文档内容
2015 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）如果x=2是方程 x+a=﹣1的根，那么a的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣6
2．（4分）在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k x的图象与反比例函数y= 的
1
图象没有公共点，则（ ）
A．k +k ＜0 B．k +k ＞0 C．k k ＜0 D．k k ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
3．（4分）某篮球队12名队员的年龄如表所示：
年龄（岁） 18 19 20 21
人数 5 4 1 2
则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．2，19 B．18，19 C．2，19.5 D．18，19.5
4．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．周长相等的锐角三角形都全等
B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等
D．周长相等的等腰直角三角形都全等
5．（4分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：
①a是无理数；
②a可以用数轴上的一个点来表示；
③3＜a＜4；
④a是18的算术平方根．
其中，所有正确说法的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
第1页（共29页）二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）因式分解：xy2﹣4x= ．
8．（4分）不等式5﹣x＜x的解集是 ．
9．（4分）方程 的解为 ．
10．（4分）如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是 ．
11．（4分）如果将抛物线y=x2﹣4平移到抛物线y=x2﹣4x的位置，那么平移的方
向和距离分别是 ．
12．（4分）一个不透明盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球
1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的
概率是 ．
13．（4分）如图，△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC于点D，M为AC中点，AD与BM
交于点G，那么S ：S 的值为 ．
△GDM △GAB
14．（4分）如图，在△ABC中，记 = ， = ，点P为BC的中点，则 =
（用向量 、 来表示）
15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，⊙O是以BC为直径的
圆，如果⊙O与⊙S相内切，那么⊙A的半径为 cm．
第2页（共29页）16．（4分）本市某校开展以“倡导绿色出行，关爱师生健康”为主题的教育活动，
为了了解本校师生的出行方式，在本校范围内随机抽查了部分师生，将收集的
数据给绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人
数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是 ．
17．（4分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+ ，
ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”，例如：P
（1，4）的“2属派生点”为P（′ 1+ ，2×1+4），则P（′ 3，6）．若点P的“k属派生
点”P′的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标 ．
18．（4分）如图，△ABC中，∠ABC＞90°，tan∠BAC= ，BC=4，将三角形绕着点A旋
转，点C落在直线AB上的点C′处，点B落在点B′处．若C、B、B′恰好在一直线上，
则AB的长为 ．
第3页（共29页）三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ﹣1）0﹣ ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，
AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，
从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得
小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保
留根号）
22．（10分）现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队
为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装80台空调，乙安装队提前一
天开工，最后与甲安装队恰好同时完成安装任务．已知甲队比乙队平均每天多
安装2台空调，求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调．
23．（12分）已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结
AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H
（1）求证：MB=MD；
（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．
第4页（共29页）24．（12分）已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
抛物线y= （x﹣m）2+n的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C
（1）若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；
（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；
（3）在（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P，使得
