文档内容
2015 年上海市浦东新区中考数学二模试卷
一、选择题，共6题，每题4分，共24分
1．（4分）下列等式成立的是（ ）
A．2﹣2=﹣22 B．26÷23=22 C．（23）2=25 D．20=1
2．（4分）下列各整式中，次数为5次的单项式是（ ）
A．xy4 B．xy5 C．x+y4 D．x+y5
3．（4分）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么x的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
4．（4分）如果正多边形的一个内角等于 135°，那么这个正多边形的边数是
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（4分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据；
②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据；
③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结
论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
二、填空题，共12小题，每题4分，共48分
7．（4分）化简：| |= ．
8．（4分）分解因式：x3﹣4x= ．
9．（4分）方程x= x+4的解是 ．
10．（4分）已知分式方程 + =3，如果t= ，那么原方程可化为关于t
的整式方程是 ．
11．（4分）如果反比例函数的图象经过点（3，﹣4），那么这个反比例函数的比例
第1页（共24页）系数是 ．
12．（4分）如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰
子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是合数的概率是 ．
13．（4分）为了解某山区金丝猴的数量，科研人员在改山区不同的地方捕获了15
只金丝猴，并在它们的身上做标记后放回该山区．过段时间后，在该山区不同
的地方又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，由此可估计该
山区金丝猴的数量约有 只．
14．（4分）已知点G时△ABC的重心， = ， = ，那么向量 用向量 、表示为
．
15．（4分）如图，已知AD∥EF∥BC，AE=3BE，AD=2，EF=5，那么BC= ．
16．（4分）如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里
货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与
小岛B的距离是 海里．
17．（4分）对于函数y=（ax+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数．如果一个函
数y=（ax+b）2的特征数为[2，﹣5]，那么这个函数图象与x轴的交点坐标为
．
18．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC=4，BC=2，将△ACD
沿直线CD折叠，点A落在点E处，联结AE，那么线段AE的长度等于 ．
第2页（共24页）三、简答题，共7题，共78分
19．（10分）化简并求值：（1+ ）+ ，其中x= +1．
20．（10分）解不等式组： ，并写出它的非负整数解．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径
作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB= ，AE=1．求：
（1）线段CD的长度；
（2）点A和点F之间的距离．
22．（10分）小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上
午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半个小时，再原路返回，下午3时30分
回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时
快1千米．求小张上山时的速度．
23．（12分）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为
点F．
（1）如果AB=AD，求证：EF∥BD；
（2）如果EF∥BD，求证：AB=AD．
第3页（共24页）24．（12分）已知：如图，直线y=kx+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于
点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且AC⊥AB，
tan∠ACB= ．
（1）当t=1时，求抛物线的表达式；
（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；
（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．
25．（14 分）如图，已知在△ABC 中，射线 AM∥BC，P 是边 BC 上一动点，
∠APD=∠B，PD交射线AM于点D．联结CD．AB=4，BC=6，∠B=60°．
（1）求证：AP2=AD•BP；
（2）如果以AD为半径的圆A以与A以BP为半径的圆B相切．求线段BP的长度；
（3）将△ACD绕点A旋转，如果点D恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求
此时∠BEP的余切值．
第4页（共24页）2015 年上海市浦东新区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题，共6题，每题4分，共24分
1．（4分）下列等式成立的是（ ）
A．2﹣2=﹣22 B．26÷23=22 C．（23）2=25 D．20=1
【考点】47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；6E：零指数幂；6F：负整数
指数幂．
菁优网版权所有
【分析】根据负整数指数幂，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据幂的
乘方，可判断C，根据0指数幂，可判断D．
【解答】解：A、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故A错误；
B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；
