文档内容
2015 年上海市奉贤区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸的相应题号的选项上用2B铅笔填涂]
1．（4分）已知3x=2y，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．x=2，y=3 B． = C． = D．3x+2y=0
2．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．tanB=
3．（4分）抛物线y=﹣ x2的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶
点坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（2，0）
4．（4分）在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆
M的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
5．（4分）一斜坡长为 米，高度为1米，那么坡比为（ ）
A．1：3 B．1： C．1： D．1：
6．（4分）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A．相等弦所对的弧相等
B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等
D．相等圆心角所对的弦相等
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置】
7．（4分）若 与 方向相反且长度为3，那么 = ．
8．（4分）若α为锐角，已知cosα= ，那么tanα= ．
9．（4分）△ABC中，∠C=90°，G为其重心，若CG=2，那么AB= ．
10．（4分）一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数
第1页（共27页）解析式是 ．
11．（4分）如果抛物线y=x2+mx﹣1的顶点横坐标为1，那么m的值为 ．
12．（4分）正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n= ．
13．（4分）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它
最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等
于20厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米．
14．（4分）已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过
另一点的坐标是 ．
15．（4分）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，
若△PEF的面积为3，那么△PDC与△PAB的面积和等于 ．
16．（4分）已知圆A与圆B内切，AB=10，圆A半径为4，那么圆B的半径为
．
17．（4分）已知抛物线y=a（x+1）2+2过（0，y ）、（3，y ），若y ＞y ，那么a的取值范
1 2 1 2
围是 ．
18．（4分）已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC绕B点旋转，
点A落到A′，点C落到C′，若旋转后点C的对应点C′和点A、点B正好在同一直
线上，那么∠A′AC′的正切值等于 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣ cos60°．
20．（10分）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，
OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB= ，DE是水位线，DE∥AB．
（1）当水位线DE=4 m时，求此时的水深；
（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．
第2页（共27页）21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，过点C作CE∥AB交BD的延长线
于点E， = ， = ．
（1）求 （用向量 、 的式子表示）；
（2）求作向量 + （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．
22．（10分）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角
为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，
试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数
据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 1.7）
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，过D作AC∥DE交BC的延长线
于点E，且CD2=AC•DE
（1）求证：∠DAC=∠DCE；
（2）若AD2=AB•AD+AC•DE，求证：∠ACD=90°．
第3页（共27页）24．（12分）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，对称轴为直线x= ，D为OC中点，直线y=﹣2x+2与x轴交于点
A，与y轴交于点D．
（1）求此抛物线解析式和顶点P坐标；
（2）求证：∠ODB=∠OAD；
（3）设直线AD与抛物线的对称轴交于点M，点N在x轴上，若△AMP与△BND相
似，求点N坐标．
25．（14分）已知：矩形ABCD中，过点B作 BG⊥AC交AC于点E，分别交射线AD
于F点、交射线CD于G点，BC=6．
（1）当点F为AD中点时，求AB的长；
（2）联结AG，设AB=x，S =y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
△AFG
（3）是否存在x的值，使以D为圆心的圆与BC、BG都相切？若存在，求出x的值；
若不存在，请说明理由．
第4页（共27页）第5页（共27页）2015 年上海市奉贤区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸的相应题号的选项上用2B铅笔填涂]
1．（4分）已知3x=2y，那么下列等式一定成立的是（ ）
A．x=2，y=3 B． = C． = D．3x+2y=0