∠DCP=∠CAD，求点P的坐标．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC= ，点O是AB边上动点，
以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，
交⊙O于点E，联结BE、AE
（1）当AE∥BC（如图（1））时，求⊙O的半径长；
（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长．
第5页（共29页）2015 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）如果x=2是方程 x+a=﹣1的根，那么a的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣2 D．﹣6
【考点】85：一元一次方程的解．
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【分析】把x═2代入方程 x+a=﹣1得出一个关于a的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：∵x=2是方程 x+a=﹣1的根，
∴代入得： ×2+a=﹣1，
∴a=﹣2，
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解此题的关键是得出
一个关于a的方程．
2．（4分）在同一直角坐标系中，若正比例函数y=k x的图象与反比例函数y= 的
1
图象没有公共点，则（ ）
A．k +k ＜0 B．k +k ＞0 C．k k ＜0 D．k k ＞0
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】2B：探究型．
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题进行解答即可．
【解答】解：∵正比例函数y=k x的图象与反比例函数y= 的图象没有公共点，
1
∴k 与k 异号，即k •k ＜0．
1 2 1 2
故选：C．
【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一
次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
第6页（共29页）3．（4分）某篮球队12名队员的年龄如表所示：
年龄（岁） 18 19 20 21
人数 5 4 1 2
则这12名队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．2，19 B．18，19 C．2，19.5 D．18，19.5
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】众数就是出现次数最多的数，而中位数就是大小处于中间位置的数，根据
定义即可求解．
【解答】解：18岁出现了5次，次数最多，因而众数是：18；
12个数，处于中间位置的都是19，因而中位数是：19．
故选：B．
【点评】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做
众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是
奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶
数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4．（4分）下列命题中，真命题是（ ）
A．周长相等的锐角三角形都全等
B．周长相等的直角三角形都全等
C．周长相等的钝角三角形都全等
D．周长相等的等腰直角三角形都全等
【考点】KB：全等三角形的判定；O1：命题与定理．
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【专题】14：证明题．
【分析】全等三角形必须是对应角相等，对应边相等，根据全等三角形的判定方法，
逐一检验．
【解答】解：A、周长相等的锐角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定相等，
假命题；
B、周长相等的直角三角形对应锐角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
C、周长相等的钝角三角形对应钝角不一定相等，对应边也不一定相等，假命题；
D、由于等腰直角三角形三边之比为1：1： ，故周长相等时，等腰直角三角形的
对应角相等，对应边相等，故全等，真命题．
第7页（共29页）故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的运用，命题与定理的概念．关键是明
确全等三角形的对应边相等，对应角相等．
5．（4分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项正确；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．（4分）设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：
①a是无理数；
②a可以用数轴上的一个点来表示；
③3＜a＜4；
④a是18的算术平方根．
其中，所有正确说法的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
【考点】22：算术平方根；26：无理数；29：实数与数轴；2B：估算无理数的大小；LE：
正方形的性质．
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【分析】先利用勾股定理求出a=3 ，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数
轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义
判断④．
【解答】解：∵边长为3的正方形的对角线长为a，
第8页（共29页）∴a= = =3 ．
①a=3 是无理数，说法正确；
②a可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；
③∵16＜18＜25，4＜ ＜5，即4＜a＜5，说法错误；
④a是18的算术平方根，说法正确．
所以说法正确的有①②④．
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实
