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2015 年上海市崇明县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上】
1．（4分）下列运算中，正确的是 （ ）
A． =±3 B． =3 C．（﹣3）n=0 D．3﹣2=
2．（4分）轨道交通给人们的出行提供了便捷的服务，据悉，上海轨道交通19号线
即将开建，一期规划为自川桥路站至长兴岛，设6站，全长约为20600米．二期、
远期将延伸到崇明岛、横沙岛，届时崇明县三岛将全通地铁．将20600用科学
记数法表示应为（ ）
A．2.06×105 B．20.6×103 C．2.06×104 D．0.206×105
3．（4分）从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，如果要使该不等式
组的解集为x≥1，那么可以选择的不等式可以是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2
4．（4分）已知点A（x ，y ）和点B（x ，y ）是直线y=2x+3上的两个点，如果x ＜x ，
1 1 2 2 1 2
那么y 与y 的大小关系正确的是 （ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y =y D．无法判断
1 2 1 2 1 2
5．（4分）窗花是我国的传统艺术，下列四个窗花图案中，不是轴对称图形的是（
）
A． B．
C． D．
6．（4分）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这
个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C
第1页（共28页）C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的
相应位置上】
7．（4分）因式分解：x3﹣4x= ．
8．（4分）已知 =2，那么x= ．
9．（4分）如果分式 的值为0，那么x的值为 ．
10．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个相等的实数根，那
么m的值为 ．
11．（4分）已知在方程x2+2x+ =3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关
于y的整式方程是 ．
12．（4分）布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋
中取出1个球恰好是红球的概率为 ．
13．（4分）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级的360名同学
中随机选出20名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如
下表：
节水量（单位：吨） 1 1.2 1.5 2 2.5
同学数 4 5 6 3 2
用所学的统计知识估计这 360 名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是
吨．
14．（4分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量 = ， = ，如果用向
量 ， 表示向量 ，那 = ．
15．（4分）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC
相交于点F，如果AB=9，BD=3，那么CF的长度为 ．
第2页（共28页）16．（4分）如图，已知在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果
∠BAD=30°，OE=2，那么CD= ．
17．（4分）如果一个二次函数的二次项系数为 1，那么这个函数可以表示为
y=x2+px+q，我们将p，q称为这个函数的特征数．例如二次函数y=x2﹣4x+2的特
征数是﹣4，2．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征
数是2，3，将这个函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么
此时得到的图象所对应的函数的特征数为 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，点D是BC的中点，将△ABC沿着
直线 EF 折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，那么
sin∠BED的值为 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x=6tan30°．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．
第3页（共28页）已知AC=9，cosC= ．
（1）求线段AE的长；
（2）求sin∠DAE的值．
22．（10分）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时
后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈
妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x
（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．
（1）小明骑电动自行车的速度为 千米/小时，在甲地游玩的时间为
小时；
（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？
23．（12分）如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作
AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点
H．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）求证：DH2=HE•HC．
第4页（共28页）24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，﹣4），点B（﹣2，0），点C
（4，0）．
（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）已知点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．
25．（14分）如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，AC=8，tanB= ，点P是线段AB上的
一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为点D，射
线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．
（1）当点E在BC的延长线上时，设PA=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出
定义域；
（2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径；