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据比例的性质，代数式求值，可得答案．
【解答】解：A、x=2，y=3时，3x=2y，故A正确；
C、当y=0时， = 无意义，故C错误；
故选：A．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：两内项的积等于两外项的积，
利用了代数式求值．
2．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AC=2，则下列结论正确的是（ ）
A．sinA= B．tanA= C．cosB= D．tanB=
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】先利用勾股定理求出AB的长度，然后求出sinA、tanA、cosB、tanB的值，进
行判断．
【解答】解：∵∠ACB=90°，BC=1，AC=2，
∴AB= = ，
则sinA= = ，tanA= = ，cosB= = ，tanB= =2．
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握三角函数的定
义．
第6页（共27页）3．（4分）抛物线y=﹣ x2的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶
点坐标为（ ）
A．（0，﹣2） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（2，0）
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】原抛物线的顶点坐标是（0，0），再根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：∵抛物线y=﹣ x2的顶点坐标为（0，0），
∴向右平移2个单位得到新抛物线的解析式，所得抛物线的顶点坐标是（2，0）．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左
加右减，上加下减．
4．（4分）在直角坐标平面中，M（2，0），圆M的半径为4，那么点P（﹣2，3）与圆
M的位置关系是（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
【考点】D5：坐标与图形性质；M8：点与圆的位置关系．
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【分析】求得线段MP的长后与圆M的半径比较即可确定正确的选项．
【解答】解：∵M（2，0），P（﹣2，3），
∴MP= =5，
∵圆M的半径为4，
∴点P在圆外，
故选：C．
【点评】考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心
的距离和半径的大小关系．
5．（4分）一斜坡长为 米，高度为1米，那么坡比为（ ）
A．1：3 B．1： C．1： D．1：
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫
做坡比，进而得出答案．
第7页（共27页）【解答】解：∵一斜坡长为 米，高度为1米，
∴坡的水平宽度为：3m，
∴坡比为： ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了破度的定义，正确把握定义是解题关键．
6．（4分）在同圆或等圆中，下列说法错误的是（ ）
A．相等弦所对的弧相等
B．相等弦所对的圆心角相等
C．相等圆心角所对的弧相等
D．相等圆心角所对的弦相等
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．
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【分析】利用在同圆和等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，相等的圆心角所对的
弧相等，所对的弦也相等，判断出B、C、D三选项都正确；而同圆或等圆中，同
一条弦（不是直径）对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，所以可判断出
A选项错误．
【解答】解：A、相等弦所对的弧不一定相等，故本选项错误；
B、相等弦所对的圆心角相等，故本选项正确；
C、相等圆心角所对的弧相等，故本选项正确；
D、相等圆心角所对的弦相等，故本选项正确．
故选：A．
【点评】此题考查了圆心角、弧、弦的关系定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个
圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等．注意：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本推
论中的“弧”是指同为优弧或劣弧．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置】
7．（4分）若 与 方向相反且长度为3，那么 = ﹣ 3 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由 与 方向相反且长度为3，根据向量的概念，即可得 =﹣3 ．
第8页（共27页）【解答】解：∵ 与 方向相反且长度为3，
∴ =﹣3 ．
故答案为：﹣3．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意理解平面向量的概念是
解此题的关键．
8．（4分）若α为锐角，已知cosα= ，那么tanα= ．
【考点】T3：同角三角函数的关系．
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【分析】根据正弦的平方与余弦的平方和等于1，可得正弦函数值，根据正切函数
等于正弦值与与余弦的比，可得答案．
【解答】解：由α为锐角，已知cosα= ，得sinα= = ，
由正切函数等于正弦值与与余弦的比，得tanα= = = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了同角三角函数关系，正弦的平方与余弦的平方和等于1，正切
函数等于正弦值与与余弦的比．
9．（4分）△ABC中，∠C=90°，G为其重心，若CG=2，那么AB= 6 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】如图，运用三角形重心的性质，求出DG=1，CD=3；运用直角三角形斜边上
的中线等于斜边的一半，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵点G为△ABC的重心，且CG=2，
∴CG=2DG=2，
∴DG=1，CD=3；
