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2015年上海市长宁区中考数学一模试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：6，则它们的相似比（ ）
A．1：36 B．1：6 C．1：3 D．1：
2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余弦值等于（
）
A． B． C． D．
3．（4分）如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使
△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（ ）
A．F B．G C．H D．K
4．（4分）已知两圆半径分别是3和4，若两圆内切，则两圆的圆心距为（ ）
A．1或7 B．1 C．7 D．2
5．（4分）抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝ x2共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
C．都有最低点 D．y的值随x的增大而减小
6．（4分）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，
点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积
S与点P的运动时间t的函数图象大致为（ ）
第1页（共25页）A． B．
C． D．
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是
厘米．
8．（4分）计算：3（ ﹣ ）﹣3 ＝ ．
9．（4分）已知 P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原
点O与 P的位置关系是 ．
⊙
10．（4分）如果圆心O到直线l的距离等于 O的半径，那么直线l和 O的公共
⊙
点有 个．
⊙ ⊙
11．（4分）二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2图象的顶点坐标是 ．
12．（4分）将抛物线y＝2x2﹣3向左平移3个单位后所得抛物线的解析式是
．
13．（4分）已知二次函数y＝x2+2x﹣7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的
值是 ．
14．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣（a+1）x﹣2，当x＞1时，y的值随x的值增大而
增大，当x＜1时，y的值随x的值增大而减小，则实数a的值为 ．
15．（4分）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的
研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（万
元）关于x的函数关系式为y＝ ．
16．（4分）如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为 ，
斜坡AB的水平宽度 ，那么斜坡AB长为 m．
第2页（共25页）17．（4分）如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长
交AC于点E，联结DE，则S ：S 的值为 ．
△ABC △CED
18．（4分）如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形AB′C′D′，当
两正方形重叠部分的面积是原正方形面积的 时，sin ∠B′AD＝ ．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣（sin30°）﹣2+（2015﹣tan45°）0．
20．（10分）如图，已知O为△ABC内的一点，点D、E分别在边AB、AC上，且
＝ ， ，设 ＝ ， ＝ ，试用 ， 表示 ．
21．（10分）如图，AB是 O的弦，点C、D在弦AB上，且AD＝BC，联结OC、OD．
求证：△OCD是等腰三角形．
⊙
第3页（共25页）22．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的
平行线分别与AB、AC交于P、Q两点，过点P作PE⊥BC于点E，过点Q作
QF⊥BC于点F．设AD＝80，BC＝120，当四边形PEFQ为正方形时，试求此正
方形的边长．
23．（12分）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折
现A﹣C﹣B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝120千
米，∠A＝30°，∠B＝135°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少
千米？（结果保留根号）．
24．（12分）如图，已知直角坐标平面上的△ABC，AC＝CB，∠ACB＝90°，且A（﹣
1，0），B（m，n），C（3，0）．若抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、C两点．
（1）求a、b的值；
（2）将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的
解析式；
（3）设（2）中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点
Q为圆心画图，当 Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形
ABQP的面积．
⊙