数与数轴的关系，估算无理数大小，有一定的综合性．
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）因式分解：xy2﹣4x= x （ y + 2 ）（ y﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：xy2﹣4x，
=x（y2﹣4），
=x（y+2）（y﹣2）．
【点评】本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公
式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．
8．（4分）不等式5﹣x＜x的解集是 x ＞ ．
【考点】C6：解一元一次不等式．
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【分析】先移项，再合并同类项，把x的系数化为1即可．
【解答】解：移项得，﹣x﹣x＜﹣5，
合并同类项得，﹣2x＜﹣5，
把x的系数化为1得，x＞ ．
故答案为：x＞ ．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是
解答此题的关键．
第9页（共29页）9．（4分）方程 的解为 3 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】首先将方程两边平方，去掉根号；然后解一元二次方程；根据题意确定方
程解的范围，即可解决问题．
【解答】解：∵ ，
∴x2﹣x﹣6=0，
解得：x=3或x=﹣2；
由题意得：x＞0，且x≥﹣6，
∴x=3，
故答案为3．
【点评】该题主要考查了无理方程的解法问题；解题的一般思路是将无理方程转
化为有理方程；常用方法是平方法或换元法；最后应注意未知数的取值范围．
10．（4分）如果关于x的方程mx2=3有两个实数根，那么m的取值范围是 m ＞ 0
．
【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法．
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【分析】直接利用直接开平方法的定义得出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的方程mx2=3有两个实数根，
∴m＞0．
故答案为：m＞0．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程的意义，正确把握开平方法解方程
的定义是解题关键．
11．（4分）如果将抛物线y=x2﹣4平移到抛物线y=x2﹣4x的位置，那么平移的方
向和距离分别是 向右平移 2 个单位 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】原抛物线顶点坐标为（0，﹣4），平移后抛物线顶点坐标为（2，﹣4），由此
确定平移规律．
【解答】解：∵抛物线y=x2﹣4的顶点坐标是（0，﹣4），抛物线y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣
4的顶点坐标是（2，﹣4），
∴把（0，﹣4）向右平移2个单位得到（2，﹣4），
∴平移方法是：向右平移2个单位．
第10页（共29页）故答案是：向右平移2个单位．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是将抛物线的平移问题转化
为顶点的平移，寻找平移方法．
12．（4分）一个不透明盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球
1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的
概率是 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次
都摸到白球的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，
∴两次都摸到白球的概率是： =
故答案为： ．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以
不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图
法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总
情况数之比．
13．（4分）如图，△ABC中，如果AB=AC，AD⊥BC于点D，M为AC中点，AD与BM
交于点G，那么S ：S 的值为 1 ： 4 ．
△GDM △GAB
第11页（共29页）【考点】KX：三角形中位线定理；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由已知条件易证DM是△ABC的中位线，所以DM∥AB，进而可证明
△GMD∽△GAB，由相似三角形的性质即可求出S ：S 的值．
△GDM △GAB
【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴BD=CD，
∵M为AC中点，
∴DM是△ABC的中位线，
∴DM∥AB，DM= AB，
∴△GMD∽△GAB，
∴S ：S ，=1：4．
△GDM △GAB
故答案为1：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质以及三角形中位线性质定理，熟悉
相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方是解题关键．
14．（4分）如图，在△ABC中，记 = ， = ，点P为BC的中点，则 = +
（用向量 、 来表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由三角形法则可求得 的长，又由点P为BC的中点，即可求得 ，再利用
第12页（共29页）三角形法则求解即可求得答案．
【解答】解：∵ = ， = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ，
∵点P为BC的中点，
∴ = = ﹣ ，
∴ = + = + ﹣ = + ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关
键．
15．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4cm，AC=3cm，⊙O是以BC为直径的