（3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的
长．
第5页（共28页）2015 年上海市崇明县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置
上】
1．（4分）下列运算中，正确的是 （ ）
A． =±3 B． =3 C．（﹣3）n=0 D．3﹣2=
【考点】1E：有理数的乘方；24：立方根；2F：分数指数幂；6F：负整数指数幂．
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【分析】根据分数指数幂的意义、立方根的意义、乘方的意义、负整数指数幂的意
义分别计算即可求解．
【解答】解：A、 = =3，故本选项错误；
B、 =﹣3，故本选项错误；
C、（﹣3）n≠0，故本选项错误；
D、3﹣2= ，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了分数指数幂的意义、立方根的意义、乘方的意义、负整数指数
幂的意义，熟练掌握定义是解题的关键．
2．（4分）轨道交通给人们的出行提供了便捷的服务，据悉，上海轨道交通19号线
即将开建，一期规划为自川桥路站至长兴岛，设6站，全长约为20600米．二期、
远期将延伸到崇明岛、横沙岛，届时崇明县三岛将全通地铁．将20600用科学
记数法表示应为（ ）
A．2.06×105 B．20.6×103 C．2.06×104 D．0.206×105
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
第6页（共28页）负数．
【解答】解：将20600用科学记数法表示为2.06×104．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3．（4分）从下列不等式中选择一个与x+1≥2组成不等式组，如果要使该不等式
组的解集为x≥1，那么可以选择的不等式可以是（ ）
A．x＞﹣1 B．x＞2 C．x＜﹣1 D．x＜2
【考点】C3：不等式的解集．
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【分析】首先计算出不等式x+1≥2的解集，再根据不等式的解集确定方法：大大
取大可确定另一个不等式的解集，进而选出答案．
【解答】解：x+1≥2，
解得：x≥1，
根据大大取大可得另一个不等式的解集一定是x不大于1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了不等式的解集，关键是正确理解不等式组解集的确定方
法：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小找不着．
4．（4分）已知点A（x ，y ）和点B（x ，y ）是直线y=2x+3上的两个点，如果x ＜x ，
1 1 2 2 1 2
那么y 与y 的大小关系正确的是 （ ）
1 2
A．y ＞y B．y ＜y C．y =y D．无法判断
1 2 1 2 1 2
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再由x ＜x 即可得出结论．
1 2
【解答】解：∵直线y=2x+3中，k=2＞0，
∴y随x的增大而增大．
∵x ＜x ，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故选：B．
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点
的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
5．（4分）窗花是我国的传统艺术，下列四个窗花图案中，不是轴对称图形的是（
第7页（共28页））
A． B．
C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
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【分析】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分
能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，找不到任何这样的一条直线使一个图形沿一条直线对折，直
线两旁的部分能互相重合，符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图
形两部分折叠后可重合．
6．（4分）已知在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，那么下列条件中能判定这
个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
【考点】LF：正方形的判定．
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【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行
分析从而得到最后的答案．
【解答】解：A、不能，只能判定为矩形；
B、不能，只能判定为平行四边形；
C、能；
D、不能，只能判定为菱形．
故选：C．
第8页（共28页）【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方
形的概念，途经有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明
它是菱形，再说明它有一个角为直角．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的
相应位置上】
7．（4分）因式分解：x3﹣4x= x （ x + 2 ）（ x﹣2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：x3﹣4x
=x（x2﹣4）
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公
式是解题关键．
8．（4分）已知 =2，那么x= 1 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】把方程 =2两边平方，求出x的值即可．
【解答】解：∵ =2，
∴x+3=4，
∴x=1，
经检验x=1是方程的解．
故答案为1．
【点评】本题主要考查了无理方程的知识，解答本题的关键是把方程两边进行平
方运算，注意无理方程需要验根，此题比较简单．
9．（4分）如果分式 的值为0，那么x的值为 2 ．
【考点】63：分式的值为零的条件．
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【分析】根据分式值为零的条件可得x2﹣4=0，且x+2≠0，再解即可．
【解答】解：由题意得：x2﹣4=0，且x+2≠0，
解得：x=2，
第9页（共28页）故答案为：2．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分
子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．
10．（4分）已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个相等的实数根，那
