文档内容
2015年上海市浦东新区中考数学一模试卷
一.选择题（本大题满分4×6＝24分）
1．（4分）如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的
值（ ）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的
C．都没有变化 D．都不能确定
2．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为
（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣2
3．（4分）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间（t 秒）的函
数解析式为h＝﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ）
A．1米 B．3米 C．5米 D．6米
4．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（
）
A．2 B．4 C． D．
5．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC＝m，∠B＝ ，那么边BC的长等于（ ）
A．2m•sin B．2m•cos C．2m•tan D．2m•cot
α
6．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，如果对角线AC与BD
α α α α
相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S 、S 、S 、S ，那
1 2 3 4
么下列结论中，不正确的是（ ）
第1页（共26页）A．S ＝S B．S ＝2S
1 3 2 4
C．S ＝2S D．S •S ＝S •S
2 1 1 3 2 4
二.填空题（本大题满分4×12＝48分）
7．（4分）已知 ＝ ，那么 ＝ ．
8．（4分）计算： ＝ ．
9．（4分）已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为 cm．
10．（4分）二次函数y＝﹣2x2﹣5x+3的图象与y轴的交点坐标为 ．
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，cosA＝ ，那么AC＝ ．
12．（4分）如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE＝2，CE＝3，
要使DE∥AB，那么BC：CD应等于 ．
13．（4分）如果抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是
．
14．（4分）已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于
．
15．（4分）如图，当小杰沿坡度i＝1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际
上升高度AC＝ 米．（可以用根号表示）
16．（4分）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x＝﹣1，由此可知这
个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是 ．
17．（4分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图
1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与
地面的夹角的正弦值为 ，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝
第2页（共26页）米．
18．（4分）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不
变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换
中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换
比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣ ，2），C（0，2），将
△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为 ，
那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为 ．
三.解答题（本大题满分10+10+10+10+12+12+14＝78分）
19．（10分）已知在直角坐标平面内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点
B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
20．（10分）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线，设 ＝ ， ＝ ；
（1）求 （用向量 ， 的式子表示）；
（2）如果点E在中线AD上，求作 在 ， 方向上的分向量；（不要求写作法，
但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）．
21．（10分）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆
下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米
并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的
长度；（结果精确到 0.1 米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，
tan40°≈0.84）
第3页（共26页）22．（10分）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些
实数，如： 可表示为 ＝sin30°＝cos60°＝tan45°•sin30°＝…；仿照上述材料，