D、非零的零次幂等于1，故D正确；
故选：D．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
2．（4分）下列各整式中，次数为5次的单项式是（ ）
A．xy4 B．xy5 C．x+y4 D．x+y5
【考点】42：单项式．
菁优网版权所有
【分析】根据单项式的次数是所有字母的指数和，可得答案．
【解答】解：A、是5次单项式，故A正确；
B、是6次单项式，故B错误；
C、是多项式，故C错误；
D、是5次多项式，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查了单项式，需注意：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，
几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的
次数．
3．（4分）如果最简二次根式 与 是同类二次根式，那么x的值是（ ）
第5页（共24页）A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】77：同类二次根式．
菁优网版权所有
【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．
【解答】解：由最简二次根式 与 是同类二次根式，
得x+2=3x，
解得x=1．
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被
开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
4．（4分）如果正多边形的一个内角等于 135°，那么这个正多边形的边数是
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】L3：多边形内角与外角．
菁优网版权所有
【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再
根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．
【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，
∴该正多边形的一个外角为45°，
∵多边形的外角之和为360°，
∴边数n=360÷45=8，
∴该正多边形的边数是8．
故选：D．
【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边
形的外角之和为360°，此题难度不大．
5．（4分）下列说法中，正确的个数有（ ）
①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据；
②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据；
③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【考点】W1：算术平均数；W4：中位数；W5：众数．
菁优网版权所有
【分析】根据平均数的定义，即可判断①；根据中位数的定义，即可判断②；根据众
第6页（共24页）数的定义即可判断③．
【解答】解：①根据平均数的定义，可判断①错误，如3，7，8三个数的平均数为：
=6；
②根据中位数的定义可判断②错误，当数据个数为偶数个时，中位数不一定是该
组数据中的某个数据，如2，2，4，5的中位数为： =3；
③根据众数的定义可判断③正确．
故选：B．
【点评】此题考查了平均数，中位数，众数的定义，解题的关键是：熟记这三种数据
的定义．
6．（4分）已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结
论中不正确的是（ ）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD=∠CBD时，四边形ABCD是矩形
【考点】L5：平行四边形的性质；L9：菱形的判定；LC：矩形的判定．
菁优网版权所有
【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定
正确的选项．
【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；
B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；
C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；
D、不能得到一个角是直角，故错误，
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法
是解答本题的关键．
二、填空题，共12小题，每题4分，共48分
7．（4分）化简：| |= ．
【考点】28：实数的性质．
菁优网版权所有
第7页（共24页）【专题】11：计算题．
【分析】要先判断出 ＜0，再根据绝对值的定义即可求解．
【解答】解：∵ ＜0
∴| |=2﹣ ．
故答案为：2﹣ ．
【点评】此题主要考查了绝对值的性质．要注意负数的绝对值是它的相反数．
8．（4分）分解因式：x3﹣4x= x （ x + 2 ）（ x﹣2 ） ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
菁优网版权所有
【专题】44：因式分解．
【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：x3﹣4x，
=x（x2﹣4），
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式
进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．
9．（4分）方程x= x+4的解是 x=﹣2﹣ 2 ．
【考点】7B：二次根式的应用；86：解一元一次方程．
菁优网版权所有
【分析】根据一元一次方程的解法求解，然后分母有理化即可．
【解答】解：移项得，x﹣ x=4，
合并同类项得，（1﹣ ）x=4，
系数化为1得，x= = =﹣2﹣2 ，
即x=﹣2﹣2 ．
故答案为：x=﹣2﹣2 ．
【点评】本题考查了二次根式的应用，解一元一次方程，难点在于要分母有理化．
10．（4分）已知分式方程 + =3，如果t= ，那么原方程可化为关于t
的整式方程是 t 2 ﹣3 t + 2= 0 ．
【考点】B4：换元法解分式方程．
菁优网版权所有
第8页（共24页）【分析】把t= 代入方程，得出t+ =3，整理成一般形式即可．
【解答】解：∵ + =3，t= ，
∴t+ =3，
整理得：t2﹣3t+2=0，
