文档内容
2015年上海市金山区中考数学一模试卷
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）
2．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）已知△ABC∽△DEF，点A、B、C对应点分别是D、E、F，AB：DE＝9：4，
那么S ：S 等于（ ）
△ABC △DEF
A．3：2 B．9：4 C．16：81 D．81：16
4．（4分）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
5．（4分）已知 M与 N的半径分别为1和5，若两圆相切，那么这两圆的圆心距
MN的长等于（ ）
⊙ ⊙
A．4 B．6 C．4或5 D．4或6
6．（4分）已知反比例函数y＝ （a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减
小，那么二次函数y＝ax2﹣ax的图象只可能是（ ）
A． B．
第1页（共28页）C． D．
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）已知 ，则 ＝ ．
8．（4分）计算：2（2 ﹣ ）+3（ ﹣ ）＝ ．
9．（4分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+1向上平移3个单位，那么平移后得到的抛物线
的解析式是 ．
10．（4分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD＝
4，BD＝2，DE＝3，那么BC＝ ．
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC：BC＝3：4，那么cosA的值为
．
12．（4分）已知 O的半径为5，点A在 O外，那么线段OA的取值范围是
．
⊙ ⊙
13．（4分）如图，斜坡AB的坡度i＝1：3，该斜坡的水平距离AC＝6米，那么斜坡
AB的长等于 米．
14．（4分）如图，已知直线AB与 O相交于A、B两点，∠OAB＝30°，半径OA＝
2，那么弦AB＝ ．
⊙
第2页（共28页）15．（4分）已知 A与 B的半径分别为3和2，若两圆相交，那么这两圆的圆心
距AB的取值范围是 ．
⊙ ⊙
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，CD＝4，cosA＝ ，那么
BC＝ ．
17．（4分）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD、BE相交于
G．设 ＝ ， ＝ ，那么 ＝ （用 、 的式子表示）．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕着点C旋
转90°，点A、B的对应点分别是D、E，那么tan∠ADE的值 ．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：|2sin45°﹣tan45°|+ ．
第3页（共28页）20．（10分）如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB＝PC．
（1）求证：△APC∽△ACB；
（2）若AP＝2，PC＝6，求AC的长．
21．（10分）如图，小明在广场上的C处用测角仪正面测量一座楼房墙上的广告屏
幕AB的长度，测得屏幕下端B处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进10
米到达D处，又测得该屏幕上端A处的仰角为45°，已知该楼高18.7米，测角
仪MC、ND的高度为1.7米，求广告屏幕AB的长．
22．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣
3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于
点M，求△BPM的面积．
23．（12 分）已知 O 与 O 相离，OC 与 O D 分别是 O 与 O 的半径，
1 1 1
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
第4页（共28页）OC∥O D，直线CD交OO 于点P，交 O于点A，交 O 于点B．
1 1 1
求证：
⊙ ⊙
（1）OA∥O B；
1
（2） ＝ ．
24．（12分）如图，已知直线y＝2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y＝
ax2+bx+2（a≠0）经过点A和点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段AD上取一点F（点F不与点A重合）．过点F作x轴的垂线交抛物线
于点G、交x轴于点H．当FG＝GH时，求点H的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线
段AB上，当△AEM与△BCM相似时，求点M的坐标．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点E，F分别在边BC、AC
上（点F不与点A、C重合）EF∥AB．把△ABC沿直线EF翻折，点C与点D重
合，设FC＝x．
（1）求∠B的余切值；