完成下列问题：
（1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示 ，即填空：
＝ ＝ ＝…；
（2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计
一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少
出现一次，且这个等式的结果等于1，即填空：1＝ ．
23．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延
长DE至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
（1）求证： ＝ ；
（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点
（1，﹣3）和点（﹣1，5）；
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代
数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；
第4页（共26页）（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的
值．
25．（14分）已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作
射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如
果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y；
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当AP＝4时，求∠EBP的正切值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．
第5页（共26页）2015 年上海市浦东新区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题满分4×6＝24分）
1．（4分）如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，那么锐角A的四个三角比的
值（ ）
A．都扩大到原来的2倍 B．都缩小到原来的
C．都没有变化 D．都不能确定
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的
定义，可得答案．
【解答】解：如果把Rt△ABC的三边长度都扩大2倍，锐角A不变，锐角三角函数
值不变，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数，注意锐角不变，锐角三角函数值不变．
2．（4分）将抛物线y＝（x﹣1）2向左平移2个单位，所得抛物线的表达式为
（ ）
A．y＝（x+1）2 B．y＝（x﹣3）2 C．y＝（x﹣1）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】46：几何变换．
【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），再
利用点平移的规律得到点（1，0）平移后对应点的坐标为（﹣1，0），然后根据顶
点式写出平移后抛物线的表达式．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣1）2的顶点坐标为（1，0），点（1，0）向左平移2个单位
得到对应点的坐标为（﹣1，0），所以平移后抛物线的表达式为y＝（x+1）2．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
第6页（共26页）的顶点坐标，即可求出解析式．
3．（4分）一个小球被抛出后，如果距离地面的高度h（米）和运行时间（t 秒）的函
数解析式为h＝﹣5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是（ ）
A．1米 B．3米 C．5米 D．6米
【考点】HE：二次函数的应用．
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【分析】直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案．
【解答】解：h＝﹣5t2+10t+1
＝﹣5（t2﹣2t）+1
＝﹣5（t﹣1）2+6，
故小球到达最高点时距离地面的高度是：6m．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出是解题关键．
4．（4分）如图，已知AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么CE的长等于（
）
A．2 B．4 C． D．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据平行线分线段成比例得到 ＝ ，即 ＝ ，可计算出BC，然后利
用CE＝BE﹣BC进行计算．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BC＝ ，
第7页（共26页）∴CE＝BE﹣BC＝12﹣ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线
段成比例．
5．（4分）已知在△ABC中，AB＝AC＝m，∠B＝ ，那么边BC的长等于（ ）
A．2m•sin B．2m•cos C．2m•tan D．2m•cot
α
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
α α α α
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【分析】过点A作AD⊥BC于点D，构建直角△ABD，通过解该直角三角形得到
BD的长度，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质来求BC的长度．
【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC于点D．
∵AB＝m，∠B＝ ，
