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2015年上海市普陀区中考数学一模试卷
一.选择题
1．（3分）如图，直线l ∥l ∥l ，两直线AC和DF与l ，l ，l 分别相交于点A，B，C
1 2 3 1 2 3
和点D，E，F．下列各式中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（ ）
A．△ABC放大后，面积是原来的2倍
B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍
C．△ABC放大后，周长是原来的2倍
D．△ABC放大后，面积是原来的4倍
3．（3分）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，那么下列结论正确的
是（ ）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．cotB＝
4．（3分）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0
5．（3分）下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆； （2）平分弦的直径垂直于弦；
第1页（共27页）（3）相等的圆心角所对的弧相等； （4）正五边形是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．0• ＝
B．如果 （ 为非零向量），那么 ∥
C．设 为单位向量，那么| |＝1
D．如果 ，那么 或
二.填空题
7．（3分）已知x：y＝5：2，那么（x+y）：y＝ ．
8．（3分）计算： ＝ ．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于
点E，如果AD＝3，BD＝4，AE＝2，那么AC＝ ．
10．（3分）已知线段MN的长为2厘米，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长
的线段MP的长是 厘米．
11．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是 ．
12．（3分）如果将抛物线y＝﹣2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，那么所
得新抛物线的表达式是 ．
13．（3分）正八边形的中心角等于 度．
14．（3分）用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为
x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： ．
15．（3分）离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为 ，如果测角仪高
为1.5米，那么旗杆的高为 米（用含 的三角函数表示）．
α
16．（3分）如图，已知 O的半径为5， O的一条弦AB长为8，那么以3为半径
α
的同心圆与弦AB位置关系是 ．
⊙ ⊙
第2页（共27页）17．（3分）我们定义：如果一个图形上的点A′、B′、…、P′和另一个图形上的
点A、B、…、P 分别对应，并且满足：
（1）直线AA′、BB′、…、PP′都经过同一点O；
（2） ＝ ＝…＝ ＝k，那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似
中心，k叫做位似比．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心
的位似图形，且OB＝BB′，如果点A（ ，3），那么点A′的坐标为 ．
18．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，tanB＝2，AD⊥BC于点D，G是△ABC
的重心，将△ABC绕着重心G旋转，得到△A B C ，并且点B 在直线AD上，联
1 1 1 1
结CC ，那么tanCC B 的值等于 ．
1 1 1
三.解答题
19．计算： ．
20．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，且 ＝ ．
第3页（共27页）（1）求 的值．
（2）如果 ，请用 表示 ．
21．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，
6），对称轴为直线x＝2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．
22．如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖
的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB＝45°，在AB延长线上的
C处测得∠OCA＝30°，已知BC＝50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）
23．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、
F分别是垂足．
（1）求证：AC2＝AF•AD；
（2）联结EF，求证：AE•DB＝AD•EF．
第4页（共27页）24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣m，0）和点B（0，2m）（m＞0），点C
在x轴上（不与点A重合）
（1）当△BOC与△AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）
（2）当△BOC与△AOB全等时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，
求m的值，并求点C的坐标
（3）P是（2）的二次函数图象上的一点，∠APC＝90°，求点P的坐标及∠ACP的
度数．
25．如图，等边△ABC，AB＝4，点P是射线AC上的一动点，联结BP，作BP的垂
直平分线交线段BC于点D，交射线BA于点Q，分别联结PD，PQ．
