文档内容
2016 年上海市静安区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分） 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．（4分）下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+1=0 B． =1﹣x C． =0 D． =1
3．（4分）化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是（ ）
A． B． C．x﹣1 D．1﹣x
4．（4分）如果点A（2，m）在抛物线y=x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A
同时平移到点A′，那么A′坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，7） C．（5，4） D．（﹣1，4）
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（
）
A．m•tanα•cosα B．m•cotα•cosα
C． D．
6．（4分）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需
满足下列条件中的（ ）
A． = B． = C． = D． =
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分44分）
7．（4分）化简：（﹣2a2）3= ．
第1页（共27页）8．（4分）函数 的定义域是 ．
9．（4分）方程 =x﹣1的根为 ．
10．（4分）如果函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m
的取值范围为 ．
11．（4分）二次函数y=x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是 ．
12．（4分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称
轴的对称点坐标是 ．
13．（4分）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD
相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于 ．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是重心，如果sinA= ，BC=2，那么GC的长
等于 ．
15．（4分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，设 = ， = ，那么 =
．（用向量 ， 的式子表示）
16．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，sinB= ，那么
tan∠CDE= ．
17．（4分）将 ▱ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到
C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A的余弦值为 ．
第2页（共27页）三、解答题：（本大题7题，满分78分）
18．（10分）化简： ÷ ，并求当x= 时的值．
19．（10分）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0．
20．（10分）如图，直线y= x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的
点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα= ．
（1）求点B的坐标；
（2）求△OAB的面积．
21．（10分）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰
角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别
是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）
（备用数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50，cot26.6°=2.00；
sin33.7°=0.55，cos33.7°=0.83，tan33.7°=0.67，cot33.7°=1.50）
第3页（共27页）22．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD
与CE相交于点F，AE2=EF•EC．
（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；
（2）求证：AF•AD=AB•EF．
23．（12分）如图，直线y= x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象
与y轴相交于点C，与直线y= x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA=∠OCA．
（1）求点C的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式．
24．（14分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BC=10，cos∠ACB= ，点E在对角
线AC上，且CE=AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设
AD=x，△AEF的面积为y．
（1）求证：∠DCA=∠EBC；
（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．
第4页（共27页）第5页（共27页）2016 年上海市静安区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分） 的相反数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
【考点】28：实数的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】符号不同的两个数互为相反数，因此 的相反数为﹣ ，分母有理化得
﹣ ．
【解答】解：根据相反数定义得：
的相反数为：﹣ ，
分子分母同乘 得：﹣ ．
故选：D．
【点评】题目考查了相反数和最简二次根式的定义，学生在进行相反数转换后，不
要忘记对二次根式进行化简．
