文档内容
2020-2021 学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）关于抛物线y＝x2﹣x，下列说法中，正确的是（ ）
A．经过坐标原点 B．顶点是坐标原点
C．有最高点 D．对称轴是直线x＝1
2．（4分）在△ABC中，如果sinA＝ ，cotB＝ ，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
3．（4分）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A
处小丽的仰角是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
5．（4分）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果 为单位向量，那么 ＝| |
B．如果 、 都是单位向量，那么 ＝
C．如果 ＝﹣ ，那么 ∥
D．如果| |＝| |，那么 ＝
6．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（
）
A．S△AOB ＝S△DOC B． ＝
C． ＝ D． ＝
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：3（ +2 ）﹣2（ ﹣ ）＝ ．
8．（4分）已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是 ．
9．（4分）如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了
米．10．（4分）已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么线段
AP的长是 厘米．
11．（4分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么△ABC的面积
等于 ．
12．（4分）已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，
2），那么平移后的抛物线的表达式是 ．
13．（4分）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x
（米）的函数解析式为y＝﹣ x2+ x+ ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为
米．
14．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上， ＝ ，联结DE交对角线
AC于点O，那么 的值为 ．
15．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么
cos∠GCB＝ ．16．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cotB＝ ，正方形DEFG的顶点G、F
分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为 ．
17．（4分）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形
ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝ ，那么边AD的长为 ．
18．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别
落在点B 、C 处，如果BB ∥AC，联结C B 交边AB于点D，那么 的值为 ．
1 1 1 1 1
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）．
（1）求这个函数的解析式及对称轴；
（2）如果点P（x ，y ）、Q（x ，y ）在这个二次函数图象上，且x ＜x ＜0，那么y y ．
1 1 2 2 1 2 1 2（填“＜”或“＞”）
21．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点M为边BC上
一点，BM＝ BC，联结AM交DE于点N．
（1）求 的值；
（2）设 ＝ ， ＝ ，如果 ＝ ，请用向量 、 表示向量 ．
22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在
△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果
精确到0.1米）．
（参考数据： ≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作
AF∥DC，交对角线BD于点F．
（1）求证： ＝ ；
（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4与y轴交于点B，与x轴
交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P（1，n）在该抛物
线上．
（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；
（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ＝3，求点Q的坐标；
（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．
25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与
点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交
射线AC于点F．
（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；
（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．2020-2021 学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）关于抛物线y＝x2﹣x，下列说法中，正确的是（ ）
A．经过坐标原点 B．顶点是坐标原点
C．有最高点 D．对称轴是直线x＝1
【分析】先用配方法把二次函数化成顶点式，即可判断B、D，由a的正负判断有最大值和
最小值即可判断C，看（0，0）是否满足y＝x2﹣x即可判断A．
【解答】解：∵y＝x2﹣x＝（x﹣ ）2﹣ ，
∴顶点坐标是：（ ，﹣ ），对称轴是直线x＝ ，
∵a＝1＞0，
∴开口向上，有最小值，