第4页（共25页）25．（14分）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝4，D是AC边上一动点（不与
A、C点重合），EF垂直平分BD，分别交AB、BC于点E、F，设CD＝x，AE＝y．
（1）求证：△AED∽△CDF；
（2）求y关于x的函数解析式．并写出定义域；
（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，当EH＝1时，求线段CD的长．
第5页（共25页）2015 年上海市长宁区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）如果两个相似三角形的面积比是1：6，则它们的相似比（ ）
A．1：36 B．1：6 C．1：3 D．1：
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：6，
∴它们的相似比1： ．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
2．（4分）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余弦值等于（
）
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】先根据勾股定理，求出AB的值，然后由余弦＝邻边÷斜边计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝ ＝5，
∴cosA＝ ＝ ．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，牢记定义和定理是解题的
关键．
3．（4分）如图，点A、B、C、D、E、F、G、H、K都是7×8方格纸中的格点，为使
△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（ ）
第6页（共25页）A．F B．G C．H D．K
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【专题】16：压轴题；24：网格型．
【分析】由图形可知△ABC的边AB＝4，AC＝6 DE＝2，当△DEM∽△ABC时，AB
和DE是对应边，相似比是1：2，则AC的对应边是3，则点M的对应点是H．
【解答】解：根据题意，
△DEM∽△ABC，AB＝4，AC＝6 DE＝2
∴DE：AB＝DM：AC
∴DM＝3
∴M应是H
故选：C．
【点评】本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．
4．（4分）已知两圆半径分别是3和4，若两圆内切，则两圆的圆心距为（ ）
A．1或7 B．1 C．7 D．2
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】由内切两圆的半径分别为4和7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半
径R，r的数量关系间的联系即可求得答案．
【解答】解：∵内切两圆的半径分别为4和3，
∴它们的圆心距是：4﹣3＝1．
故选：B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆
半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
5．（4分）抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝ x2共有的性质是（ ）
A．开口向下 B．对称轴是y轴
第7页（共25页）C．都有最低点 D．y的值随x的增大而减小
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．
【解答】解：
∵y＝2x2，y＝ x2开口向上，
∴A不正确，
∵y＝﹣2x2，开口向下，
∴有最高点，
∴C不正确，
∵在对称轴两侧的增减性不同，
∴D不正确，
∵三个抛物线中都不含有一次项，
∴其对称轴为y轴，
∴B正确，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、
增减性等基础知识是解题的关键．
6．（4分）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，
点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积
S与点P的运动时间t的函数图象大致为（ ）
A． B．
第8页（共25页）C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
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【专题】16：压轴题．
【分析】分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根
据关系式可以得出结论．
【解答】解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位/秒，则：
（1）当点P在A→B段运动时，PB＝1﹣t，S＝ （1﹣t）2（0≤t＜1）；
（2）当点P在B→A段运动时，PB＝t﹣1，S＝ （t﹣1）2（1≤t≤2）．
π
综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S＝ （t﹣1）2（0≤t≤2），
π
这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B
π
符合要求．
故选：B．
【点评】本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系
式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出
正确选择．