（2）当点D在△ABC的外部时，DE、DF分别交AB于M、N，若MN＝y，求y关于x
的函数关系式并写出定义域；
（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E为圆心、BE长为半径的 E与
第5页（共28页） ⊙边AC．
没有公共点时，求x的取值范围；
一个公共点时，求x的取值范围；
①
两个公共点时，求x的取值范围．
②
③
第6页（共28页）2015 年上海市金山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）抛物线y＝2x2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1） B．（0，1） C．（1，0） D．（1，2）
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标．
【解答】解：
∵y＝2x2+1＝2（x﹣0）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（0，1），
故选：B．
【点评】本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y＝a（x﹣h）2+k的顶点
坐标为（h，k）是解题的关键．
2．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sinA的值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】利用正弦函数的定义即可直接求解．
【解答】解：sinA＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3．（4分）已知△ABC∽△DEF，点A、B、C对应点分别是D、E、F，AB：DE＝9：4，
那么S ：S 等于（ ）
△ABC △DEF
第7页（共28页）A．3：2 B．9：4 C．16：81 D．81：16
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，AB：DE＝9：4，
∴S ：S ＝81：16．
△ABC △DEF
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
4．（4分）正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．5
【考点】MM：正多边形和圆．
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【分析】设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值
即可．
【解答】解：设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴ ＝36°，解得n＝10．
故选：A．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形每一边所对的圆心角叫做正
多边形的中心角是解答此题的关键．
5．（4分）已知 M与 N的半径分别为1和5，若两圆相切，那么这两圆的圆心距
MN的长等于（ ）
⊙ ⊙
A．4 B．6 C．4或5 D．4或6
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】外切时，圆心距为1+5＝6；内切时，圆心距5﹣1＝4．
【解答】解：∵两圆相切，
∴两圆可能外切和内切，
∴外切时，圆心距为1+5＝6；
内切时，圆心距为5﹣1＝4．
∴圆心距为6或4．
故选：D．
【点评】考查了圆与圆的位置关系，本题用到的知识点为：两圆外切，圆心距＝两
第8页（共28页）圆半径之和．两圆内切，圆心距＝两圆半径之差．
6．（4分）已知反比例函数y＝ （a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减
小，那么二次函数y＝ax2﹣ax的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】G4：反比例函数的性质；H2：二次函数的图象．
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【分析】根据反比例函数的增减性判断出a＞0，再根据二次函数的性质判定即可．
【解答】解：∵反比例函数y＝ （a≠0），当x＞0时，它的图象y随x的增大而减小，
∴a＞0，
∴二次函数y＝ax2﹣ax图象开口向上，
对称轴为直线x＝﹣ ＝ ．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象，反比例函数的性质，熟记性质并判断出a＞0
是解题的关键．
二、填空题（共12小题，每小题4分，满分48分）
7．（4分）已知 ，则 ＝ ﹣ ．
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据合分比定理[如果a：b＝c：d那么（a+b）：（a﹣b）＝（c+d）：（c﹣d））
（b、d、a﹣b、c﹣d≠0）]来解答即可．
第9页（共28页）【解答】解：由已知，得
，
即 ＝﹣ ．
【点评】本题主要考查的是合分比定理：一个比例里，第一个前后项之和与它们的
差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比．这叫做比例中的合分比