圆，如果⊙O与⊙S相内切，那么⊙A的半径为 cm．
【考点】MK：相切两圆的性质．
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【分析】连接A0并延长交⊙A于D，则OD= BC=2，根据勾股定理求出OA，即可得
出AD=OA+OD= ．
【解答】解：连接A0并延长交⊙A于D，如图所示：
∵⊙O与⊙A相内切，
∴D为切点，
∴OD= BC=2，
∵∠ACB=90°，
根据勾股定理得：OA= = = ，
第13页（共29页）∴AD=OA+OD= ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理；通过作辅助线得出AD是⊙A的
半径是解决问题的关键．
16．（4分）本市某校开展以“倡导绿色出行，关爱师生健康”为主题的教育活动，
为了了解本校师生的出行方式，在本校范围内随机抽查了部分师生，将收集的
数据给绘制成下列不完整的两种统计图．已知随机抽查的教师人数为学生人
数的一半，根据图中信息，乘私家车出行的教师人数是 1 5 ．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图．
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【分析】根据骑自行车的学生人数和所占的百分比求出调查的总学生数，再根据
随机抽查的教师人数为学生人数的一半，得出教师人数，再用教师人数减去步
行、乘公交车和骑自行车的教师数，即可得出乘私家车出行的教师人数．
【解答】解：调查的学生人数是：15÷25%=60（人），
则教师人数为30人，教师乘私家车出行的人数为30﹣（3+9+3）=15（人）．
故答案为：15．
【点评】此题考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得
到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数
第14页（共29页）据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
17．（4分）对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P′的坐标为（a+ ，
ka+b）（其中k为常数，且k≠0），则称点P′为点P的“k属派生点”，例如：P
（1，4）的“2属派生点”为P（′ 1+ ，2×1+4），则P（′ 3，6）．若点P的“k属派生
点”P′的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标 （ 1 ， 2 ） ．
【考点】D1：点的坐标．
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【专题】23：新定义；26：开放型．
【分析】根据“k属派生点”的定义可知纵坐标是横坐标的k倍，然后根据点P′的
坐标求出k=1，然后求出点P的横坐标与纵坐标的关系，再求解即可．
【解答】解：∵k（a+ ）=ka+b，
∴“k属派生点”的纵坐标是横坐标的k倍，
∵点P的“k属派生点”P′的坐标为（3，3），
∴3k=3，
解得k=1，
∴a+b=3，
∴点P的坐标可以是（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查了点的坐标，开放型题目，读懂题目信息，理解“k属派生点”的
定义并判断出纵坐标是横坐标的k倍是解题的关键．
18．（4分）如图，△ABC中，∠ABC＞90°，tan∠BAC= ，BC=4，将三角形绕着点A旋
转，点C落在直线AB上的点C′处，点B落在点B′处．若C、B、B′恰好在一直线上，
则AB的长为 ．
第15页（共29页）【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】作B'M⊥AC于点M，作CN⊥AC于点N．则△BMB'∽△BNC，设B'M=3x，
CN=3y，则AM=4x，AN=4y，即可利用y表示出BN的长，在直角△BNC中利用勾
股定理求得y的值，进而求得x，得到AB的长．
【解答】解：作B'M⊥AC于点M，作CN⊥AC于点N．则△BMB'∽△BNC．
∵∠B'AC=∠BAC，
∴tan∠B'AC=tan∠BAC= = = ．
∴设B'M=3x，CN=3y，则AM=4x，AN=4y，
∴在直角△AB'M中，AB'= =5x，
则AB=AB'=5x，
∴BM=x，
∵△BMB'∽△BNC，
∴ = = =3，
∴BN= = =y．
则5x+y=4y，
解得：x= y．
又∵直角△BCN中，BN2+CN2=BC2
即y2+（3y）2=16，
解得：y= ，
则x= ，AB=5x= ．
第16页（共29页）故答案是： ．
【点评】本题考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质，正确理解旋转的
性质，作出辅助线，得到x和y的关系是关键．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ﹣1）0﹣ ．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数
值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项化为最简二次根式，第三项利
用特殊角的三角函数值计算，第四项利用负指数幂法则计算，最后一项利用绝
对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=1﹣5 +2× +2+ ﹣1=2﹣3 ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】运用因式分解法把x2﹣2xy+y2﹣4=0化为x﹣y=2和x﹣y=﹣2两个方程，把
这两个方程与xy=3组成方程组，解方程组得到答案．
【解答】解：
由②得，x﹣y=±2③
③分别与①组成方程组得，
第17页（共29页），
解得 ， ， ，
【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，解题的关键是把其中一个二元二
次方程，通过因式分解化为两个二元一次方程，与另一个方程组成一个简单的
方程组，解这两个方程组，得到原方程组的解．
21．（10分）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，
AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，
从B测得小船在北偏东45°的方向．
（1）求点P到海岸线l的距离；