故答案为：t2﹣3t+2=0．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程的应用，解此题的关键是能正确换元，题
目是一道比较典型的题目，难度不是很大．
11．（4分）如果反比例函数的图象经过点（3，﹣4），那么这个反比例函数的比例
系数是 ﹣ 1 2 ．
【考点】G6：反比例函数图象上点的坐标特征．
菁优网版权所有
【分析】直接根据根据反比例函数中k=xy的特点进行解答即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（3，﹣4），
∴k=3×（﹣4）=﹣12．
故答案为：﹣12．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上
各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
12．（4分）如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰
子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是合数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
菁优网版权所有
【分析】由随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛
到桌面上，共有6中等可能的结果，正面朝上的数字是合数的有4，6；直接利用
概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子
抛到桌面上，共有6中等可能的结果，正面朝上的数字是合数的有4，6；
∴正面朝上的数字是合数的概率是： = ．
第9页（共24页）故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
13．（4分）为了解某山区金丝猴的数量，科研人员在改山区不同的地方捕获了15
只金丝猴，并在它们的身上做标记后放回该山区．过段时间后，在该山区不同
的地方又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，由此可估计该
山区金丝猴的数量约有 12 0 只．
【考点】V5：用样本估计总体．
菁优网版权所有
【分析】设该山区金丝猴的数量约有x只金丝猴，根据第一次捕获了15只金丝猴，
在它们的身上做标记后放回该山区，第二次又捕获了32只金丝猴，其中4只
身上有上次做的标记，列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：设该山区金丝猴的数量约有x只金丝猴，依题意得
x：15=32：4，
解得：x=120．
则该山区金丝猴的数量约有120只．
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了利用样本估计总体的思想，用样本估计整体让整体×样
本的百分比即可．
14．（4分）已知点G时△ABC的重心， = ， = ，那么向量 用向量 、表示为
+ ．
【考点】K5：三角形的重心；LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】由点G时△ABC的重心，根据三角形重心的性质，即可求得 ，再利用三
角形法则求得 的长，继而求得答案．
【解答】解：如图，
∵点G时△ABC的重心， = ，
∴ = = ，
∴ = + = + ，
第10页（共24页）∵点G时△ABC的重心，
∴ = = + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识与三角形重心的性质．注意掌握三角形法则
的应用．
15．（4分）如图，已知AD∥EF∥BC，AE=3BE，AD=2，EF=5，那么BC= ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】首先延长BA与CD，相交于点G，由AD∥EF∥BC，可得△GAD∽△GEF，
△GAD∽△GBC，又由AD=2，EF=5，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得
BC的长．
【解答】解：延长BA与CD，相交于点G，
∵AD∥EF∥BC，
∴△GAD∽△GEF，△GAD∽△GBC，
∴ = = ，
∵AD=2，EF=，AE=9，
∴ = ，
解得：GA=6，
∴GB=GA+AE+BE=18，
第11页（共24页）∴ = ，
解得：BC=6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．此
题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
16．（4分）如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里
货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与
小岛B的距离是 1 0 海里．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
菁优网版权所有
【分析】由已知可得△ABC是等腰直角三角形，已知AB=10海里，根据等腰直角三
角形的性质即可求得斜边BC的长．
【解答】解：如图，由题意得，∠BAD=30°，∠CAD=60°，∠CBE=75°，AB=10海里．
∵AD∥BE，
∴∠ABE=∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠CBE﹣∠ABE=75°﹣30°=45°．
第12页（共24页）在△ABC中，∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+60°=90°，∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵AB=10海里，
∴BC= AB=10 海里．
故答案为10 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等腰直角三角形的判定
与性质，掌握方向角的定义从而证明△ABC是等腰直角三角形是解题的关键．
17．（4分）对于函数y=（ax+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数．如果一个函
数y=（ax+b）2的特征数为[2，﹣5]，那么这个函数图象与x轴的交点坐标为 （
， 0 ） ．
【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
菁优网版权所有
【专题】23：新定义．