么m的值为 1 0 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据一元二次方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个相等的实数根得到△=36﹣4（m
﹣1）=0，求出m的值即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣6x+m﹣1=0有两个相等的实数，
∴△=36﹣4（m﹣1）=0，
∴m=10，
故答案为10．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
11．（4分）已⇔知在方程x2+2x+ =3中，如果设y=x2+2x，那么原方程可化为关
于y的整式方程是 y 2 ﹣3 y + 2= 0 ．
【考点】B4：换元法解分式方程．
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【分析】方程各项具备倒数关系，设y=x2+2x，则原方程另一个分式为 ．可用换元
法转化为关于y的分式方程，然后去分母即可求解．
【解答】解：设y=x2+2x，则原方程可化为y+ =3，
去分母，得y2﹣3y+2=0．
故答案是：y2﹣3y+2=0．
【点评】本题考查了换元法解分式方程．这是常用方法之一，它能够把一些分式方
程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻
找解题技巧．
第10页（共28页）12．（4分）布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，那么从布袋
中取出1个球恰好是红球的概率为 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】由布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，直接利用概
率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵布袋中有2个红球和3个黑球，它们除颜色外其他都相同，
∴从布袋中取出1个球恰好是红球的概率为： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
13．（4分）某学校在开展“节约每一滴水”的活动中，从初三年级的360名同学
中随机选出20名同学汇报了各自家庭一个月的节水情况，将有关数据整理如
下表：
节水量（单位：吨） 1 1.2 1.5 2 2.5
同学数 4 5 6 3 2
用所学的统计知识估计这360名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是 540
吨．
【考点】V5：用样本估计总体；W2：加权平均数．
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【分析】先计算这20名同学各自家庭一个月的节水量的平均数，即样本平均数，
然后乘以总数360即可得出答案．
【解答】解：这 20 名同学各自家庭一个月的节水量的平均数是：
（4+1.2×5+1.5×6+2×3+2.5×2）÷20=1.5（吨），
则这360名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是1.5×360=540（吨）；
故答案为：540．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，关键是求出这20名同学各自家庭一
个月的节水量的平均数，将样本“成比例地放大”为总体即可．
14．（4分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量 = ， = ，如果用向
量 ， 表示向量 ，那 = 2 ﹣2 ．
第11页（共28页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由向量 = ， = ，利用三角形法则，即可求得 ，再由AD是边BC上的
中线，即可求得答案．
【解答】解：∵向量 = ， = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ，
∵AD是边BC上的中线，
∴ =2 =2（ ﹣ ）=2 ﹣2 ．
故答案为：2 ﹣2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．
15．（4分）如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，DE与AC
相交于点F，如果AB=9，BD=3，那么CF的长度为 2 ．
【考点】KK：等边三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得
CF=2．
【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，
∴CD：CF=AE：EF，
第12页（共28页）∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9﹣3）：CF，
∴CF=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质．此题利用了
“两角法”证得两个三角形相似．
16．（4分）如图，已知在⊙O中，弦CD垂直于直径AB，垂足为点E，如果
∠BAD=30°，OE=2，那么CD= 4 ．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】连接OD，弦CD垂直于直径AB，∠BAD=30°，由圆周角定理得∠BOD=60°，
设半径为r，则OE= ，r=4，得DE，CD．
【解答】解：连接OD，
∵∠BAD=30°，
∴∠BOD=60°，
设半径为r，
OE= r，OE=2，
∴r=4，
∴DE= ×4=2 ，
第13页（共28页）∴ ．
故答案为：4 ．
【点评】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，特殊角的三角函数，熟练运用特
殊角的三角函数是解答此题的关键．
17．（4分）如果一个二次函数的二次项系数为 1，那么这个函数可以表示为
y=x2+px+q，我们将p，q称为这个函数的特征数．例如二次函数y=x2﹣4x+2的特
征数是﹣4，2．请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征
数是2，3，将这个函数的图象先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么
此时得到的图象所对应的函数的特征数为 6 ， 8 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】23：新定义．
【分析】首先得出函数解析式，进而利用函数平移规律得出答案．
【解答】解：特征数是2，3的函数解析式为：y=x2+2x+3=（x+1）2+2，其顶点坐标是
（﹣1，2），
将这个函数的图象先向左平移 2个单位，再向下平移 3个单位后的顶点坐标是
（﹣3，﹣1），
所以平移后的函数解析式为：y=（x+3）2﹣1=x2+6x+8，那么此时得到的图象所对应
的函数的特征数为 6，8．
故答案是：6，8．
【点评】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟
练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．会利用方程
