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2015 年上海市徐汇区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C．π D．
2．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．2x﹣x=1 B．x+x=2x C．（x3）3=x6 D．x8÷x2=x4
3．（4分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（2，3） D．（﹣4，6）
4．（4分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，
则下列结论不正确的是（ ）
A．AB2=AC2+BC2 B．CH2=AH•HB
C．CM= AB D．CB= AB
5．（4分）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，
如表所示：
用电量（度） 120 140 160 180 200
户数 2 3 6 7 2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
6．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．没有公共点的两圆叫两圆相离
B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线所在直线对称
C．联结相切两圆圆心的直线必经过切点
D．内含的两个圆的圆心距大于零
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
第1页（共26页）7．（4分）计算：2﹣2= ．
8．（4分）用科学记数法表示660000的结果是 ．
9．（4分）函数y= 中自变量x的取值范围是 ．
10．（4分）分解因式：4a2﹣16= ．
11．（4分）不等式组 的解是 ．
12．（4分）方程 的解是 ．
13．（4分）某商店运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划
多售出4台，结果提前5天完成销售任务，则原计划每天销售多少台？
若原计划每天销售x台，则可得方程 ．
14．（4分）将1、2、3三个数字分别作为横坐标和纵坐标，随机生成的点的坐标如
下表．如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，则这个点的函数
y=x图象上的概率是 ．
（1，1） （1，2） （1，3）
（2，1） （2，2） （2，3）
（3，1） （3，2） （3，3）
15．（4分）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=3DC， = ， = ，那么 =
（用向量 、 来表示）．
16．（4分）如果二次函数y=x2+2x﹣m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是
．
17．（4分）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，若AC=16，则sin∠ABD= ．
18．（4分）如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F
是 上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧 恰好与半径OB
相切于点G，若OE=5，则O到折痕EF的距离为 ．
第2页（共26页）三、（本大题共7题，19-22每题10分，23、24每题12分，25题14分，满分78分）
19．（10分）化简并求值： •（x2+ ），其中x= ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售
量成一次函数关系，其图象如图所示，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件（x≥0）之间的函
数关系式；
（2）若两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度
增长，且连续两个月的月收入的增长率是相同的，试求这个增长率（保留到百
分位）．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，sinC= ，AC=6，BD平分∠CBA交AC
边于点D．求：
（1）线段AB的长；
（2）tan∠DBA的值．
第3页（共26页）23．（12分）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，
∠MAN=45°，将∠MAN绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平
分线于点M、N，联结MN．
（1）求证：△ABM∽△NDA；
（2）联结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴
交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交C（5，
6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；
（3）若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F
的坐标．
第4页（共26页）25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，cosA= ，点P是边AB上的动
点，以PA为半径作⊙P．
（1）若⊙P与AC边的另一交点为点D，设AP=x，△PCD的面积为y，求y关于x的
函数解析式，并直接写出函数的定义域；
（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；
（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为 ，求AP的长．
第5页（共26页）2015 年上海市徐汇区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数中，无理数是（ ）
A． B． C．π D．
【考点】26：无理数．
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【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数
的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，
而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是分数，是有理数，选项错误；
B、 =3，是整数，是有理数，选项错误；
C、是无理数，选项正确；
D、 =2，是整数，是有理数，选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π
等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