（1）当点P在线段AC的延长线上时，
求∠DPQ的度数，并求证：△DCP∽△PAQ；
设CP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
①
（2）如果△PCD是等腰三角形，求△APQ的面积．
②
第5页（共27页）2015 年上海市普陀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．（3分）如图，直线l ∥l ∥l ，两直线AC和DF与l ，l ，l 分别相交于点A，B，C
1 2 3 1 2 3
和点D，E，F．下列各式中，不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线分线段成比例的性质（三条平行线截两条直线，所得的对应线
段成比例），逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项．
【解答】解：如图，∵直线l ∥l ∥l ，
1 2 3
∴ ， ， ，
∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，关键在于认真的逐项分析找
到成比例的线段．
2．（3分）用一个2倍放大镜照一个△ABC，下面说法中错误的是（ ）
A．△ABC放大后，面积是原来的2倍
B．△ABC放大后，各边长是原来的2倍
C．△ABC放大后，周长是原来的2倍
D．△ABC放大后，面积是原来的4倍
【考点】S5：相似图形．
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【分析】用2倍的放大镜放大一个△ABC，得到一个与原三角形相似的三角形；根
据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相
第6页（共27页）似比．可知：放大后三角形的面积是原来的4倍，边长和周长是原来的2倍，而
内角的度数不会改变．
【解答】解：∵放大前后的三角形相似，
∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2
倍．
故选：A．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．
（1）相似三角形周长的比等于相似比；
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方；
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
3．（3分）在Rt△ABC中，已知∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，那么下列结论正确的
是（ ）
A．sinA＝ B．tanA＝ C．cosB＝ D．cotB＝
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】直接利用锐角三角函数关系分别求出即可．
【解答】解：如图所示：
∵∠ACB＝90°，BC＝1，AB＝2，
∴AC＝ ，
∴sinA＝ ，故选项A错误；
tanA＝ ＝ ，故选项B错误；
cosB＝ ，故选项C错误；
cotB＝ ，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆相关比例关系是解题关键．
第7页（共27页）4．（3分）如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么（ ）
A．a＜0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＞0
C．a＞0，b＜0，c＜0 D．a＞0，b＞0，c＜0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【分析】首先根据开口方向确定a的符号，再依据对称轴的正负和a的符号即可判
断b的符号，然后根据与y轴的交点的纵坐标即可判断c的正负，由此得出答
案即可．
【解答】解：∵图象开口方向向上，
∴a＞0；
∵图象的对称轴在x轴的正半轴上，
∴﹣ ＞0，
∵a＞0，
∴b＜0；
∵图象与Y轴交点在y轴的负半轴上，
∴c＜0；
∴a＞0，b＜0，c＜0．
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，能根据图象正确确定各个
系数的符号是解决此题的关键，运用了数形结合思想．
5．（3分）下列命题中，正确的个数是（ ）
（1）三点确定一个圆； （2）平分弦的直径垂直于弦；
（3）相等的圆心角所对的弧相等； （4）正五边形是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】O1：命题与定理．
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第8页（共27页）【分析】利用确定圆的条件、垂径定理、等弧的定义及正五边形的性质分别判断后
即可确定正确的选项．
【解答】解：（1）不在同一直线上的三点确定一个圆，错误；
（2）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，错误；
（3）相等的圆心角所对的弧相等，错误；
（4）正五边形是轴对称图形，正确．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解确定圆的条件、垂径定
理、等弧的定义及正五边形的性质，难度不大．
6．（3分）下列判断错误的是（ ）
A．0• ＝
B．如果 （ 为非零向量），那么 ∥
C．设 为单位向量，那么| |＝1
D．如果 ，那么 或
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据单位向量、平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌
握排除法在选择题中的应用．
【解答】解：A、0• ＝ ，故正确；
B、如果 （ 为非零向量），那么 ∥ ；故正确；
C、设 为单位向量，那么| |＝1，故正确；
D、如果 ，没法判断 与 的关系；故错误．
故选：D．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意熟记定义是解此题的关