求抛物线与坐标轴的交点．
18．（4分）如图，在△ABC中，CA=CB，∠C=90°，点D是BC的中点，将△ABC沿着
直线 EF 折叠，使点 A 与点 D 重合，折痕交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，那么
第14页（共28页）sin∠BED的值为 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及
三角形外角的性质可得到∠BED=∠CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，再根据勾
股定理即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，
∴DF=FA=2﹣x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+1=（2﹣x）2，
解得x= ，
∴sin∠BED=sin∠CDF= = ，
故答案为：
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、
三角形外角的性质，涉及面较广，但难易适中．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）先化简，再求值： ﹣ ÷ ，其中x=6tan30°．
【考点】6D：分式的化简求值；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算
第15页（共28页）得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式= ﹣ • = ﹣ = ，
∵x=6tan30°﹣2=6× ﹣2=2 ﹣2，
∴原式= = ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【专题】34：方程思想．
【分析】用代入法即可解答，把①化为x=1+y，代入②得（1+y）2+2y+3=0即可．
【解答】解：
由①得y=x﹣2③
把③代入②，得x2﹣2x（x﹣2）﹣3（x﹣2）2=0，
即x2﹣4x+3=0
解这个方程，得x =3，x =1
1 2
代入③中，得 或 ．
∴原方程组的解为 或 ．
【点评】考查了高次方程，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知
数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方
程中即可．
21．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点E是BC的中点，AD⊥BC，垂足为点D．
已知AC=9，cosC= ．
（1）求线段AE的长；
第16页（共28页）（2）求sin∠DAE的值．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）先在Rt△ABC中利用∠C的余弦计算出BC=15，然后根据斜边上的中
线性质求AE；
（2）先在Rt△ADC中利用∠C的余弦计算出CD= ，则可得到DE=CE﹣CD= ，然
后在Rt△ADE中利用正弦的定义求解．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵cosC= = ，
∴BC= ×9=15，
∵点E是斜边BC的中点，
∴AE= BC= ；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADE=90°，
在Rt△ADC中，∵cosC= = ，
∴CD= ×9= ，
∵点E是BC的中点，
∴CE= BC= ，
∴DE=CE﹣CD= ﹣ = ，
第17页（共28页）在Rt△ADE中，sin∠DAE= = = ．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过
程就是解直角三角形．灵活由于勾股定理、互余关系和三角函数关系．
22．（10分）周末，小明骑电动自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时
后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小时20分钟后，妈
妈驾车沿相同路线前往乙地．如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x
（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑电动自行车速度的3倍．
（1）小明骑电动自行车的速度为 20 千米/小时，在甲地游玩的时间为 0.5
小时；
（2）小明从家出发多少小时的时候被妈妈追上？此时离家多远？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）根据图象可以求出小明在甲地游玩的时间，由速度=路程÷时间就可
以求出小明骑车的速度；
（2）直接运用待定系数法就可以求出直线BC和DE的解析式，再由其解析式建立
二元一次方程组，求出点F的坐标就可以求出结论．
【解答】解：（1）由图象得
在甲地游玩的时间是1﹣0.5=0.5（h），
小明骑车速度：10÷0.5=20（km/h），
故答案为：20，0.5．
（2）如图，
第18页（共28页）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）
设直线OA的解析式为y=kx（k≠0），
则10=0.5k，
解得：k=20，
故直线OA的解析式为：y=20x．
∵小明走OA段与走BC段速度不变，
∴OA∥BC，
设直线BC解析式为y=20x+b ，
1
把点B（1，10）代入得b =﹣10，
1
∴y=20x﹣10，
设直线DE解析式为y=60x+b ，把点D（ ，0）
2
代入得：b =﹣80，
2
∴y=60x﹣80，
∴ ，
解得： ，
∴F（1.75，25）．
答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km．
【点评】本题考查了一次函数的应用，考查了路程=速度×时间的运用，待定系数
法求一次函数的解析式的运用，一次函数图象性质的而运用．解题的关键是从
实际问题中整理出一次函数模型．
23．（12分）如图，△ABC中，BC=2AB，点D、E分别是BC、AC的中点，过点A作
AF∥BC交线段DE的延长线于点F，取AF的中点G，联结DG，GD与AE交于点
第19页（共28页）H．
（1）求证：四边形ABDF是菱形；
（2）求证：DH2=HE•HC．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LA：菱形的判定与性质；S9：相似三角形的
判定与性质．
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【分析】（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组
对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根
据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD=AE，然后通过证明三
角形相似，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵点D、E分别是BC、AC的中点
