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2015 年上海市奉贤区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列计算中正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．a3•a3=a6 C．a3÷a3=0 D．（a3）3=a6．
2．（4分）二元一次方程x+2y=3的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
3．（4分）关于反比例函数 的图象，下列叙述错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象位于一、三象限
C．图象是轴对称图形
D．点（﹣1，﹣2）在这个图象上
4．（4分）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，这组数据的众数
与中位数分别为（ ）
A．9与8 B．8与9 C．8与8.5 D．8.5与9
5．（4分）相交两圆的圆心距是5，如果其中一个圆的半径是3，那么另外一个圆的
半径可以是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
6．（4分）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条
件是（ ）
第1页（共24页）A．∠B=45° B．∠BAC=90° C．BD=AC D．AB=AC
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）用代数式表示：a的5倍与b的 的差： ．
8．（4分）分解因式：x2﹣2x﹣15= ．
9．（4分）已知函数 ，那么f（﹣2）= ．
10．（4分）某红外线遥控器发出的红外线波长为0.00000094m，用科学记数法表
示这个数是 m．
11．（4分）若关于x的方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
为 ．
12．（4分）布袋中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其它都相同．如果从这
个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．
13．（4分）已知函数y=﹣2x+b，函数值y随x的增大而 （填“增大”或
“减小”）．
14．（4分）如果正n边形的中心角是40°，那么n= ．
15．（4分）已知△ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC．设 ， ，那么 等
于 （结果用 、 表示）．
16．（4分）小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为
米．
17．（4分）我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角
正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形
的面积等于 ．
18．（4分）如图，已知钝角三角形ABC，∠A=35°，OC为边AB上的中线，将△AOC
绕着点O顺时针旋转，点C落在BC边上的点C′处，点A落在点A′处，联结BA′，
如果点A、C、A′在同一直线上，那么∠BA′C′的度数为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
第2页（共24页）20．（10分）解不等式组： ，将其解集在数轴上表示出来，并写出这
个不等式组的最小整数解．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点
E，交BC的延长线于点D．
（1）求∠D的正弦值；
（2）求点C到直线DE的距离．
22．（10分）某学校组织为贫困地区儿童捐资助学的活动，其中七年级捐款总数为
1000元，八年级捐款总数比七年级多了20%．已知八年级学生人数比七年级
学生人数少25名，而八年级的人均捐款数比七年级的人均捐款数多4元．求
七年级学生人均捐款数．
23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，
∠DEC=∠ABC，且CD2=CE•CA．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：
四边形EFCD是菱形．
24．（12分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，顶
点为A
（1）求抛物线的表达式及顶点A的坐标；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP．
第3页（共24页）①当OA⊥OP时，求OP的长；
②过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B，联结OB，当∠OAP=∠OBP
时，求点B的坐标．
25．（14分）已知：如图，线段AB=8，以A为圆心，5为半径作圆A，点C在⊙A上，
过点C作CD∥AB交⊙A于点D（点D在C右侧），联结BC、AD．
（1）若CD=6，求四边形ABCD的面积；
（2）设CD=x，BC=y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取
何值时，CE∥AD．
第4页（共24页）2015 年上海市奉贤区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列计算中正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．a3•a3=a6 C．a3÷a3=0 D．（a3）3=a6．
