文档内容
2015 年上海市闸北区中考数学二模试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）﹣8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
2．（4分）下列属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A． =﹣2 B．x2+1=0 C． =1 D．x2+x+1=0
4．（4分）在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果
DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（4分）饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐
可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的
20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数
和众数分别是（ ）
A．15元和18元 B．15元和15元 C．18元和15元 D．18元和18元
6．（4分）如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：
0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为
2.1米．求放水后水面上升的高度是（ ）
A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）计算：2﹣2= ．
8．（4分）用科学记数法表示：3402000= ．
9．（4分）化简分式： = ．
第1页（共26页）10．（4分）不等式组 的解集是 ．
11．（4分）方程x+ =0的解是 ．
12．（4分）已知反比例函数y= （k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变
量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐 ．（填“减小”或“增大”）
13．（4分）文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语
6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ．
14．（4分）某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10
万元的汽车，现售价 万元．
15．（4分）如图，在正方形ABCD中，如果AC=3 ， = ， = ，那么| ﹣ |=
．
16．（4分）某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，
测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：
红：54、44、37、36、35、34； 黄：48、35、38、36、43、40；
已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？
．（填“红”或“黄”）
17．（4分）已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，
求△ABC的面积是 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边
AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．
若△BED与△ABC相似，则相似比 = ．
第2页（共26页）三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3 ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲
乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的 倍，甲
到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．
（1）求tan∠ECD的值；
（2）求线段AB及BC的长度．
22．（10分）某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运
输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：
x（公里） 80 120 180 200 …
y（元） 200 300 450 500 …
（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式 ；（不需写出定义域）
（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，
则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公
里）的函数解析式 ；（不需写出定义域）
（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家
运输队？
23．（12分）已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且
第3页（共26页）AE=AF，∠AEC=∠AFC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；
（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．
24．（12分）已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线
x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．
（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；
（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的