∴cos ＝ ＝ ，α
则BD α＝m•cos ．
又∵AB＝AC，
α
∴BC＝2BD＝2m•cos ．
故选：B．
α
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确区分正弦余弦三角函数是解
决问题的关键．
6．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，如果对角线AC与BD
相交于点O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面积分别记作S 、S 、S 、S ，那
1 2 3 4
么下列结论中，不正确的是（ ）
第8页（共26页）A．S ＝S B．S ＝2S
1 3 2 4
C．S ＝2S D．S •S ＝S •S
2 1 1 3 2 4
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】证三角形相似，再根据三角形的面积公式和相似三角形的面积比等于相
似比的平方，以及三角形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，则S ＝S ，
△ABD △ACD
∴S ＝S ，故命题正确；
1 3
B、∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
又∵BC＝2AD，
∴ ＝（ ）2＝ ，
则S ＝2S 正确．故命题错误；
2 4
C、作MN⊥BC于点N，交AD于点M．
∵△AOD∽△COB，
又∵BC＝2AD，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ，
∴ ＝ ，
则设S△OBC＝2x，则S△ABC＝3x，则S△AOB＝x，
即S ＝2S ，故命题正确；
2 1
D、设AD＝y，则BC＝2y，设OM＝z，则ON＝2z，
则S ＝ ×2y×2z＝2yz，S ＝ ×y×z＝ yz，
2 4
S ＝ BC•MN＝ ×2y•3z＝3yz，
△ABC
则S ＝S ＝3yz﹣2yz＝yz，
1 3
则S •S ＝y2z2，
1 3
S •S ＝y2z2，
2 4
第9页（共26页）故S •S ＝S •S 正确．
1 3 2 4
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形面的比等于相似比的
平方，高线的比等于相似比，正确表示出S 、S 、S 、S ，是解决本题的关键．
1 2 3 4
二.填空题（本大题满分4×12＝48分）
7．（4分）已知 ＝ ，那么 ＝ ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据比例的性质，可用y表示x，根据分式的性质，可得答案．
【解答】解：由比例的性质，得x＝ ．
当x＝ 时， ＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质用y表示x是解题关键．
8．（4分）计算： ＝ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】11：计算题．
【分析】先去括号，然后直接进行向量的加减运算即可．
【解答】解：原式＝﹣ + ﹣ ＝﹣ ﹣ ．
故答案为：﹣ ﹣ ．
【点评】本题考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的运算是关键．
9．（4分）已知线段a＝4 cm，b＝9 cm，则线段a，b的比例中项为 6 cm．
第10页（共26页）【考点】S2：比例线段．
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【专题】12：应用题．
【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．
【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于
两条线段的乘积．
设它们的比例中项是x，则x2＝4×9，x＝±6，（线段是正数，负值舍去），故填6．
【点评】理解比例中项的概念，这里注意线段不能是负数．
10．（4分）二次函数y＝﹣2x2﹣5x+3的图象与y轴的交点坐标为 （ 0 ， 3 ） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据y轴上点的坐标特征得到二次函数y＝﹣2x2﹣5x+3的图象与y轴的
交点的横坐标为0，然后计算自变量为0时的函数值即可得到交点坐标．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣2x2﹣5x+3＝3，
所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，3）．
故答案为（0，3）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满
足其解析式．
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，cosA＝ ，那么AC＝ 4 ．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用锐角三角函数定义表示出cosA，把AB的长代入求出AC的长即可．
【解答】解：如图所示，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosA＝ ，
∴cosA＝ ＝ ，
则AC＝ AB＝ ×6＝4，
故答案为：4．
第11页（共26页）【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
12．（4分）如图，已知D，E分别是△ABC的边BC和AC上的点，AE＝2，CE＝3，
要使DE∥AB，那么BC：CD应等于 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【专题】11：计算题．
【分析】直接根据平行线分线段成比例进行计算．
【解答】解：∵DE∥AB，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线
段成比例．
13．（4分）如果抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是 a