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底
数幂的除法．
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【分析】根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据同底数
幂的除法，可判断C，根据幂的乘方，可判断D．
【解答】解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A错误；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B正确；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；
D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
2．（4分）二元一次方程x+2y=3的解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无数
【考点】93：解二元一次方程．
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【分析】由于二元一次方程x+2y=3是不定方程，所以有无数组解．
【解答】解：由二元一次方程的解的定义知，任意一个二元一次方程都有无数个解．
故选：D．
【点评】二元一次方程都有无数个解，但对于一些特殊解有有数个．
3．（4分）关于反比例函数 的图象，下列叙述错误的是（ ）
A．y随x的增大而减小
B．图象位于一、三象限
C．图象是轴对称图形
D．点（﹣1，﹣2）在这个图象上
【考点】G4：反比例函数的性质．
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第5页（共24页）【分析】根据k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限对B，C进行判断；
根据反比例函数图象上点的坐标特征对D进行判断；
根据反比例函数的增减性质对A进行判断．
【解答】解：k=2＞0，反比例函数的图象分布在第一、第三象限，图象是轴对称图形
所以B、C选项的说法正确；
需要强调在每一象限内，y的值随x的增大而减小，所以A选项的说法错误；
当x=﹣1时，y=﹣2，故D选项正确．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数的性质：y= （k≠0）的图象是双曲线；当k＞0，双
曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k
＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增
大．
4．（4分）一名射击运动员连续打靶8次，命中的环数如图所示，这组数据的众数
与中位数分别为（ ）
A．9与8 B．8与9 C．8与8.5 D．8.5与9
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【专题】27：图表型．
【分析】先读出数据，再按大小排列，然后利用众数、中位数的概念求解．这里中位
数是第4、5个数的平均数．
【解答】解：这组数据从小到大排列为7，8，8，8，9，9，10，10，众数为8，
中位数为 =8.5．
故选：C．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大
第6页（共24页）（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做
这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列
就会出错．
5．（4分）相交两圆的圆心距是5，如果其中一个圆的半径是3，那么另外一个圆的
半径可以是（ ）
A．2 B．5 C．8 D．10
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据数量关系来判断两圆的位置关系．设两圆的半径分别为 R和r，且
R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d=R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内
切，则d=R﹣r；内含，则d＜R﹣r．
【解答】解：设圆的半径为r，
∵两圆相交，
∴圆心距满足：r﹣3＜5＜r+3，
解得：2＜r＜8
∴满足条件的R只有B，
故选：B．
【点评】本题考查了由两圆位置关系的知识点，利用了两圆相交时，圆心距大于两
半径之差，小于两半径之和求解．
6．（4分）如图，已知AD是△ABC的边BC上的高，下列能使△ABD≌△ACD的条
件是（ ）
A．∠B=45° B．∠BAC=90° C．BD=AC D．AB=AC
【考点】KB：全等三角形的判定．
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【分析】添加AB=AC，可得△ABC是等腰三角形，再根据三线合一的性质可得
BD=CD，再利用SSS定理可判定△ABD≌△ACD．
【解答】解：当AB=AC时，△ABD≌△ACD，
∵AD是△ABC的边BC上的高，AB=AC，
第7页（共24页）∴BD=CD，
∵在△ABD和△ADC中 ，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
故选：D．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的
参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）用代数式表示：a的5倍与b的 的差： ．
【考点】32：列代数式．
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【分析】用a的5倍减去b的 列式得出答案即可．