面积，求线段AE的长；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（14分）已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的
⊙B与线段AB、BC都有交点，设⊙B的半径为x．
（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；
（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应
x的取值范围；
（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两
圆公共弦EF的长．
第4页（共26页）第5页（共26页）2015 年上海市闸北区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）﹣8的立方根是（ ）
A．2 B．﹣2 C．±2 D．
【考点】24：立方根．
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【分析】利用立方根的定义即可求解．
【解答】解：∵（﹣2）3=﹣8，
∴﹣8的立方根是﹣2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平方根和立方根的概念．如果一个数x的立方等于a，即x
的三次方等于a（x3=a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．读
作“三次根号a”其中，a叫做被开方数，3叫做根指数．
2．（4分）下列属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
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【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的
定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指
数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解答】解：A、 ，无法化简，故是最简二次根式，故本选项正确；
B、 ，被开方数中含有分母；故本选项错误；
C、 ，被开方数中含有分母，故本选项错误；
D、 所以本二次根式的被开方数中含有没开的尽方的数；故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
第6页（共26页）（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于
2，也不是最简二次根式．
3．（4分）下列方程中，有实数根的是（ ）
A． =﹣2 B．x2+1=0 C． =1 D．x2+x+1=0
【考点】AA：根的判别式；AG：无理方程；B2：分式方程的解．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据二次很式的性质可对A进行判断；根据判别式的意义对B、D进行判
断；通过解分式方程对C进行判断．
【解答】解：A、方程 =﹣2没有实数解，所以A选项错误；
B、△=0﹣4＜0，方程没有实数解，所以B选项错误；
C、去分母得1=x+1，解得x=0，经检验x=0是原方程的解，所以C选项正确；
D、△=14＜0，方程没有实数解，所以D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣
4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方
程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了分式方程和
无理方程．
4．（4分）在△ABC中，DE∥BC，DE与边AB相交于点D，与边AC相交于点E．如果
DE过重心G点，且DE=4，那么BC的长是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】K5：三角形的重心．
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【专题】11：计算题．
【分析】如图，连结AG并延长交BC于F，根据三角形重心性质得 =2，再证明
△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得 = ，然后利用比例的性质计算
BC的长．
【解答】解：如图，连结AG并延长交BC于F，如图，
∵点G为△ABC的重心，
第7页（共26页）∴ =2，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
∴BC=6．
故选：B．
【点评】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心
到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1．也考查了相似三角形的判
定与性质．
5．（4分）饭店为某公司提供“白领午餐”，有12元、15元、18元三种价格的套餐
可供选择，每人限购一份．本周销售套餐共计500份，其中12元的占总份数的
20%，15元的卖出180份，其余均为18元的，那么所购买的盒饭费用的中位数
和众数分别是（ ）
A．15元和18元 B．15元和15元 C．18元和15元 D．18元和18元
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】根据题意先计算出本周销售套餐12元和18元的份数，再根据中位数和众
数的定义即可得出答案．
【解答】解：12元的份数有500×20%=100（份），
18元的份数有500﹣100﹣180=220（份），
∵本周销售套餐共计500份，
∴所购买的盒饭费用的中位数是第250和251个数的平均数，
∴中位数是15元；
18元出现的次数最多，则众数是18元；
故选：A．
第8页（共26页）【点评】此题考查了众数与中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数
是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两
个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把