＜﹣ 3 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，
从而确定a的取值范围．
【解答】解：∵抛物线y＝（a+3）x2﹣5不经过第一象限，
∴a+3＜0，
解得：a＜﹣3，
故答案为：a＜﹣3．
第12页（共26页）【点评】考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴
判断抛物线经过的象限．
14．（4分）已知点G是面积为27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面积等于
9 cm 2 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】首先根据题意画出图形，由三角形重心的性质得出AG：GD＝2：1，利用比
例的性质结合三角形的面积公式得到S ＝ S ，然后代入数值计算即可．
△AGC △ABC
【解答】解：如图，∵点G是△ABC的重心，连结AG并延长交BC于点D，
∴AG：GD＝2：1，
∴S ＝2S ，S ＝ S ，
△AGC △CGD △AGC △ACD
∵D为BC中点，
∴S ＝ S ，
△ACD △ABC
∴S ＝ × S ＝ S ＝ ×27＝9（cm2）．
△AGC △ABC △ABC
故答案为：9cm2．
【点评】此题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对
边中点的距离的2倍．根据题意得出S ＝ S 是解题的关键．
△AGC △ABC
15．（4分）如图，当小杰沿坡度i＝1：5的坡面由B到A行走了26米时，小杰实际
上升高度AC＝ 米．（可以用根号表示）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【专题】31：数形结合．
第13页（共26页）【分析】由坡度易得AC与BC的比为1：5，设出相应未知数，利用勾股定理可得
AC的长度．
【解答】解：∵坡度i＝1：5，
∴AC与BC的比为1：5，
设AC为x，则BC为5x，
∴x2+（5x）2＝262，
∵x＞0，
∴x＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意义是解决本题的关
键．
16．（4分）已知二次函数的图象经过点（1，3），对称轴为直线x＝﹣1，由此可知这
个二次函数的图象一定经过除点（1，3）外的另一点，这点的坐标是 （﹣ 3 ， 3 ）
．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】先确定点（1，3）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣3，3），然后根据抛
物线的对称性求解．
【解答】解：点（1，3）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标为（﹣3，3），
所以这个二次函数的图象一定点（﹣3，3）．
故答案为（﹣3，3）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满
足其解析式．也考查了抛物线的对称性．
17．（4分）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时（如图
1），AB与地面的夹角为30°；当AB的另一端点B碰到地面时（如图2），AB与
地面的夹角的正弦值为 ，那么跷跷板AB的支撑点O到地面的距离OH＝
米．
第14页（共26页）【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】利用锐角三角函数关系以及特殊角的三角函数关系表示出AB的长，进而
求出即可．
【解答】解：设OH＝x，
∵当AB的一端点A碰到地面时，AB与地面的夹角为30°，
∴AO＝2xm，
∵当AB的另一端点B碰到地面时，AB与地面的夹角的正弦值为 ，
∴BO＝3xm，
则AO+BO＝2x+3x＝3m，
解得；x＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确用未知数表示出AB的长是解
题关键．
18．（4分）把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不
变），我们把这样的三角形运动称为三角形的T﹣变换，这个顶点称为T﹣变换
中心，旋转角称为T﹣变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T﹣变换
比；已知△ABC在直角坐标平面内，点A（0，﹣1），B（﹣ ，2），C（0，2），将
△ABC进行T﹣变换，T﹣变换中心为点A，T﹣变换角为60°，T﹣变换比为 ，
那么经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为 （﹣ ， 0 ） ．
【考点】R7：坐标与图形变化﹣旋转．
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【专题】23：新定义．
【分析】根据题意判断△ABC为直角三角形，得到∠BAC＝30°，根据T﹣变换角为
60°，得到经过T﹣变换后点C所对应的点在x轴上，计算得到答案．
第15页（共26页）【解答】解：∵B（﹣ ，2），C（0，2），
∴△ABC为直角三角形，∠BAC＝30°，
绕点A逆时针旋转60°后，B′A⊥y轴，
则点C′在x轴上，
T﹣变换比为 ，AC＝3，
∴AC′＝2，
OC′＝ ，
∴经过T﹣变换后点C所对应的点的坐标为（﹣ ，0）．
【点评】本题考查的是坐标与图形变化，理解新定义和旋转的概念是解题的关键，
注意旋转中心、旋转方向和旋转角在旋转中的应用．
三.解答题（本大题满分10+10+10+10+12+12+14＝78分）
19．（10分）已知在直角坐标平面内，抛物线y＝x2+bx+6经过x轴上两点A，B，点
B的坐标为（3，0），与y轴相交于点C；
（1）求抛物线的表达式；
（2）求△ABC的面积．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+6，即可得出抛物线的表达
式y＝x2﹣5x+6；
（2）先求出A（2，0），B（3，0），C（0，6），再利用三角形面积公式求解即可．
【解答】解：（1）把点B的坐标（3，0）代入抛物线y＝x2+bx+6得0＝9+3b+6，解得b
＝﹣5，