【分析】首先根据函数的特征数新定义求出a和b的值，然后令y=0，即可求出x
的值．
【解答】解：∵对于函数y=（ax+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数，函数y=
（ax+b）2的特征数为[2，﹣5]，
∴a=2，b=﹣5，
∴函数为y=（2x﹣5）2，
∴（2x﹣5）2=0解得x= ，
∴这个函数图象与x轴的交点坐标为（ ，0），
故答案为：（ ，0）．
【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是掌握函数的
第13页（共24页）特征数新定义，此题难度不大．
18．（4分）如图，已知在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC=4，BC=2，将△ACD
沿直线CD折叠，点A落在点E处，联结AE，那么线段AE的长度等于 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
菁优网版权所有
【分析】延长CD交AE于F，由折叠的性质得出CF⊥AE，AC=EC，得出∠AFC=90°，
AF=EF，由勾股定理求出 AB，由直角三角形斜边上的中线性质得出 CD=
AB=AD，得出∠DCA=∠DAC，证出△AFC∽△BCA，得出对应边成比例 ，
求出AF，即可得出AE的长．
【解答】解：如图所示：延长CD交AE于F，
由折叠的性质得：CF⊥AE，AC=EC，
∴∠AFC=90°，AF=EF，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AB= = =2 ，
∵D是斜边AB的中点，
∴CD= AB=AD，
∴∠DCA=∠DAC，
∵∠AFC=∠ACB=90°，
∴△AFC∽△BCA，
∴ ，
即 ，
第14页（共24页）∴AF= ，
∴AE=2AF= ；
故答案为： ．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练
掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
三、简答题，共7题，共78分
19．（10分）化简并求值：（1+ ）+ ，其中x= +1．
【考点】6D：分式的化简求值．
菁优网版权所有
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即
可．
【解答】解：原式=（ + ）+
= +
= +
=
当x= +1时，原式= = ．
第15页（共24页）【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
20．（10分）解不等式组： ，并写出它的非负整数解．
【考点】CB：解一元一次不等式组；CC：一元一次不等式组的整数解．
菁优网版权所有
【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，然后再根据大小小大中间找确定不
等式组的解集，然后再找出非负整数解．
【解答】解： ，
由①得：x≥﹣4，
由②得：x＜2，
不等式组的解集为：﹣4≤x＜2，
非负整数解为：0，1．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大
取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，D是边BC上一点，以点D为圆心，CD为半径
作半圆，分别与边AC、BC相交于点E和点F．如果AB=AC=5，cosB= ，AE=1．求：
（1）线段CD的长度；
（2）点A和点F之间的距离．
【考点】M5：圆周角定理；T7：解直角三角形．
菁优网版权所有
【分析】（1）连接EF，利用圆周角定理得出∠FEC=90°，再利用等腰三角形的性质，
结合锐角三角函数得出答案；
（2）利用锐角三角函数得出NC的长，再利用勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）连接EF，
∵由题意可得FC是⊙D的直径，
第16页（共24页）∴∠FEC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AB=AC=5，cosB= ，AE=1，
∴EC=4，cosB=cos∠ACB= = = ，
解得：FC=5，
则DC=2.5；
（2）连接AF，过点A作AN⊥BC于点N，
∵AB=5，cosB= ，
∴BN=4，
∴AN=3，
∵cosC=cosB= ，
∴NC=4，
∴FN=1，
∴AF= = ．
【点评】此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理和锐角三角函数等知识，正确
应用锐角三角函数关系是解题关键．
22．（10分）小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上
午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半个小时，再原路返回，下午3时30分
回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时
快1千米．求小张上山时的速度．
【考点】B7：分式方程的应用．
菁优网版权所有
第17页（共24页）【分析】设小张上山时的速度为x千米/小时，则下山时的速度为x+1千米/小时，
根据上下山所用时间和到达山顶后停留了半个小时为 15时30分﹣8时=7小
时30分列出方程解答即可．
【解答】解：设小张上山时的速度为x千米/小时，则下山时的速度为x+1千米/小
时，由题意得
+ + =7.5，
解得：x=3或x=﹣ （不合题意，舍去），
经检验x=3是原分式方程的解．
答：小张上山时的速度为3千米/小时．
【点评】此题考查分式方程的实际运用，掌握行程问题中路程、时间、速度三者之
间的关系是解决问题的关键．
23．（12分）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为
点F．
（1）如果AB=AD，求证：EF∥BD；
（2）如果EF∥BD，求证：AB=AD．
【考点】L5：平行四边形的性质．
菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（1）直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出
△ABE≌△ADF（AAS），进而求出答案；
（2）利用平行线分线段成比例定理结合相似三角形的判定与性质得出
△ABE∽△ADF，进而求出答案．
【解答】证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE和△ADF中
第18页（共24页）∵ ，