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a＝2厘米，c＝8厘米，则线段a和c的比例中项b是 4 厘
米．
【考点】S2：比例线段．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据线段比例中项的概念，可得a：b＝b：c，可得b2＝ac＝16，故b的值可
求．
【解答】解：∵线段b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac＝16，
解得b＝±4，
又∵线段是正数，
∴b＝4．
第9页（共25页）故答案为4．
【点评】本题考查了比例中项的概念，注意：求两个数的比例中项的时候，应开平
方．求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
8．（4分）计算：3（ ﹣ ）﹣3 ＝ ﹣ 3 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得，注意去括号时符号的
变化．
【解答】解：3（ ﹣ ）﹣3 ＝3 ﹣3 ﹣3 ＝﹣3 ．
故答案为：﹣3 ．
【点评】此题考查了平面向量的加减运算．此题难度不大，注意熟练掌握运算法则
是关键．
9．（4分）已知 P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原
点O与 P的位置关系是 点 O 在 P 上 ．
⊙
【考点】D5：坐标与图形性质；M8：点与圆的位置关系．
⊙ ⊙
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【分析】首先求得点O与圆心P之间的距离，然后和圆的半径比较即可得到点O
与圆的位置关系．
【解答】解：由勾股定理得：OP＝ ＝5，
∵ P的半径为5，
∴点O在 P上．
⊙
故答案为点O在 P上．
⊙
【点评】本题考查了点与圆的位置关系，求出点到圆心的距离是解决本题的关键．
⊙
点与圆的位置关系有3种：
设 O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有： 点P在圆外 d＞r； 点
P在圆上 d＝r； 点P在圆内 d＜r．
⊙ ① ⇔ ②
10．（4分）如果圆心O到直线l的距离等于 O的半径，那么直线l和 O的公共
⇔ ③ ⇔
点有 1 个．
⊙ ⊙
【考点】MB：直线与圆的位置关系．
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【分析】首先确定直线l和圆的位置关系，然后确定直线与圆的公共点的个数．
【解答】解：∵圆心O到直线l的距离等于 O的半径，
⊙
第10页（共25页）∴直线与圆O相切，
∴直线l和 O的公共点有1个，
故答案为：1．
⊙
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是县确定位置关系，然后确
定交点个数．
11．（4分）二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2图象的顶点坐标是 （ 1 ， 2 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】因为y＝﹣3（x﹣1）2+2是二次函数的顶点式，根据顶点式可直接写出顶点
坐标．
【解答】解：∵抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+2，
∴二次函数图象的顶点坐标是（1，2）．
故答案为（1，2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的顶点式，可确定抛物线的开口
方向，顶点坐标（对称轴），最大（最小）值，增减性等．
12．（4分）将抛物线y＝2x2﹣3向左平移3个单位后所得抛物线的解析式是 y ＝
2 （ x +3 ） 2 ﹣ 3 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新
抛物线的解析式．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，﹣3），向左平移3个单位，那么新抛物线的顶点
为（﹣3，﹣3）；
则新抛物线的解析式为y＝2（x+3）2﹣3．
故答案是：y＝2（x+3）2﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换．抛物线平移不改变二次项的系数
的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
13．（4分）已知二次函数y＝x2+2x﹣7的一个函数值是8，那么对应的自变量x的
值是 ﹣ 5 或 3 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】把函数值代入函数解析式，解关于x的一元二次方程即可．
【解答】解：y＝8时，x2+2x﹣7＝8，
第11页（共25页）整理得，x2+2x﹣15＝0，
解得x ＝﹣5，x ＝3，
1 2
所以，对应的自变量x的值是﹣5或3．
故答案为：﹣5或3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解法，把函数
值代入函数解析式得到方程是解题的关键．
14．（4分）已知二次函数y＝ax2﹣（a+1）x﹣2，当x＞1时，y的值随x的值增大而
增大，当x＜1时，y的值随x的值增大而减小，则实数a的值为 1 ．
【考点】H1：二次函数的定义；H3：二次函数的性质．
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【分析】根据二次函数的增减性，结合条件可求得抛物线的对称轴方程，可得到关
于a的方程，可求得答案．
【解答】解：
∵y＝ax2﹣（a+1）x﹣2，
∴其对称轴方程为x＝ ，
又当x＞1时，y的值随x的值增大而增大，当x＜1时，y的值随x的值增大而减小