定理．
8．（4分）计算：2（2 ﹣ ）+3（ ﹣ ）＝ 7 ﹣ 3 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案，注意去括号时符
号的变化．
【解答】解：2（2 ﹣ ）+3（ ﹣ ）＝4 ﹣2 +3 ﹣ ＝7 ﹣3 ．
故答案为：7 ﹣3 ．
【点评】此题考查了平面向量的运算．此题难度不大，注意掌握平面向量的运算法
则是解此题的关键．
9．（4分）将抛物线y＝2（x﹣1）2+1向上平移3个单位，那么平移后得到的抛物线
的解析式是 y ＝ 2 （ x ﹣ 1 ） 2 + 4 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不
变可得新抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝2（x﹣1）2+1的顶点坐标是（1，1），
则抛物线y＝2（x﹣1）2+1向上平移3个单位后的顶点坐标是（1，4），
所以，平移后得到的抛物线的解析式是y＝2（x﹣1）2+4．
故答案为：y＝2（x﹣1）2+4．
【点评】此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加
右减，上加下减．
10．（4分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，若AD＝
4，BD＝2，DE＝3，那么BC＝ 4. 5 ．
第10页（共28页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】如图，证明△ADE∽△ABC，得到 ，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，而AD＝4，BD＝2，DE＝3，
∴BC＝4.5，
故答案为4.5．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；灵活运用相似
三角形的判定及其性质是解题的基础和关键．
11．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC：BC＝3：4，那么cosA的值为 ．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据题意设AC＝3x，BC＝4x，故AB＝5x，进而利用锐角三角函数关系求
出答案．
【解答】解：如图所示：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC：BC＝3：4，
∴设AC＝3x，BC＝4x，故AB＝5x，
则cosA＝ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
第11页（共28页）【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确记忆锐角三角函数关系是解题
关键．
12．（4分）已知 O的半径为5，点A在 O外，那么线段OA的取值范围是 OA
＞ 5 ．
⊙ ⊙
【考点】M8：点与圆的位置关系．
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【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系，
设点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，
点在圆内．
【解答】解：∵ O的半径为5，点A在 O外，
∴线段OA的取值范围是OA＞5．
⊙ ⊙
故答案为：OA＞5．
【点评】考查了点与圆的位置关系，判断点与圆的位置关系，也就是比较点与圆心
的距离和半径的大小关系．
13．（4分）如图，斜坡AB的坡度i＝1：3，该斜坡的水平距离AC＝6米，那么斜坡
AB的长等于 2 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】直接利用坡度的定义，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫
做坡比，进而得出答案．
【解答】解：∵斜坡AB的坡度i＝1：3，
∴ ＝ ，
∵该斜坡的水平距离AC＝6米，
∴ ＝ ，
第12页（共28页）解得：BC＝2，
则斜坡AB的长为： ＝2 （m）．
故答案为：2 ．
【点评】此题主要考查了坡度的定义，正确把握定义是解题关键．
14．（4分）如图，已知直线AB与 O相交于A、B两点，∠OAB＝30°，半径OA＝
2，那么弦AB＝ 2 ．
⊙
【考点】KO：含30度角的直角三角形；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】过O作OC⊥AB于C，根据垂直和垂径定理求出AB＝2AC，∠OCA＝90°，
根据含30度角的直角三角形性质求出OC＝1，根据勾股定理求出AC，即可得
出答案．
【解答】解：
过O作OC⊥AB于C，
则AB＝2AC，∠OCA＝90°，
∵OA＝2，∠OAB＝30°，
∴OC＝1，由勾股定理得：AC＝ ＝ ，
∴AB＝2AC＝2 ，
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了垂径定理，含30度角的直角三角形性质，勾股定理的应用，解
此题的关键是正确作出辅助线后求出AC的长和得出AB＝2AC，注意：垂直于
