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2020-2021学年上海市浦东新区九年级（上）期末数学试卷（一
模）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地
图上的距离与实际距离的比为（ ）
A．1：500 B．1：5000 C．500：1 D．5000：1
2．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝ ，AC＝2，那么AB的长等于（ ）
α
A． B．2sin C． D．2cos
α α
3．（4分）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝（k﹣1）x2+3 B．y＝ +1
C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2 D．y＝2x2﹣7x
4．（4分）已知一个单位向量 ，设 、 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）
A．| | ＝ B．| | ＝ C． ＝ D． ＝
5．（4分）如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝
∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（ ）
A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB
6．（4分）已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是
（ ）
A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．（4分）如果线段a、b满足 ＝ ，那么 的值等于 ．
8．（4分）已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是
．
9．（4分）计算：2sin30°﹣tan45°＝ ．
10．（4分）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是
度．
11．（4分）已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝
．
12．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设 ＝ ， ＝ ，
那么向量 关于 、 的分解式为 ．
13．（4分）如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向 ．（填“向
上”或“向下”）
14．（4分）如果（2，y ）（3，y ）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y y ．（填“＞”或
1 2 1 2
“＜”）
15．（4分）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已
知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝ 厘米．
16．（4分）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC
中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于
点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝ ．17．（4分）如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函
数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
现将抛物线C ：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C ，如果“平衡点”为（3，3），那
1 2
么新抛物线C 的表达式为 ．
2
18．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：
1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边
BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知向量关系式 （ ）＝ ，试用向量 、 表示向量 ．
20．（10分）已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．
21．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 、l 于点A、B、C和点D、E、F，且AB
1 2
＝6，BC＝8．
（1）求 的值；
（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．22．（10分）如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，
木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕
尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里
口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，
sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
23．（12分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，
