文档内容
2016 年上海市闸北区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（4分）抛物线y=﹣2x2+3的顶点在（ ）
A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第四象限
3．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长上，下列给出的条件
中，不能判定DE∥BC的是（ ）
第1页（共28页）A．BD：AB=CE：AC B．DE：BC=AB：AD
C．AB：AC=AD：AE D．AD：DB=AE：EC
4．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（
）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，则
cot∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下说法不正确
的是（ ）
A．根据图象可得该函数y有最小值
B．当x=﹣2时，函数y的值小于0
C．根据图象可得a＞0，b＜0
第2页（共28页）D．当x＜﹣1时，函数值y随着x的增大而减小
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知 ，则 的值是 ．
8．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，当△ADE与△ABC的周长比为1：3时，那么
DE：BC= ．
9．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，点E和点F分别在AD和BC上，EF
是梯形ABCD的中位线，若 ， ，则用 表示 = ．
10．（4分）求值：sin60°﹣tan30°= ．
11．（4分）汽车沿着坡度为 1：7的斜坡向上行驶了 50米，则汽车升高了
米．
12．（4分）已知抛物线y=（m﹣1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取
值范围是 ．
13．（4分）周长为16的矩形的面积y与它的一条边长x之间的函数关系式为y=
．（不需要写出定义域）
14．（4分）在直角坐标系中，已知点P在第一象限内，点P与原点O的距离OP=2，
点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为60°，则点P的坐标是 ．
15．（4分）如图，正方形CDEF内接于Rt△ABC，点D、E、F分别在边AC、AB和BC
上，当AD=2，BF=3时，正方形CDEF的面积是 ．
第3页（共28页）16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠BAC=∠D，若AD=4，
BC=10，则AC= ．
17．（4分）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD
于点F，那么 = ．
18．（4分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿着过点A的折痕翻折，使点B落在AD
边上的点F，折痕交BC于点E，将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A的折痕
翻折，点E恰好与点D重合，此时折痕交DC于点G，则CG：GD的值为
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）解方程： ．
20．（10分）已知二次函数的图象的顶点在原点O，且经过点A（1， ）．
第4页（共28页）（1）求此函数的解析式；
（2）将该抛物线沿着y轴向上平移后顶点落在点P处，直线x=2分别交原抛物和
新抛物线于点M和N，且S = ，求：MN的长以及平移后抛物线的解析式．
△PMN
21．（10分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E是边BC的中
点，联结DE交AC于点G．设 = ， = ，
（1）试用 、 表示向量 ；
（2）试用 、 表示向量 ．
22．（10分）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍
保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角．树杆AB旁
有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE=6米，塔高DE=9米．在某一时刻的太阳
照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条
直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考
数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
23．（12分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一个动点
（不与A、B重合），作EF⊥AB交边BC于点F，联结AF、EC交于点G．
（1）求证：△BEC∽△BFA；
（2）若BE：EA=1：2，求∠ECF的余弦值．
第5页（共28页）24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点
B，与y轴交于点C（0，2），对称轴为直线x=1，对称轴交x轴于点E．
（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；
（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；
（3）连结BD，设点P在线段BD上，若△EBP与△ABD相似，求点P的坐标．