弦的直径平分这条弦．
第13页（共28页）15．（4分）已知 A与 B的半径分别为3和2，若两圆相交，那么这两圆的圆心
距AB的取值范围是 1 ＜ AB ＜ 5 ．
⊙ ⊙
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】两圆相交时，圆心距介于两圆半径的差与和之间．
【解答】解：∵两圆半径分别为2、3，
3﹣2＝1，3+2＝5，
∵两圆相交
∴1＜AB＜5，
故答案为：1＜AB＜5．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，利用了两圆相交时，圆心距介于两圆半径
的差与和之间的性质求解．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，CD＝4，cosA＝ ，那么
BC＝ 6 ．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】先利用同角的余角相等，得出∠A＝∠BCD，然后利用三角函数求出BC
的值即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝∠A，
∴cos∠BCD＝cosA＝ ，
在Rt△BCD中，cos∠BCD＝ ＝ ，
所以BC＝6．
第14页（共28页）故答案为：6．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是利用同角的余角相等，得出
∠A＝∠BCD．
17．（4分）如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AD、BE相交于
G．设 ＝ ， ＝ ，那么 ＝ ﹣ （用 、 的式子表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由AD、BE分别是边BC、AC上的中线，可求得 的长，然后由三角形法则，
求得 ．
【解答】解：∵AD、BE分别是边BC、AC上的中线，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，
注意掌握数形结合思想的应用．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕着点C旋
转90°，点A、B的对应点分别是D、E，那么tan∠ADE的值 7 或 ．
第15页（共28页）【考点】R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据勾股定理计算出AB＝5，然后分类讨论：
当△ABC绕着点C顺时针旋转90°，点A、B的对应点分别是D、E，如图1，作
EH⊥AD于H，根据旋转的性质得CE＝CB＝3，CD＝CA＝4，∠ACD＝90°，则
AE＝AC﹣CE＝1，可判断△ACD为等腰直角三角形，则AD＝ CD＝4 ，
∠CAD＝45°，接着判断△AEH为等腰直角三角形得到AH＝EH＝ AE＝
，于是可计算出 DH＝AD﹣AH＝ ，然后利用正切的定义可计算出
tan∠ADE的值；
当△ABC绕着点C逆时针旋转90°，点A、B的对应点分别是D、E，如图2，延长
AB交DE于H，根据旋转的性质得CD＝CA＝4，CE＝CB＝3，DE＝AB＝5，
∠ACD＝90°，AH⊥DE，则DB＝CD﹣BC＝1，利用面积法可计算出AH＝ ，
则BH＝AH﹣AB＝ ，再在Rt△BDH中利用勾股定理计算出DH＝ ，然后在
Rt△ADH中利用正切的定义求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则AB＝ ＝5，
当△ABC绕着点C顺时针旋转90°，点A、B的对应点分别是D、E，如图1，作
EH⊥AD于H，
∴CE＝CB＝3，CD＝CA＝4，∠ACD＝90°，
∴AE＝AC﹣CE＝1，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AD＝ CD＝4 ，∠CAD＝45°，
∴△AEH为等腰直角三角形，
∴AH＝EH＝ AE＝ ，
∴DH＝AD﹣AH＝4 ﹣ ＝ ，
第16页（共28页）∴tan∠ADE＝ ＝ ＝ ，
当△ABC绕着点C逆时针旋转90°，点A、B的对应点分别是D、E，如图2，延长
AB交DE于H，
∴CD＝CA＝4，CE＝CB＝3，DE＝AB＝5，∠ACD＝90°，AH⊥DE，
∴DB＝CD﹣BC＝1，
∵ AH•DE＝ AE•CD，
∴AH＝ ＝ ，
∴BH＝AH﹣AB＝ ，
在Rt△BDH中，∵DB＝1，BH＝ ，
∴DH＝ ＝ ，
在Rt△ADH中，tan∠ADH＝ ＝ ＝7，
即tan∠ADE＝7，
综上所述，tan∠ADE的值为 或7．
故答案为 或7．
第17页（共28页）【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三
角形的性质和锐角三角函数的定义．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：|2sin45°﹣tan45°|+ ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可．
【解答】解：原式＝|2× ﹣1|+
＝ ﹣1+
＝ ．
【点评】此题主要考查了特殊家的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