∵当x＝7时，y＝x2﹣x＝0，
∴图象经过坐标原点，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，把二次函数化成顶
点式是解题的关键．
2．（4分）在△ABC中，如果sinA＝ ，cotB＝ ，那么这个三角形一定是（ ）
A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【分析】求出∠A，∠B的值即可判断．
【解答】解：∵sinA＝ ，cotB＝ ，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，
属于中考常考题型．3．（4分）如果小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，那么点B处小明看点A
处小丽的仰角是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】根据两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等即可得结论．
【解答】解：因为从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．
所以小丽在楼上点A处看到楼下点B处小明的俯角是35°，
点B处小明看点A处小丽的仰角是35°．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角与
俯角的定义．
4．（4分）在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，下列条件中，能判定DE∥BC的是（ ）
A． ＝ B． ＝ C． ＝ D． ＝
【分析】根据平行线分线段成比例定理对各个选项进行判断即可．
【解答】解：当 ，
则DE∥BC，故选项A不符合题意；
当 ＝ ，
则DE∥BC，故选项B符合题意；
当 ＝ ，
则DE∥BC，故选项C不符合题意；
由于 ＝ ，DE∥BC不一定成立．
故选：B．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延
长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边5．（4分）下列命题中，正确的是（ ）
A．如果 为单位向量，那么 ＝| |
B．如果 、 都是单位向量，那么 ＝
C．如果 ＝﹣ ，那么 ∥
D．如果| |＝| |，那么 ＝
【分析】根据平面向量的定义、共线向量的定义以及平面向量的模的定义进行分析判断．
【解答】解：A、如果 ，且 与 方向相同时 ＝| | ．
B、如果 、 ，那么 ＝ ．
C、如果 ，则向量 的大小相等，那么 ∥ ．
D、若| |，那么 与 ，但是方向不一定相等，即 ＝ ，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面向量的知识，注意平面向量既有大小，又有方向，属于易错题．
6．（4分）在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，下列说法中，错误的是（
）
A．S△AOB ＝S△DOC B． ＝
C． ＝ D． ＝
【分析】如图，利用三角形面积公式得到S△ABC ＝S△DCB ，则S△AOB ＝S△DOC ，于是可对A选项
进行判断；根据平行线分线段成比例定理得到 ＝ ，再利用三角形面积公式得到
＝ ，于是可对B选项进行判断；证明△AOD∽△COB，利用相似三角形的性质
可对C选项进行判断；利用两平行线的距离的定义得到点B到AD的距离等于点A到BC
的距离，然后根据三角形面积公式可对D选项进行判断．
【解答】解：如图，
∵AD∥BC，
∴S△ABC ＝S△DCB ，
即S△AOB +S△OBC ＝S△OBC +S△DOC ，S△AOB ＝S△DOC ，所以A选项的结论正确；
∵AD∥BC，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ；所以B选项的结论正确；
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△COB，
∴ ＝（ ）2，所以C选项的结论错误；
∵AD∥BC，
∴点B到AD的距离等于点A到BC的距离，
∴ ＝ ，所以D选项的结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通
过相似比进行几何计算．也考查了梯形和三角形面积公式．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：3（ +2 ）﹣2（ ﹣ ）＝ +8 ．
【分析】乘法结合律也同样应用于平面向量的计算．
【解答】解：原式＝3 +6 +6 +8 ．
故答案是： +8 ．【点评】本题主要考查了平面向量，属于基础题，实数的运算法则同样应用于平面向量的
计算．
8．（4分）已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的开口向上，那么a的取值范围是 a ＜ 1 ．
【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数1﹣a＞0．
【解答】解：因为抛物线y＝（1﹣a）x2+8的开口向上，
所以1﹣a＞0，即a＜8．
故答案为：a＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和
大小．当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下．
9．（4分）如果小明沿着坡度为1：2.4的山坡向上走了130米，那么他的高度上升了 5 0 米．
【分析】设他沿着垂直方向升高了x米，根据坡度的概念用x表示出他行走的水平宽度，根
据勾股定理计算即可．
【解答】解：设他沿着垂直方向升高了x米，
∵坡比为1：2.8，
∴他行走的水平宽度为2.4x米，
由勾股定理得，x5+（2.4x）8＝1302，
解得，x＝50，
即他沿着垂直方向升高了50米，
故答案为：50．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡
角的定义．
10．（4分）已知线段AB的长为4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），那么线段
AP的长是 （ 6 ﹣ 2 ） 厘米．
【分析】先根据黄金分割的定义求出BP的长，即可得出答案．
【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＜BP，
∴BP＝ AB＝（2 ，
∴AP＝AB﹣BP＝2﹣（2 ﹣4）＝（6﹣2 ，