【解答】解：a的5倍与b的 的差为：5a﹣ b．
故答案为：5a﹣ b．
【点评】此题考查列代数式，理解语言叙述的运算顺序与计算方法是解决问题的
关键．
8．（4分）分解因式：x2﹣2x﹣15= （ x﹣5 ）（ x + 3 ） ．
【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式利用十字相乘法分解即可．
【解答】解：原式=（x﹣5）（x+3）．
故答案为：（x﹣5）（x+3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题
的关键．
9．（4分）已知函数 ，那么f（﹣2）= 1 ．
【考点】E5：函数值．
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第8页（共24页）【分析】把自变量x的值代入函数解析式计算即可得解．
【解答】解：f（﹣2）= =1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了函数值的求解，把自变量的值代入函数解析式计算即可得解，
比较简单．
10．（4分）某红外线遥控器发出的红外线波长为0.00000094m，用科学记数法表
示这个数是 9. 4 × 1 0 ﹣ 7 m．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
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【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，
与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起
第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000094=9.4×10﹣7；
故答案为：9.4×10﹣7．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|
a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
11．（4分）若关于x的方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围
为 k ＞ ﹣ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】，由关于x的方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出
关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．
【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣k=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=4+4k＞0，
解得：k＞﹣1，
则k的取值范围为k＞﹣1．
故答案为：k＞﹣1
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）
中，当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；b2﹣4ac=0时，方程有两个
相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解．
12．（4分）布袋中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其它都相同．如果从这
第9页（共24页）个布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】根据概率公式，求摸到红球的概率，即用红球除以小球总个数即可得出得
到红球的概率．
【解答】解：∵一个布袋里装有2个红球和5个白球，
∴摸出一个球摸到红球的概率为： = ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公
式求出是解决问题的关键．
13．（4分）已知函数y=﹣2x+b，函数值y随x的增大而 减小 （填“增大”或
“减小”）．
【考点】F5：一次函数的性质．
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【分析】根据一次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：∵一次函数y=﹣x+b中．k=﹣2＜0，
∴函数值y随x的增大减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0
时，y随x的增大减小是解答此题的关键．
14．（4分）如果正n边形的中心角是40°，那么n= 9 ．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得．
【解答】解：n= =9．
故答案是：9．
【点评】本题考查了多边形的计算，正多边形的中心角相等，理解中心角的度数和
正多边形的边数之间的关系是关键．
15．（4分）已知△ABC中，点D在边BC上，且BD=2DC．设 ， ，那么 等
第10页（共24页）于 （结果用 、 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先根据题意画出图形，由BD=2DC，可求得 ，再利用三角形法则求解即
可求得答案．
【解答】解：如图，∵ ，BD=2DC，
∴ = = ，
∴ = + = + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关
键．
16．（4分）小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为