数据按要求重新排列，就会出错．
6．（4分）如图，某水渠的横断面是等腰梯形，已知其斜坡AD和BC的坡度为1：
0.6，现测得放水前的水面宽EF为1.2米，当水闸放水后，水渠内水面宽GH为
2.1米．求放水后水面上升的高度是（ ）
A．0.55 B．0.8 C．0.6 D．0.75
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】先过点E作EM⊥GH于点M，根据水渠的横断面是等腰梯形，求出GM，再
根据斜坡AD的坡度为1：0.6，得出EM：GM=1：0.6，最后代入计算即可．
【解答】解：如图；过点E作EM⊥GH于点M，
∵水渠的横断面是等腰梯形，
∴GM= ×（GH﹣EF）= ×（2.1﹣1.2）=0.45，
∵斜坡AD的坡度为1：0.6，
∴EM：GM=1：0.6，
∴EM：0.45=1：0.6，
∴EM=0.75，
故选：D．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度、等腰三角形的性
质，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，构造直角三角形．
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）计算：2﹣2= ．
第9页（共26页）【考点】6F：负整数指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p= （a≠0，p为正整数）
【解答】解：2﹣2= = ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，
易于掌握．
8．（4分）用科学记数法表示：3402000= 3.402 × 1 0 6 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】确定a×10（n 1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于3402000有
7位，所以可以确定n=7﹣1=6．
【解答】解：3402000=3.402×106．
故答案为：3.402×106．
【点评】此题考查科学记数法，用科学记数法表示一个数的方法是
（1）确定a：a是只有一位整数的数；
（2）确定n：当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当
原数的绝对值＜1时，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前
零的个数（含整数位数上的零）．
9．（4分）化简分式： = ．
【考点】66：约分．
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【专题】11：计算题．
【分析】先把分母因式分解，然后进行约分即可．
【解答】解：原式=
= ．
故答案为 ．
第10页（共26页）【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这
样的分式变形叫做分式的约分．
10．（4分）不等式组 的解集是 x ≥ 3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】根据不等式的性质求出不等式①和②的解集，根据找不等式组的解集的
规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：
由①得：x＞﹣2，
由②得：x≥3，
∴不等式组的解集是x≥3．
故答案为x≥3．
【点评】本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式，解一元一次不等式组
等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题
的关键．
11．（4分）方程x+ =0的解是 0 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方
程进行因式分解即可解出本题．
【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0
∴（x﹣1）x=0
∴x=0或x=1
∵x=1时不满足题意．
∴x=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开
平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法
本题运用的是因式分解法和平方法．
12．（4分）已知反比例函数y= （k≠0）图象过点（﹣1，﹣3），在每个象限内，自变
第11页（共26页）量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐 减小 ．（填“减小”或“增大”）
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】首先利用待定系数法确定反比例函数的比例系数，然后根据其符号确定
其增减性即可．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y= （k≠0），
∵反比例函数图象过点（﹣1，﹣3），
∴把（﹣1，﹣3）代入得3=k＞0，
根据反比例函数图象的性质可知它在每个象限内y随x的增大而减小，
故答案为：减小；
【点评】考查了反比例函数的性质，解答此题的关键是要熟知反比例函数图象的
性质及用待定系数法求反比例函数的解析式．
反比例函数图象的性质：
（1）当k＞0时，反比例函数的图象位于一、三象限；
（2）当k＜0时，反比例函数的图象位于二、四象限．
13．（4分）文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语
6张，随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】由文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、英语
6张，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵文件夹里放了大小相同的试卷共12张，其中语文4张、数学2张、
英语6张，