所以抛物线的表达式y＝x2﹣5x+6；
（2）∵抛物线的表达式y＝x2﹣5x+6；
∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），
第16页（共26页）∴S ＝ ×1×6＝3．
△ABC
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是正确
的设出抛物线的解析式．
20．（10分）如图，已知在△ABC中，AD是边BC上的中线，设 ＝ ， ＝ ；
（1）求 （用向量 ， 的式子表示）；
（2）如果点E在中线AD上，求作 在 ， 方向上的分向量；（不要求写作法，
但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）由AD是边BC上的中线， ＝ ，可求得 ，然后由三角形法则，求
得 ；
（2）利用平行四边形法则，即可求得 在 ， 方向上的分向量．
【解答】解：（1）∵AD是边BC上的中线， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ；
（2）如图，过点E作EM∥BC，EN∥AB，
则 、 分别是 在 ， 方向上的分向量．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则与平行
四边形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（10分）如图，某幢大楼的外墙边上竖直安装着一根旗杆CD，小明在离旗杆
下方大楼底部E点24米的点A处放置一台测角仪，测角仪的高度AB为1.5米
第17页（共26页）并在点B处测得旗杆下端C的仰角为40°，上端D的仰角为45°，求旗杆CD的
长度；（结果精确到 0.1 米，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，
tan40°≈0.84）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】过点B作BF⊥DE于点F，可得四边形ABFE为矩形，先在△BCF中求出
CF的长度，然后在△BDF中求出DF的长度，最后DF﹣CF可求得CD的长度．
【解答】解：过点B作BF⊥DE于点F，
则四边形ABFE为矩形，
在△BCF中，
∵∠CBF＝40°，∠CFB＝90°，BF＝AE＝24m，
∴ ＝tan40°，
∴CF＝0.84×24≈20.16（m），
在△BDF中，
∵∠DBF＝45°，
∴DF＝24m，
则CD＝DF﹣CF＝24﹣20.16＝3.84≈3.8（m）．
故旗杆CD的长为3.8m．
【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三
第18页（共26页）角形，利用三角函数解直角三角形．
22．（10分）用含30°、45°、60°这三个特殊角的四个三角比及其组合可以表示某些
实数，如： 可表示为 ＝sin30°＝cos60°＝tan45°•sin30°＝…；仿照上述材料，
完成下列问题：
（1）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比或其组合表示 ，即填空： ＝
sin60° ＝ cos30 ° ＝ tan45 ° • sin60 ° ＝…；
（2）用含30°、45°、60°这三个特殊角的三角比，结合加、减、乘、除四种运算，设计
一个等式，要求：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算都至少
出现一次，且这个等式的结果等于 1，即填空：1＝ （ sin30°+cos60 ° ）
• tan45°÷cot45 ° ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】（1）根据30°、45°、60°这三个特殊角的三角比进行填空；
（2）因为该等式的要求是：等式中须含有这三个特殊角的三角比，上述四种运算
都至少出现一次，且这个等式的结果等于1，所以首先考虑到tan45°＝cot45°＝
1．
【解答】解：（1）∵sin60°＝cos30°＝ ，tan45°＝1，
∴ ＝sin60°＝cos30°＝tan45°•sin60°＝…；
故答案是：＝sin60°；cos30°；tan45°•sin60°；
（2）∵ ＝sin30°＝cos60°，tan45°＝cot45°＝1．
∴该等式可以是1＝（sin30°+cos60°）•tan45°÷cot45°．
故答案是：（sin30°+cos60°）•tan45°÷cot45°（答案不唯一）．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值．解决此类题目的关键是熟记特殊角的
三角函数值．
23．（12分）已知如图，D是△ABC的边AB上一点，DE∥BC，交边AC于点E，延
长DE至点F，使EF＝DE，联结BF，交边AC于点G，联结CF
第19页（共26页）（1）求证： ＝ ；
（2）如果CF2＝FG•FB，求证：CG•CE＝BC•DE．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）首先证明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根据相似三角形的对应
边的比相等，以及DE＝EF即可证得；
（2）首先证明△CFG∽△BFC，证得 ＝ ，∠FCE＝∠CBF，然后根据平行线
的性质证明∠FEG＝∠CEF，即可证得△EFG∽△ECF，则 ＝ ＝ ，即可
证得 ＝ ，则所证结论即可得到．
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，
∴ ＝ ， ＝ ，
又∵DE＝EF，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；
（2）∵CF2＝FG•FB，
∴ ＝ ，
又∵∠CFG＝∠CFB，
第20页（共26页）∴△CFG∽△BFC，
∴ ＝ ，∠FCE＝∠CBF，
又∵DF∥BC，
∴∠EFG＝∠CBF，
∴∠FCE＝∠EFG，
又∵∠FEG＝∠CEF，
∴△EFG∽△ECF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，即CG•CE＝BC•DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确理解相似三角形的判定方法，