∴其对称轴为x＝1，
∴ ＝1，解得a＝1，
故答案为：1．
【点评】本题主要考查抛物线的对称轴及增减性，掌握在对称轴两侧的增减性相
反是解题的关键．
15．（4分）某企业今年第一月新产品的研发资金为100万元，以后每月新产品的
研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第三月新产品的研发资金y（万
元）关于x的函数关系式为y＝ 10 0 （ 1+ x ） 2 ．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】由一月份新产品的研发资金为100万元，根据题意可以得到2月份研发资
金为100（1+x）万元，而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研
发资金也可以用x表示出来，由此即可确定函数关系式．
【解答】解：∵一月份新产品的研发资金为100万元，
2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，
第12页（共25页）∴2月份研发资金为100（1+x），
∴三月份的研发资金为y＝100（1+x）×（1+x）＝100（1+x）2．
故答案为：100（1+x）2．
【点评】此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的
问题，可以用公式a（1±x）2＝b来解题．
16．（4分）如图所示，铁路的路基横断面是等腰梯形，斜坡AB的坡度为 ，
斜坡AB的水平宽度 ，那么斜坡AB长为 6 m．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】坡度＝坡角的正切值，据此知坡角是30°．运用三角函数求解．
【解答】解：∵斜坡AB的坡度为 ，
∴tanB＝ ，
∴∠B＝30°．
∵cosB＝ ，
∴AB＝ ＝6（m）．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．
17．（4分）如图，已知AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长
交AC于点E，联结DE，则S ：S 的值为 4 ．
△ABC △CED
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】由AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交AC于点
E，根据三角形重心的定义与性质可得E为AC的中点，AG＝2DG，BG＝2GE．
设S ＝x，根据
△EGD
第13页（共25页）三角形的面积公式，等高的两个三角形面积之比等于底之比得出S ＝2S
△EGA △EGD
＝2x，那么S ＝S +S ＝3x，又E为AC中点，等底等高的两个三角形
△EAD △EGD △EGA
面积相等，于是S ＝S ＝3x，S ＝S +S ＝6x，同理由AD是
△ECD △EAD △ADC △ECD △EAD
△ABC的中线，得出S ＝2S ＝12x，那么S ：S ＝12x：3x＝4．
△ABC △ADC △ABC △CED
【解答】解：∵AD是△ABC的中线，G是△ABC的重心，联结BG并延长交AC于
点E，
∴E为AC的中点，AG＝2DG，BG＝2GE．
设S ＝x，
△EGD
∵AG＝2DG，
∴S ＝2S ＝2x，
△EGA △EGD
∴S ＝S +S ＝3x，
△EAD △EGD △EGA
∵E为AC中点，
∴S ＝S ＝3x，
△ECD △EAD
∴S ＝S +S ＝6x，
△ADC △ECD △EAD
∵AD是△ABC的中线，
∴S ＝2S ＝12x，
△ABC △ADC
∴S ：S ＝12x：3x＝4．
△ABC △CED
故答案为4．
【点评】本题考查了三角形重心的定义与性质，三角形的面积，难度适中．设S
△EGD
＝x，用含x的代数式表示出S 是解题的关键．
△ABC
18．（4分）如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形AB′C′D′，当
两正方形重叠部分的面积是原正方形面积的 时，sin ∠B′AD＝ ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
第14页（共25页）【分析】B′C′交CD于E，如图，根据旋转的性质得AB′＝AD，∠B′＝∠D＝
90°，再证明Rt△ADE≌Rt△AB′E，得到S ＝S ，∠1＝∠2，则S ＝
△ADE △AB′E △ADE
S ，即 AD•DE＝ •AD•AD，所以DE＝ AD，接着在Rt△ADE中利
正方形ABCD
用勾股定理计算出AE＝ DE，然后利用正弦的定义得sin∠2＝ ＝ ，
即sin ∠B′AD＝ ．
【解答】解：B′C′交CD于E，如图，
∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转，得到正方形AB′C′D′，
∴AB′＝AD，∠B′＝∠D＝90°，
在Rt△ADE和Rt△AB′E中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AB′E（HL），
∴S ＝S ，∠1＝∠2，
△ADE △AB′E
∵两正方形重叠部分的面积是原正方形面积的 ，
∴S ＝ S ，
△ADE 正方形ABCD
∴ AD•DE＝ •AD•AD，
∴DE＝ AD，
在Rt△ADE中，AE＝ ＝ ＝ DE，
∴sin∠2＝ ＝ ＝ ．
即sin ∠B′AD＝ ．
故答案为 ．
第15页（共25页）【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性
质和锐角三角函数的定义．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算： ﹣（sin30°）﹣2+（2015﹣tan45°）0．