键．
二.填空题
7．（3分）已知x：y＝5：2，那么（x+y）：y＝ 7 ： 2 ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据合比性质，可得答案．
【解答】解：由合比性质，得（x+y）：y＝7：2，
第9页（共27页）故答案为：7：2．
【点评】本题考查了比例的性质，利用了合比性质： ＝ ＝ ．
⇒
8．（3分）计算： ＝ ﹣ +5 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时符号的
变化．
【解答】解： ＝2 ﹣3 +5 ＝﹣ +5 ．
故答案为：﹣ +5 ．
【点评】此题考查了平面向量的运算．此题难度不大，注意掌握运算法则是解此题
的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于
点E，如果AD＝3，BD＝4，AE＝2，那么AC＝ ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】由平行可得到 ＝ ，代入可求得EC，再利用线段的和可求得AC．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得EC＝ ，
∴AC＝AE+EC＝2+ ＝ ，
故答案为： ．
第10页（共27页）【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成
比例是解题的关键．
10．（3分）已知线段MN的长为2厘米，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长
的线段MP的长是 （ ﹣ 1 ） 厘米．
【考点】S3：黄金分割．
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【专题】11：计算题．
【分析】直接根据黄金分割的定义求解．
【解答】解：∵点P是线段MN的黄金分割点，
∴较长的线段MP的长＝ MN＝ ×2＝（ ﹣1）cm．
故答案为（ ﹣1）．
【点评】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且
使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分
割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝ AB≈0.618AB，并且线段
AB的黄金分割点有两个．
11．（3分）二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与y轴的交点坐标是 （ 0 ，﹣ 3 ） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】计算自变量为0时的函数值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，
所以二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣3）．
故答案为（0，﹣3）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满
足其解析式．
12．（3分）如果将抛物线y＝﹣2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，那么所
得新抛物线的表达式是 y ＝﹣ 2 （ x + 3 ） 2 + 1 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】46：几何变换．
【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解
第11页（共27页）析式．
【解答】解：抛物线y＝﹣2x2平移，使顶点移到点P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线
的表达式为y＝﹣2（x+3）2+1．
故答案为y＝﹣2（x+3）2+1．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
13．（3分）正八边形的中心角等于 4 5 度．
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；
故答案为45．
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求
法．
14．（3分）用一根长50厘米的铁丝，把它弯成一个矩形框，设矩形框的一边长为
x厘米，面积为y平方厘米，写出y关于x的函数解析式： y ＝﹣ x 2 +2 5 x ．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】易得矩形另一边长为周长的一半减去已知边长，那么矩形的面积等于相
邻两边长的积．
【解答】解：由题意得：矩形的另一边长＝50÷2﹣x＝25﹣x，
则y＝x（25﹣x）＝﹣x2+25x．
故答案为y＝﹣x2+25x．
【点评】本题考查列二次函数关系式；掌握矩形的边长与所给周长与另一边长的
关系是解决本题的突破点．
15．（3分）离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为 ，如果测角仪高
为1.5米，那么旗杆的高为 （ 1.5+20ta n ） 米（用含 的三角函数表示）．
α
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
α α
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【专题】11：计算题．
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算
第12页（共27页）即可．
【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tan ，测角仪高为1.5米，
故旗杆的高为（1.5+20tan ）米．
α
α
【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三