由直角三角形的性质得：AB=2CD=6，
故答案为6．
第9页（共27页）【点评】该题主要考查了三角形重心的性质及其应用问题；解题的关键是牢固掌
握三角形重心的性质，这是灵活运用、解题的关键．
10．（4分）一个矩形的周长为16，设其一边的长为x，面积为S，则S关于x的函数
解析式是 8x﹣ x 2 ．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】首先求得矩形的另一边长，则面积=两边长的乘积，得出函数解析式．
【解答】解：∵矩形的周长为16，其一边的长为x，
∴另一边长为8﹣x，
∴S=x（8﹣x）=8x﹣x2．
故答案为：S=8x﹣x2．
【点评】此题考查列二次函数关系式；得到矩形的另一边长是解决本题的突破点．
11．（4分）如果抛物线y=x2+mx﹣1的顶点横坐标为1，那么m的值为 ﹣ 2 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据抛物线的顶点公式列方程求解即可．
【解答】解：由题意得，﹣ =1，
解得m=﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记顶点坐标公式是解题的关键．
12．（4分）正n边形的边长与半径的夹角为75°，那么n= 1 2 ．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】先根据正n边形的边长与半径的夹角为75°求出一个内角的度数，再根据
正多边形的各角都相等可列出关于n的方程，求出n的值即可．
【解答】解：∵正n边形的边长与半径的夹角为75°，
∴一个内角的度数=150°，即 =150°．解得n=12．
故答案为：12．
第10页（共27页）【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的性质是解答此题的关键．
13．（4分）相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它
最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等
于20厘米，那么相邻一条边的边长等于 （ 1 0 ﹣10 ） 厘米．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】由黄金矩形的定义，可知黄金矩形的宽与长之比为 ，设所求边长为
x，代入已知数据即可得出答案．
【解答】解：设所求边长为x，由题意，
得 = ，
解得x=（10 ﹣10）cm．
故答案为（10 ﹣10）．
【点评】本题主要考查了黄金分割点的概念，需要熟记黄金比的值，难度适中．
14．（4分）已知抛物线经过点（5，﹣3），其对称轴为直线x=4，则抛物线一定经过
另一点的坐标是 （ 3 ，﹣ 3 ） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据二次函数的对称性求解即可．
【解答】解：∵点（5，﹣3）关于对称轴直线x=4的对称点为（3，﹣3），
∴抛物线一定经过另一点的坐标是（3，﹣3）．
故答案为：（3，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称
性．
15．（4分）如图，P为平行四边形ABCD边AD上一点，E、F分别为PB、PC的中点，
若△PEF的面积为3，那么△PDC与△PAB的面积和等于 1 2 ．
【考点】KX：三角形中位线定理；L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与
性质．
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第11页（共27页）【分析】利用三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与性质得出 = ，
进而得出答案．
【解答】解：∵E、F分别为PB、PC的中点，
∴EF BC，
∴ = ，
∵△PEF的面积为3，
∴S =12，
△PBC
∵P为平行四边形ABCD边AD上一点，
∴S = S =12，
△PBC 平行四边形ABCD
∴△PDC与△PAB的面积和等于12．
故答案为：12．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质等知识，得
出S = S 是解题关键．
△PBC 平行四边形ABCD
16．（4分）已知圆A与圆B内切，AB=10，圆A半径为4，那么圆B的半径为 1 4
．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据内切两圆的半径之差等于两圆的圆心距即可求解．
【解答】解：设圆B的半径为R，
根据题意得：R﹣4=10，
解得：R=14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是能够了解两圆内切时圆心
距等于两圆的半径之差．
17．（4分）已知抛物线y=a（x+1）2+2过（0，y ）、（3，y ），若y ＞y ，那么a的取值范
1 2 1 2
围是 a ＜ 0 ．
第12页（共27页）【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征得到y =a+2，y =16a+2，再由y ＞y ，得
1 2 1 2
a＞16a，然后解不等式即可．
【解答】a＜0；解：∵抛物线y=a（x+1）2+2过（0，y ）、（3，y ），
1 2
∴y =a+2，y =16a+2，
1 2
∵y ＞y ，
1 2
∴a＞16a，
∴a＜0．
故答案为a＜0．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满
足其解析式．
18．（4分）已知在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．在平面内将△ABC绕B点旋转，
点A落到A′，点C落到C′，若旋转后点C的对应点C′和点A、点B正好在同一直
线上，那么∠A′AC′的正切值等于 或 3 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】分类讨论：当C′点在线段AB上，如图1，连结AA′，先利用勾股定理计算出
AB=5，在根据旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=3，则AC′=AB﹣BC′=1，然后在
Rt△AA′C′中，利用正切的定义即可得到tan∠A′AC′= =3；当C′点在线段
AB的延长线上，如图2连结AA′，根据旋转的性质得BC′=BC=4，A′C′=AC=3，则
AC′=AB+BC′=9，然后在Rt△AA′C′中，根据正切的定义得到tan∠A′AC′= =
．
【解答】解：当C′点在线段AB上，如图1，连结AA′，