DE⊥AB．
（1）求证：CA2＝CE•CB；
（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．
24．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，
求∠BAP的余切值；
（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP相似时，
求点M的坐标．25．（14分）四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作
EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．
（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE 与S△ECF 的比值；
（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cosB的值；
（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．2020-2021学年上海市浦东新区九年级（上）期末数学试卷（一
模）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个
选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）A、B两地的实际距离AB＝250米，如果画在地图上的距离A′B′＝5厘米，那么地
图上的距离与实际距离的比为（ ）
A．1：500 B．1：5000 C．500：1 D．5000：1
【分析】地图上的距离与实际距离的比就是在地图上的距离A′B′与实际距离250米的
比值．
【解答】解：取米作为共同的长度单位，那么AB＝250米，
所以 ＝ ＝ ，
所以地图上的距离与实际距离的比为6：5000．
故选：B．
【点评】本题考查了比例尺．注意求距离的比时，首先要把单位统一．
2．（4分）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝ ，AC＝2，那么AB的长等于（ ）
α
A． B．2sin C． D．2cos
α α
【分析】根据锐角三角函数的意义即可得出答案．
【解答】解：∵sinB＝sin ＝ ，AC＝2，
α
∴AB＝ ＝ ，
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数的意义是解决问题的前提．
3．（4分）下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y＝（k﹣1）x2+3 B．y＝ +1
C．y＝（x+1）（x﹣2）﹣x2 D．y＝2x2﹣7x【分析】利用二次函数定义进行分析即可．
【解答】解：A、当k＝1时，故此选项不合题意；
B、含有分式，故此选项不合题意；
C、化简后y＝﹣x﹣2，故此选项不合题意；
D、是二次函数；
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它
的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作
出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．
4．（4分）已知一个单位向量 ，设 、 是非零向量，那么下列等式中正确的是（ ）
A．| | ＝ B．| | ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】根据平面向量的性质一一判断即可．
【解答】解：A、| | ＝ 计算正确．
B、| | 与 的模相等，故本选项不符合题意．
C、 与 的模相等，故本选项不符合题意．
D、 与 的模相等，故错误．
故选：A．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．（4分）如图，在△ABC中，点D、F是边AB上的点，点E是边AC上的点，如果∠ACD＝
∠B，DE∥BC，EF∥CD，下列结论不成立的是（ ）
A．AE2＝AF•AD B．AC2＝AD•AB C．AF2＝AE•AC D．AD2＝AF•AB
【分析】由相似三角形的判定和性质依次判断可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥CD，∴∠AEF＝∠ACD，∠ADE＝∠B，
又∵∠ACD＝∠B，
∴∠AEF＝∠ADE，
∴△AEF∽△ADE，
∴ ，
∴AE2＝AF•AD，故选项A不合题意；
∵∠ACD＝∠B，∠DAC＝∠BAC，
∴△ACD∽△ABC，
∴ ，
∴AC2＝AB•AD，故选项B不合题意；
∵DE∥BC，EF∥CD，
∴ ， ，
∴ ，
∴AD7＝AB•AF，故选项D不合题意；
由题意无法证明AF2＝AE•AC，故选项C符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．
6．（4分）已知点A（1，2）、B（2，3）、C（2，1），那么抛物线y＝ax2+bx+1可以经过的点是
（ ）
A．点A、B、C B．点A、B C．点A、C D．点B、C
【分析】根据图象上点的坐标特征进行判断．
【解答】解：∵B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线y＝ax2+bx+1只能经过A，C两点或A，
把A（8，2），1）4+bx+1得 ．
解得， ；
把A（1，2），4）2+bx+1得 ．解得， （不合题意）；
∴抛物线y＝ax2+bx+8可以经过的A，C两点，
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
7．（4分）如果线段a、b满足 ＝ ，那么 的值等于 ．