角形．
16．（3分）如图，已知 O的半径为5， O的一条弦AB长为8，那么以3为半径
的同心圆与弦AB位置关系是 相切 ．
⊙ ⊙
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求
出OC，再根据直线与圆的位置关系进行判断即可．
【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，
则∠OCA＝90°，AC＝BC＝ AB＝ ×8＝4，
在Rt△OCA中，OA＝5，AC＝4，由勾股定理得：OC＝ ＝ ＝3，
∵3＝3，
∴以3为半径的同心圆与弦AB位置关系是相切．
故答案为：相切．
第13页（共27页）【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，直线与圆的位置关系的应用，解此题的
关键是求出OC的长，注意：直线与圆的位置关系有：相离，相切，相交．
17．（3分）我们定义：如果一个图形上的点A′、B′、…、P′和另一个图形上的
点A、B、…、P 分别对应，并且满足：
（1）直线AA′、BB′、…、PP′都经过同一点O；
（2） ＝ ＝…＝ ＝k，那么这两个图形叫做位似图形，点O叫做位似
中心，k叫做位似比．
如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心
的位似图形，且OB＝BB′，如果点A（ ，3），那么点A′的坐标为 （ 5 ， 6 ）
．
【考点】D5：坐标与图形性质；SC：位似变换．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据位似的性质得 BC∥B′C′，根据平行线分线段成比例定理得到
＝ ＝ ，则△A′B′C′与△ABC的位似比为2，然后根据如果位
似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等
于k或﹣k进行求解．
【解答】解：∵△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
∴BC∥B′C′，
第14页（共27页）∴ ＝ ＝ ，
∴△A′B′C′与△ABC的相似比为2，
而点A（ ，3），
∴点A′的坐标为（ ×2，3×2），即A′（5，6）．
故答案为（5，6）．
【点评】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连
线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点
叫做位似中心．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相
似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
18．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，tanB＝2，AD⊥BC于点D，G是△ABC
的重心，将△ABC绕着重心G旋转，得到△A B C ，并且点B 在直线AD上，联
1 1 1 1
结CC ，那么tanCC B 的值等于 或 ．
1 1 1
【考点】K5：三角形的重心；R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】分类讨论：当△ABC绕着重心G逆时针旋转得到△A B C ，如图1，设GD
1 1 1
＝x，根据等腰三角形的性质得BD＝CD，再根据重心的性质得AG＝2GD＝
2x，则AD＝AG+DG＝3x，在Rt△ABD中，利用正切定义得到BD＝ AD＝ x，
则CD＝ x，接着根据勾股定理计算出CG＝ x，然后利用旋转的性质得到
∠BGD＝∠DGD ，GD＝GD ＝x，C D ＝CD＝ x，由于而GD⊥BC，所以
1 1 1 1
第15页（共27页）GD ⊥B C ，点 D 在 CG 上，于是可得 CD ＝CG﹣GD ＝ x，则在
1 1 1 1 1 1
Rt△CC D 中，利用正切的定义得到tan∠CC D ＝ ＝ ；当△ABC
1 1 1 1
绕着重心G顺时针旋转得到△A B C ，如图2，设DG＝x，与前面一样，可求得
1 1 1
GD ＝GD＝x，C D ＝CD＝ x，则CD ＝ x，
1 1 1 1
在Rt△CC D 中，利用正切定理得到tan∠CC D ＝ ＝ ．
1 1 1 1
【解答】解：当△ABC绕着重心G逆时针旋转得到△A B C ，如图1，设GD＝x，
1 1 1
∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD，
∴重心G在AD上，
∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GD＝2x，
∴AD＝AG+DG＝3x，
在Rt△ABD中，∵tanB＝ ＝2，
∴BD＝ AD＝ x，
∴CD＝ x，
在Rt△CDG中，CG＝ ＝ x，
∵△ABC绕着重心G旋转，得到△A B C ，并且点B 在直线AD上，
1 1 1 1
∴∠BGD＝∠DGD ，GD＝GD ＝x，C D ＝CD＝ x，
1 1 1 1
而GD⊥BC，
∴GD ⊥B C ，点D 在CG上，
1 1 1 1
∴CD ＝CG﹣GD ＝ x﹣x＝ x，
1 1
第16页（共27页）在Rt△CC D 中，tan∠CC D ＝ ＝ ＝ ；
1 1 1 1
当△ABC绕着重心G顺时针旋转得到△A B C ，如图2，设DG＝x，
1 1 1
与前面一样，可求得GD ＝GD＝x，C D ＝CD＝ x，则CD ＝ x+x＝ x，
1 1 1 1
在Rt△CC D 中，tan∠CC D ＝ ＝ ＝ ，
1 1 1 1
综上所述，tanCC B 的值等于 或 ．
1 1
故答案为 或 ．
【点评】本题考查了三角形重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．重心到
顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了等腰三角形的性质
旋转的性质解直角三角形．
三.解答题
19．计算： ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．