（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得
小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保
留根号）
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
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【分析】（1）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=xkm，先解Rt△PBD，用含x的代数式
表示BD，再解Rt△PAD，用含x的代数式表示AD，然后根据BD+AD=AB，列出关
于x的方程，解方程即可；
（2）过点B作BF⊥AC于点F，先解Rt△ABF，得出BF= AB=1km，再解Rt△BCF，得
出BC= BF= km．
【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm．
在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，
∴BD=PD=xkm．
在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，
第18页（共29页）∴AD= PD= xkm．
∵BD+AD=AB，
∴x+ x=2，
x= ﹣1，
∴点P到海岸线l的距离为（ ﹣1）km；
（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F．
根据题意得：∠ABC=105°，
在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，
∴BF= AB=1km．
在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°．
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°，
∴BC= BF= km，
∴点C与点B之间的距离为 km．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中．通过作辅助线，
构造直角三角形是解题的关键．
22．（10分）现有甲、乙两个空调安装队分别为A、B两个公司安装空调，甲安装队
为A公司安装66台空调，乙安装队为B公司安装80台空调，乙安装队提前一
天开工，最后与甲安装队恰好同时完成安装任务．已知甲队比乙队平均每天多
安装2台空调，求甲、乙两个安装队平均每天各安装多少台空调．
【考点】B7：分式方程的应用．
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【分析】设甲安装队每天安装x台空调，则乙安装队每天安装（x﹣2）台空调，根据
乙队比甲队多用时间一天为等量关系建立方程求出其解即可．
【解答】解：设甲安装队每天安装x台空调，则乙安装队每天安装（x﹣2）台空调，
第19页（共29页）由题意，得
，
解得：x =22，x =﹣6．
1 2
经检验，x =22，x =﹣6都是原方程的根，x=﹣6不符合题意，舍去．
1 2
∴x=22，
∴乙安装队每天安装22﹣2=20台．
答：甲安装队每天安装22台空调，则乙安装队每天安装20台空调．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，过程
问题的数量关系的运用，解答时根据乙队比甲队多用时间一天为等量关系建
立方程是关键．
23．（12分）已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结
AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H
（1）求证：MB=MD；
（2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LC：矩形的判定；S4：平行线分线段成比例．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，根据平行线分线段成比例定理，
由AB∥DN得到 = ，加上AM=ME，则BM=MN，然后根据直角三角形斜边
上的中线性质即可得到MB=MD；
（2）根据平行线分线段成比例定理，由AB∥NE得到 = =1，即AB=NE，再利用
AB=BC，DC=DE可得BD=DN，则△BDN为等腰直角三角形，所以 DM⊥BN，
∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，接着由Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角
第20页（共29页）形得到∠CED=∠ACB=∠45°，则可得到CE∥BN，AC∥DM，于是可判断四边形
MGCH为平行四边形，加上∠GMH=90°，则可判断四边形MGCH为矩形．
【解答】证明：（1）延长BM交DE的延长线于N，如图，
∵∠ABC=∠CDE=90°，
∴AB∥DN，
∴ = ，
而点M为AE中点，
∴AM=ME，
∴BM=MN，
∴DM为Rt△BDN的斜边上的中线，
∴MB=MD；
（2）∵AB∥NE，
∴ = =1，即AB=NE，
∵AB=BC，DC=DE，
∴BD=BC+CD=AB+DE=NE+DE=DN，
∴△BDN为等腰直角三角形，
∴DM⊥BN，∠DBN=∠N=45°，∠BMD=90°，
∵AB=BC，DC=DE，
∴Rt△ABC和Rt△CDE都是等腰直角三角形，
∴∠CED=∠ACB=∠45°，
∴∠CED=∠N，∠ACB=∠BDM，
∴CE∥BN，AC∥DM，
∴四边形MGCH为平行四边形，
而∠GMH=90°，
∴四边形MGCH为矩形．
第21页（共29页）【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对
应线段成比例．如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应
线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．也考查了矩形的判定和等
腰直角三角形的性质．
24．（12分）已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
抛物线y= （x﹣m）2+n的顶点D在直线AB上，与y轴的交点为C
（1）若点C（非顶点）与点B重合，求抛物线的表达式；
（2）若抛物线的对称轴在y轴的右侧，且CD⊥AB，求∠CAD的正切值；
（3）在（2）的条件下，在∠ACD的内部作射线CP交抛物线的对称轴于点P，使得