【分析】由 ＝ ，可设a＝5k，则b＝2k，代入 ，计算即可．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴可设a＝7k，则b＝2k，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了比例线段，利用设k法是解题的关键．
8．（4分）已知线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，那么较长线段MP的长是
2 ﹣ 2 ．
【分析】根据黄金分割的概念得到MP＝ MN，把MN＝4代入计算即可．
【解答】解：∵线段MN的长为4，点P是线段MN的黄金分割点，
∴MP＝ MN＝ ﹣6，
故答案为：2 ﹣3．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线
段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这
条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍．
9．（4分）计算：2sin30°﹣tan45°＝ 0 ．
【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：原式＝2× ﹣1＝0．【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，
题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°＝ ，cos30°＝ ，tan30°＝ ，cot30°＝ ；
sin45°＝ ，cos45°＝ ，tan45°＝1，cot45°＝1；
sin60°＝ ，cos60°＝ ，tan60°＝ ，cot60°＝ ．
10．（4分）如果从某一高处甲看低处乙的俯角为36度，那么从低处乙看高处甲的仰角是 3 6
度．
【分析】根据仰角以及俯角的定义，画出图形进而求出即可．
【解答】解：如图所示：
∵甲处看乙处为俯角36°，
∴乙处看甲处为：仰角为36°，
故答案为：36．
【点评】此题主要考查了仰角与俯角的定义，仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角
是向下看的视线与水平线的夹角．
11．（4分）已知AD、BE是△ABC的中线，AD、BE相交于点F，如果AD＝3，那么AF＝ 2 ．
【分析】连接DE，根据三角形中位线定理得到DE＝ AB，DE∥AB，证明△AFB∽△DFE，
根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：连接DE，
∵AD、BE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝ AB，
∴△AFB∽△DFE，∴ ＝ ＝5，
∴AF＝2FD，
∵AD＝3，
∴AF＝4，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理、三角形的中线的概
念，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
12．（4分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设 ＝ ， ＝ ，
那么向量 关于 、 的分解式为 ﹣ ．
【分析】由三角形法则可求得向量 关于 、 的分解式．
【解答】解：如图所示， ＝ ， ＝ ，则 ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
故答案是： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．
13．（4分）如果抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，那么该抛物线的开口方向 向上 ．（填
“向上”或“向下”）
【分析】根据抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，可得m＝0，进而可得结论．
【解答】解：∵抛物线y＝（m+4）x2+m经过原点，
∴m＝3，
∴a＝4＞0，
∴该抛物线的开口方向向上．
故答案为：向上．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是
掌握二次函数的性质．
14．（4分）如果（2，y ）（3，y ）是抛物线y＝（x+1）2上两点，那么y ＜ y ．（填“＞”或
1 2 1 2
“＜”）
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x+1）2的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，则
在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
【解答】解：∵y＝（x+1）2，
∴a＝2＞0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线y＝（x+1）6对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1＜6＜3，
∴y ＜y ．
1 6
故答案为＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关
键．
15．（4分）如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已
知△ABC的边BC长60厘米，高AH为40厘米，如果DE＝2DG，那么DG＝ 1 5 厘米．
【分析】设DG＝EF＝x，则GF＝DE＝2x，根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求