【考点】6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角的三角函数计算即可．
【解答】解： ﹣（sin30°）﹣2+（2015﹣tan45°）0．
＝ ﹣（ ）﹣2+1
＝ ﹣4+1
＝ ﹣4+1
＝ ．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经
常出现，题型以选择题、填空题为主．解题的关键是：熟记特殊角三角函数值．
20．（10分）如图，已知O为△ABC内的一点，点D、E分别在边AB、AC上，且
＝ ， ，设 ＝ ， ＝ ，试用 ， 表示 ．
第16页（共25页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据 ＝ ， 推知DE∥BC，根据平行线分线段成比例来求 ．
【解答】解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ．
又∵ ，
∴DE∥BC
∴ ＝ ，
∴DE＝ BC，
∴ ＝ （ ﹣ ）．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
21．（10分）如图，AB是 O的弦，点C、D在弦AB上，且AD＝BC，联结OC、OD．
求证：△OCD是等腰三角形．
⊙
【考点】KI：等腰三角形的判定；M2：垂径定理．
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【专题】14：证明题．
【分析】过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE＝BE，求出CE＝DE，根据线
段垂直平分线性质求出OD＝OC，即可得出答案．
第17页（共25页）【解答】证明：
过O作OE⊥AB于E，
则AE＝BE，
∵AD＝BC，
∴AD﹣DC＝BC﹣DC，
∴AC＝DE，
∴CE＝DE，
∵OE⊥CD，
∴OC＝OD，
即△OCD是等腰三角形．
【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线性质的应用，
解此题的关键是正确作出辅助线后求出CE＝DE．
22．（10分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点G在AD上，过G作BC的
平行线分别与AB、AC交于P、Q两点，过点P作PE⊥BC于点E，过点Q作
QF⊥BC于点F．设AD＝80，BC＝120，当四边形PEFQ为正方形时，试求此正
方形的边长．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】证明GD＝PE＝PQ；证明△APQ∽△ABC，列出比例式即可解决问题．
【解答】解：∵四边形PEFQ为正方形，且AD⊥BC，
∴GD＝PE＝PQ（设为 ），
∴AG＝80﹣ ；
λ
∵PQ∥BC，
λ
∴△APQ∽△ABC，
第18页（共25页）∴ ，即 ，
解得： ＝48，
即此时正方形的边长为48．
λ
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用；应牢固掌握相似三
角形的判定及其性质．
23．（12分）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折
现A﹣C﹣B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝120千
米，∠A＝30°，∠B＝135°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少
千米？（结果保留根号）．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】利用锐角三角函数关系得出AB，AE，BC的长，进而求出汽车从A地到B
地比原来少走的路程．
【解答】D解：如图所示：过点C作CE⊥AB延长线于点E，
∵∠A＝30°，AC＝120km，
∴EC＝60km，AE＝120×cos30°＝60 （km），
∵∠B＝135°，
∴BE＝EC＝60km，
∴BC＝60 km，
∴AB＝60 ﹣60＝60（ ﹣1）km，
AC+BC＝（120+60 ）km，
第19页（共25页）∴AC+BC﹣AB＝120+60 ﹣60 +60＝（180+60 ﹣60 ）km，
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走（180+60 ﹣60 ）km．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，分别求出AB，AE，BC的长是解题
关键．
24．（12分）如图，已知直角坐标平面上的△ABC，AC＝CB，∠ACB＝90°，且A（﹣
1，0），B（m，n），C（3，0）．若抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A、C两点．
（1）求a、b的值；
（2）将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B，求新抛物线的
解析式；
（3）设（2）中的新抛物的顶点P点，Q为新抛物线上P点至B点之间的一点，以点
Q为圆心画图，当 Q与x轴和直线BC都相切时，联结PQ、BQ，求四边形
ABQP的面积．
⊙
【考点】HF：二次函数综合题；LG：正方形的判定与性质．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）只需把点A、C的坐标代入抛物线的解析式就可解决问题；
（2）可设新抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+k，然后求出点B的坐标，并把点B
的坐标代入新抛物线的解析式，就可解决问题；
（3）设 Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，易证四边形