2．（4分）下列运算中，正确的是（ ）
A．2x﹣x=1 B．x+x=2x C．（x3）3=x6 D．x8÷x2=x4
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．
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【分析】分别利用合并同类项以及幂的乘方运算和同底数幂的除法运算法则化简
求出即可．
【解答】解：A、2x﹣x=x，故此选项错误；
B、x+x=2x，故此选项正确；
C、（x3）3=x9，故此选项错误；
D、x8÷x2=x6，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算和同底数幂的除法运算法
第6页（共26页）则等知识，正确化简各式是解题关键．
3．（4分）某反比例函数的图象经过点（﹣2，3），则此函数图象也经过点（ ）
A．（2，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（2，3） D．（﹣4，6）
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
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【分析】将（﹣2，3）代入y= 即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【解答】解：设反比例函数解析式为y= ，将点（﹣2，3）代入解析式得k=﹣2×3=
﹣6，
符合题意的点只有点A：k=2×（﹣3）=﹣6．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则
一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
4．（4分）如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CH、CM分别是斜边AB上的高和中线，
则下列结论不正确的是（ ）
A．AB2=AC2+BC2 B．CH2=AH•HB
C．CM= AB D．CB= AB
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理；S9：相似三角形的判定与性
质．
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【分析】由△ABC中，∠ACB=90°，利用勾股定理即可求得AB2=AC2+BC2；由△ABC中，
∠ACB=90°，CH是高，易证得△ACH∽△CHB，然后由相似三角形的对应边成比
例，证得CH2=AH•HB；由△ABC中，∠ACB=90°，CM是斜边AB上中线，根据直角
三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可得CM= AB．
【解答】解：A、∵△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB2=AC2+BC2，故正确；
第7页（共26页）B、∵CH是高，
∴∠AHC=∠CHB=90°，
∴∠A+∠ACH=90°，
∵∠ACH+∠BCH=90°，
∴∠A=∠BCH，
∴△ACH∽△CHB，
∴AH：CH=CH：HB，
∴CH2=AH•HB，故正确；
C、∵△ABC中，∠ACB=90°，CM斜边AB上的中线，
∴CM= AB，故正确；
D、∵∠A的度数不确定，
∴CB不一定等于 AB，故错误．
故选：D．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形斜边上
的中线的性质．注意证得△ACH∽△CHB是关键．
5．（4分）某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，
如表所示：
用电量（度） 120 140 160 180 200
户数 2 3 6 7 2
则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（ ）
A．180，160 B．160，180 C．160，160 D．180，180
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据众数和中位数的定义就可以解决．
【解答】解：在这一组数据中180是出现次数最多的，故众数是180；
将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的两个数是160，160，那么由
中位数的定义可知，这组数据的中位数是（160+160）÷2=160．
故选：A．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．众数是一组数据中出现次数最
第8页（共26页）多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那
个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．
6．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．没有公共点的两圆叫两圆相离
B．相交两圆的交点关于这两个圆的连心线所在直线对称
C．联结相切两圆圆心的直线必经过切点
D．内含的两个圆的圆心距大于零
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据圆的位置关系的定义以及圆幂性质对各选项分析判断利用排除法求
解．
【解答】解：A、没有公共点的两圆叫两圆相离，正确，故本选项错误；
B、相交两圆的交点关于这两个圆的连心线所在直线对称，正确，故本选项错误；
C、联结相切两圆圆心的直线必经过切点，正确，故本选项错误；
D、内含的两个圆的圆心距大于零，错误，同心圆的圆心距等于0，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假
命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：2﹣2= ．
【考点】6F：负整数指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p= （a≠0，p为正整数）
【解答】解：2﹣2= = ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，
易于掌握．
8．（4分）用科学记数法表示660000的结果是 6. 6 × 1 0 5 ．
第9页（共26页）【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确
定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点
移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是
负数．
【解答】解：将660000用科学记数法表示为：6.6×105．
故答案为：6.6×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形