【解答】解：原式＝4× ﹣ × + ×
＝1+3 ．
【点评】本题考查了特殊角三角函数值，解决此类题目的关键是熟记特殊角的三
第17页（共27页）角函数值．
20．如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O，且 ＝ ．
（1）求 的值．
（2）如果 ，请用 表示 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）由AB∥CD，可得△AOB∽△DOC，然后由相似三角形的对应边成比
例，求得 的值．
（2）由（1）可得 ＝﹣ ＝﹣ ．
【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△DOC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ；
（2）由（1）知，AD＝ AO，
∴ ＝﹣ ＝﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．此题难度不
大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C（0，
6），对称轴为直线x＝2，求二次函数解析式并写出图象最低点坐标．
第18页（共27页）【考点】H7：二次函数的最值；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据二次函数的对称轴为直线x＝2，设出二次函数解析式，把A与C坐标
代入求出a与k的值，确定出二次函数解析式，找出函数图象最低点坐标即可
【解答】解：设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2+k，
把A（1，0），C（0，6）代入得： ，
解得： ，
则二次函数解析式为y＝2（x﹣2）2﹣2＝2x2﹣8x+6，二次函数图象的最低点，即顶
点坐标为（2，﹣2）．
【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的最值，熟练掌
握待定系数法是解本题的关键．
22．如图，某新建公园有一个圆形人工湖，湖中心O处有一座喷泉，小明为测量湖
的半径，在湖边选择A、B两个点，在A处测得∠OAB＝45°，在AB延长线上的
C处测得∠OCA＝30°，已知BC＝50米，求人工湖的半径．（结果保留根号）
【考点】M3：垂径定理的应用．
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第19页（共27页）【分析】过点O作OD⊥AC于点D，由垂径定理可知AD＝BD，根据∠OAB＝45°
可知AD＝OD，设AD＝x，则OD＝x，OA＝ x，CD＝x+BC＝（x+50）米，再根
据∠OCA＝30°即可得出x的值，进而得出结论．
【解答】解：过点O作OD⊥AC于点D，则AD＝BD，
∵∠OAB＝45°，
∴AD＝OD，
∴设AD＝x，则OD＝x，OA＝ x，CD＝x+BC＝x+50）．
∵∠OCA＝30°，
∴ ＝tan30°，即 ＝ ，
解得x＝25 +25，
∴OA＝ x＝ ×（25 +25）＝（25 +25 ）（米）．
答：人工湖的半径为（25 +25 ）米．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形
是解答此题的关键．
23．如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、
F分别是垂足．
（1）求证：AC2＝AF•AD；
（2）联结EF，求证：AE•DB＝AD•EF．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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第20页（共27页）【分析】（1）证明△ACD∽△AFC，得到 ，即可解决问题．
（2）证明A、E、F、C四点共圆，得到∠AFE＝∠ACE，这是解决该问题的关键性结
论；证明∠AFE＝∠B，结合∠FAE＝∠BAD，得到△AEF∽△ADB，列出比例式
即可解决问题．
【解答】 解：（1）如图，∵∠ACB＝90°，CF⊥AD，
∴∠ACD＝∠AFC，而∠CAD＝∠FAC，
∴△ACD∽△AFC，
∴ ，
∴AC2＝AF•AD．
（2）如图，∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°，
∴A、E、F、C四点共圆，
∴∠AFE＝∠ACE；而∠ACE+∠CAE＝∠CAE+∠B，
∴∠ACE＝∠B，∠AFE＝∠B；
∵∠FAE＝∠BAD，
∴△AEF∽△ADB，
∴AE：AD＝BD：EF，
∴AE•DB＝AD•EF．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是
灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答．
24．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣m，0）和点B（0，2m）（m＞0），点C
在x轴上（不与点A重合）
（1）当△BOC与△AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）
（2）当△BOC与△AOB全等时，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，
求m的值，并求点C的坐标
第21页（共27页）（3）P是（2）的二次函数图象上的一点，∠APC＝90°，求点P的坐标及∠ACP的
度数．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）分类讨论：△BOC∽△BOA，△BOC∽△AOB，根据相似三角形的性
质，可得答案；
（2）根据全等三角形的性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值可得p
点坐标，分类讨论：当点P的坐标为（ ，1）时，根据正弦函数据，可得∠COP
的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案； 当点P的坐标为（﹣ ，1）时，