∴随机从中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情
况数之比．
14．（4分）某品牌汽车经过两次连续的调价，先降价10%，后又提价10%，原价10
万元的汽车，现售价 9. 9 万元．
第12页（共26页）【考点】1G：有理数的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：10×（1﹣10%）×（1+10%）=9.9（万元），
则现售价为9.9万元．
故答案为：9.9．
【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．（4分）如图，在正方形ABCD中，如果AC=3 ， = ， = ，那么| ﹣ |= 3
．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先由在正方形ABCD中，如果AC=3 ，可求得BC的长，又由 = ， =
，可得| ﹣ |=| |=BC．
【解答】解：∵在正方形ABCD中，AC=3 ，
∴AB=BC=3，
∵ = ， = ，
∴ ﹣ = ﹣ = ，
∴| ﹣ |=| |=BC=3．
故答案为：3．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．
16．（4分）某公园正在举行郁金香花展，现从红、黄两种郁金香中，各抽出6株，
测得它们离地面的高度分别如下（单位cm）：
红：54、44、37、36、35、34； 黄：48、35、38、36、43、40；
已知它们的平均高度均是40cm，请判断哪种颜色的郁金香样本长得整齐？ 黄
第13页（共26页）．（填“红”或“黄”）
【考点】W7：方差．
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【分析】先根据方差公式S2= [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]分别求出红颜色
1 2 n
和黄颜色的方差，然后进行比较，即可得出答案．
【解答】解：红颜色的郁金香的方差是： [（54﹣40）2+（44﹣40）2+（37﹣40）2+（36
﹣40）2+（35﹣40）2+（34﹣40）2]≈49.67，
黄颜色的郁金香的方差是： [（48﹣40）2+（35﹣40）2+（38﹣40）2+（36﹣40）2+（43
﹣40）2+（40﹣40）2]≈29.67，
∵S2 ＞S2 ，
红 黄
∴黄颜色的郁金香样本长得整齐；
故答案为：黄．
【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x ，x ，…x 的平均数为
1 2 n
则方差S2= [（x ﹣ ）2+（x ﹣ ）2+…+（x ﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，
1 2 n
方差越大，波动性越大，反之也成立．
17．（4分）已知⊙O的直径是10，△ABC是⊙O的内接等腰三角形，且底边BC=6，
求△ABC的面积是 3 或 2 7 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】从圆心在三角形内部和外部两种情况讨论，根据垂径定理和三角形的性
质求出答案．
【解答】解：当圆心在三角形内部时，
0B=5，BD=3，
根据勾股定理，OD=4，则AD=9，
S = ×6×9=27，
△ABC
当圆心在三角形外部时，
0B=5，BD=3，
根据勾股定理，OD=4，则AD=1，
第14页（共26页）S = ×6×1=3，
△ABC
故答案为：3或27．
【点评】本题考查的是垂径定理、等腰三角形的性质和勾股定理，正确运用定理和
性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边
AB上的C′处，折痕为BD，再将其沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的A′处．
若△BED与△ABC相似，则相似比 = ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据△BED与△ABC相似和△ABC沿BD折叠，点C恰巧落在边AB上的C′
处，求出∠A=∠DBA=∠DBC=30°，利用三角函数求出BD、AC的长，得到答案．
【解答】解：△BED与△ABC相似，
∴∠DBA=∠A，又∠DBA=∠DBC，
∴∠A=∠DBA=∠DBC=30°，
设BC为x，
第15页（共26页）则AC= x，BD= x，
= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质和翻折变换的知识，掌握相似三角形的
对应角相等和锐角三角函数的应用是解题的关键．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣|cos45°﹣1|+（﹣2015）0+3 ．
【考点】2F：分数指数幂；6E：零指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三
角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据零指数幂、分数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式= ﹣|
﹣1|+1+ ，然后分母有理化和去绝对值后合并即可．
【解答】解：原式= ﹣| ﹣1|+1+
=2﹣ + ﹣1+1+
=2+ ．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行
二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂和分数指数
幂．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】把①化为x=±2y，把②化为x+y=±2，重新组成方程组，解二元一次方程组
即可．
第16页（共26页）【解答】解： ，
由①得，x=±2y，
由②得，x+y=±2，
则 ， ， ，
解得， ， ， ， ．
【点评】本题考查的是二元二次方程组的解法，把二元二次方程根据平方差公式
和完全平方公式进行变形化为两个二元一次方程是解题的关键．
21．（10分）已知：如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，BE=AD，AE=8，现有甲