25．（14分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=10，M在边
CD上，且 ．
（1）如图①，联结BM，求证：BM⊥DC；
（2）如图②，作∠EMF=90°，ME交射线AB于点E，MF交射线BC于点F，若AE=x，
BF=y． 当点F在线段BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．
第6页（共28页）2016 年上海市闸北区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】
1．（4分）在下列四幅图形中，能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【考点】U5：平行投影．
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【分析】根据平行投影得特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；
利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断．
【解答】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以
A选项错误；
第7页（共28页）B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，所以B选项错误；
C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以C选项错误；
D、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳
光的照射下形成的影子就是平行投影．
2．（4分）抛物线y=﹣2x2+3的顶点在（ ）
A．x轴上 B．y轴上 C．第一象限 D．第四象限
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】因为y=﹣2x2+3可看作抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，得出顶
点坐标为（0，3），即可知顶点在y轴上．
【解答】解：抛物线y=﹣2x2+3是顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
顶点坐标为（0，3），即顶点在y轴上．
故选：B．
【点评】此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，
k），对称轴为x=h．也考查了y轴上点的坐标特征．
3．（4分）如图，已知点D、E分别在△ABC的边BA、CA的延长上，下列给出的条件
中，不能判定DE∥BC的是（ ）
A．BD：AB=CE：AC B．DE：BC=AB：AD
C．AB：AC=AD：AE D．AD：DB=AE：EC
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】由平行线分线段成比例定理的逆定理得出A、C、D正确，B不正确，即可得
出结论．
【解答】解：∵BD：AB=CE：AC，
∴DE∥BC，选项A正确；
第8页（共28页）∵DE：BC=AB：AD不能判定DE∥BC，
∴选项B不正确；
∵AB：AC=AD：AE，
∴DE∥BC，选项C正确；
∵AD：DB=AE：EC，
∴DE∥BC，选项D正确．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理；熟记平行线分线段成比
例定理的逆定理是解决问题的关键．
4．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB=4，那么AP的长是（
）
A． B． C． D．
【考点】S3：黄金分割．
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【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP= AB，代入数据即
可得出AP的长．
【解答】解：由于P为线段AB=4的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP=4× =2 ﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段
为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值
（ ）叫做黄金比．熟记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的 ，较
长的线段=原线段的 是解题的关键．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，则
cot∠BCD的值为（ ）
第9页（共28页）A． B． C． D．
【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】根据在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，可以得到∠A
和∠BCD的关系，由∠A的三角函数值可以得到∠BCD的三角函数值，从而可
以解答本题．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠B+∠A=90°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°，
∴∠B+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，
∴cot∠A= ，
∴cot∠BCD= ．
故选：C．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是找出各个角之间的关系，根据等角
的三角函数值相等，运用数学转化的思想进行解答问题．