故答案为：（6﹣2 ）．
【点评】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键．
11．（4分）已知抛物线y＝x2﹣4x+3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，那么△ABC的面积等于 3 ．
【分析】根据抛物线y＝x2﹣4x+3，可以求得该抛物线与x轴和y轴的交点，然后即可得到
点A、B、C的坐标，从而可以求得△ABC的面积．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣4x+2＝（x﹣1）（x﹣3），
∴当y＝2时，x＝1或x＝3，y＝2，
∴点A、B、C的坐标为分别为（1，（3，（5，
∴AB＝2，
∴△ABC的面积是： ＝3，
故答案为：8．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是
明确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（4分）已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点A（2，
2），那么平移后的抛物线的表达式是 y ＝ x 2 ﹣ 2 ．
【分析】可设所求的函数解析式为y＝x2+k，把A坐标代入可得平移后的抛物线．
【解答】解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，
∵点A（2，5）在抛物线上，
∴2＝23+k
解得：k＝﹣2，
∴平移后的抛物线的表达式是 y＝x2﹣7．
故答案为：y＝x2﹣2．
【点评】考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移不改变二次项系数及顶点
的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减．
13．（4分）如图，已知小李推铅球时，铅球运动过程中离地面的高度y（米）关于水平距离x
（米）的函数解析式为y＝﹣ x2+ x+ ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为
3 米．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．
【解答】解：由题意可得：
y＝﹣ x2+ x+ （x2﹣6x）+
＝﹣ （x﹣4）2+5，
故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．
14．（4分）如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上， ＝ ，联结DE交对角线
AC于点O，那么 的值为 ．
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB＝CD，则利用比例的性质和等量代换得到
＝ ，接着证明△AOE∽△COD，然后利用相似比得到 的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵AE∥CD，
∴△AOE∽△COD，
∴ ＝ ＝ ．故答案为 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通
过相似比进行几何计算．也考查了平行四边形的性质．
15．（4分）如图，已知在△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，BC＝4，那么
cos∠GCB＝ ．
【分析】延长CG交AB于D，如图，根据三角形重心的定义和性质得到DG＝ CG＝1，AD
＝BD，再利用直角三角形斜边上的中线性质得到CD＝BD＝AD＝3，所以∠DCB＝∠B，
然后在Rt△ACB中利用余弦的定义求出cosB的值，从而得到cos∠GCB的值．
【解答】解：延长CG交AB于D，如图，
∵点G是△ABC的重心，
∴DG＝ CG＝4，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD＝AD＝2+1＝7，
∴AB＝6，∠DCB＝∠B，
在Rt△ACB中，cosB＝ ＝ ＝ ，
∴cos∠GCB＝ ．
故答案为 ．【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点
的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1． 也考查了解直角三角形．
16．（4分）如图，已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，cotB＝ ，正方形DEFG的顶点G、F
分别在AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长为 ．
【分析】先利用余切的定义得到cotB＝ ＝ ，则可设BC＝t，则AC＝2t，AB＝ t，所以
t＝10，求出得到BC＝2 ，AC＝4 ，过C点作CH⊥AB于H，交GF于M，如图，设
正方形的边长为x，利用面积法得到CH＝4，则CM＝8﹣x，然后证明△CGF∽△CAB，则
利用相似比得到 ＝ ，从而解方程求出x即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，
∴cotB＝ ＝ ，
设BC＝t，则AC＝8t，
∴AB＝ ＝ t，
∴ t＝10 ，
∴BC＝2 ，AC＝8 ，过C点作CH⊥AB于H，交GF于M，设正方形的边长为x，
易得四边形DGMH为矩形，
∴MH＝DG＝x，
∵ CH×AB＝ ，
∴CH＝ ＝4，
∴CM＝CH﹣MH＝8﹣x，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝ ，
即正方形DEFG的边长为 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通
过相似比进行几何计算．也考查了正方形的性质和解直角三角形．
17．（4分）新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形，如图，已知在对余四边形
ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝ ，那么边AD的长为 9 ．【分析】如图，过端午A作AH⊥BC于H，过点C作CE⊥AD于E，连接AC．解直角三角形
求出AE，DE即可解决问题
【解答】解：如图，过端午A作AH⊥BC于H，连接AC．
在Rt△ABH中，tanB＝ ＝ ，
∴可以假设AH＝4k，BH＝4k，
∴k＝2，
