看点A处的小杰的仰角是 36 ° 度．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据仰角俯角的定义解答．
第12页（共24页）【解答】解：如图，点B处的小丽看点A处的小杰的仰角是36°．
故答案为36°．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，要求学生理解仰角
俯角的定义并灵活掌握．
16．（4分）正九边形的中心角等于 4 0 度．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】利用360度除以边数9，即可求解．
【解答】解：正九边形的中心角等于： ＝40°．
故答案是：40．
【点评】本题考查了正多边形的计算，理解正多边形的中心角相等是关键．
17．（4分）如图，AB、AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M、N，如
果BC＝6，那么MN＝ 3 ．
【考点】KX：三角形中位线定理；M2：垂径定理．
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【专题】11：计算题．
【分析】由OM垂直于AB，ON垂直于AC，利用垂径定理得到M与N分别为AB、
AC的中点，即MN为三角形ABC的中位线，利用中位线定理得到MN等于BC
的一半，即可求出MN的长．
【解答】解：∵OM⊥AB，ON⊥AC，
∴M、N分别为AB、AC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
第13页（共24页）∵BC＝6，
∴MN＝ BC＝3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了垂径定理，以及中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
18．（4分）在△ABC中，AB＝9，AC＝5，AD是∠BAC的平分线交BC于点D（如
图），△ABD沿直线AD翻折后，点B落到点B 处，如果∠B DC＝ ∠BAC，那
1 1
么BD＝ 6 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】如图，作辅助线；证明△ADB′∽△DCB′，得到 ；求出
AB′、CB′的长度；进而求出B′D的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意得：△ABD≌△AB′D，
∴BD＝B′D，∠B′AD＝∠BAD（设为 ）；
∵∠B′DC＝ ∠BAC， α
∴∠B′DC＝∠B′AD；而∠B′＝∠B′，
∴△ADB′∽△DCB′，
∴ ；
∵AD平分∠CA ① B，
∴ ，
设B′D＝BD＝9 ，则CD＝5 ；
∵△ABD≌△AB′D，
λ λ
∴AB′＝AB＝9，CB′＝9﹣5＝4，代入 并解得：
B′D＝6，
①
第14页（共24页）∴BD＝6．
故答案为6．
【点评】该题主要考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知
识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握相似三角形的判定及其性质．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：|1﹣sin30°|+ cot30°•tan60°+ ．
【考点】79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】利用特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算的顺序求解即可．
【解答】解：|1﹣sin30°|+ cot30°•tan60°+ ．
＝|1﹣ |+ × × + ，
＝ + + ，
＝﹣2 ．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算及特殊角的三角函数值，解题的关
键是熟记特殊角的三角函数值及二次根式的混合运算的顺序．
20．（10分）已知二次函数y＝mx2﹣2x+n（m≠0）的图象经过点（2，﹣1）和（﹣1，
2），求这个二次函数的解析式，并求出它的图象的顶点坐标和对称轴．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】把点（2，﹣1）和（﹣1，2）代入y＝mx2﹣2x+n（m≠0）求出m，n的值，即可
求出二次函数的解析式及它的图象的顶点坐标和对称轴．
【解答】解：由题意得
第15页（共24页），解得 ，
所以这个二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣1，
顶点坐标为（1，﹣2）对称轴是直线x＝1．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是利用待定
系数法求二次函数解析式．
21．（10分）如图，已知AB是圆O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，
∠ANC＝30°，ON：AN＝2：3，OM⊥CD，垂足为点M．
（1）求OM的长；
（2）求弦CD的长．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】（1）作辅助线；首先根据题意求出ON，根据30°角的直角三角形的性质即
可求得OM；
（2）借助勾股定理求出CM的长度，即可解决问题．
【解答】解：∵AB＝10，
∴OA＝5，
∵ON：AN＝2：3，
∴ON＝2，
∵∠ANC＝30°，
∴∠ONM＝30°，
∴OM＝ ON＝1；
（2）如图，连接OC，
由勾股定理得：
CM2＝CO2﹣OM2
＝25﹣1＝24，
∴CM＝2 ，
第16页（共24页）∴CD＝2CM＝4 ．
【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、含30°角的直角三角形的边角关系及其
应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解
答．
22．（10分）如图，某地下车库的入口处有斜坡AB，它的坡度为i＝1：2，斜坡AB
的长为6 米，车库的高度为AH（AH⊥BC），为了让行车更安全，现将斜坡的
坡角改造为14°（图中的∠ACB＝14°）．
（1）求车库的高度AH；
（2）求点B与点C之间的距离（结果精确到1米）．
（参考数据：sin14°＝0.24，cos14°＝0.97，tan14°＝0.25，cot14＝4.01）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】（1）利用坡度为i＝1：2，得出AH：BH＝1：2，进而利用勾股定理求出AH
的长；
（2）利用tan14°＝ ，求出BC的长即可．
【解答】解：（1）由题意可得：AH：BH＝1：2，
设AH＝x，则BH＝2x，
故x2+（2x）2＝（6 ）2，
解得：x＝6，
答：车库的高度AH为6m；
（2）∵AH＝6，∴BH＝2AH＝12，
∴CH＝BC+BH＝BC+12，