根据正弦函数据，可得∠AOP的度数，根据三角形外角的性质，可得答案．
【解答】解：（1）点C的坐标为（m，0）或（4m，0）．或（﹣4m，0）；
（2）当△BOC与△AOB全等时，点C的坐标为（m，0），
二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，
，解得 ．
二次函数解析式为y＝﹣x2+4，点C的坐标为（2，0）；
（3）作PH⊥AC于H，设点P的坐标为（a，﹣a2+4），
∵∠AHP＝∠PHC＝90°，∠APH＝∠PCH＝90°﹣∠CPH，
∴△APH∽△PCH，∴ ＝ ，
即PH2＝AH•CH，
（﹣a2+4）2＝（a+2）（2﹣a）．
解得a＝ ，或a＝﹣ ，即P（ ，1）或（﹣ ，1），
如图：
第22页（共27页）当点P 的坐标为（ ，1）时，OP ＝2＝OC，sin∠P OE＝ ＝ ∴∠COP＝30°，
1 1 1
∴∠ACP＝ ＝75°
当点P的坐标为（﹣ ，1）时，sin∠P OF＝ ＝ ，∠P OF＝30°．
2 2
由三角形外角的性质，得∠P OF＝2∠ACP，即∠ACP＝15°．
2
【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是
解题关键；（2）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三
角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外
角的性质．
25．如图，等边△ABC，AB＝4，点P是射线AC上的一动点，联结BP，作BP的垂
直平分线交线段BC于点D，交射线BA于点Q，分别联结PD，PQ．
（1）当点P在线段AC的延长线上时，
求∠DPQ的度数，并求证：△DCP∽△PAQ；
设CP＝x，AQ＝y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
①
（2）如果△PCD是等腰三角形，求△APQ的面积．
②
第23页（共27页）【考点】K8：三角形的外角性质；KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平
分线的性质；KH：等腰三角形的性质；SO：相似形综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1） 根据线段垂直平分线的性质可得BD＝PD，BQ＝PQ，即可证到
△BDQ≌△PDQ，从而有∠DPQ＝∠DBQ＝60°；易证∠APQ＝∠CDP，∠DCP
①
＝∠QAP，就可证到△DCP∽△PAQ；
利用△DCP∽△PAQ可求出CD、BD（用x、y的代数式表示），然后根据
CD+BD＝BC＝4就可得到y关于x的函数解析式，然后根据x、y均为正数可求
②
出x的范围；
（2） 当点P在AC的延长线上时，∠DCP＝120°，由△PCD是等腰三角形，可得
CP＝CD，由此可得到y＝x+4，把它代入函数关系式，就可求出x的值，从而可
①
求出CP、AP、AQ的值，就可求出△APQ的面积； 当点P在线段AC上时，
∠C＝60°，由△PCD是等腰三角形可得△PCD是等边三角形，从而有∠BDP
②
＝120°，进而可求出
∠DPB＝30°，∠BPC＝90°，根据等腰三角形的性质可得 AP＝CP＝2．由
△DCP∽△PAQ，△PCD是等边三角形可得△APQ也是等边三角形，就可求出
△APQ的面积．
【解答】解：（1） 如图1，
∵DQ是线段BP的中垂线，
①
∴BD＝PD，BQ＝PQ．
在△BDQ和△PDQ中，
，
第24页（共27页）∴△BDQ≌△PDQ（SSS），
∴∠DPQ＝∠DBQ＝60°，
∴∠CPD+∠APQ＝60°．
又∵∠ACB＝∠CDP+∠CPD＝60°，
∴∠APQ＝∠CDP．
又∵∠DCP＝∠QAP＝120°，
∴△DCP∽△PAQ；
∵△DCP∽△PAQ，
②
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴CD＝ ，BD＝ ，
∵BC＝BD+CD＝4，
∴ + ＝4，
整理得：y＝ ．
∵x＞0，y＞0，∴0＜x＜4．
∴y关于x的函数解析式为y＝ ，它的定义域为0＜x＜4；
（2） 当点P在线段AC的延长线上时，∠DCP＝120°．
∴当△PCD是等腰三角形时，CD＝CP，
①
∴ ＝x，
∴y＝x+4，
∴ ＝x+4，
解得：x ＝﹣2﹣2 （舍去），x ＝﹣2+2 ，
1 2
第25页（共27页）∴CP＝﹣2+2 ，
∴AQ＝AP＝AC+CP＝4﹣2+2 ＝2+2 ．
过点Q作QH⊥AP，交PA的延长线于点H，如图2，
∴S ＝ AP•QH＝ AP•AQ•sin∠HAQ
△APQ
＝ ×（2+2 ）2× ＝4 +6；
当点P在线段AC上时，∠C＝60°，
∴当△PCD是等腰三角形时，△PCD是等边三角形，
②
∴∠BDP＝120°．
又∵BD＝DP，
∴∠DBP＝∠DPB＝30°，
∴∠BPC＝90°，即BP⊥AC．
∵BC＝BA，
∴AP＝CP＝2．
∵△DCP∽△PAQ，△PCD是等边三角形，
∴△APQ是等边三角形，
∴AP＝AQ．
过点Q作QH⊥AP于H，如图3，
∴S ═ AP•QH＝ AP•AQ•sin∠HAQ＝ ×2×2× ＝ ．
△APQ
第26页（共27页）【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、全等
三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质等知识，运用（1）
中结论求出CD、BD（用x、y的代数式表示），并利用CD+BD＝BC＝4建立等
式是解决第（2）小题的关键，运用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键．
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日期：2018/12/26 20:07:02；用户：甘磊；邮箱：orFmNt__mrhHvuyQQ587Kva-SkWk@weixin.jyeoo.com；学号：25899201
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