乙两人同时从E点出发，分别沿EC，ED方向前进，甲的速度是乙的 倍，甲
到达目的地C点的同时乙恰好到达终点D处．
（1）求tan∠ECD的值；
（2）求线段AB及BC的长度．
【考点】KQ：勾股定理．
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【分析】（1）设ED=a，则EC= a，在Rt△EDC中根据勾股定理用a表示出DC的
长，在Rt△ABE中，根据BE2=AB2+AE2求出a的值，故可得出ED及CD的长，由
锐角三角函数的定义即可得出结论；
（2）由（1）中，DE=a，CD=3a，a=2可得出DE=2，CD=6，再根据四边形ABCD是矩形，
BE=AD即可得出结论．
【解答】解：（1）设ED=a，则EC= a，
在Rt△EDC中，
∵DC= = =3a，
∴BE=AE+ED=8+a．
第17页（共26页）在Rt△ABE中，
∵BE2=AB2+AE2，即（8+a）2=（3a）2+82，解得a=2，
∴ED=2，CD=6，
∴tan∠ECD= = = ．
（2）∵由（1）知，DE=a，CD=3a，a=2，
∴DE=2，CD=6．
∵四边形ABCD是矩形，BE=AD，AE=8，
∴AB=CD=6，BC=AD=AE+DE=8+2=10．
【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的
平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
22．（10分）某公司的物流业务原来由A运输队承接，已知其收费标准y（元）与运
输所跑路程x（公里）之间是某种函数关系．其中部分数据如表所示：
x（公里） 80 120 180 200 …
y（元） 200 300 450 500 …
（1）写出y（元）关于x（公里）的函数解析式 y =2.5x ；（不需写出定义域）
A
（2）由于行业竞争激烈，现B运输队表示：若公司每次支付200元的汽车租赁费，
则可按每公里0.9元收费．请写出B运输队每次收费y（元）关于所跑路程x（公
里）的函数解析式 y =200 + 0.9x ；（不需写出定义域）
B
（3）如果该公司有一笔路程500公里的运输业务，请通过计算说明应该选择哪家
运输队？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，所以每公里收费
为2.5元，所以y =2.5x．
A
（2）根据题意得：y =200+0.9x．
B
（3）当x=500时，y =2.5×500=1250，y =2000+0.9×500=2450，因为y ＞y ，所以选
A B A B
择B运输队．
【解答】解：（1）根据表可知：当运输路程跑80公里时，收费200元，
∴每公里收费为2.5元，
第18页（共26页）∴y =2.5x．
A
故答案为：y =2.5x．
A
（2）根据题意得：y =200+0.9x．
B
故答案为：y =200+0.9x．
B
（3）当x=500时，y =2.5×500=1250，y =200+0.9×500=650，
A B
∴y ＞y ，
A B
∴选择B运输队．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂题意，列出函数解析
式．
23．（12分）已知：如图（1），在平行四边形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且
AE=AF，∠AEC=∠AFC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如图（2），若AD=AF，延长AE、DC交于点G，求证：AF2=AG•DF；
（3）在第（2）小题的条件下，连接BD，交AG于点H，若HE=4，EG=12，求AH的长．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）通过AAS证得△AEB≌△AFD，则其对应边相等：AB=AD，所以“邻边
相等的平行四边形是菱形”；
（2）欲证明AF2=AG•DF，需要通过相似三角形△GAD∽△AFD的对应边成比例得
到AD=AF，则AF2=AG•DF；
（3）根据菱形的性质和平行线分线段成比例得到：AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：
AH，故AH：HG=EH：AH．把相关线段的长度代入来求AH的长度即可．
【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D．
第19页（共26页）∵∠AEC=∠AFC，∠AEC+∠AEB=∠AFC+∠AFD=180°，
∴∠AEB=∠AFD．
在△AEB和△AFD中，
，
∴△AEB≌△AFD（AAS）
∴AB=AD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）由（1）知，△AEB≌△AFD，则∠BAE=∠DAF．
如图2，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DG，
∴∠BAE=∠G，
∴∠G=∠DAF．
又∵∠ADF=∠GDA，
∴△GAD∽△AFD，
∴DA：DF=DG：DA，
∴DA2=DG•DF．
∵DG：DA=AG：FA，且AD=AF，
∴DG=AG．
又∵AD=AF，
∴AF2=AG•DF；
（3）如图2，在菱形ABCD中，∵AB∥DC，AD∥BC，
∴AH：HG=BH：HD，BH：HD=EH：AH，
∴AH：HG=EH：AH．
∵HE=4，EG=12，
∴AH：16=4：AH，
∴AH=8．
第20页（共26页）【点评】本题考查了相似综合题．此题综合性比较强，其中涉及到了菱形的性质，
平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，解题时，需要弄清楚相似三
角形的对应边与对应角，以防弄错．
24．（12分）已知如图，二次函数图象经过点A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线
x=﹣2，顶点为点C，点B关于直线x=﹣2的对称点为点D．
（1）求二次函数的解析式以及点C和点D的坐标；
（2）联结AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，联结DE，若DE平分四边形ABCD的
面积，求线段AE的长；