2．（4分）下列方程中，有实数解的是（ ）
A．x2﹣x+1=0 B． =1﹣x C． =0 D． =1
【考点】AA：根的判别式；AG：无理方程；B2：分式方程的解．
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【分析】A、根据△的值判断即可，
B、根据二次根式的意义判断即可；
C、根据分式方程的解的定义判断即可；
D、根据分式方程的解的定义判断即可．
【解答】解：A、∵△=1﹣4=﹣3＜0，
第6页（共27页）∴原方程无实数根，
B、当1﹣x＜0，即x＞1时，原方程无实数根，
C、当x2﹣x=0，即x=1，或x=0时，原方程无实数根，
D、∵ =1，
∴x=﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的根得判别式，无理方程的解，分式方程的解，
正确的解方程是解题的关键．
3．（4分）化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是（ ）
A． B． C．x﹣1 D．1﹣x
【考点】6F：负整数指数幂．
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【分析】根据a﹣p= （a≠0，p为正整数）先计算x﹣1，再计算括号里面的减法，然
后再次计算（ ）﹣1即可．
【解答】解：原式=（ ﹣1）﹣1
=（ ）﹣1
= ．
故选：A．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数为正整数指数的
倒数．
4．（4分）如果点A（2，m）在抛物线y=x2上，将抛物线向右平移3个单位后，点A
同时平移到点A′，那么A′坐标为（ ）
A．（2，1） B．（2，7） C．（5，4） D．（﹣1，4）
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】46：几何变换．
【分析】先把A（2，m）代入y=x2得m=4，于是得到A点坐标为（2，4），由于抛物线
第7页（共27页）向右平移3个单位，则抛物线上所有点都右平移3个单位，然后根据点平移的
规律可确定点A′坐标．
【解答】解：把A（2，m）代入y=x2得m=4，则A点坐标为（2，4），把点A（2，4）向右
平移3个单位后所得对应点A′的坐标为（5，4）．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
5．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，那么BC的长为（
）
A．m•tanα•cosα B．m•cotα•cosα
C． D．
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】2B：探究型．
【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，可以用含m和
α的三角函数值表示出CD，通过角相等，它们的三角函数值也相等，可以解答
本题．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是高，如果AD=m，∠A=α，
∴tanα= ，
∴CD=m•tanα，
∵∠ACB=∠A+∠B=90°，∠BDC=∠B+∠BCD=90°，∠A=α，
∴∠BCD=α，
∴cos∠BCD= ，
即cos ，
BC= ．
故选：C．
第8页（共27页）【点评】本题考查解直角三角函数，解题的关键是明确各个三角函数值的意义，利
用转化的思想找到所求问题需要的条件．
6．（4分）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需
满足下列条件中的（ ）
A． = B． = C． = D． =
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相
似，结合各选项即可得问题答案．
【解答】解：∵∠BAC=∠D， ，
∴△ABC∽△ADE．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有
两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比
相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分44分）
7．（4分）化简：（﹣2a2）3= ﹣ 8 a 6 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据积得乘方与幂的乘方的运算法则计算即可．
【解答】解：（﹣2a2）3=（﹣2）3•（a2）3=﹣8a6．
故答案为：﹣8a6．
【点评】本题主要考查的是积得乘方与幂的乘方的运算，掌握积得乘方与幂的乘
方的运算法则是解题的关键．
8．（4分）函数 的定义域是 x ≠ ﹣ 2 ．
第9页（共27页）【考点】62：分式有意义的条件；E4：函数自变量的取值范围．
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【专题】11：计算题．
【分析】分式有意义，分母不能为0，故分母x+2≠0，解得x的范围．
【解答】解：根据题意得：x+2≠0
解得x≠﹣2．
故答案为x≠﹣2．
【点评】本题考查了函数自变量取值范围的求法．分式有意义，分母不能为0．
9．（4分）方程 =x﹣1的根为 4 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先根据二次根式的基本性质得出x的取值范围，将无理方程两边平方取
消二次根号，整理得一元二次方程，解一元二次方程，将解代回x的取值范围
验算即可得出答案．
【解答】解：由二次根式性质得：
x+5≥0且x﹣1≥0，
∴x≥1．
将 =x﹣1两边平方得：
x+5=x2﹣2x+1，
整理得：x2﹣3x﹣4=0，
分解因式：（x﹣4）（x+1）=0，
得：x =4，x =﹣1，
1 2
∵x≥1，
∴x=4．
故答案为：4．
【点评】题目考查了无理方程的求解和二次根式的性质，求解无理方程常用的方
法是平方法，不过求出的解一定要带回无理方程进行验算，看是否符合二次根
式的性质．
10．（4分）如果函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，那么常数m
的取值范围为 1 ＜ m ＜ 3 ．
【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．
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第10页（共27页）【分析】根据一次函数的性质列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y=（m﹣3）x+1﹣m的图象经过第二、三、四象限，