在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，
第17页（共24页）故tan∠ACB＝ ，
又∵∠ACB＝14°，
∴tan14°＝ ，
∴0.25＝ ，
解得：BC＝12，
答：点B与点C之间的距离是12m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，注意：坡度等于坡角的
正切值．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，且∠BAC＝∠DAG，
∠CDG＝∠BAD．
（1）求证： ＝ ；
（2）当GC⊥BC时，求证：∠BAC＝90°．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）证明∠ADG＝∠B，运用已知条件∠BAC＝∠DAG，得到
△ABC∽△ADG，即可解决问题．
（2）证明∠CDG＝∠CAG，得到A、D、C、G四点共圆，借助圆内接四边形对角互
补，即可解决问题．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
且∠CDG＝∠BAD，
∴∠ADG＝∠B；
第18页（共24页）∵∠BAC＝∠DAG，
∴△ABC∽△ADG，
∴ ＝ ．
（2）∵∠BAC＝∠DAG，
∴∠BAD＝∠CAG；
又∵∠CDG＝∠BAD，
∴∠CDG＝∠CAG，
∴A、D、C、G四点共圆，
∴∠DAG+∠DCG＝180°；
∵GC⊥BC，
∴∠DCG＝90°，
∴∠DAG＝90°，∠BAC＝∠DAG＝90°．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；同时还渗透了
对四点共圆的判定及其性质等几何知识点的考查；对综合的分析问题、解决问
题的能力提出了一定的要求．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A坐标为（8，0），点B在y轴的正
半轴上，且cot∠OAB＝ ，抛物线y＝﹣ x2+bx+c经过A、B两点．
（1）求b、c的值；
（2）过点B作CB⊥OB，交这个抛物线于点C，以点C为圆心，CB为半径长的圆
记作圆C，以点A为圆心，r为半径长的圆记作圆A．若圆C与圆A外切，求r的
值；
（3）若点D在这个抛物线上，△AOB的面积是△OBD面积的8倍，求点D的坐标．
第19页（共24页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据点A的坐标求出OA，再求出OB，然后写出点B的坐标，再把点
A、B的坐标代入抛物线解析式求解即可；
（2）先求出点C的坐标，再求出CB，再利用两点间的距离公式求出AC，然后根据
两圆外切的定义列式求解即可得到r；
（3）先求出△AOB的面积，再求出△OBD的面积，然后求出点D到OB的距离，
再根据抛物线解析式求解即可．
【解答】解：（1）∵A（8，0），
∴OA＝8，
∵cot∠OAB＝ ＝ ，
∴OB＝6，
∵点B在y轴正半轴上，
∴点B的坐标为（0，6），
∴ ，
解得 ；
（2）由（1）得抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+6，
∵CB⊥OB，点B（0，6），
∴点C的坐标为（5，6），
第20页（共24页）∴CB＝5，
∴AC＝ ＝3 ，
∵圆C与圆A外切，
∴CB+r＝AC，
∴r＝3 ﹣5；
（3）∵OA＝8，OB＝6，
∴S ＝ OA•OB＝ ×8×6＝24，
△AOB
∵△AOB的面积是△OBD面积的8倍，
∴S ＝ ×24＝3，
△OBD
∵点D在这个抛物线上，
∴可设点D的坐标为（x，﹣ x2+ x+6），
∴S ＝ ×|x|×OB＝3，
△OBD
∴x＝±1，
当x＝1时，﹣ x2+ x+6＝﹣ ×12+ ×1+6＝7，
当x＝﹣1时，﹣ x2+ x+6＝﹣ ×（﹣1）2+ ×（﹣1）+6＝ ，
所以，点D的坐标为（1，7）或（﹣1， ）．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，两
点间的距离公式，圆与圆的位置关系，三角形的面积，综合题但难度不大，要注
意（3）有两种情况．
25．（14分）已知在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，点P是边AC上的一个动点，
∠APD＝∠ABC，AD∥BC，连接DC．
（1）如图1，如果DC∥AB，求AP的长；
（2）如图2，如果直线DC与边BA的延长线交于点E，设AP＝x，AE＝y，求y关于
x的函数解析式，并写出它的定义域；
第21页（共24页）（3）如图3，如果直线DC与边BA的反向延长线交于点F，连接BP，当△CPD与
△CBF相似时，试判断线段BP与线段CF的数量关系，并说明你的理由．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）先证明△DPA∽△ABC，得出比例式 ，即可求出AP＝2；
（2）由（1）得出 ，AD＝2AP，再由AD∥BC，得出 ，即可得出y＝
；
（3）由△CPD∽△CBF，得出 ，得出 ，再由AD∥BC，得 ，
①
得出 ，由 解得x、y的值，得出BP是△ACF的中位线，即可得
② ①②
出结论：BP＝ CF．
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DAP＝∠ACB，
∵∠APD＝∠ABC，
∴△DPA∽△ABC，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，
∵AB＝AC＝8，
∴ ，
第22页（共24页）∴AP＝2；
（2）由（1）得， ，
∴AD＝2AP，
∵AD∥BC，
∴ ，
∵AP＝x，AE＝y，
∴AD＝2x，EB＝y+8，
∴ ，
∴y＝ ，它的定义域是0＜x＜2；
（3）BP＝ CF；
∵∠APD＝∠ABC，
∴∠DPC＝∠FBC，
∵∠PCD＞∠F，又△CPD与△CBF相似，
∴∠PCD＝∠BCF，
∴△CPD∽△CBF，
∴ ，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠APD＝∠ABC，∠DAP＝∠ACB，
∴∠DAP＝∠APD，
∴AD＝PD，
设AP＝x，BF＝y，则AD＝PD＝2x，AF＝y+8，
∴ ，
∵AD∥BC，①
∴ ，
第23页（共24页）∴ ，
由 得：② x＝4，y＝8，
∴AP＝PC＝4，AB＝BF＝8，
①②
∴BP是△ACF的中位线，
∴BP＝ CF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线四边形的性质、三角形的中
位线以及函数解析式的求法；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
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日期：2018/12/26 20:07:31；用户：甘磊；邮箱：orFmNt__mrhHvuyQQ587Kva-SkWk@weixin.jyeoo.com；学号：25899201
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