（3）在二次函数的图象上是否存在点P，能够使∠PCA=∠BAC？如果存在，请求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题；535：二次函数图象及其性质；536：二次函数的应用．
【分析】（1）由二次函数对称轴为直线x=2，根据A坐标确定出二次函数与x轴的
另一个交点坐标，设出二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），把C坐标代入求出
a的值，确定出二次函数解析式，进而确定出C与D坐标即可；
（2）连接AB、BC、CD、DA，点E在线段AB上，连接DE，如图1所示，利用勾股定理
求出AB，BC，CD与BD的长，根据直线CD与直线AB斜率相等，得到DC与AB
平行，继而得到四边形ABCD为直角梯形，若DE平分四边形ABCD的面积，可
第21页（共26页）得直角梯形面积等于三角形ADE面积的2倍，求出AE的长即可；
（3）在二次函数的图象上存在点P，能够使∠PCA=∠BAC，如图2所示，直线CP与
AB交于点G，可得GA=GC，根据直线AB解析式设出G坐标（x，x+6），利用两点
间的距离公式求出x的值，确定出G坐标，利用待定系数法求出直线CG解析
式，与二次函数解析式联立求出P坐标；由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，
即DC与AB平行，利用两直线平行内错角相等，得到P与D重合时，满足题意，
确定出此时P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵二次函数经过A（﹣6，0），B（0，6），对称轴为直线x=2，
∴二次函数图象经过（2，0），
设二次函数解析式为y=a（x+6）（x﹣2），
把B（0，6）代入得：6=﹣12a，即a=﹣ ，
∴二次函数解析式为y=﹣ （x+6）（x﹣2）=﹣ x2﹣2x+6=﹣ （x+2）2+8，
则C（﹣2，8），D（﹣4，6）；
（2）如图1所示，由题意得：AB=6 ，BC=CD=2 ，BD=4，
∵BD2=CD2+BC2，
∴∠DCB=90°，
∵直线AB的解析式为y=x+6，直线DC解析式为y=x+10，
∴DC∥AB，
∴四边形ABCD为直角梯形，
若S =2S ，即 ×2 ×（2 +6 ）=2× ×2 ×AE，
梯形ABCD △ADE
解得：AE=4 ；
（3）如图2，在二次函数的图象上存在点P，使∠PCA=∠BAC，直线CP与AB交于点
第22页（共26页）G，可得GA=GC，
∵A（﹣6，0），C（﹣2，8），直线AB解析式为y=x+6，设G（x，x+6），
∴ = ，
两边平方得：2x2+24x+72=2x2+8，
移项合并得：24x=﹣64，
解得：x=﹣ ，经检验是原方程的根且符合题意，
∴G（﹣ ， ），
设直线CG解析式为y=kx+b，
把C与G坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线CG解析式为y=7x+22，
联立得： ，
解得： 或 （经检验不合题意，舍去），
∴P坐标为（﹣16，﹣90）；
由（2）得到四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
此时P与D重合，即P（﹣4，6），
综上，满足题意P的坐标为（﹣16，﹣90）或（﹣4，6）．
第23页（共26页）【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析
式，待定系数法确定一次函数解析式，直角梯形的判定，直线与二次函数的交
点，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25．（14分）已知：如图1，在△ABC中，已知AB=AC=6，BC=4，以点B为圆心所作的
⊙B与线段AB、BC都有交点，设⊙B的半径为x．
（1）若⊙B与AB的交点为D，直线CD与⊙B相切，求x的值；
（2）如图2，以AC为直径作⊙P，那么⊙B与⊙P存在哪些位置关系？并求出相应
x的取值范围；
（3）若以AC为直径的⊙P与⊙B的交点E在线段BC上（点E不与C点重合），求两
圆公共弦EF的长．
【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）作AH⊥BC于点H，根据直线CD与⊙B相切，得到CD⊥AB，从而得到
cos∠DBC=cos∠ACH，利用余弦的定义得到BD：BC=CH：CA，从而得到BD：4=2：
6，求得BD的长即可求得圆的半径；
（2）作PK⊥BC于点K，求得两圆的圆心距，然后根据两圆的半径和圆心距的大小
关系得到位置关系即可；
（3）设EF与PB交于点G，BG=m，在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2求得m的值，然
后根据EG2﹣BG2=BE2求得EG的长即可求得EF的长．
【解答】解：（1）如图1，作AH⊥BC于点H，
∵AB=AC=6，BC=4，
∴BH=2．
∵直线CD与⊙B相切，
∴CD⊥AB，
∵∠DBC=∠ACH，
第24页（共26页）∴cos∠DBC=cos∠ACH，
∴BD：BC=CH：CA，
∴BD：4=2：6，
∴BD= ．
（2）如图1，作PK⊥BC于点K，
∴PK∥AH．
∵AH⊥BC，AB=AC=6，BC=4，
∴BH=2，
∴AH=4 ．
∵以AC为直径作⊙P，
∴AP=PC，
∴PK=2 ，CK= BC=1，
∴BK=3，
∴在Rt△PBK中，PB= = = ，
∴当0＜x＜ ﹣3时，⊙B与⊙P外离，当x= ﹣3时，⊙B与⊙P外切，
当 ﹣3＜x≤4时，⊙B与⊙P相交；
第25页（共26页）（3）如图2，点E即为BC边的中点H，
∴PE=3．
设EF与PB交于点G，BG=m，
∴在△PBE中，PE2﹣PG2=BE2﹣BG2，
∴32﹣（ ﹣m）2=22﹣m2，
∴m= ．
∵EG2﹣BG2=BE2，
∴EG2﹣（ ）2=22，
∴EG= ，
∴EF= ．
【点评】本题考查了圆的综合知识，题目中还涉及到了勾股定理、两圆的位置关系
等知识，知识点较多，难度较大，特别是最后一题中两次运用勾股定理求得EG
的长更是解决本题的关键．
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日期：2018/12/24 0:28:36；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第26页（共26页）