∴ ，
解得1＜m＜3．
故答案为：1＜m＜3．
【点评】本题考查的是一次函数的图象上与系数的关系，熟知一次函数y=kx+b
（k≠0）中，当k＜0，b＜0时，函数图象经过第二、三、四象限是解答此题的关键．
11．（4分）二次函数y=x2﹣6x+1的图象的顶点坐标是 （ 3 ，﹣ 8 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】利用配方法将一般式转化为顶点式，即可得出顶点坐标．
【解答】解：∵y=x2﹣6x+1=（x﹣3）2﹣8，
∴抛物线顶点坐标为（3，﹣8）．
故答案为：（3，﹣8）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶点坐
标为（h，k）是解决问题的关键．
12．（4分）如果抛物线y=ax2﹣2ax+5与y轴交于点A，那么点A关于此抛物线对称
轴的对称点坐标是 （ 2 ， 5 ） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】首先求得点A的坐标为（0，5），抛物线y=ax2﹣2ax+5对称轴为x=﹣
=1，进一步利用二次函数的对称性求得点 A关于此抛物线对称轴的对称点坐
标是即可．
【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣2ax+5与y轴交于点A坐标为（0，5），对称轴为x=﹣
=1，
∴点A（0，5）关于此抛物线对称轴的对称点坐标是（2，5）．
故答案为：（2，5）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得对称
轴，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
第11页（共27页）13．（4分）如图，已知D、E分别是△ABC的边AB和AC上的点，DE∥BC，BE与CD
相交于点F，如果AE=1，CE=2，那么EF：BF等于 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由DE∥BC，证得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得到 = ，
由于△DEF∽△BCF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AE=1，CE=2，
∴AC=3，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ = ，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ = ，
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练正确相似三角形的判定和性
质是解题的关键．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90°，点G是重心，如果sinA= ，BC=2，那么GC的长
等于 2 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】根据题意画出图形，根据sinA= ，BC=2可得出AB=3BC=6，利用直角三角
形的性质求出CE的长，根据三角形重心的性质即可得出结论．
第12页（共27页）【解答】解：如图所示，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA= ，BC=2，
∴AB=3BC=6．
∵点G是重心，
∴CD为△ABC的中线，
∴CD= AB=3，
∴CG= CD= ×3=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形的重心，根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义
求出AB的长是解答此题的关键．
15．（4分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，设 = ， = ，那么 = ﹣
﹣ ．（用向量 ， 的式子表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先根据题意画出图形，然后过点D作DE∥AB，交BC于点E，易得四边形
ABCD是平行四边形，则可求得 与 ，再利用三角形法则求解即可求得答案．
【解答】解：如图，过点D作DE∥AB，交BC于点E，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BE=AD，DE=AB，
∵BC=2AD， = ， = ，
∴ = = ， = = ，
∴ =﹣ =﹣（ + ）=﹣（ + ）=﹣ ﹣ ．
第13页（共27页）故答案为：﹣ ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及平行四边形的判定与性质．注意结合题
意画出图形，利用图形求解是关键．
16．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，sinB= ，那么
tan∠CDE= ．
【考点】L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】首先由已知条件和勾股定理计算 CE=5，所以 CD=AB，进而得到
∠CDE=∠CED=∠ADE，所以tan∠CDE=tan∠ADE，于是得到结论．
【解答】解：在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，sinB= ，∴BE=3，AE=4．
∴EC=BC﹣BE=8﹣3=5．
∵平行四边形ABCD，
∴CD=AB=5．
∴△CED为等腰三角形．
∴∠CDE=∠CED．
∵AD∥BC，
∴∠ADE=∠CED．
∴∠CDE=∠ADE．
在Rt△ADE中，AE=4，AD=BC=8，
∴tan∠CDE= = ，
第14页（共27页）故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形的运用、勾股定理的运用、平行四边形的性质和
等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找到图形中相等的角．
17．（4分）将 ▱ABCD（如图）绕点A旋转后，点D落在边AB上的点D′，点C落到
C′，且点C′、B、C在一直线上．如果AB=13，AD=3，那么∠A的余弦值为 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据平行四边形的性质得∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，再由AB′∥C′D′