∴△ABE≌△ADF，
∴BE=DF，
∴ = ，
∴ =
∴EF∥BD；
（2）∵EF∥BD，
∴ = ，
∵∠ABE=∠ADF，∠AEB=∠AFD，
∴△ABE∽△ADF，
∴ = ，
∴ = ，
∴AD×BC=AB×DC，
∴AB2=AD2，
∴AB=AD．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质
和平行四边形的性质等知识，得出 = 是解题关键．
24．（12分）已知：如图，直线y=kx+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于
点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且AC⊥AB，
第19页（共24页）tan∠ACB= ．
（1）当t=1时，求抛物线的表达式；
（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；
（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，解方程组即可；
（2）如图：作CH⊥x轴，垂足为点H，根据△AOB∽△CHA，得到 = = ，根据
tan∠ACB= = ，得到 = = ，根据OA=t，得到点C的坐标为（t﹣4，﹣
2t）．
（3）根据点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴上，得到t﹣4= ，即
b=2t﹣8，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+bt+2=0，可知
t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，据此即可求出t的值．
【解答】解：（1）∵t=1，y=kx+2，
∴A（1，0），B（0，2），
把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，得 ，
解得， ，
∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+2．
（2）如图：作CH⊥x轴，垂足为点H，得∠AHC=∠AOB=90°，
∵AC⊥AB，
第20页（共24页）∴∠OAB+∠CAH=90°，
又∵∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠OAB=∠ACH，
∴△AOB∽△CHA，
∴ = = ，
∵tan∠ACB= = ，
∴ = = ，
∵OA=t，OB=2，
∴CH=2t，AH=4，
∴点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）．
（3）∵点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+bx+c的对称轴上，
∴t﹣4= ，即b=2t﹣8，
把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+bt+2=0，
∴﹣t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，
解得t=4± ，
∵点C（t﹣4，﹣2t）在第三象限，
∴t=4+ 不符合题意，舍去，
∴t=4﹣ ．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及三角函数、待定系数法求二次函数解析
式、相似三角形的性质等知识，难度较大．
25．（14 分）如图，已知在△ABC 中，射线 AM∥BC，P 是边 BC 上一动点，
第21页（共24页）∠APD=∠B，PD交射线AM于点D．联结CD．AB=4，BC=6，∠B=60°．
（1）求证：AP2=AD•BP；
（2）如果以AD为半径的圆A以与A以BP为半径的圆B相切．求线段BP的长度；
（3）将△ACD绕点A旋转，如果点D恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求
此时∠BEP的余切值．
【考点】SO：相似形综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）先由平行线证明∠APB=∠DAP，再由已知条件∠APD=∠B，证明
△ABP∽△DPA，得出对应边成比例 ，即可得出结论；
（2）设BP=x，作AH⊥BC于H，先根据勾股定理求出AH，再由勾股定理得出
AP2=PH2+AH2，由两圆外切时，AB=|AD±BP|，得出方程，解方程即可；
（3）作PG⊥AB于G；先根据题意得出：AD=AB= =4，解方程求出BP，再证
明△ABP 为等边三角形，求出 PG，然后证明四边形 ADCH 为矩形，得出
BE=CD=AH=2 ，∠ABE=∠ADC=90°，求出BF，即可求出∠BEP的余切值．
【解答】（1）证明：∵AM∥BC，
∴∠APB=∠DAP，
又∵∠APD=∠B，
∴△ABP∽△DPA，
∴ ，
∴AP2=AD•BP；
（2）解：设BP=x，作AH⊥BC于H，如图1所示：
∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
第22页（共24页）∴BH= AB=2，
根据勾股定理得：AH= =2 ，
AP2=PH2+AH2=（x﹣2）2+（2 ）2=x2﹣4x+16，
∴AD= = ，
两圆相切时，AB=|AD±BP|，
即4=|x± |，
解得：x=2，
∴BP的长度为2时，两圆内切；
（3）解：根据题意得：AD=AB= =4，
解得：x=4，
∴BP=4，
∵∠ABP=60°，AB=BP=4，
∴△ABP为等边三角形，
∵AD=AB=4，CH=BC﹣BH=4，AD∥CH，∠AHC=90°，
∴四边形ADCH为矩形，
∴BE=CD=AH=2 ，∠ABE=∠ADC=90°，
作PG⊥AB于G，如图2所示：
则PG∥BE，PG=2 ，
∴PG=BE，
∴BF=FG= BG=1，
∴cot∠BEP= =2 ．
第23页（共24页）【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、两圆
外切的条件、等边三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合
性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线运用勾股定理和证明等边三角形、
矩形才能得出结果．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:28:29；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第24页（共24页）