∠DCP=∠CAD，求点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）利用直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，求得点A、B坐标，
顶点D在直线AB上，由抛物线顶点式得出y= （x﹣m）2+m+1，进一步代入B
点求得答案即可；
（2）由题意表示出点D和点C坐标，进一步利用等腰直角三角形的性质和锐角三
第22页（共29页）角函数的意义求得答案即可；
（3）由（2）的图形延长 AC 交对称轴于点 F，求得直线 AC，进一步证得
△ADF∽△CDP，利用相似的性质求得DP，进一步确定点P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（﹣1，0），点B（0，1），
∵顶点D在直线AB上，
∴y= （x﹣m）2+m+1，
把点B（0，1）代入得
1= m2+m+1，
解得：m=﹣2或m=0（不合题意舍去），
∴y= （x+2）2﹣1；
（2）如图，
由题意可知：
点D（m，m+1），C（0， m2+m+1），
∵在Rt△ABO中，AO=BO=1，CD⊥AB，
∴△CDB为等腰直角三角形，
第23页（共29页）作DH⊥BC，则DH= BC，
∴m= （ m2+m+1﹣1），
解得m=2，
∴C（0，5），D（2，3），CD=2 ，AD=3 ，
∴tan∠CAD= = ．
（3）延长AC交对称轴于点F，
直线AC：y=5x+5，
则F（2，15），
∵∠DCP=∠CAD，∠APF=∠CDP=135°，
∴△ADF∽△CDP，
∴ = ，
=
解得DP=8，
又∵点D（2，3）
∴P（2，﹣5）．
【点评】此题考查二次函数综合题，综合考查待定系数法求函数解析式，锐角三角
函数的意义，等腰直角三角形的性质，相似的判定与性质，画出图形，利用数形
结合的思想解决问题．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=10，tan∠ABC= ，点O是AB边上动点，
以O为圆心，OB为半径的⊙O与边BC的另一交点为D，过点D作AB的垂线，
交⊙O于点E，联结BE、AE
（1）当AE∥BC（如图（1））时，求⊙O的半径长；
（2）设BO=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（3）若以A为圆心的⊙A与⊙O有公共点D、E，当⊙A恰好也过点C时，求DE的长．
第24页（共29页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；KH：等腰三角
形的性质；KQ：勾股定理；L7：平行四边形的判定与性质；MR：圆的综合题；T1：
锐角三角函数的定义．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，如图（1），易证
△AEF≌△BDF及四边形AEDC是平行四边形，从而可得BD=DC=5，根据垂径定
理可得BG=DG= BD= ，然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理即可求
出⊙O的半径长；
（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），运用三角函数、勾股定理及面积法可求出
AC、AB、AH、BH、CH，根据垂径定理可得DF=EF，再根据线段垂直平分线的性质
可得AE=AD．然后在Rt△BGO中运用三角函数和勾股定理可求出BG（用x的代
数式表示），进而可用x的代数式依次表示出BD、DH，AD、AE，问题得以解决；
（3）①若点D在H的左边，如图（2），根据等腰三角形的性质可得DH=CH，从而依
次求出BD、DF、DE的长；②若点D在H的右边，则点D与点C重合，从而可依
次求出BD、DF、DE的长．
【解答】解：（1）过点O作OG⊥BD于G，设AB与DE的交点为F，如图（1），
∵OG⊥BD于G，
∴BG=DG．
∵DE⊥AB，
∴EF=DF，
∵AE∥BC，
∴∠AEF=∠BDF．
在△AEF和△BDF中，
第25页（共29页），
∴△AEF≌△BDF，
∴AE=BD．
∵∠BFD=∠BAC=90°，
∴DE∥AC．
∵AE∥BC，
∴四边形AEDC是平行四边形，
∴AE=DC，
∴BD=DC= BC=5，
∴BG=DG= BD= ．
在Rt△BGO中，
tan∠OBG= = ，
∴OG= BG= × = ，
∴OB= = = ，
∴⊙O的半径长为 ；
（2）过点A作AH⊥BC于H，如图（2），
在Rt△BAC中，
tan∠ABC= = ，
设AC=3k，则AB=4k，
∴BC=5k=10，
∴k=2，
∴AC=6，AB=8，
第26页（共29页）∴AH= = = ，
∴BH= = = ，
∴HC=BC﹣BH=10﹣ = ．
∵AB⊥DE，
∴根据垂径定理可得DF=EF，
∴AB垂直平分DE，
∴AE=AD．
在Rt△BGO中，
tan∠OBG= = ，
∴OG= BG，
∴OB= = = BG=x，
∴BG= x，
∴BD=2BG= ，
∴DH=BH﹣BD= ﹣ x，
∴y=AE=AD=
=
=
= （0＜x≤ ）；
（3）①若点D在H的左边，如图（2），
∵AD=AC，AH⊥DC，
第27页（共29页）∴DH=CH= ，
∴BD=BH﹣DH= ﹣ = ．
在Rt△BFD中，
tan∠FBD= = ，
∴BF= DF，
∴BD=
=
= DF= ，
∴DF= ，
∴DE=2DF= ；
②若点D在H的右边，
则点D与点C重合，
∴BD=BC=10，
∴ DF=10，
∴DF=6，
∴DE=2DF=12．
综上所述：当⊙A恰好也过点C时，DE的长为 或12．
第28页（共29页）【点评】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定
与性质、三角函数、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知
识，在解决问题的过程中用到了分类讨论、面积法等重要的数学思想方法，有
一定的难度，把AE转化为AD是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想
是解决第（3）小题的关键．
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日期：2018/12/24 0:26:56；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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