6．（4分）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则以下说法不正确
的是（ ）
第10页（共28页）A．根据图象可得该函数y有最小值
B．当x=﹣2时，函数y的值小于0
C．根据图象可得a＞0，b＜0
D．当x＜﹣1时，函数值y随着x的增大而减小
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】由抛物线开口向上得a＞0，由当x=﹣2时，图象在x轴的下方，得出函数
值小于0，对称轴x=﹣1在y轴的左侧得b＞0，根据二次函数的性质可得当x＜
﹣1时，y随x的增大而减小；由此判定得出答案即可．
【解答】解：由图象可知：
A、抛物线开口向上，该函数y有最小值，此选项正确；
B、当x=﹣2时，图象在x轴的下方，函数值小于0，此选项正确；
C、对称轴x=﹣1，a＞0，则b＞0，此选项错误；
D、当x＜﹣1时，y随x的增大而减小正确，此选项．
故选：C．
【点评】此题考查二次函数的性质，根据图象判定开口方向，得出对称轴，利用二
次函数的增减性解决问题．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知 ，则 的值是 ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】根据等比性质： = ，可得答案．
⇒
【解答】解：由等比性质，得
= = ，
第11页（共28页）故答案为： ．
【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．
8．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，当△ADE与△ABC的周长比为1：3时，那么
DE：BC= 1 ： 3 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，如何根据相似三角形的性质即可解题．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ =△ADE的周长：△ABC的周长比=1：3．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性
质，本题中求证△ADE∽△ABC是解题的关键．
9．（4分）如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，点E和点F分别在AD和BC上，EF
是梯形ABCD的中位线，若 ， ，则用 表示 = 2 ﹣ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由在梯形 ABCD 中，AB∥CD，EF 是梯形 ABCD 的中位线，可得
EF∥AB∥CD，EF= （AB+CD），则可得 =2 ﹣ ，继而求得答案．
第12页（共28页）【解答】解：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF∥AB∥CD，EF= （AB+CD），
∴ =2 ﹣ =2 ﹣ ．
故答案为：2 ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及梯形的中位线的性质．注意能灵活应用
梯形中位线的性质是解此题的关键．
10．（4分）求值：sin60°﹣tan30°= ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据sin60°= ，tan30°= 得到原式= ﹣ ，然后通分合并即可．
【解答】解：原式= ﹣
= ﹣
= ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°= ，tan30°= ．也考查了二次
根式的运算．
11．（4分）汽车沿着坡度为1：7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了 5
米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据坡度即可求得坡角的正弦值，根据三角函数即可求解．
【解答】解：∵坡度为1：7，
∴设坡角是α，则sinα= =
第13页（共28页）∴上升的高度是：50× =5 （米）．
故答案是：5 ．
【点评】本题主要考查了坡度的定义，正确求得坡角的正弦值是解题的关键．
12．（4分）已知抛物线y=（m﹣1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，那么m的取
值范围是 m ＜ 1 ．
【考点】H7：二次函数的最值．
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【分析】根据二次函数y=（m+1）x2+2的顶点是此抛物线的最高点，得出抛物线开
口向下，即m+1＜0，即可得出答案．
【解答】解：∵抛物线y=（m﹣1）x2+4的顶点是此抛物线的最高点，
∴抛物线开口向下，
∴m﹣1＜0，
∴m＜1，
故答案为m＜1．
【点评】此题主要考查了利用二次函数顶点坐标位置确定图象开口方向，此题型
是中考中考查重点，同学们应熟练掌握．
13．（4分）周长为16的矩形的面积y与它的一条边长x之间的函数关系式为y=
8x﹣x 2 ．（不需要写出定义域）
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】首先根据矩形周长为16，一条边长x可表示出另一边长为8﹣x，再根据矩
形面积=长×宽列出函数解析式即可．
【解答】解：∵矩形周长为16，一条边长x，
∴另一边长为8﹣x，
∴面积：y=（8﹣x）x=8x﹣x2．
故答案为：8x﹣x2．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数解析式，关键是掌握矩形的面
积公式=长×宽．
14．（4分）在直角坐标系中，已知点P在第一象限内，点P与原点O的距离OP=2，