∴AH＝7，BH＝8，
∵BC＝12，
∴CH＝BC﹣BH＝12﹣8＝4，
∴AC＝ ＝ ＝2 ，
∵∠B+∠D＝90°，∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ECD＝∠B，
在Rt△CED中，tan∠ECD＝ ＝ ，
∵CD＝5，
∴DE＝3，CE＝6，
∴AE＝ ＝ ＝6，
∴AD＝AE+DE＝9．
故答案为：3．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解
决问题，属于中考常考题型．
18．（4分）如图，已知在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转，点B、C分别
落在点B 、C 处，如果BB ∥AC，联结C B 交边AB于点D，那么 的值为
1 1 1 1 1
．【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质可求∠B AB＝30°，由直角三角形的性质可求
1
DB ＝ DE，DB＝ DE﹣DE，即可求解．
1
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB 于E，
1
∵∠B＝45°，∠C＝60°，
∴∠CAB＝75°，
∵BB ∥AC，
1
∴∠CAB＝∠ABB ＝75°，
7
∵将△ABC绕点A旋转，
∴AB＝AB ，∠AB C ＝∠ABC＝45°，
1 1 2
∴∠AB B＝∠ABB ＝75°，
1 1
∴∠B AB＝30°，
3
又∵DE⊥AB ，∠AB C ＝45°，
1 1 3
∴AD＝2DE，AE＝ ，DE＝B E，
7
∴AB ＝ DE+DE＝AB ＝ DE，
1 8
∴DB＝AB﹣AD＝ DE﹣DE，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性
质进行推理是本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【分析】把特殊角的三角函数值代入，根据二次根式的混合运算法则计算，得到答案．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝4﹣2 ．
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
20．（10分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3）、C（2，3）．
（1）求这个函数的解析式及对称轴；
（2）如果点P（x ，y ）、Q（x ，y ）在这个二次函数图象上，且x ＜x ＜0，那么y ＜ y ．
1 1 2 2 1 2 1 2
（填“＜”或“＞”）
【分析】（1）根据待定系数法求得即可；
（2）可根据二次函数增减性进行解答．
【解答】解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）．
根据题意，得 ，
解得 ．
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+6x+3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣ ＝1；
（2）由（1）可知，抛物线开口向下，
∵点P（x ，y ）、Q（x ，y ）在这个二次函数图象上，且x ＜x ＜3，
4 1 2 7 1 2∴y ＜y ，
1 2
故答案为＜．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟
练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（10分）如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，点M为边BC上
一点，BM＝ BC，联结AM交DE于点N．
（1）求 的值；
（2）设 ＝ ， ＝ ，如果 ＝ ，请用向量 、 表示向量 ．
【分析】（1）利用平行线截线段成比例解答；
（2）根据已知条件和三角形法则求得 ，然后利用（1）的结论求向量 ．
【解答】（1）解：∵BM＝ BC，
∴ ＝ ．
∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
即： 的值是 ；
（2）解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．∵DE∥BC， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
∴DN＝ BM．
由（1）知， ＝ ，则NE＝2DN．
∴ ＝4 ＝ ﹣ ．
【点评】本题主要考查了平面向量的知识，难度不大，熟练运用三角形法则解题即可．
22．（10分）如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B、C两点，对岸岸边有一块石头A，在
△ABC中，测得∠B＝64°，∠C＝45°，BC＝50米，求河宽（即点A到边BC的距离）（结果
精确到0.1米）．
（参考数据： ≈1.41，sin64°＝0.90，cos64°＝0.44，tan64°＝2.05）
【分析】作AD⊥BC与D，由三角函数得出CD＝AD，AD＝ BD，由已知条件得出关于
AD的方程，解方程即可．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示：
在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，
∴tanC＝ ＝1，∴CD＝AD，
在Rt△ABD中，∵∠B＝64°，
∴tan∠B＝ ＝2.05，
∴BD＝ BD，
∵BC＝BD+CD＝50米，
∴AD+ AD＝50米，
解得：AD≈33.6（米）．
答：河的宽度约为33.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解此题的关键是把实际问题抽象
到直角三角形中，利用三角函数求解．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线BD、AC相交于点E，过点A作
AF∥DC，交对角线BD于点F．
（1）求证： ＝ ；
（2）如果∠ADB＝∠ACD，求证：线段CD是线段DF、BE的比例中项．
【分析】（1）根据平行线的性质和等量代换证明∠DAF＝∠BCD，则可证明
△DAF∽△BCD，利用相似比得到 ＝ ，再证明△ADE∽△CBE，则 ＝ ，然后利
用等量代换得到结论；（2）证明△DCE∽△DBC，则根据相似比得DC2＝DE•DB，再利用（1）中的结论得到 ＝