⊙ 第20页（共25页）QECD是正方形，则有QD＝DC．设点Q的横坐标为t，从而得到点Q的坐标为
（t，3﹣t），代入新抛物线的解析式，求出点Q的坐标，然后运用割补法就可求
出四边形ABQP的面积．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣3经过A（﹣1，0）、C（3，0），
∴ ，
解得： ；
（2）设抛物线向上平移k个单位后得到的新抛物线恰好经过点B，
则新抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3+k，
∵A（﹣1，0）、C（3，0），
∴CB＝AC＝3﹣（﹣1）＝4，
∵∠ACB＝90°，∴点B的坐标为（3，4）．
∵点B（3，4）在抛物线y＝x2﹣2x﹣3+k上，
∴9﹣6﹣3+k＝4，
解得：k＝4，
∴新抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+1；
（3）设 Q与x轴相切于点D，与直线BC相切于点E，连接QD、QE，如图所示，
则有QD⊥OC，QE⊥BC，QD＝QE，
⊙
∴∠QDC＝∠DCE＝∠QEC＝90°，
∴四边形QECD是矩形．
∵QD＝QE，
∴矩形QECD是正方形，
∴QD＝DC．
设点Q的横坐标为t，
则有OD＝t，QD＝DC＝OC﹣OD＝3﹣t，
∴点Q的坐标为（t，3﹣t）．
∵点Q在抛物线y＝x2﹣2x+1上，
∴t2﹣2t+1＝3﹣t，
第21页（共25页）解得：t ＝2，t ＝﹣1．
1 2
∵Q为抛物线y＝x2﹣2x+1上P点至B点之间的一点，
∴t＝2，点Q的坐标为（2，1），
∴OD＝2，QD＝CD＝1．
由y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2得顶点P的坐标为（1，0），
∴OP＝1，PD＝OD﹣OP＝2﹣1＝1，
∴S ＝S ﹣S ﹣S
四边形ABQP △ACB △PDQ 梯形DQBC
＝ AC•BC﹣ PD•QD﹣ （QD+BC）•DC
＝ ×4×4﹣ ×1×1﹣ ×（1+4）×1
＝5，
∴四边形ABQP的面积为5．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求抛物线的解析式、正方形的判定与性质、
解一元二次方程等知识，运用割补法是解决第（3）小题的关键．
25．（14分）如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝4，D是AC边上一动点（不与
A、C点重合），EF垂直平分BD，分别交AB、BC于点E、F，设CD＝x，AE＝y．
（1）求证：△AED∽△CDF；
（2）求y关于x的函数解析式．并写出定义域；
（3）过点D作DH⊥AB，垂足为点H，当EH＝1时，求线段CD的长．
第22页（共25页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质；SO：相似形
综合题；T1：锐角三角函数的定义；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）易证△BEF≌△DEF，则有∠EDF＝∠EBF＝60°，由∠A＝∠C＝
∠EDF＝60°即可证到△AED∽△CDF；
（2）由△AED∽△CDF可得DF＝ ，CF＝ ，然后利用DF+CF＝
BF+CF＝BC＝4就可解决问题；
（3）在Rt△AHD中，AH＝AE﹣EH＝y﹣1，AD＝4﹣x，∠A＝60°，运用三角函数可
求得y＝3﹣ x，从而有 ＝3﹣ x，解这个方程就可解决问题．
【解答】解：（1）证明：如图1，
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，FB＝FD．
在△BEF和△DEF中，
，
∴△BEF≌△DEF（SSS），
∴∠EBF＝∠EDF．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，
∴∠EDF＝60°，
∴∠ADE+∠FDC＝180°﹣60°＝120°．
第23页（共25页）又∵∠AED+∠ADE＝180°﹣60°＝120°，
∴∠AED＝∠FDC，
∴△AED∽△CDF；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC＝AB＝4．
∵CD＝x，AE＝y，
∴AD＝4﹣x，ED＝EB＝4﹣y．
∵△AED∽△CDF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴DF＝ ，CF＝ ．
∵DF+CF＝BF+CF＝BC＝4，
∴ + ＝4，
整理得：y＝ （0＜x＜4）；
（3）如图2，
H在线段AE上时，在Rt△AHD中，
∵AH＝AE﹣EH＝y﹣1，AD＝4﹣x，∠A＝60°，
①
第24页（共25页）∴cosA＝ ＝ ＝ ，
∴y＝3﹣ x，
∴ ＝3﹣ x，
整理得：x2﹣14x+24＝0，
解得：x ＝2，x ＝12，
1 2
∵0＜x＜4，
∴x＝2，
当H在线段BE上时，同理可求得x＝9﹣
即CD的长为2或9﹣ ．
②
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂
直平分线的性质、三角函数、特殊角的三角函数值、解一元二次方程等知识，证
到∠EDF＝60°是解决第（1）小题的关键，运用相似三角形的性质求出DF和
CF（用x、y的代数式表示）并利用DF+CF＝4是解决第（2）小题的关键，在
Rt△AHD中运用三角函数得到y与x的另一个关系是解决第（3）小题的关键．
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日期：2018/12/26 20:08:48；用户：甘磊；邮箱：orFmNt__mrhHvuyQQ587Kva-SkWk@weixin.jyeoo.com；学号：25899201
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