式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（4分）函数y= 中自变量x的取值范围是 x ≠ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案是：x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围的求法，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（4分）分解因式：4a2﹣16= 4 （ a + 2 ）（ a﹣ 2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
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【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．
【解答】解：4a2﹣16=4（a2﹣4）=4（a+2）（a﹣2）．
故答案为：4（a+2）（a﹣2）．
【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是
解题关键．
11．（4分）不等式组 的解是 2 ＜ x ≤ 7 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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第10页（共26页）【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解： ，
解①得：x＞2，
解②得：x≤7．
则不等式组的解集是：2＜x≤7．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于
两数之间．
12．（4分）方程 的解是 2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】方程两边同时乘方后将无理方程转化为整式方程求解后验根即可确定正
确的答案．
【解答】解：方程两边同时乘方得：6﹣x=x2，
解得：x=﹣3或x=2，
当x=﹣3时，左边= = =3≠右边，所以舍去，
故答案为：2．
【点评】本题考查了无理方程的解法，解题的关键是了解如何将无理方程转化为
有理方程求解．
13．（4分）某商店运进120台空调准备销售，由于开展了促销活动，每天比原计划
多售出4台，结果提前5天完成销售任务，则原计划每天销售多少台？
若原计划每天销售x台，则可得方程 ﹣ =5 ．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
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【分析】设原计划每天销售x台，则实际每天销售（x+4）台，由“结果提前5天完
成销售任务”可得等量关系为：原计划销售时间﹣实际销售时间=5天，依此列
出方程即可．
【解答】解：设原计划每天销售x台，则实际每天销售（x+4）台，根据题意得
﹣ =5．
第11页（共26页）故答案为 ﹣ =5．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到等量关系
是解决问题的关键．
14．（4分）将1、2、3三个数字分别作为横坐标和纵坐标，随机生成的点的坐标如
下表．如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，则这个点的函数
y=x图象上的概率是 ．
（1，1） （1，2） （1，3）
（2，1） （2，2） （2，3）
（3，1） （3，2） （3，3）
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；X4：概率公式．
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【分析】由题意可得共有9种等可能的结果，这个点的函数y=x图象上的有（，
1），（2，2），（3，3），然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵共有9种等可能的结果，这个点的函数y=x图象上的有（，1），（2，
2），（3，3），
∴这个点的函数y=x图象上的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
15．（4分）如图，在△ABC中，D是边BC上一点，BD=3DC， = ， = ，那么 =
﹣ （用向量 、 来表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由在△ABC中，D是边BC上一点，BD=3DC，即可表示出 ，然后由三角形
第12页（共26页）法则，求得 ．
【解答】解：∵在△ABC中，D是边BC上一点，BD=3DC，
∴ = = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．
16．（4分）如果二次函数y=x2+2x﹣m+2图象的顶点在x轴上，那么m的值是 1
．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】因为抛物线顶点在x轴上，故函数图象与x轴只有一个交点，根据△=0，即
可求出m的值．
【解答】解：∵抛物线y=x2+2x﹣m+2的顶点在x轴上，
∴△=22﹣4×（﹣m+2）=0，即﹣4+4m=0，
解得m=1．
故答案是：1．
【点评】此题考查了二次函数图象与y轴交点个数与根的判别式的关系，要明确：
△＞0时，图象与x轴有两个交点；△=0，图象与x轴有一个交点；△＜0，图象
与x轴无交点．
17．（4分）已知四边形ABCD是菱形，周长是40，若AC=16，则sin∠ABD= ．
【考点】L8：菱形的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】利用菱形的对角线互相平分且互相垂直进而利用锐角三角函数关系得出
即可．
【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，周长是40，AC=16，
∴AO=8，AB=10，
∴sin∠ABD= = ．
故答案为： ．
第13页（共26页）【点评】此题主要考查了菱形的性质与解直角三角形，得出AO的长是解题关键．
18．（4分）如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F
是 上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧 恰好与半径OB
相切于点G，若OE=5，则O到折痕EF的距离为 ．
【考点】KQ：勾股定理；MC：切线的性质；PB：翻折变换（折叠问题）．
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【专题】11：计算题．
【分析】过点G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如图，连结OO′交EF于H，易得四
边形AOGO′为矩形，得到O′G=AO=5，根据折叠的性质得 与 为等弧，则它