，利用等量代换得到DC2＝DF•BE，从而得到结论．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠ADF，∠ADC+∠BCD＝180°，
∵AF∥CD，
∴∠ADC+∠DAF＝180°，
∴∠DAF＝∠BCD，
∴△DAF∽△BCD，
∴ ＝ ，
∵AD∥BC，
∴△ADE∽△CBE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；
（2）∵∠ADB＝∠ACD，∠ADB＝∠CBD，
∴∠ECD＝∠CBD，
而∠CDE＝∠BDC，
∴△DCE∽△DBC，
∴ ＝ ，
∴DC2＝DE•DB，
∵ ＝ ，
∴DE•DB＝DF•BE，
∴DC2＝DF•BE，
即线段CD是线段DF、BE的比例中项．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图
形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的
一般方法是通过作平行线构造相似三角形；可利用相似三角形的性质得到对应角相等，通过相似比进行几何计算．也考查了梯形的性质．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4与y轴交于点B，与x轴
交于点C、D（点C在点D左侧），顶点A在第一象限，异于顶点A的点P（1，n）在该抛物
线上．
（1）如果点P与点C重合，求线段AP的长；
（2）如果抛物线经过原点，点Q是抛物线上一点，tan∠OPQ＝3，求点Q的坐标；
（3）如果直线PB与x轴的负半轴相交，求m的取值范围．
【分析】（1）由题意，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（1，0），利用待定系数法求出m，再
求出点P的坐标即可解决问题．
（2）如图1中，延长PQ交X轴于F，设F（t，0）．证明OF＝PF，由此构建方程求出t，再求
出直线PF的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．
（3）构建不等式组，解决问题即可．
【解答】解：（1）由题意，抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（4，0），
∴（1﹣m）5＝4，
解得m＝3或﹣3（舍弃），
∴A（3，4），3），
∴PA＝ ＝2 ．
（2）∵抛物线y＝﹣（x﹣m）2+4经过点C（5，0），
∴m2＝6，
解得m＝2或﹣2（舍弃），
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣5）2+4，
当x＝7时，n＝3，∴P（1，3），
如图1中，延长PQ交X轴于F，0）．
∵P（8，3），
∴tan∠POF＝3，
∵tan∠OPQ＝2，
∴tan∠POF＝tan∠OPQ，
∴∠POF＝∠OPQ，
∴OF＝PF，
∴t2＝38+（t﹣1）2，
∴t＝5，
∴F（5，0），
∴直线PF的解析式为y＝﹣ x+ ，
由 ，解得 ，
∴Q（ ， ）．
（3）如图2中，由题意， ，
解得 ＜m＜2且m≠1．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，不等式组等
知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式组解决问题，属于中考压轴题．
25．（14分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D为边BC上一动点（与
点B、C不重合），点E为AB上一点，∠EDB＝∠ADC，过点E作EF⊥AD，垂足为点G，交
射线AC于点F．
（1）如果点D为边BC的中点，求∠DAB的正切值；
（2）当点F在边AC上时，设CD＝x，CF＝y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）联结DF，如果△CDF与△AGE相似，求线段CD的长．
【分析】（1）过点D作DH⊥AB于H．解直角三角形求出DH，AH即可解决问题．
（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，延长FE交AT于T，直线DE交AT于K，交AC的延长线
于R．想办法证明AR＝AT＝8，再证明△ACD∽△TAF，可得 ＝ ＝ ，推出AF＝2CD＝2x，可得结论．
（3）利用△CFD与△ADH相似，可得 ＝ 或 ＝ ，由此构建方程求出CD，当点
F在下方时，同法可求CD．
【解答】解：（1）如图1中，过点D作DH⊥AB于H．
∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝ ＝ ＝5 ，
∵CD＝DB＝2，∠B＝45°，
∴DH＝BH＝ DB＝ ，
∴AH＝AB﹣BH＝7 ，
∴tan∠DAB＝ ＝ ．
（2）如图2中，过点A作AT⊥AC，直线DE交AT于K．
∵AT⊥AC，BC⊥AC，
∴AT∥BC，∴∠ADC＝∠DAK，∠EDB＝∠AKD，
∵∠ADC＝∠EDB，
∴∠DAK＝∠DKA，
∴DA＝DK，
∵∠R+∠DKA＝90°，∠DAC+∠DAK＝90°，
∴∠DAC＝∠R，
∴DA＝DR，
∵DC⊥AR，
∴AC＝CR＝4，
∵∠AFE+∠CAD＝90°，∠AKE+∠R＝90°，
∴∠AFE＝∠AKE，
∵∠EAF＝∠EAK＝45°，AE＝AE，
∴△AEF≌△AEK（AAS），
∴AF＝AK，
∵∠RAK＝∠TAF＝90°，∠AKR＝∠AFT，
∴△AKR≌△AFT（ASA），
∴AR＝AT＝4，∠R＝∠T＝∠DAC，
∵∠ACD＝∠TAF，
∴△ACD∽△TAF，
∴ ＝ ＝ ，
∴AF＝4CD＝2x，
∵CF+AF＝4，
∴y+7x＝4，
∴y＝4﹣5x（0＜x≤2）．
（3）如图3中，连接DF．∵∠GAE＝∠DAH，∠AGE＝∠AHD，
∴△AGE∽△AHD，
∵△CDF与△AGE相似，
∴△CFD与△ADH相似，
∴ ＝ 或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
整理得，x6+8x﹣16＝0或x8﹣16x﹣16＝0，
解得，x＝4 ﹣4（舍弃）或7﹣4 （舍弃），
∴CD＝4 ﹣4或8﹣4 ，
当点F在下方时，同法可得 ，
综上所述，满足条件的CD的值为4 或 ．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，
等腰直角三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全
等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