得∠D′AB′=∠BD′C′，加上∠C=∠DAB，则∠C=∠BD′C′，接着由点C′、B、C在一直
线上，AB∥CD得到∠C=∠C′BD′，所以∠C′BD′=∠BD′C′，可判断△C′BD′为等腰三
角形，作 C′H⊥D′B，根据等腰三角形的性质得 BH=D′H，由于 BD′=10 得到
D′H=5，然后根据余弦的定义得到cos∠HD′C′= ，由此得到∠A的余弦值．
【解答】解：∵ ▱ABCD绕点A旋转后得到 ▱AB′C′D′，
∴∠DAB=∠D′AB′，AB=AB′=C′D′=13，
∵AB′∥C′D′，
∴∠D′AB′=∠BD′C′，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠C=∠DAB，
∴∠C=∠BD′C′，
∵点C′、B、C在一直线上，
而AB∥CD，
∴∠C=∠C′BD′，
第15页（共27页）∴∠C′BD′=∠BD′C′，
∴△C′BD′为等腰三角形，
作C′H⊥D′B，则BH=D′H，
∵AB=13，AD=3，
∴BD′=10，
∴D′H=5，
∴cos∠HD′C′= = ，
即∠A的余弦值为 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形
的性质．解决本题的关键是证明△C′BD′为等腰三角形．
三、解答题：（本大题7题，满分78分）
18．（10分）化简： ÷ ，并求当x= 时的值．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即
可．
【解答】解：原式= •
= ，
第16页（共27页）当x= 时，原式= =7．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
19．（10分）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3=0．
【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．
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【分析】首先把方程的二次项系数化为1，移项，然后在方程的左右两边同时加上
一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方
根的定义即可求解．
【解答】解：2x2﹣3x﹣3=0，
x2﹣ x﹣ =0，
x2﹣ x+ = + ，
（x﹣ ）2= ，
x﹣ =± ，
解得：x = ，x = ．
1 2
【点评】此题考查利用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程时，最好
使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
20．（10分）如图，直线y= x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的
点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα= ．
（1）求点B的坐标；
（2）求△OAB的面积．
第17页（共27页）【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）用直线求出点A坐标为（3，4），反比例函数解析式y= ，设点B坐标
为（x， ），tanα= ，得出 = ，x=6，得出B点坐标（6，2）；
（2）过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，将三角形OAB分为两个三角形，分别求解
即可．
【解答】解：（1）∵直线y= x与反比例函数的图象交于点A（3，a），
∴A（3，4），
反比例函数解析式y= ，
∵点B在这个反比例函数图象上，
设B（x， ），
∵tanα= ，
∴ = ，
解得：x=±6，
∵点B在第一象限，
∴x=6，
∴B（6，2）．
答：点B坐标为（6，2）．
第18页（共27页）（2）设直线OB为y=kx，（k≠0），
将点B（6，2）代入得：k= ，
∴OB直线解析式为：y= x，
过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如下图：
则点C坐标为：（3，1），
∴AC=3
S
△OAB的面积
=S +S ，
△OAC的面积 △ACB的面积
= ×|AC|×6
=9．
△OAB的面积为9．
【点评】题目考查了一次函数与反比例函数的基本性质．求函数解析式及函数交
点是函数常见问题．题目整体较为简单，学生在解决（2）中的面积问题可以利
用多种方法求解．
21．（10分）如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰
角是26.6°，向前走30米到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别
是45°和33.7°，求该电线杆PQ的高度（结果精确到1米）
（备用数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50，cot26.6°=2.00；
sin33.7°=0.55，cos33.7°=0.83，tan33.7°=0.67，cot33.7°=1.50）
第19页（共27页）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据
三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE﹣BE即可列出方程求得x的值，
再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．
在直角△ABE中，∠PBE=45°，
则BE=PE=x米；
∵∠PAE=26.6°
在直角△APE中，AE=PE•cot∠PAE≈2x，
∵AB=AE﹣BE=30米，
则2x﹣x=30，
解得：x=30．
则BE=PE=30米．
在直角△BEQ中，QE=BE•tan∠QBE=30×tan33.7°=30×0.67≈20.1米．
∴PQ=PE﹣QE=30﹣20=10（米）．
答：电线杆PQ的高度是10米．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，注意掌握当两个直角三角形有公共边时，
先求出这条公共边的长是解答此类题的一般思路．
22．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AB上，BD=AD=AC，AD
与CE相交于点F，AE2=EF•EC．
（1）求证：∠ADC=∠DCE+∠EAF；