们所在圆的半径相等，再利用经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心得到
点O′为 所在圆的圆心，则可判断点O与点O′关于EF对称，所以OO′⊥EF，
OH=HO′，设OH=x，则OO′=2x，接着证明Rt△OEH∽Rt△OO′A，然后利用相似比
可计算出x．
【解答】解：过点G作O′G⊥OB，作AO′⊥O′G于O′，如图，连结OO′交EF于H，
则四边形AOGO′为矩形，
∴O′G=AO=6，
∵ 沿EF折叠后所得得圆弧 恰好与半径OB相切于点G，
∴ 与 所在圆的半径相等，
∴点O′为 所在圆的圆心，
∴点O与点O′关于EF对称，
∴OO′⊥EF，OH=HO′，
第14页（共26页）设OH=x，则OO′=2x，
∵∠EOH=∠O′OA，
∴Rt△OEH∽Rt△OO′A，
∴ = ，即 = ，解得x= ，
即O到折痕EF的距离为 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂
直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．运用
切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构
造直角三角形解决有关问题．也考查了折叠的性质．
三、（本大题共7题，19-22每题10分，23、24每题12分，25题14分，满分78分）
19．（10分）化简并求值： •（x2+ ），其中x= ．
【考点】6D：分式的化简求值；7A：二次根式的化简求值．
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【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算
即可．
【解答】解：原式= •
=x（x﹣2）+1，
=（x﹣1）2，
当x= = +1时，
原式=（ +1﹣1）2=5．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
第15页（共26页）关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【 分 析 】 先 将 原 方 程 组 变 形 为 ， 再 变 形 为
， ，最后解这四个二元一次方
程组求出其解即可．
【解答】解：原方程组变形为：
，
∴ ， ，
解得： ， ， ， ．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解法的运用，解二元二次方程组的消元、降
次思想的运用，因式分解的运用．解答时先将二元高次方程变形为二元一次方
程组是关键．
21．（10分）某公司市场营销部的某营销员的个人月收入与该营销员每月的销售
量成一次函数关系，其图象如图所示，根据图象提供的信息，解答下列问题：
（1）求营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件（x≥0）之间的函
数关系式；
（2）若两个月内该营销员的销售量从2万件猛增到5万件，月收入两个月大幅度
增长，且连续两个月的月收入的增长率是相同的，试求这个增长率（保留到百
分位）．
第16页（共26页）【考点】AD：一元二次方程的应用；FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）设y=kx+b，将（0，800）与（2，2400）代入，利用待定系数法即可求解；
（2）设这个增长率为x，先根据（1）中所求的解析式求出x=5时对应的y值，再由
两个月内该营销员的销售量从 2万件猛增到5万件，且连续两个月的月收入
的增长率是相同的列出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设y=kx+b，将（0，800）与（2，2400）代入，
得 ，解得 ，
故营销员的个人月收入y元与该营销员每月的销售量x万件（x≥0）之间的函数
关系式为y=800x+800；
（2）∵y=800x+800，
∴当x=5时，y=800×5+800=4800．
设这个增长率为x，根据题意得
2400（1+x）2=4800，
解得x = ﹣1≈0.41，x =﹣ ﹣1（不合题意舍去）．
1 2
答：这个增长率约为41%．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题
意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，sinC= ，AC=6，BD平分∠CBA交AC
边于点D．求：
（1）线段AB的长；
（2）tan∠DBA的值．
第17页（共26页）【考点】KF：角平分线的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）先解Rt△ABC，得出sinC= = ，设出AB=3k，则BC=5k，由BC2﹣
AB2=AC2，得出方程（5k）2﹣（3k）2=62，解方程求出k的值，进而得到AB；
（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=6﹣x．根据角平分线的性质得出
DE=AD=x，利用 HL 证明 Rt△BDE≌Rt△BDA，得到 BE=BA= ，那么 CE=BC﹣
BE=3．然后在Rt△CDE中利用勾股定理得出DE2+CE2=CD2，即x2+32=（6﹣x）2，解
方程求出x的值，即为AD的长，再根据正切函数的定义即可求解．
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠CAB=90°，
∴sinC= = ，BC2﹣AB2=AC2，
∴可设AB=3k，则BC=5k，
∵AC=6，
∴（5k）2﹣（3k）2=62，
∴k= （负值舍去），
∴AB=3× = ；
（2）过D点作DE⊥BC于E，设AD=x，则CD=6﹣x．
∵BD平分∠CBA交AC边于点D，∠CAB=90°，
∴DE=AD=x．
在Rt△BDE与Rt△BDA中，
，
第18页（共26页）∴Rt△BDE≌Rt△BDA（HL），
∴BE=BA= ，
∴CE=BC﹣BE=5× ﹣ =3．
在Rt△CDE中，∵∠CED=90°，
∴DE2+CE2=CD2，
∴x2+32=（6﹣x）2，
解得x= ，
∴AD= ，
∴tan∠DBA= = = ．
【点评】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，全等三角形
的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解决第（2）问的关键．
23．（12分）已知：如图，正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，
∠MAN=45°，将∠MAN绕着正方形的顶点A旋转，边AM、AN分别交两条角平
分线于点M、N，联结MN．
（1）求证：△ABM∽△NDA；
（2）联结BD，当∠BAM的度数为多少时，四边形BMND为矩形，并加以证明．
第19页（共26页）【考点】LC：矩形的判定；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）由正方形ABCD，BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，可证得