50 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，根据勾股
定理求出AB，然后根据题意可知AB=130米，求出x的值，继而可求得BC的值
【解答】解：∵坡比为1：2.4，
∴BC：AC=1：2.4，
设BC=x，AC=2.4x，
则AB= = =2.6x，
∵AB=130米，
∴x=50，
则BC=x=50（米）．
第11页（共24页）故答案为：50．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据勾股定理求出
AB，然后根据AB的长度求出x的值，难度一般．
17．（4分）我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角
正度值”．如果等腰三角形的腰长为2，“内角正度值”为45°，那么该三角形
的面积等于 2 或 1 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形．
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【专题】23：新定义．
【分析】根据新定理，设最小角为x，则最大角为x+45°，再分类讨论：当顶点为
x+45°时，根据三角形内角和可求得x=45°，则可判断此三角形为等腰直角三角
形，易得此三角形的面积=2；当顶点为x时，根据三角形内角和定理可求得
x=30°，所以此三角形为顶点为30度的等腰三角形，如图，AB=AC=2，∠A=30°，
作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，利用∠A=30°可得CD= AC=1，则根据三角形面
积公式计算出三角形ABC的面积= CD•AB=1，综上所述，该三角形的面积等于
1或2．
【解答】解：设最小角为x，则最大角为x+45°，
当顶点为x+45°时，则x+x+x+45°=180°，解得x=45°，所以此三角形为等腰直角三角
形，此三角形的面积= ×2×2=2；
当顶点为x时，则x+x+45°+x+45°=180°，解得x=30°，所以此三角形为顶点为30度
的等腰三角形，如图，AB=AC=2，∠A=30°，
作CD⊥AB于D，在Rt△ADC中，∵∠A=30°，
∴CD= AC=1，
第12页（共24页）∴三角形ABC的面积= CD•AB= ×1×2=1，
综上所述，该三角形的面积等于1或2．
故答案为1或2．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过
程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．
18．（4分）如图，已知钝角三角形ABC，∠A=35°，OC为边AB上的中线，将△AOC
绕着点O顺时针旋转，点C落在BC边上的点C′处，点A落在点A′处，联结BA′，
如果点A、C、A′在同一直线上，那么∠BA′C′的度数为 20 ° ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】根据旋转的性质得出OA=OA′，∠OA′C′=∠A=35°，根据三角形外角的性质
从 而 求 得 ∠ AOB=70° ， 证 得 OA′=OB ， 根 据 等 边 对 等 角 ， 得 出
∠OA′B=∠OBA′=55°，进而就可求得∠BA′C′=55°﹣35°=20°．
【解答】解：如图，将△AOC绕着点O顺时针旋转，点C落在BC边上的点C′处，点
A落在点A′处，
则OA=OA′，∠OA′C′=∠A=35°
∴∠OA′A=∠A=35°，
∴∠A'OB=70°
∵OC为边AB上的中线，
∴OA=OB，
∴OA′=OB，
第13页（共24页）∴∠OA′B=∠OBA′=55°，
∴∠BA′C′=55°﹣35°=20°．
故答案为20°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，
三角形的内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】先根据负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值
分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式=3 +2﹣ ﹣2× +
=3 +2﹣ ﹣ + ﹣1
=2 +1．
【点评】本题考查的是实数的运算，熟知负整数指数幂的计算法则、绝对值的性质
及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．
20．（10分）解不等式组： ，将其解集在数轴上表示出来，并写出这
个不等式组的最小整数解．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次
不等式组的整数解．
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【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来，写出
这个不等式组的最小整数解即可．
【解答】解： ，
第14页（共24页）由①得：x＞﹣2．
由②得：x≤4．
所以，原不等式组的解集是﹣2＜x≤4．
在数轴上表示为，
，
所以，这个不等式组的最小整数解是﹣1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小
大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=6，BC=4，AB的垂直平分线交AB于点
E，交BC的延长线于点D．
（1）求∠D的正弦值；
（2）求点C到直线DE的距离．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角形的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）过点A作AH⊥BC于点H．由等腰三角形三线合一的性质得出BH=