点P与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为60°，则点P的坐标是 （ 1 ， ）
．
第14页（共28页）【考点】D5：坐标与图形性质；T7：解直角三角形．
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【分析】作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角函数的定义求解．
【解答】解：作PM⊥x轴于点M，如图所示：
∵OP=2，
∴sin60°= = ，cos60°= = ，
∴PM= ，OM=1．
故P点坐标为：（1， ）．
故答案为：（1， ）．
【点评】本题考查了解直角三角形和坐标与图形性质的知识，难度不大，注意掌握
一个角的余弦和正弦的计算方法．
15．（4分）如图，正方形CDEF内接于Rt△ABC，点D、E、F分别在边AC、AB和BC
上，当AD=2，BF=3时，正方形CDEF的面积是 6 ．
【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据正方形的性质得到 DE∥BC，由平行线的性质得到∠AED=∠B，
∠ADE=∠EFB=90°，推出△ADE∽△BEF，根据相似三角形的性质得到 ，
代入数据即可得到结论．
【解答】解：∵四边形CDEF是正方形，
∴DE∥BC，
∴∠AED=∠B，∠ADE=∠EFB=90°，
第15页（共28页）∴△ADE∽△BEF，
∴ ，
即 ，
∴DE•EF=2×3=6，
∴正方形CDEF的面积是6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角
形的性质定理是解题的关键．
16．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BCD，∠BAC=∠D，若AD=4，
BC=10，则AC= 2 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据平行线的性质得出∠DAC=∠ACB，根据相似三角形的判定得出
△ADC∽△CAB，得出比例式，代入求出即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵∠BAC=∠D，
∴△ADC∽△CAB，
∴ = ，
∴ = ，
解得：AC=2 ．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行线的性质的应用，能求出
△ADC∽△CAB是解此题的关键．
17．（4分）如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD
第16页（共28页）于点F，那么 = ．
【考点】K5：三角形的重心；S4：平行线分线段成比例．
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【分析】由三角形的重心定理得出 = ， = ，由平行线分线段成比例定理得出
= ，即可得出结果．
【解答】解：∵线段AD、BE是△ABC的中线，
∴ = ， = ，
∵EF∥BC， = ，
∴ = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形的重心定理；熟练掌握三角
形的重心定理，由平行线分线段成比例定理得出FG：DG=1：2是解决问题的关
键
18．（4分）如图，将一张矩形纸片ABCD沿着过点A的折痕翻折，使点B落在AD
边上的点F，折痕交BC于点E，将折叠后的纸片再次沿着另一条过点A的折痕
翻折，点E恰好与点D重合，此时折痕交DC于点G，则CG：GD的值为 ．
第17页（共28页）【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】连接GE，由矩形的性质得出∠BAD=∠C=ADC=∠B=90°，AB=CD，AD=BC，由
折叠的性质得出∠DAG=∠EAG=22.5°，AG⊥DE，由线段垂直平分线的性质得出
GD=GE，得出∠GDE=∠GED=∠DAG=22.5°，由三角形的外角性质得出
∠CGE=45°，证出△CEG是等腰直角三角形，得出GD=GE= CG，即可得出结果．
【解答】解：如图所示：连接GE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=ADC=∠B=90°，AB=CD，AD=BC，
由折叠的性质得：∠DAE=∠BAE=45°，∠DAG=∠EAG=22.5°，AG⊥DE，
∴GD=GE，
∴∠GDE=∠GED=∠DAG=22.5°，
∴∠CGE=∠GDE+∠GED=45°，
∴△CEG是等腰直角三角形，
∴GD=GE= CG，
∴CG：GD= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、线段垂直平分线的性质、等腰
三角形的性质、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握
第18页（共28页）翻折变换和矩形的性质，证明△CEG是等腰直角三角形是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）解方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题；522：分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣5+x2﹣1=3x﹣3，
整理得：（x﹣3）（x+1）=0，
解得：x =3，x =﹣1，
1 2
经检验x=﹣1是增根，分式方程的解为x=3．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式
方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
20．（10分）已知二次函数的图象的顶点在原点O，且经过点A（1， ）．
（1）求此函数的解析式；
（2）将该抛物线沿着y轴向上平移后顶点落在点P处，直线x=2分别交原抛物和