出DG的长．
【解答】解：∵四边形DEFG是矩形，
∴DG∥BC，AH⊥BC，
∴AP⊥DG．
设DG＝EF＝x，则GF＝DE＝2x，
∵DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，∴ ＝ ，
∵AH＝40厘米，BC＝60厘米，
∴ ＝ ，
解得x＝15．
∴DG＝15厘米，
故答案为：15．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解决本题的关键是掌握相似
三角形的判定与性质．
16．（4分）秦九韶的《数书九章》中有一个“峻积验雪”的例子，其原理为：如图，在Rt△ABC
中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，AD⊥AB，AD＝0.4，过点D作DE∥AB交CB的延长线于
点E，过点B作BF⊥CE交DE于点F，那么BF＝ ．
【分析】作CH⊥AB，BG⊥DE于点H，G，根据已知条件证明四边形ADGB是矩形，再根据
等面积法求出CH，证明△FBE∽△ACB，利用对应高的比等于相似比即可求出BF的长．
【解答】解：如图，作CH⊥AB，G，
∵DE∥AB，
∴BG⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴∠DAB＝∠ABG＝∠BGD＝90°，∴四边形ADGB是矩形，
∴BG＝AD＝0.4，
在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，
∴AB＝ ＝ ＝13，
∵S△ABC ＝ BC•AC＝ ，
∴CH＝ ＝ ＝ ，
∵DE∥AB，
∴∠E＝∠ABC，
∵∠FBE＝∠ACB＝90°，
∴△FBE∽△ACB，
∵CH⊥AB，BG⊥DE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BF＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等面积法，解决本题的
关键是综合运用以上知识．
17．（4分）如果将二次函数的图象平移，有一个点既在平移前的函数图象上又在平移后的函
数图象上，那么称这个点为“平衡点”．
现将抛物线C ：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移得到新抛物线C ，如果“平衡点”为（3，3），那
1 2
么新抛物线C 的表达式为 y ＝（ x ﹣ 5 ） 2 ﹣ 1 ．
2
【分析】设将抛物线C ：y＝（x﹣1）2﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式是y
1
＝（x﹣1﹣m）2﹣1，然后将（3，3）代入得到关于m的方程，通过解方程求得m的值即可．
【解答】解：设将抛物线C ：y＝（x﹣1）3﹣1向右平移m个单位，则平移后的抛物线解析式
1
是y＝（x﹣1﹣m）4﹣1，
将（3，8）代入2﹣1＝4．整理，得2﹣m＝±2
解得m ＝0（舍去），m ＝8．
4 2
故新抛物线C 的表达式为y＝（x﹣5）2﹣1．
2
故答案是：y＝（x﹣5）5﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征以及待
定系数法确定函数关系式，解题的关键是理解“平衡点”的含义．
18．（4分）如图，△ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝8，点D是边BC上一点，且BD：CD＝2：
1，联结AD，过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，这条直线分别与边
BC、AC相交于点E、F，那么线段BE的长为 2 ．
【分析】先求出BD＝8，CD＝4，再求出MH＝4，DH＝2，设BE＝x，得出CE＝12﹣x，CF＝
3+x，EH＝10﹣x，再判断出△EHM∽△ECF，得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．
【解答】解：如图，∵点D是BC上一点，
∴BD：CD＝2：1，
∴BD＝2，CD＝4，
过点M作MH∥AC交CD于H，
∴△DHM∽△DAC，
∴ ＝ ＝ ，
∴点M是AD的中点，
∴AD＝2DM，
∵AC＝8，
∴ ＝ ＝ ，
∴MH＝4，DH＝4，
过点M作MG∥AB交BD于G，
同理得，BG＝DE＝4，
∵AB＝10，BC＝12，∴△ABC的周长为10+12+8＝30，
∵过AD中点M的直线将△ABC分成周长相等的两部分，
∴CE+CF＝15，
设BE＝x，则CE＝12﹣x，
∴CF＝15﹣（12﹣x）＝8+x，EH＝CE﹣CH＝CE﹣（CD﹣DH）＝12﹣x﹣2＝10﹣x，
∵MH∥AC，
∴△EHM∽△ECF，
∴ ，
∴ ，
∴x＝2或x＝9，
当x＝5时，CF＝12＞AC，此种情况不符合题意，
即BD＝x＝2，
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，构造出相似三角形是解本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知向量关系式 （ ）＝ ，试用向量 、 表示向量 ．
【分析】在已知关系式中，求出x即可解决问题．
【解答】解：由 （ ）＝ ，得 ，
所以7 ＝ ﹣3 ．
所以 ＝ （ ﹣7 ）．
【点评】本题考查平面向量，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20．（10分）已知抛物线y＝x2+2x+m﹣3的顶点在第二象限，求m的取值范围．
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），再利用第二象限点的坐标特征得到m﹣4＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵y＝x2+2x+m﹣8＝（x+1）2+m﹣8，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，m﹣4），