∵∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= =5，
第13页（共27页）∵在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=3，
∴AC′=AB﹣BC′=1，
在Rt△AA′C′中，tan∠A′AC′= = =3；
当C′点在线段AB的延长线上，如图2，连结AA′，
∵在平面内将△ABC绕B点旋转，点A落到A′，点C落到C′，
∴BC′=BC=4，A′C′=AC=3，
∴AC′=AB+BC′=9，
在Rt△AA′C′中，tan∠A′AC′= = = ，
综合所述，∠A′AC′的正切值等于 或3．
故答案为 或3．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了锐角三角函
数的定义．
第14页（共27页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣ cos60°．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】将特殊角的三角函数值代入求解即可．
【解答】解：原式= ﹣ ×
= ﹣
= ﹣ ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
20．（10分）一个弓形桥洞截面示意图如图所示，圆心为O，弦AB是水底线，
OC⊥AB，AB=24m，sin∠COB= ，DE是水位线，DE∥AB．
（1）当水位线DE=4 m时，求此时的水深；
（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，求此时∠ACD的余切值．
【考点】KQ：勾股定理；M3：垂径定理的应用．
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【分析】（1）延长CO交DE于点F，连接OD，根据垂径定理求出BC的长，由
sin∠ COB= 得 出 OB 的 长 ， 根 据 DE∥ AB 可 知 ∠ ACD=∠ CDE ，
∠DFO=∠BCO=90°．由OF过圆心可得出DF的长，再根据勾股定理求出OF的
第15页（共27页）长，进而可得出CF的长；
（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，连
接CD，在Rt△ODF中由勾股定理求出DF的长，由cot∠ACD=cot∠CDF即可得
出结论．
【解答】解：（1）延长CO交DE于点F，连接OD
∵OC⊥AB，OC过圆心，AB=24m，
∴BC= AB=12m．
在Rt△BCO中，sin∠COB= = ，
∴OB=13mCO=5m．
∵DE∥AB，
∴∠ACD=∠CDE，∠DFO=∠BCO=90°．
又∵OF过圆心，
∴DF= DE= ×4 =2 m．
在Rt△DFO中，OF= = =7m，
∴CF=CO+OF=12m，即当水位线DE=4 m时，此时的水深为12m；
（2）若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，即CF=8m，则OF=CF﹣OC=3m，
连接CD，在Rt△ODF中，DF= = =4 m．
在Rt△CDF中，cot∠CDF= = ．
∵DE∥AB，
∴∠ACD=∠CDE，
∴cot∠ACD=cot∠CDF= ．
答：若水位线以一定的速度下降，当水深8m时，此时∠ACD的余切值为 ．
第16页（共27页）【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形
是解答此题的关键．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，过点C作CE∥AB交BD的延长线
于点E， = ， = ．
（1）求 （用向量 、 的式子表示）；
（2）求作向量 + （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）由在△ABC中，AB=AC=12，DC=4，CE∥AB，可得AB=2CE，然后由 = ，
= ，即可求得 ；
（2）由平行线分线段成比例定理，可得 = ，然后由三角形法则，即可求得答
案．
【解答】解：（1）∵CE∥AB，
∴ ，
∵AB=AC=12，DC=4，
∴AD=8；
第17页（共27页）∴ = ，
∴AB=2CE，
∵ ，
∴ ，
∴ = ﹣ = ﹣ ；
（2）如图， 即为所求．
∵AB∥CE，
∴BD：DE=AB：CE=2，
∴ = = = ﹣ ，
∵ = + = + ，
∴ + = + ．
【点评】本题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用，
注意数形结合思想的应用．
22．（10分）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角
为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，
试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数
据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5， 1.7）
第18页（共27页）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【专题】121：几何图形问题．
【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，
分别在Rt△ACD中表示出CD和在Rt△BCD中表示出BD，从而利用二者之间的
关系列出方程求解．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深
度，
根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=68°，
设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x，
在Rt△ACD中，CD= = = ，
在Rt△BCD中，BD=CD•tan68°，
∴1000+x= x•tan68°
解得：x= ≈ ≈308米，
（分母有理化化简得到296米）两个答案都是正确的．
∴潜艇C离开海平面的下潜深度为308米或296米．
第19页（共27页）【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三
角形并选择合适的边角关系求解．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，过D作AC∥DE交BC的延长线
于点E，且CD2=AC•DE
（1）求证：∠DAC=∠DCE；