新抛物线于点M和N，且S = ，求：MN的长以及平移后抛物线的解析式．
△PMN
【考点】H6：二次函数图象与几何变换；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】（1）根据题意可直接设y=ax2把点（1，﹣3）代入得a=﹣3，所以y=﹣3x2；
（2）设平移后y= x2+d（d＞0），则MN=d，根据题意得出S= ×2×d=3 ，即可求
得d的值，从而求得平移后的解析式．
【解答】解：（1）∵抛物线顶点是原点，可设y=ax2，
把点A（1， ）代入，得a=， ，
所以这个二次函数的关系式为y= x2；
（2）设平移后y= x2+d（d＞0），
第19页（共28页）∴MN=d，S= ×2×d=3 ，
∴d=3 ，
∴y= x2+3 ．
【点评】主要考查了用待定系数法求函数解析式以及二次函数的图象与几何变换
熟练掌握待定系数法和平移的规律是解题的关键．
21．（10分）如图，已知平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E是边BC的中
点，联结DE交AC于点G．设 = ， = ，
（1）试用 、 表示向量 ；
（2）试用 、 表示向量 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）由 = ， = ，利用三角形法则，可求得 ，又由四边形ABCD是平
行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得答案；
（2）易得△ADG∽△CEG，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AG：CG=AD：
CE=2：1，继而求得 ，则可求得答案．
【解答】解：（1）∵ = ， = ，
∴ = + = + ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ = = （ + ）= + ；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△ADG∽△CEG，
∴AG：CG=AD：CE，
∵点E是边BC的中点，
第20页（共28页）∴AD：CE=2：1，
∴AG：CG=2：1，
∴AG：AC=2：3，
∴ = = + ，
∴ = ﹣ = + ﹣ = ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识、相似三角形的判定与性质以及平行四边形
的性质．注意掌握三角形法则的应用是关键．
22．（10分）如图，一棵大树在一次强台风中折断倒下，未折断树杆AB与地面仍
保持垂直的关系，而折断部分AC与未折断树杆AB形成53°的夹角．树杆AB旁
有一座与地面垂直的铁塔DE，测得BE=6米，塔高DE=9米．在某一时刻的太阳
照射下，未折断树杆AB落在地面的影子FB长为4米，且点F、B、C、E在同一条
直线上，点F、A、D也在同一条直线上．求这棵大树没有折断前的高度．（参考
数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】由题意得出AB∥DE，证出△ABF∽△DEF，由相似三角形的性质得出
，求出AB，再由三角函数求出AC，即可得出结果．
【解答】解：根据题意得：AB⊥EF，DE⊥EF，
∴∠ABC=90°，AB∥DE，
∴△ABF∽△DEF，
∴ ，即 ，
解得：AB=3.6米，
第21页（共28页）∵cos∠BAC= ，
∴AC= ≈ =6（米），
∴AB+AC=3.6+6=9.6米．
答：这棵大树没有折断前的高度为9.6米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的应用；熟练掌握解直角三
角形，由相似三角形的性质求出AB是解决问题的关键．
23．（12分）如图，在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，点E是斜边AB上的一个动点
（不与A、B重合），作EF⊥AB交边BC于点F，联结AF、EC交于点G．
（1）求证：△BEC∽△BFA；
（2）若BE：EA=1：2，求∠ECF的余弦值．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据已知条件得到△BEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到
，根据相似三角形判定定理即可得到结论；
（2）由已知条件的 ，根据三角函数的定义得到tan∠EAF= ，根据相似三角
形的性质得到∠BAF=∠BCE，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AC=BC，∠BCA=90°，
∵EF⊥AB，
∴∠BEF=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△ABC，
∴ ，
第22页（共28页）∴△△BEC∽△BFA；
（2）∵BE=EF，BE：EA=1：2，
∴ ，
∴tan∠EAF= ，
设EF=k，AE=2k，
∴AF= ，
∵△BEC∽△BFA，
∴∠BAF=∠BCE，
∴cos∠ECF=cos∠EAF= = ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三
角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）和点
B，与y轴交于点C（0，2），对称轴为直线x=1，对称轴交x轴于点E．
（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；
（2）设点F在抛物线上，如果四边形AEFD是梯形，求点F的坐标；
（3）连结BD，设点P在线段BD上，若△EBP与△ABD相似，求点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据函数值相等的亮点关于对称轴对称，可得B点坐标，根据待定系
数法，可得函数解析式；