∵抛物线y＝x8+2x+m﹣3顶点在第二象限，
∴m﹣3＞0，
∴m＞4．
故m的取值范围为m＞4．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐
标为（﹣ ， ）．
21．（10分）如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 、l 于点A、B、C和点D、E、F，且AB
1 2
＝6，BC＝8．
（1）求 的值；
（2）当AD＝5，CF＝19时，求BE的长．
【分析】（1）直接根据平行线分线段成比例定理求解；
（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，如图，易得四边形ABND和四边形ACMD
都是平行四边形，所以BN＝CM＝AD＝5，则MF＝14，再利用NF∥MF，所以 ＝ ＝
，然后利用比例的性质计算出NE，最后计算BN+NE即可．
【解答】解：（1）∵AD∥BE∥CF，
∴ ＝ ＝ ＝ ；
（2）过D点作DM∥AC交CF于M，交BE于N，
∵AD∥BN∥CM，AC∥DM，∴四边形ABND和四边形ACMD都是平行四边形，
∴BN＝AD＝5，CM＝AD＝5，
∴MF＝CF﹣CM＝19﹣5＝14，
∵NF∥MF，
∴ ＝ ＝ ，
∴NE＝ MF＝ ，
∴BE＝BN+NE＝8+6＝11．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比
例．
22．（10分）如图，燕尾槽的横断面是等腰梯形ABCD，现将一根木棒MN放置在该燕尾槽中，
木棒与横断面在同一平面内，厚度等不计，它的底端N与点C重合，且经过点A．已知燕
尾角∠B＝54.5°，外口宽AD＝180毫米，木棒与外口的夹角∠MAE＝26.5°，求燕尾槽的里
口宽BC（精确到1毫米）．（参考数据：sin54.5°≈0.81，cos54.5°≈0.58，tan54.5°≈1.40，
sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50）
【分析】如图，过点B作BG⊥DE于G，过点C作CH⊥AD于H．证明△BGA≌△CHD
（AAS），推出AG＝DH，设AG＝DH＝x毫米，CH＝y毫米，构建方程组求解即可．
【解答】解：如图，过点B作BG⊥DE于G．∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AB＝DC，∠BAD＝∠CDA，
∴∠BAG＝∠CDH，
∵∠BGA＝∠CHD＝90°，
∴△BGA≌△CHD（AAS），
∴AG＝DH，
设AG＝DH＝x毫米，CH＝y毫米，
则有 ，
解得 ，
∴BC＝GH＝AG+AD+DH＝100+180+100＝380（毫米）．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三
角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题．
23．（12分）Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别为边AB、BC上的点，且CD＝CA，
DE⊥AB．
（1）求证：CA2＝CE•CB；
（2）联结AE，取AE的中点M，联结CM并延长与AB交于点H，求证：CH⊥AB．
【分析】（1）通过证明△DCE∽△BCD，可得 ＝ ，可得结论；
（2）由直角三角形的性质可得AM＝ME＝CM，进而可得∠MCE＝∠MEC，通过证明点A，
点C，点E，点D四点共圆，可得∠AEC＝∠ADC，由余角的性质可得结论．
【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，∴∠EDB＝∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°＝∠B+∠DEB，
∴∠A＝∠DEB，
∵CA＝CD，
∴∠A＝∠CDA，
∴∠CDA＝∠DEB，
∴∠CDB＝∠CED，
又∵∠DCE＝∠DCB，
∴△DCE∽△BCD，
∴ ＝ ，
∴CD2＝CE•CB，
∴CA2＝CE•CB；
（2）如图，
∵∠ACE是直角三角形，点M是AE中点，
∴AM＝ME＝CM，
∴∠MCE＝∠MEC，
∵∠ACB＝∠ADE＝90°，
∴点A，点C，点D四点共圆，
∴∠AEC＝∠ADC，
∴∠AEC＝∠MCE＝∠ADC＝∠CAD，
又∵∠MCE+∠ACH＝90°，
∴∠CAD+∠ACH＝90°，
∴CH⊥AB．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判
定定理是本题的关键．
24．（12分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（2，4）、B（5，0）和O（0，0）．
（1）求二次函数的解析式；（2）联结AO，过点B作BC⊥AO于点C，与该二次函数图象的对称轴交于点P，联结AP，
求∠BAP的余切值；
（3）在（2）的条件下，点M在经过点A且与x轴垂直的直线上，当△AMO与△ABP相似时，
求点M的坐标．
【分析】（1）利用待定系数法，即可得出结论；
（2）先判断出OB＝AB，进而判断出△OBP≌△ABP，得出∠BOP＝∠BAP，再求出直线BC
的解析式，求出点P的坐标，构造直角三角形，即可得出结论；
（3）先判断出∠OAE＝∠OBC，进而得出OM＝AM或OA＝OM，即可得出结论．
【解答】解：（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点B（8，0）和O（0，
∴设二次函数的解析式为y＝ax（x﹣7），
将点A（2，4）代入y＝ax（x﹣2）中，
∴a＝﹣ ，
∴二次函数的解析式为y＝﹣ x（x﹣5）＝﹣ x2+ x；