BC=2．在△ABH中，根据正弦函数的定义得出sin∠BAH= = ，根据三角形内
角和定理求出∠BAH=∠D=90°﹣∠B，则sin∠D=sin∠BAH= ；
（2）过点C作CM⊥DE于点M．解直角△BED，求出BD= =9，则CD=BD﹣
BC=5．再解直角△MCD，求出CM= ，即点C到DE的距离为 ．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥BC于点H．
∵AB=AC，BC=4，
第15页（共24页）∴BH= BC=2．
∵在△ABH中，∠BHA=90°，AB=6，
∴sin∠BAH= = = ，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴∠BED=90°，BE=3，
∴∠BED=∠BHA，
又∵∠B=∠B，
∴∠BAH=∠D，
∴sin∠D=sin∠BAH= ，
即∠D的正弦值为 ；
（2）过点C作CM⊥DE于点M．
∵在△BED中，∠BED=90°，sin∠D= ，BE=3，
∴BD= =9，
∴CD=BD﹣BC=9﹣4=5．
∵在△MCD中，∠CMD=90°，sin∠D= = ，
∴CM= CD= ，
即点C到DE的距离为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，
第16页（共24页）锐角三角函数的定义，准确作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）某学校组织为贫困地区儿童捐资助学的活动，其中七年级捐款总数为
1000元，八年级捐款总数比七年级多了20%．已知八年级学生人数比七年级
学生人数少25名，而八年级的人均捐款数比七年级的人均捐款数多4元．求
七年级学生人均捐款数．
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】设七年级人均捐款数为x元，则八年级人均捐款数为（x+4）元，由八年级
学生人数比七年级学生人数少25名建立方程求出其解即可．
【解答】解：设七年级人均捐款数为x元，则八年级人均捐款数为（x+4）元，根据题
意，得
．
整理，得x2+12x﹣160=0．
解得x =8，x =﹣20．
1 2
经检验：x =8，x =﹣20是原方程的解，x =﹣20不合题意，舍去．
1 2 2
∴x=8．
答：七年级人均捐款数为8元．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答
时由八年级学生人数比七年级学生人数少25名建立方程是关键．
23．（12分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是对角线AC上一点，
∠DEC=∠ABC，且CD2=CE•CA．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）分别过点E、B作AB和AC的平行线交于点F，联结CF，若∠FCE=∠DCE，求证：
四边形EFCD是菱形．
【考点】L6：平行四边形的判定；L9：菱形的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
第17页（共24页）【分析】（1）将乘积式整理成 = ，根据两边对应成比例，夹角相等，两三角形
相似求出△ECD 和△DCA 相似，再根据相似三角形对应角相等求出
∠ADC=∠DEC，从而得到∠ABC=∠ADC，再利用等角的补角相等求出
∠BAD=∠BCD，然后根据两组对角相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）根据平行四边形的定义求出四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对
边平行且相等可得AB∥EF，AB=EF，再求出CD∥EF，CD=EF，然后利用一组对边
平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形EFCD是平行四边形，根据两直
线平行，内错角相等可得∠FEC=∠ECD，从而求出∠FEC=∠FCE，根据等边对等
角可得EF=FC，再根据邻边相等的平行四边形是菱形求出平行四边形EFCD是
菱形．
【解答】（1）证明：∵CD2=CE•CA，
∴ = ，
∵∠ECD=∠DCA，
∴△ECD∽△DCA，
∴∠ADC=∠DEC，
∵∠DEC=∠ABC，
∴∠ABC=∠ADC，
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°，∠BAD+∠ADC=180°，
∴∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）证明：∵EF∥AB，BF∥AE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB∥EF，AB=EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴CD∥EF，CD=EF，
∴四边形EFCD是平行四边形，
第18页（共24页）∵CD∥EF，
∴∠FEC=∠ECD，
又∵∠DCE=∠FCE，
∴∠FEC=∠FCE，
∴EF=FC，
∴平行四边形EFCD是菱形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的
判定，等边对等角的性质，（1）难点在于把乘积式转化为比例式并确定出相似
三角形，（2）关键在于求出平行四边形．
24．（12分）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，顶
点为A
（1）求抛物线的表达式及顶点A的坐标；
（2）点P为抛物线对称轴上一点，联结OA、OP．
①当OA⊥OP时，求OP的长；
②过点P作OP的垂线交对称轴右侧的抛物线于点B，联结OB，当∠OAP=∠OBP