∠ABM=∠ADN=135°，又由∠MAN=45°，可证得∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN，即
可证得△ABM∽△NDA；
（2）由四边形BMND为矩形，可得BM=DN，然后由△ABM∽△NDA，根据相似三
角形的对应边成比例，可证得BM2=AB2，继而求得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，
∵BM、DN分别是正方形的两个外角平分线，
∴∠ABM=∠ADN=135°，
∵∠MAN=45°，
∴∠BAM=∠AND=45°﹣∠DAN，
∴△ABM∽△NDA；
（2）解：∵四边形BMND为矩形，
∴BM=DN，
∵△ABM∽△NDA，
∴ = ，
∴BM2=AB2，
∴BM=AB，
∴∠BAM=∠BMA= =22.5°．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及矩形的性质．注
意能证得当四边形BMND为矩形时，△ABM是等腰三角形是难点．
第20页（共26页）24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，开口向上的抛物线与x轴
交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交C（5，
6）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E在x轴上，且△AEC和△AED相似，求点E的坐标；
（3）若直角坐标平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F
的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）设出抛物线解析式，把A（﹣1，0），B（3，0），C（5，6）代入解析式，即
可解答；
（2）分两种情况进行讨论，当△CAE∽△DAE时， ，不合题意，舍去；当
△CAE∽△EAD时， ，AE= ，当点E在点A的右边时，点E为（ ﹣
1，0）；当点E在点A的左边时，点E为（﹣ ﹣1，0）；所以E（ ﹣1，0）或
（﹣ ﹣1，0）；
（3）分两种情况进行讨论，当FC⊥AC时，（FC+AD）•AC=16，解得：FC= ，则
；当FD⊥AD时，（FD+AC）•AD=16，解得：FD= ，则F（3，0）．
2
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
把A（﹣1，0），B（3，0），C（5，6）代入解析式得：
第21页（共26页），
解得： ，
∴抛物线的解析式为： ．
（2）如图1，过点D作ND⊥x轴于点N，过点C作CM⊥x轴于点M，
顶点坐标为D（1，﹣2）．
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（5，6），D（1，﹣2）．
∴AN=2，ND=2，CM=6，AM=1+5=6，
∴ AN=ND ， CM=AM ， AD= ， AC=
，
∴∠NAD=∠ADN=45°，∠CAM=∠ACM=45°，
∴∠CAE=∠DAE=45°，
当△CAE∽△DAE时， ，不合题意，舍去；
当△CAE∽△EAD时， ，
即 ，
AE= ，
第22页（共26页）当点E在点A的右边时，点E为（ ﹣1，0）；
当点E在点A的左边时，点E为（﹣ ﹣1，0）；
∴E（ ﹣1，0）或（﹣ ﹣1，0）．
（3）如图2，
当FC⊥AC时， （FC+AD）•AC=16，
即 ，
解得：FC= ，
则 ；
当FD⊥AD时， （FD+AC）•AD=16，
即 ，
解得：FD= ，
∴AF= ，
∴OF=AF﹣AO=4﹣1=3
则F （3，0）．
2
【点评】本题考查了求抛物线解析式，相似三角形的性质，直角梯形，解决本题的
关键是对于△AEC和△AED相似，点F和点A、C、D构成直角梯形，进行分类讨
论．
第23页（共26页）25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，cosA= ，点P是边AB上的动
点，以PA为半径作⊙P．
（1）若⊙P与AC边的另一交点为点D，设AP=x，△PCD的面积为y，求y关于x的
函数解析式，并直接写出函数的定义域；
（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；
（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为 ，求AP的长．
【考点】KQ：勾股定理；MR：圆的综合题；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图1，利用三角函数可得AH= x，根据
勾股定理可得PH= x，根据垂径定理可得AD=2AH= x，从而可得CD=4﹣
x，即可得到y与x的关系；
（2）过点P作PG⊥BC，垂足为G，如图2，根据同圆中相等的弦所对的弦心距相等
可得PH=PG= x，在Rt△PGB中，运用三角函数即可求出AP的值；
（3）设⊙P与⊙C的公共弦EF与PC交于点O，如图3，根据勾股定理可得CO= ，
P0= ，从而有CP= + ，然后在Rt△CHP中，运用勾股定理即可求
出x的值．
【解答】解：（1）过点P作PH⊥AC，垂足为H，连接PC，如图1，
则有AH=APcosA= x，PH= = x，
第24页（共26页）AD=2AH= x，CD=AC﹣AD=4﹣ x，
∴y= CD•PH= ×（4﹣ x）× x=﹣ x2+ x（0＜x＜8）；
（2）过点P作PG⊥BC，垂足为G，如图2，
∵⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，
∴PH=PG= x．
在Rt△ACB中，AC=AB•cosA，
∴4= AB，即AB=16，
∴BP=AB﹣AP=16﹣x．
在Rt△PGB中，
∵sinB= ，sinB=cosA= ，PG= x，BP=16﹣x，
∴ x= （16﹣x），
解得：x= ，
∴AP= ；
（3）设⊙P与⊙C的公共弦EF与PC交于点O，如图3，
则有EF= ，EO=OF= EF= ，PC⊥EF，CE=CF=1，PE=PF=x，
∴CO= = ，P0= = ，
∴CP=OP+CO= + ．
在Rt△CHP中，
∵CH2+PH2=PC2，
∴（4﹣ x）2+（ x）2=（ + ）2，
第25页（共26页）整理得16﹣2x= ，
∴（16﹣2x）2=2x2﹣1，
整理得2x2﹣64x+257=0，
解得：x = ，x = ．
1 2
∵点P是边AB上的动点，
∴AP=x≤16，
∴AP= ．
【点评】本题主要考查了垂径定理、相交两圆的性质、勾股定理、三角函数、同圆或
同圆中弦与弦心距之间的关系等知识，要求一个未知数的值，通常可运用相似
三角形的性质、勾股定理或三角函数建立方程，然后解这个方程就可解决问题
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日期：2018/12/24 0:26:36；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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