（2）如图1，连接OP，
∵A（2，6），0）和O（0，
∴OB＝4，AB＝ ，
∴OB＝AB，
∵BC⊥OA，
∴BC是OA的垂直平分线，
∴AP＝OP，∴BP＝BP
∴△OBP≌△ABP（SSS），
∴∠BOP＝∠BAP，
∵AC＝OC，A（4，
∴点C（1，2），
∴直线BC的解析式为y＝﹣ x+ ，
由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣ x5+ x，
∴对称轴为直线x＝ ，
∴P（ ， ），
∴OD＝ ，PD＝ ，
∴cot∠BAP＝cot∠BOP＝ ＝6；
（3）∵BC⊥OA，AE⊥OB，
∴∠ACB＝∠AEB＝90°，
∵∠AMC＝∠BME，
∴∠OAE＝∠OBC，
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴OP＝OB，
∴△BOP是等腰三角形，
∵△AMO与△ABP相似，
∴△AMO与△OBP相似，
∴OM＝AM或OA＝OM，
设M（2，m），
当OM＝AM时，OM＝AM＝4﹣m，
在Rt△OEM中，EM＝m，OM2﹣EM2＝OE2，
∴（2﹣m）2﹣m2＝3，∴m＝ ，当OA＝OM时，AE＝M'E，
∴M'（6，﹣4）
即满足条件的点M的坐标为（2， ）或（2．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，等腰三角形的判定和性质，全等
三角形的判定和性质，相似三角形的性质，锐角三角函数，利用方程的思想解决问题是解
本题的关键．
25．（14分）四边形ABCD是菱形，∠B≤90°，点E为边BC上一点，联结AE，过点E作
EF⊥AE，EF与边CD交于点F，且EC＝3CF．
（1）如图1，当∠B＝90°时，求S△ABE 与S△ECF 的比值；
（2）如图2，当点E是边BC的中点时，求cosB的值；
（3）如图3，联结AF，当∠AFE＝∠B且CF＝2时，求菱形的边长．【分析】（1）证明四边形ABCD是正方形，再证明△ABE≌△CEF，设CF＝x，AB＝a，运用
相似三角形的相似比求得a与x的关系，进而根据相似三角形的性质求得面积比；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，证明△AME∽△ENF，设CF＝
x，用x与∠B的正、余弦值表示AM、ME、EN、NF，进而根据相似三角形的性质列出比例式，
整理比例式便可得出结果；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，由∠B＝∠AFE，得 ，再
证明△AME∽△ENF，得出BM＝EN，设菱形ABCD的边长为a，由BM＝EN，得到用cosB
的代数式表示a，再结合△AME∽△ENF的比例线段求得a的值便可．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠B＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEB+∠CEF＝∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE≌△CEF，
∴ ，
∵EC＝3CF，
设CF＝x，AB＝a，BE＝a﹣3x，
∴ ，
解得，a＝4.4x，
∴ ；
（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，则∠AME＝∠CNF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
∴∠B＝∠FCN，
设CF＝x，则CE＝3x，
∵E是BC的中点，
∴BE＝CE＝5x，AB＝BC＝2CE＝6x，
∴BM＝AB•cosB＝4xcosB，AM＝AB•sinB＝6xsinB，FN＝CF•sin∠FCN＝xsinB，
∴ME＝BE﹣BM＝3x﹣4xcosB，EN＝EC+CN＝3x+xcosB，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠MAE＝∠NEF，
∴△AME∽△ENF，
∴ ，
即 ，即 ，
整理得，2sin2B＝3﹣5cosB﹣2cos4B，
∴2＝3﹣5cosB，
∴cosB＝ ；
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点F用FN⊥BC于点H，则∠AME＝∠CNF＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AB∥CD，
∴∠B＝∠FCN，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEM+∠NEF＝∠AEM+∠MAE＝90°，
∴∠MAE＝∠NEF，
∴△AME∽△ENF，
∴ ＝ ，
∵∠AFE＝∠B，
tanB＝ ，tan∠AFE＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴BM＝EN，
设菱形ABCD的边长为a，则AB＝BC＝a，
∴BM＝acosB，CN＝CF•cos∠FCN＝CF•cosB，
∴acosB＝EC+CF•cosB，
∵CF＝4，EC＝3CF，
∴EC＝6，
∴acosB＝8+2cosB，
∴cosB＝ ，∵ ，
AM＝AB•sinB＝asinB，EN＝6+2cosB，NF＝CF•sin∠FCN＝5sinB，
∴ ，
化简得，2a（sin5B+cos2B）＝6a﹣6acosB﹣12cosB﹣36，
2a＝6a﹣6acosB﹣12cosB﹣36，
a﹣acosB﹣3cosB﹣9＝3，
∵cosB＝ ，
∴a﹣ ﹣ ﹣6＝0，
解得，a＝17，
∴菱形的边长为17．
【点评】本题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，正方形的性质，相似三角形的性质
与判定，解直角三角形，关键是构造相似三角形．难度较大．