证明∠FEG＝∠CEF，证得△EFG∽△ECF是解决本题的关键．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx的图象经过点
（1，﹣3）和点（﹣1，5）；
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代
数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；
（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分∠PCO，求m的
值．
第21页（共26页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M点的坐标；
（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，
根据解方程组，可得答案．
【解答】解：（1）由二次函数y＝ax2+bx的图象经过点（1，﹣3）和点（﹣1，5），得
，解得 ．
二次函数的解析式y＝x2﹣4x；
（2）y＝x2﹣4x的顶点M坐标（2，﹣4），
这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，
顶点M坐标向上平移m，即M（2，m﹣4）；
（3）由待定系数法，得CP的解析式为y＝ x+m，
如图：
作MG⊥PC于G，设G（a， a+m）．
第22页（共26页）由角平分线上的点到角两边的距离相等，
DM＝MG．
在Rt△DCM和Rt△GCM中 ，
Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．
CG＝DC＝4，MG＝DM＝2，
，
化简，得8m＝36，
解得m＝ ．
【点评】本题考察了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）
利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的性质，
全等三角形的性质．
25．（14分）已知在矩形ABCD中，P是边AD上的一动点，联结BP、CP，过点B作
射线交线段CP的延长线于点E，交边AD于点M，且使得∠ABE＝∠CBP，如
果AB＝2，BC＝5，AP＝x，PM＝y；
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当AP＝4时，求∠EBP的正切值；
（3）如果△EBC是以∠EBC为底角的等腰三角形，求AP的长．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；LB：矩形的性质；SO：相似形综
合题；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）易证△ABM∽△APB，然后根据相似三角形的性质就可得到y关于x
第23页（共26页）的函数解析式，由P是边AD上的一动点可得0≤x≤5，再由y＞0就可求出该
函数的定义域；
（2）过点M作MH⊥BP于H，由AP＝x＝4可求出MP、AM、BM、BP，然后根据面
积法可求出MH，从而可求出BH，就可求出∠EBP的正切值；
（3）可分 EB＝EC 和 CB＝CE 两种情况讨论： 当 EB＝EC 时，可证到
△AMB≌△DPC，则有AM＝DP，从而有x﹣y＝5﹣x，即y＝2x﹣5，代入（1）中
①
函数解析式就可求出x的值； 当CB＝CE时，可得到PC＝EC﹣EP＝BC﹣
MP＝5﹣y，在Rt△DPC中根据勾股定理可得到x与y的关系，然后结合y关于
②
x的函数解析式，就可求出x的值．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝2，AD＝BC＝5，∠A＝∠D＝90°，AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC．
∵∠ABE＝∠CBP，
∴∠ABM＝∠APB．
又∵∠A＝∠A，
∴△ABM∽△APB，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴y＝x﹣ ．
∵P是边AD上的一动点，
∴0≤x≤5．
∵y＞0，
∴x﹣ ＞0，
∴x＞2，
∴函数的定义域为2＜x≤5；
（2）过点M作MH⊥BP于H，如图．
第24页（共26页）∵AP＝x＝4，∴y＝x﹣ ＝3，
∴MP＝3，AM＝1，
∴BM＝ ＝ ，BP＝ ＝2 ．
∵S ＝ MP•AB＝ BP•MH，
△BMP
∴MH＝ ＝ ，
∴BH＝ ＝ ，
∴tan∠EBP＝ ＝ ；
（3） 若EB＝EC，
则有∠EBC＝∠ECB．
①
∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EBC，∠DPC＝∠ECB，
∴∠AMB＝∠DPC．
在△AMB和△DPC中，
，
∴△AMB≌△DPC，
∴AM＝DP，
∴x﹣y＝5﹣x，
∴y＝2x﹣5，
∴x﹣ ＝2x﹣5，
解得：x ＝1，x ＝4．
1 2
∵2＜x≤5，
∴AP＝x＝4；
若CE＝CB，
② 第25页（共26页）则∠EBC＝∠E．
∵AD∥BC，
∴∠EMP＝∠EBC＝∠E，
∴PE＝PM＝y，
∴PC＝EC﹣EP＝5﹣y，
∴在Rt△DPC中，
（5﹣y）2﹣（5﹣x）2＝22，
∴（10﹣x﹣y）（x﹣y）＝4，
∴（10﹣x﹣x+ ）（x﹣x+ ）＝4，
整理得：3x2﹣10x﹣4＝0，
解得：x ＝ ，x ＝ （舍负）．
3 4
∴AP＝x＝ ．
终上所述：AP的值为4或 ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩
形的性质、勾股定理、解一元二次方程、三角函数等知识，证到△ABM∽△APB
是解决第（1）小题的关键，把∠EBP放到直角三角形中是解决第（2）小题的关
键，运用勾股定理建立x与y的等量关系是解决第（3）小题的关键．
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日期：2018/12/26 20:08:12；用户：甘磊；邮箱：orFmNt__mrhHvuyQQ587Kva-SkWk@weixin.jyeoo.com；学号：25899201
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