20．（10分）如图，△ABC中，PC平分∠ACB，PB＝PC．
（1）求证：△APC∽△ACB；
（2）若AP＝2，PC＝6，求AC的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）证明∠B＝∠ACP，结合∠A＝∠A，即可解决问题．
（2）由△APC∽△ACB，得到 ，利用AP＝2，PC＝6，AB＝8，即可解决问题．
第18页（共28页）【解答】解：（1）∵PB＝PC，
∴∠B＝∠PCB；
∵PC平分∠ACB，
∴∠ACP＝∠PCB，∠B＝∠ACP，
∵∠A＝∠A，
∴△APC∽△ACB．
（2）∵△APC∽△ACB，
∴ ，
∵AP＝2，PC＝6，AB＝8，
∴AC＝4．
∵AP+AC＝PC＝6，
这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾，
∴该题无解．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似
三角形的判定及其性质是灵活运用、解题的基础和关键．
21．（10分）如图，小明在广场上的C处用测角仪正面测量一座楼房墙上的广告屏
幕AB的长度，测得屏幕下端B处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进10
米到达D处，又测得该屏幕上端A处的仰角为45°，已知该楼高18.7米，测角
仪MC、ND的高度为1.7米，求广告屏幕AB的长．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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第19页（共28页）【分析】过点N作NF⊥AE于点F，设BF＝x，根据题意可知∠BMF＝30°，∠ANF
＝45°，分别在Rt△BMF和Rt△ANF中求出MF、AF的长度，根据楼高为18.7
米可得AF+EF＝18.7米，代入求出x的值，继而可求得AB的长度．
【解答】解：过点N作NF⊥AE于点F，
则四边形NDEF为矩形，ND＝EF，
设BF＝x米，
在Rt△BMF中，
∵∠BMF＝30°，
∴MF＝ BF＝ x，
∵MN＝10米，
∴NF＝ x﹣10，
∵∠ANF＝45°，
∴AF＝NF＝ x﹣10，
∴ x﹣10+1.7＝18.7，
解得：x＝9 ，
则AB＝AF﹣BF＝17﹣9 ．
即广告屏幕AB的长度为（17﹣9 ）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡度和仰角构
造直角三角形，利用三角函数的知识求解，难度一般．
22．（10分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝a（x﹣
3）2﹣1，且平移后的抛物线经过点A（2，1）．
（1）求平移后抛物线的解析式；
（2）设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后抛物线的对称轴与x轴交于
点M，求△BPM的面积．
第20页（共28页）【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】（1）把点A代入平移后的抛物线y＝a（x﹣3）2﹣1来求a的值；
（2）根据平移前、后的函数解析式，然后求出B、P、M三点的坐标，根据三角形的
面积公式即可求出△BPM的面积．
【解答】解：（1）把点A（2，1）代入y＝a（x﹣3）2﹣1，得
1＝a（2﹣3）2﹣1，
整理，得
1＝a﹣1，
解得 a＝2．
则平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1；
（2）由（1）知，平移后的抛物线解析式为：y＝2（x﹣3）2﹣1，则M（3，0）
∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）向右平移2个单位得到抛物线y＝2（x﹣3）2﹣1，
∴平移前的抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣1．
∴P（1，﹣1）．
令x＝0，则y＝1．
故B（0，1），
∴BM＝
易推知BM2＝BP2+PM2，即△BPM为直角三角形，
∴S ＝ BP•MP＝ × × ＝ ．
△BPM
第21页（共28页）【点评】本题主要考查了二次函数解析式的确定、图形的面积求法、函数图象交点
等知识及综合应用知识、解决问题的能力．
23．（12 分）已知 O 与 O 相离，OC 与 O D 分别是 O 与 O 的半径，
1 1 1
OC∥O D，直线CD交OO 于点P，交 O于点A，交 O 于点B．
1 ⊙ ⊙1 ⊙1 ⊙
求证：
⊙ ⊙
（1）OA∥O B；
1
（2） ＝ ．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）证明∠OAC＝∠O BD，即可解决问题．
1
（2）证明△APO∽△BPO ，得到 ；证明△OAC∽△O BD，得到 ，
1 1
即可解决问题．
【解答】解：（1）∵OC∥O D，
1
∴∠OCP＝∠O DP，
1
∴∠OCA＝∠O DB；
1
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OAC＝∠OCA，∠O DB＝∠O BD，
1 1
第22页（共28页）∴∠OAC＝∠O BD，
1
∴OA∥O B．
1