第20页（共27页）（2）求证：AF•AD=AB•EF．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，推出
△EAF∽△ECA，根据相似三角形的性质得到∠EAF=∠ECA，于是得到
∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；
（2）根据相似三角形的性质得到 ，即 ，推出△FAE∽△ABC，根据相
似三角形的性质得到 ，于是得到FA•AC=EF•AB，等量代换即可得到结论
【解答】证明：（1）∵BD=AD=AC，
∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠ACD，
∵AE2=EF•EC，
∴ ，
∵∠E=∠E，
∴△EAF∽△ECA，
∴∠EAF=∠ECA，
∴∠ADC=∠ACD=∠ACE+∠ECB=∠DCE+∠EAF；
（2）∵△EAF∽△ECA，
∴ ，即 ，
∵∠EFA=∠BAC，∠EAF=∠B，
∴△FAE∽△ABC，
∴ ，
第21页（共27页）∴FA•AC=EF•AB，
∵AC=AD，
∴AF•AD=AB•EF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角
的性质，证得△EAF∽△ECA是解题的关键．
23．（12分）如图，直线y= x+1与x轴、y轴分别相交于点A、B，二次函数的图象
与y轴相交于点C，与直线y= x+1相交于点A、D，CD∥x轴，∠CDA=∠OCA．
（1）求点C的坐标；
（2）求这个二次函数的解析式．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）首先利用一次函数解析式计算出A、B两点坐标，然后再根据平行线
的性质可得∠ACO=∠BAO，再利用三角函数可得CO长，进而可得C点坐标；
（2）首先证明△CBD∽△OBA，根据相似三角形的性质可得 = ，然后可得D点
坐标，再设出二次函数解析式，利用待定系数法求出解析式即可．
【解答】解：（1）∵函数y= x+1中，当y=0时，x=﹣2，
∴A（﹣2，0），
∵函数y= x+1中，当x=0时，y=1，
∴B（0，1），
∵CD∥x轴，
∴∠BAO=∠ADC，
第22页（共27页）∵∠CDA=∠OCA，
∴∠ACO=∠BAO，
∴tan∠ACO=tan∠BAO= ，
∴CO=4，
∴C（0，4）；
（2）∵∠AOB=∠OCD=90°，∠BAO=∠BDC=90°，
∴△CBD∽△OBA，
∴ = ，
∴ = ，
∴CD=6，
∴D（6，4），
设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
∵图象经过A（﹣2，0），D（6，4），C（0，4），
∴ ，
解得： ．
∴二次函数的解析式为y=﹣ x2+ x+4．
【点评】此题主要考查了一次函数、二次函数以及相似三角形和三角函数的综合
应用，关键是掌握一次函数与坐标轴交点的求法，以及待定系数法求二次函数
解析式的方法．
24．（14分）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=BC=10，cos∠ACB= ，点E在对角
线AC上，且CE=AD，BE的延长线与射线AD、射线CD分别相交于点F、G，设
AD=x，△AEF的面积为y．
第23页（共27页）（1）求证：∠DCA=∠EBC；
（2）如图，当点G在线段CD上时，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（3）如果△DFG是直角三角形，求△AEF的面积．
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】（1）由AD与BC平行，得到一对内错角相等，再由AD=CE，AC=BC，利用
SAS可得△DCA≌△ECB，由全等三角形的性质可得结论；
（2）由AD与BC平行，得到三角形AEF与三角形CEB相似，由相似得比例表示出
AF，过E作EH垂直于AF，根据锐角三角函数定义表示出EH，进而表示出y与x
的函数解析式，并求出x的范围即可；
（3）分两种情况考虑：①当∠FDG=90°时，如图2所示，在直角三角形ACD中，利用
锐角三角函数定义求出AD的长，即为x的值，代入求出y的值，即为三角形
AEF面积；②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，由相似列出
关于x的方程，求出方程的解得到x的值，进而求出y的值，即为三角形AEF面
积．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ECB，
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴∠DCA=∠EBC；
（2）∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
第24页（共27页）∴ ，即 ，
解得：AF= ，
作EH⊥AF于H，如图1所示，
∵cos∠ACB= ，
∴EH= AE= （10﹣x），
∴y=S = × （10﹣x）× = ，
△AEF
∴y= ，
∵点G在线段CD上，
∴AF≥AD，即 ≥x，
∴x≤5 ﹣5，
∴0＜x≤5 ﹣5，
∴y关于x的函数解析式为：y= ，（0＜x≤5 ﹣5）；
（3）分两种情况考虑：
①当∠FDG=90°时，如图2所示：
第25页（共27页）在Rt△ADC中，AD=AC× =8，即x=8，
∴S =y= = ；
△AEF
②当∠DGF=90°时，过E作EM⊥BC于点M，如图3所示，
由（1）得：CE=AF=x，
在Rt△EMC中，EM= x，MC= x，
∴BM=BC﹣MC=10﹣ x，
∵∠GCE=∠GBC，∠EGC=∠CGB，
∴△CGE∽△BGC，
∴ = ，即 = ，
∵∠EBM=∠CBG，∠BME=∠BGC=90°，
∴△BME∽△BGC，
∴ = = ，
第26页（共27页）∴ = ，即x=5，
此时y= =15，
综上，此时△AEF的面积为 或15．
【点评】此题属于相似型综合题，涉及的知识有：平行线的判定，全等三角形的判
定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，利用了分类讨论的
思想，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
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日期：2018/12/24 0:17:24；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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