时，求点B的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛
物线解析式写出顶点坐标即可；
（2）设对称轴与x轴的交点为E，①求出∠OAE=∠EOP，然后根据锐角的正切值相
等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
②过点B作AP的垂线，垂足为F，根据抛物线解析式设出点B的坐标，然后表示
第19页（共24页）出BF、EF，在△AOE和△POB中，利用相等的锐角的正切值相等列式求出 =
= ，再求出△BPF与△POE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列出比
例式求解得到a的值，从而得解．
【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+x的对称轴为直线x=2，
∴﹣ =2，
∴a=﹣ ，
∴抛物线的表达式为：y=﹣ x2+x，
∴顶点A的坐标为（2，1）；
（2）设对称轴与x轴的交点为E．
①如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE= ，tan∠EOP= ，
∵OA⊥OP，
∴∠OAE=∠EOP，
∴ = ，
∵AE=1，OE=2，
∴ = ，
解得PE=4，
∴OP= =2 ；
②如图，过点B作AP的垂线，垂足为F，
设点B（a，﹣ a2+a），则BF=a﹣2，EF=﹣（﹣ a2+a）= a2﹣a，
在Rt△AOE和Rt△POB中，cot∠OAE= ，cot∠OBP= ，
第20页（共24页）∵∠OAE=∠OBP，
∴ = = ，
∵∠BFP=∠PEO，∠BPF=∠POE，
∴△BPF∽△POE，
∴ = = = ，
∵OE=2，
∴PF=1，
∴PE= a2﹣a+1，
∴ = ，
整理得，a2﹣12a+20=0，
解得a =10，a =2（不合题意，舍去），
1 2
∴点B的坐标是（10，﹣15）．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数
图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，一元
二次方程的解法，难点在于（2）②作辅助线构造出相似三角形并最终列出关于
点B的横坐标的比例式．
25．（14分）已知：如图，线段AB=8，以A为圆心，5为半径作圆A，点C在⊙A上，
过点C作CD∥AB交⊙A于点D（点D在C右侧），联结BC、AD．
（1）若CD=6，求四边形ABCD的面积；
第21页（共24页）（2）设CD=x，BC=y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（3）设BC的中点为M，AD的中点为N，线段MN交⊙A于点E，联结CE，当CD取
何值时，CE∥AD．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）作AH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得CH=DH= CD= ×6=3，再利
用勾股定理计算出AH=4，然后根据梯形的面积公式求解；
（2）作CP⊥AB于P，如图1，根据垂径定理得CH=DH= x，易得AP=CH= x，则
BP=AB﹣AP=8﹣ x，在Rt△PAC中利用勾股定理得到CP2=25﹣ x2，在Rt△BPC
中根据勾股定理得到y2=（8﹣ x）2+25﹣ x2=89﹣8x，然后利用算术平方根定
义即可得到y与x的关系；
（3）设AH交MN于点F，连结AE，如图2，易得MN为梯形ABCD的中位线，则
MN∥CD，当CE∥AD，则可判断四边形CEND为平行四边形，得到DC=NE=x，再
证明FN为△AHD的中位线得到FN= DH= x，所以EF= x，根据勾股定理得到
AF2=AE2﹣EF2，AF2=AN2﹣NF2，则AE2﹣EF2=AN2﹣NF2，即52﹣（ x）2=（ ）2﹣（
x）2，然后解方程即可．
【解答】解：（1）作AH⊥CD于H，如图，则CH=DH= CD= ×6=3，
在Rt△AHD中，∵AD=5，DH=3，
∴AH= =4，
第22页（共24页）∴四边形ABCD的面积= （CD+AB）•AH= ×（6+8）×4=28；
（2）作CP⊥AB于P，如图1，
∵AH⊥CD，CD=x
∴CH=DH= x，
∴AP=CH= x，
∴BP=AB﹣AP=8﹣ x，
在Rt△PAC中，∵AC2=AP2+CP2，
∴CP2=25﹣ x2，
在Rt△BPC中，∵BC2=BP2+CP2，
∴y2=（8﹣ x）2+25﹣ x2=89﹣8x，
∴y= （0＜x＜10）；
（3）设AH交MN于点F，连结AE，如图2，
∵CD∥AB，CD≠AB，
∴四边形ABCD为梯形，
∵BC的中点为M，AD的中点为N，
∴MN为梯形ABCD的中位线，
∴MN∥CD，
∵CE∥AD，
∴四边形CEND为平行四边形，
∴DC=NE=x，
∵FN∥CD，N点为AD的中点，
∴FN为△AHD的中位线，
∴FN= DH= x，
∴EF=x﹣ x= x，
第23页（共24页）在Rt△AEF中，AF2=AE2﹣EF2，
在Rt△AFN中，AF2=AN2﹣NF2，
∴AE2﹣EF2=AN2﹣NF2，即52﹣（ x）2=（ ）2﹣（ x）2，解得x= ．
即当CD为 时，CE∥AD．
【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、梯形的性质和平行四边形的
判定与性质；会运用三角形中位线和梯形中位线性质得到有关线段的数量关
系和位置关系；会运用勾股定理进行几何计算．
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日期：2018/12/24 0:26:29；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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