（2）若AD2=AB•AD+AC•DE，求证：∠ACD=90°．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）证明∠ACD=∠CDE， ，得到△ACD∽△CDE，即可解决问题．
（2）证明∠ACB=∠ADC，此为解题的关键性结论；结合∠B=∠ACD，得到
△ABC∽△ACD，进而证明AC2=AD•AB，结合已知条件证明AD2=AC2+CD2，即可
解决问题．
【解答】证明：（1）如图，∵AC∥DE，
∴∠ACD=∠CDE；
又∵CD2=AC•DE，
∴ ；
∴△ACD∽△CDE，
∴∠DAC=∠DCE．
（2）∵△ACD∽△CDE，
∴∠ADC=∠E；
∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，
∴∠ACB=∠ADC；
∵∠B=∠ACD，
第20页（共27页）∴△ABC∽△ACD，
∴ ，
∴AC2=AD•AB，
∵AD2=AB•AD+AC•DE，CD2=AC•DE，
∴AD2=AC2+CD2，
∴∠ACD=90°．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握判定
定理及性质定理是灵活解题的基础和关键．
24．（12分）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与
y轴交于点C，对称轴为直线x= ，D为OC中点，直线y=﹣2x+2与x轴交于点
A，与y轴交于点D．
（1）求此抛物线解析式和顶点P坐标；
（2）求证：∠ODB=∠OAD；
（3）设直线AD与抛物线的对称轴交于点M，点N在x轴上，若△AMP与△BND相
似，求点N坐标．
第21页（共27页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）利用直线解析式求出点A、D，然后求出点C的坐标，根据对称轴求出
点B的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；
（2）求出∠ODB和∠OAD的正切值，然后根据等角的正切值相等证明；
（3）先求出点M的坐标，再求出∠AMP=∠OBD，然后求出AM、PM、BD，再根据相
似三角形对应边成比例，分两种情况讨论求出BN，再求出ON，最后写出点N
的坐标即可．
【解答】（1）解：∵直线y=﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点D，
∴A（1，0），D（0，2），
∵D为OC中点，
∴C（0，4），
∵A（1，0），对称轴为直线x= ，
∴B（4，0），
∵抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C点，
∴ ，
解得 ，
∴此抛物线的解析式为y=x2﹣5x+4，
顶点P的坐标为（ ，﹣ ）；
（2）证明：在Rt△AOD和Rt△ACD中，∠DOB=90°，
∴tan∠ODB= = =2，tan∠OAD= = =2，
∴∠ODB=∠OAD；
（3）解：∵直线AD与抛物线的对称轴交于点M，对称轴为直线x= ，
第22页（共27页）∴M（ ，﹣3），
∵∠ODB=∠OAD，
∴∠ADO=∠OBD，
∵对称轴平行于y轴，
∴∠ADO=∠AMP，
∴∠AMP=∠OBD，
∵AM= = ，PM=﹣ ﹣（﹣3）= ，BD= =2 ，
∴N点在点B左侧，可有△AMP∽△DBN或△AMP∽△NBD，
∴ = 或 = ，
∴ = 或 = ，
解得BN=1或BN=20，
∴ON=4﹣1=3或ON=20﹣4=16，
∴N（3，0）或（﹣16，0）．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，锐
角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质，难点在于（3）要分情况讨论．
25．（14分）已知：矩形ABCD中，过点B作 BG⊥AC交AC于点E，分别交射线AD
于F点、交射线CD于G点，BC=6．
（1）当点F为AD中点时，求AB的长；
（2）联结AG，设AB=x，S =y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
△AFG
第23页（共27页）（3）是否存在x的值，使以D为圆心的圆与BC、BG都相切？若存在，求出x的值；
若不存在，请说明理由．
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）易证△ABF∽△BCA，然后根据相似三角形的性质就可求出AB的值；
（2）由（1）可得△ABF∽△BCA，根据相似三角形的性质就可求得AF= ，同理可
得CG= ．然后分点F在线段AD上及在线段AD延长线上两种情况进行讨论，
只需求出AF、DG，就可解决问题；
（3）过点D作DH⊥BG于点H，易得∠ACB=30°，在Rt△ABC中运用三角函数就可
解决问题．
【解答】解：（1）∵点F为AD中点，且AD=BC=6，
∴AF=3．
∵矩形ABCD中，∠ABC=90°，BG⊥AC于点E，
∴∠ABE+∠EBC=90°，∠ACB+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠ACB．
∵∠FAB=∠ABC=90°，
∴△ABF∽△BCA，
∴ = ，
∴ = ，
第24页（共27页）∴AB=3 ；
（2）由（1）可得△ABF∽△BCA，
∴ = ．
∵AB=x，BC=6，
∴AF= = ，
同理可得：CG= = ．
①当F点在线段AD上时，如图1，
DG=CG﹣CD= ﹣x= ，
∴S = AF•DG= ，
△AFG
即y= （0＜x＜6）；
②当F点在线段AD延长线上时，如图2，
第25页（共27页）DG=CD﹣CG=x﹣ = ，
∴S = AF•DG= ，
△AFG
即y= （x＞6）；
（3）过点D作DH⊥BG于点H，如图3，
∵以点D为圆心的圆与BC、BG都相切，
∴CD=DH，
∴∠DBF=∠CBD．
∵矩形ABCD中，∠ACB=∠CBD，
∴Rt△BEC中，∠ACB+∠CBD+∠DBF=90°，
∴∠ACB=30°，
∴Rt△ABC中，tan∠ACB= ，
第26页（共27页）∴tan30°= ，
∴x=2 ，
即当x=2 时，以点D为圆心的圆与BC、BG都相切．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、切线长定理、三
角函数等知识，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键．
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日期：2018/12/24 0:30:20；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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