（2）∵∠OAC＝∠O BD，∠APO＝∠BPO ，
1 1
∴△APO∽△BPO ，
1
∴ ；
∵∠OAC＝∠O BD，∠OCA＝∠O DB，
1 1
∴△OAC∽△O BD，
1
∴ ，
∴ ＝ ．
【点评】该题以圆为载体，以考查圆的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知
识点为核心构造而成；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
24．（12分）如图，已知直线y＝2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y＝
ax2+bx+2（a≠0）经过点A和点B（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段AD上取一点F（点F不与点A重合）．过点F作x轴的垂线交抛物线
于点G、交x轴于点H．当FG＝GH时，求点H的坐标；
（3）设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线
段AB上，当△AEM与△BCM相似时，求点M的坐标．
第23页（共28页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据待定系数法，可得函数解析
式；
（2）根据自变量的值，可得相应函数值，根据FG＝GH，可得关于a的方程，解方
程，可得答案；
（3）根据相似三角形的性质，可得关于b的方程，解方程，可得答案．
【解答】解：（1）当y＝0时，2x+6＝0．解得x＝﹣3，即A（﹣3，0），
由抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣3，0）和点B（1，0），得
，
解得 ．
故抛物线为y＝﹣ x2﹣ x+2；
（2）设H点的坐标为（a，0），F（a，2a+6），G（a，﹣ a2﹣ a+2）．
由FG＝GH，得
2a+6＝2（﹣ a2﹣ a+2）．
化简，得2a2+7a+3＝0．
解得a＝﹣ ，a＝﹣3（不符合题意要舍去），
点H的坐标（﹣ ，0）；
第24页（共28页）（3）设M点坐标为（b，0），AM＝b+3，BM＝1﹣b，
抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，得
E（﹣1，4），C（0，2）．
由勾股定理，得
AE＝2 ，BC＝ ．
当△AEM∽△BCM时， ＝ ，即 ＝ ．
化简，得3b＝﹣1，解得b＝﹣ ，即M（﹣ ，0）；
当△AEM∽△BMC时， ＝ ，即 ＝ ，
化简，得b2+2b+7＝0．实数b不存在；
综上所述：M（﹣ ，0）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）
利用了线段中点的性质，（3）利用了相似三角形的性质．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点E，F分别在边BC、AC
上（点F不与点A、C重合）EF∥AB．把△ABC沿直线EF翻折，点C与点D重
合，设FC＝x．
（1）求∠B的余切值；
（2）当点D在△ABC的外部时，DE、DF分别交AB于M、N，若MN＝y，求y关于x
的函数关系式并写出定义域；
（3）（下列所有问题只要直接写出结果即可）以E为圆心、BE长为半径的 E与
边AC．
⊙
没有公共点时，求x的取值范围；
一个公共点时，求x的取值范围；
①
两个公共点时，求x的取值范围．
②
③
第25页（共28页）【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）作AH⊥BC，垂足为H，先求出BH，再根据勾股定理求出AH，即可得
出结果；
（2）先求出EC＝ ，BE＝12﹣ ，再求出ME＝BE＝12﹣ ，DM＝DE﹣ME
＝ x﹣12，然后由EF∥MN，得出比例式 ，即可求出y＝2x﹣10，（5＜x
＜10）；
（3）根据题意即可得出结果．
【解答】解：（1）作AH⊥BC，垂足为H，如图1所示：
∵AB＝AC＝10，BC＝12，
∴BH＝CH＝6，
∴AH＝ ＝8，
∴cotB＝ ；
（2）如图2所示：
∵EF∥AB，
∴ ，
即 ，
∴EC＝ ，
第26页（共28页）∴BE＝12﹣ ，
∵∠CEF＝∠DEF，EF∥AB，
∴∠BME＝∠DEF，∠CEF＝∠B，
∴∠BME＝∠B，
∴ME＝BE＝12﹣ ，
∴DM＝DE﹣ME＝ x﹣12，
∵EF∥MN，
∴ ，
即 ，
∴y＝2x﹣10，（5＜x＜10）；
（3） 当0＜x＜ 或 ＜x＜10时， E与边AC没有公共点；
① ⊙
当x＝ 或 ≤x＜5时， E与边AC有一个公共点；
② ⊙
当5≤x＜ 时， E与边AC有两个公共点．
③ ⊙
第27页（共28页）【点评】本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角函数以及圆的切线
等知识；构造直角三角形求三角函数和由平行线得出比例式是解题的关键．
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日期：2018/12/26 20:08:38；用户：甘磊；邮箱：orFmNt__mrhHvuyQQ587Kva-SkWk@weixin.jyeoo.com；学号：25899201
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