（2）根据平行线的一次项的系数相等，可得EF的解析式，根据解方程组，可得答
案；
（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得PB的长，根据
勾股定理，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐
第23页（共28页）标．
【解答】解：（1）由A、B关于x=1对称，得B（3，0），
设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c （a≠0），将A、B、C点坐标代入，得
，
解得 ．
抛物线的解析式为y=﹣ x2+ x+2，顶点坐标为D（1， ）；
（2）①当AE∥DF时，不存在，舍去；
②当AD∥EF时，AD的解析式为y= x+ ，
EF的解析式为y= x﹣ ，
联立得 ，解得 ，
F点坐标为（ ， ），
（3）∠PBE=∠DBA，如图：
BD的解析式为y=﹣ x+4，P在BD上，设P（m，﹣ m+4）
DB= = = ，BA=3﹣（﹣1）=4，BE=3﹣1=2．
①当△PBE∽△DBA时， = ，
第24页（共28页）即 = ，解得BP= ，
（3﹣m）2+（ m﹣4）2= ，
解得m=2，m=4（不符合题意，舍），
当m=2时，﹣ m+4= ，
P （2， ）；
1
②当△EBP∽△DBA时，
= ，
即 = ，
解得BP= ，
（3﹣m）2+（ m﹣4）2= ，
解得m= ，m= （不符合题意，舍），
当m= 时，﹣ m+4= ，
P （ ， ），
2
综上所述：P点坐标为P （2， ），P （ ， ）．
1 2
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等的两点关于对称轴对称得
出B点坐标是解题关键；利用平行线的一次项的系数相等得出EF的解析式是
解题关键；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出PB的
长是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
25．（14分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AD=4，AB=8，BC=10，M在边
第25页（共28页）CD上，且 ．
（1）如图①，联结BM，求证：BM⊥DC；
（2）如图②，作∠EMF=90°，ME交射线AB于点E，MF交射线BC于点F，若AE=x，
BF=y． 当点F在线段BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）若△MCF是等腰三角形，求AE的值．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）连接BD，作DN⊥BC于N，则四边形ABND是矩形，得出DN=AB=8，
BN=AD=4，求出CN=BC﹣BN=6，由勾股定理求出CD，得出CD=BC=10，由等腰三
角形的性质和平行线的性质得出∠ADB=∠DBC=∠BDC，求出DM=4=AD，由SAS
证明△ADB≌△MDB，得出对应角相等即可；
（2）由角的互余关系得出∠C=∠MBA，∠CMF=∠BME，证出△CMF∽△BME，得出
对应边成比例，即可得出结果；
（3）分两种情况：①当点E在线段AB上时，△CMF∽△BME，△CMF为等腰三角形，
得出△BME为等腰三角形，当BE=BM=8时，AE=0；当BM=ME时，由三角函数求
出BE= ＞AE，舍去；当BE=ME时，由三角函数求出BE= ，得出AE=AB﹣BE=
；
②当点E在BC延长线上时，同（2）可证△CMF∽△BME，△BME为等腰三角形，由
∠MBE＞90°，得出BE=BM=8，因此AE=16；即可得出结果．
【解答】（1）证明：连接BD，如图1所示：
作DN⊥BC于N，则∠DNC=90°，四边形ABND是矩形，
∴DN=AB=8，BN=AD=4，
∴CN=BC﹣BN=10﹣4=6，
第26页（共28页）CD= =10，
∴CD=BC=10，
∴∠DBC=∠BDC，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC=∠BDC，
∵ ，
∴DM=4=AD，
在△ADB和△MDB中，
，
∴△ADB≌△MDB（SAS），
∴∠DMB=∠A=90°，
BM=AB=8，
∴BM⊥DC；
（2）解：∵∠C=∠MBA=90°﹣∠MBC，
∠CMF=∠BME=90°﹣∠FMB，
∴△CMF∽△BME，
∴ ，
即 ，
解得：y= x+4（0≤x≤8）；
（3）解：分两种情况：
①当点E在线段AB上时，△CMF∽△BME，△CMF为等腰三角形，
∴△BME为等腰三角形，
当BE=BM=8时，AE=0；
当BM=ME时，BE=2×BM×cos∠MBA=2×8× = ＞AE，舍去
第27页（共28页）当BE=ME时，BE= = = ，
∴AE=AB﹣BE=8﹣ = ；
②当点E在BC延长线上时，如图2所示：
同（2）可证△CMF∽△BME，△BME为等腰三角形，
又∵∠MBE＞90°，
∴BE=BM=8，
∴AE=16．
综上所述：若△MCF是等腰三角形，AE的值为0或 或16．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了梯形的性质、相似三角形的判定与性质、
全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三
角函数等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要进行分类讨论才
能得出结果．
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日期：2018/12/24 0:17:32；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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