∴DE∥AB，BC=2BD，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∵BC=2AB，
∴AB=BD，
∴四边形ABDF是菱形；
（2）证明：∵四边形ABDF是菱形，
∴AF=DF，
∵点G是AF的中点，
∴FG= AF，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
∵AF∥BC，
第20页（共28页）∴ = =1，
∴EF= DF，
∴FG=EF，
在△AFE和△DFG中
，
∴△AFE≌△DFG，
∴∠FAE=∠FDG，
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠C，
∴∠FDG=∠C，
又∵∠EHD=∠DHC，
∴△HED∽△HDC，
∴ = ，
∴DH2=HE•HC．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理、菱形的判定和性质、全等三角形的判定
和性质，相似三角形的判定和性质，熟记定理是解题的关键．
24．（12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，﹣4），点B（﹣2，0），点C
（4，0）．
（1）求这个抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）已知点M在y轴上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求点M的坐标．
第21页（共28页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】1：常规题型．
【分析】（1）把点A（0，﹣4），点B（﹣2，0），点C（4，0）代入抛物线解析式，组成方
程组，即可解答；
（2）取OA的中点，记为点N，证明∠OMB=∠NBA，分两种情况讨论：
①当点M在点N的上方时，记为M ，因为∠BAN=∠M AB，∠NBA=∠OM B，所以
1 1 1
△ABN∽△AM B，求出AM =10，又根据A（0，﹣4），所以M （0，6）．
1 1 1
②当点M在点N的下方时，记为M ，点M 与点M 关于x轴对称，所以M（0，﹣
2 1 2 2
6）．
【解答】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，﹣4），点B（﹣2，0），点C（4，
0）．
∴ ，
解得 ，
∴这个抛物线的解析式为： ，顶点为 ．
（2）如图：取OA的中点，记为点N，
第22页（共28页）∵OA=OC=4，∠AOC=90°，
∴∠ACB=45°，
∵点N是OA的中点，
∴ON=2，
又∵OB=2，
∴OB=ON，
又∵∠BON=90°，
∴∠ONB=45°，
∴∠ACB=∠ONB，
∵∠OMB+∠OAB=∠ACB，
∠NBA+∠OAB=∠ONB，
∴∠OMB=∠NBA；
①当点M在点N的上方时，记为M ，
1
∵∠BAN=∠M AB，∠NBA=∠OM B，
1 1
∴△ABN∽△AM B
1
∴ ，
又∵AN=2，AB=2 ，
∴AM =10，
1
又∵A（0，﹣4）
∴M （0，6）．
1
②当点M在点N的下方时，记为M ，
2
第23页（共28页）点M 与点M 关于x轴对称，
1 2
∴M （0，﹣6），
2
综上所述，点M的坐标为（0，6）或（0，﹣6）．
【点评】本题考查了二次函数，该函数综合题的难度较大，（2）题注意分类讨论，通
过构建相似三角形是打开思路的关键所在．
25．（14分）如图，在Rt∠ABC中，∠ACB=90°，AC=8，tanB= ，点P是线段AB上的
一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为点D，射
线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．
（1）当点E在BC的延长线上时，设PA=x，CE=y，求y关于x的函数关系式，并写出
定义域；
（2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径；
（3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的
长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）过点P作PH⊥AD，垂足为点H，利用已知条件以及勾股定理可分别得
到PH，AH，AD，CD的长，再由PH∥BE，可得 ，所以 ，进而可
求出y关于x的函数关系式；
（2）首先利用已知条件得到BQ，PQ的长，再分两种情况：①当⊙Q和⊙P外切时，
②当⊙Q和⊙P内切时，分别讨论求出⊙P的半径即可；
（3）当△PMC是等腰三角形，存在以下几种情况：①当MP=MC=x时，②当CP=CM
第24页（共28页）时，③当PM=PC=x时，分别讨论求出符合题意的x值即可得到AP的长．
【解答】解：（1）过点P作PH⊥AD，垂足为点H，
∵∠ACB=90°，tanB= ，
∴sinA= ，
∵PA=x，
∴PH= x，
∵∠PHA=90°，
∴PH2+AH2=PA2，
∴AH= x．
∵在⊙P中，PH⊥弦AD，
∴DH=AH= x，
∴AD= x，
又∵AC=8，
∴CD=8﹣ x，
∵∠PHA=∠BCA=90°，
∴PH∥BE，
∴ ，
∴ ，
∴y=6﹣ x（0＜x＜5）；
（2）∵PA=PD，PH⊥AD，
∴∠1=∠2，
∵PH∥BE，
第25页（共28页）∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∴PB=PE，
∵Q是BE的中点，
∴PQ⊥BE，
∴tanB= = ，
∴cosB= ，
∵PA=x，
∴PB=10﹣x，
∴BQ=6﹣ x，PQ=8﹣ x，
①当⊙Q和⊙P外切时：PQ=AP+BQ
∴8﹣ x=x+6﹣ x，
∴x= ；
②当⊙Q和⊙P内切时，此时⊙P的半径大于⊙Q的半径，则PQ=AP﹣BQ，
∴8﹣ x=x﹣（6﹣ x），
∴x= ，
∴当⊙Q和⊙P相切时，⊙P的半径为 或 ．
（3）当△PMC是等腰三角形，存在以下几种情况：
①当MP=MC=x时，
∵QC=6﹣（6﹣ x）= x，
∴MQ= x，
若M在线段PQ上时，PM+MQ=PQ，
∴x+ x=8﹣ x，
第26页（共28页）∴x= ；
若M在线段PQ的延长线上时，PM﹣MQ=PQ，
∴x﹣ x=8﹣ x，
∴x=8；
②当CP=CM时，
∵CP=CM，CQ⊥PM，
∴PQ=QM= PM= x，
∴x﹣ x= x，
∴x= ，
③当PM=PC=x时，
∵AP=x，
∴PA=PC，
又∵PH⊥AC，
∴AH=CH，
∵PH∥BE，
∴ ，
∴ ，
∴x=5．
综上所述：当△PMC是等腰三角形时，AP的长为 或 或5或8．
第27页（共28页）【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握两圆相切的性质和三角形相似的判定
与性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算；能运用分类讨论的思想解题
是答题关键，题目的综合性很强，牵扯到的知识点较多，对学生的综合解题能
力要求很高．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:27:03；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第28页（共28页）
