文档内容
2012年上海市宝山区中考数学一模试卷
一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各式中，正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a3﹣a2＝a
C．a2•a3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b2
2．（4分）下列各数中，是无理数的为（ ）
A． B． C． 0 D．cos60°
3．（4分）关于二次函数y＝﹣2x2+1的图象，π下列说法中，正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝1
B．顶点坐标为（﹣2，1）
C．可以由二次函数y＝﹣2x2的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
4．（4分）已知△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若△ABC和
△DEF的周长分别为24、36，又∵BC＝8，则下列判断正确的（ ）
A．DE＝12 B．EF＝12 C．DE＝18 D．EF＝18
5．（4分）飞机在空中测得地面上某观测目标A的俯角为 ，且飞机与目标A相距
12千米，那么这时飞机离地面的高度为（ ）
α
A．12sin B．12cos C．12tan D．12cot
6．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
α α α α
A．
B．
C．若 （k为实数），则 ∥
D．若 ，则 或
二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：3﹣2＝ ．
8．（4分）已知向量 、 满足 ，则 ＝ ．（用向量 表示）
9．（4分）分解因式：x4+x2﹣2＝ ．
10．（4分）已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的顶点是它的最高点，则a的取值范围是
第1页（共28页）．
11．（4分）如图，已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上平移，使平移后的抛物线经过
点A（1，3），那么平移后的抛物线的表达式是 ．
12．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+2的顶点为A，与y轴交于点B，C是其对称轴
上的一点，O为原点，若四边形ABOC是等腰梯形，则点C的坐标为 ．
13．（4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，连接AC、DE交于点
O．则 的值为 ．
14．（4分）已知一个斜坡的坡角为 ，坡度为1：3，则cot 的值为 ．
15．（4分）如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且DE∥AB，
α α
DF∥AC，若BD：DC＝1：2，△ABC的面积为9cm2，则四边形AEDF的面积为
cm2．
16．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若AB＝3，
CD＝1，那么∠A的正弦值为 ．
第2页（共28页）17．（4分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝2DB，AE＝
EC．若设 ， ，则 ＝ ．（用向量 、 表示）
18．（4分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝9， ，把△ABC 绕着点C旋转，
使得点A落在点A′，点B落在点B′．若点A′在边AB上，则点B、B′的距
离为 ．
三、（本大题共6题，第19--22题，每题8分；第23、24题，每题10分．满分52分）
19．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
20．（8分）已知 ，（1）求 的值； （2）若 ，求x值．
21．（8分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线
x＝1，
（1）求这个函数的解析式；
（2）指出该函数图象的开口方向和顶点坐标，并说明图象的变化情况．
22．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，满足∠EAF＝∠C，
求证：BF•CE＝AB2．
23．（10分）如图，已知△ABC的边BC长15厘米，高AH为10厘米，长方形
DEFG内接于△ABC，点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB、AC上．
（1）设DG＝x，长方形DEFG的面积为y，试求y关于x的函数解析式，并写出定
义域；
（2）若长方形DEFG的面积为36，试求这时 的值．
第3页（共28页）24．（10分）据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利
返航．已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10：
00巡逻船在A处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的C处有一个不明物体
正在向正东方向移动，10：15巡逻船在B处又测得该物体位于北偏东18.4°方
向的D处．若巡逻船的速度是每小时36海里，
（1）试在图中画出点D的大致位置，并求不明物体移动的速度；
（2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向和速度也不
变，试问什么时间该物体与我巡逻船之间的距离最近？
[备用数据：sin53.1°＝0.8，cos53.1°＝0.6，cot53.1°＝0.75；sin18.4°＝0.32，cos18.4°
＝0.95，cot18.4°＝3；]．
四、（本大题共2题，第25题12分，第26题14分，满分26分）
25．（12分）我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．
如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．
如图1，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两
坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实
数a、b，则有序数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标．
第4页（共28页）（1）如图2，已知斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，试在该坐标系中作出点A（﹣2，
2），并求点O、A之间的距离；
（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0）、点C（0，3），P（x，y）是线段BC
上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式；
（3）若问题（2）中的点P在线段BC的延长线上，其它条件都不变，试判断上述x、
y之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由．
26．（14分）如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分
别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于
点E，连接CD．
（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时 的值；
（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比
例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．
第5页（共28页）2012 年上海市宝山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各式中，正确的是（ ）
A．a2+a2＝2a4 B．a3﹣a2＝a
C．a2•a3＝a5 D．（a+b）2＝a2+b2
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；4C：完全平方公式．
菁优网版权所有
【分析】根据整式的加减，同底数幂的乘法法则，完全平方公式逐一检验．
【解答】解：A、a2+a2＝2a2，本选项错误；
B、a3与a2不是同类项，不能合并，本选项错误；
C、a2•a3＝a5，本选项正确；
D、（a+b）2＝a2+2ab+b2，本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，完全平方公式的运用．关键是
熟练掌握运算法则．
2．（4分）下列各数中，是无理数的为（ ）
A． B． C． 0 D．cos60°
【考点】24：立方根；26：无理数；6E：零指数幂；π 73：二次根式的性质与化简；T5：
特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】根据无理数的概念进行逐项分析解答即可．
【解答】解：A、 为无理数，故本选项正确，
B、 ，为有理数，故本选项错误，
C、 0＝1，为有理数，故本选项错误，
D、π cos60 ，为有理数，故本选项错误，
故选：A．
【点评】本题主要考查零指数幂、立方根、二次根式的性质与化简，特殊角的三角
第6页（共28页）函数值等知识点，关键在于正确掌握无理数的概念并熟练应用．
3．（4分）关于二次函数y＝﹣2x2+1的图象，下列说法中，正确的是（ ）
A．对称轴为直线x＝1
B．顶点坐标为（﹣2，1）
C．可以由二次函数y＝﹣2x2的图象向左平移1个单位得到
D．在y轴的左侧，图象上升，在y轴的右侧，图象下降
【考点】H3：二次函数的性质；H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】由二次函数y＝﹣2x2+1，可得其对称轴、顶点坐标；由二次项系数，可知图
象开口向下；对每个选项分析、判断即可；
【解答】解：A、由二次函数y＝﹣2x2+1得，对称轴为x＝0；故本项错误；
B、由二次函数y＝﹣2x2+1得，顶点坐标为（0，1）；故本项错误；
C、由二次函数y＝﹣2x2+1的图象可由二次函数y＝﹣2x2的图象向上平移1个单
位得到；故本项错误；
D、由二次函数y＝﹣2x2+1得，其开口向下，顶点为（0，1），则在y轴的左侧，图象
上升，在y轴的右侧，图象下降；故本项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及几何变换，应熟练掌握二次函数的性
质：顶点、对称轴的求法及图象的特点．
4．（4分）已知△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，若△ABC和
△DEF的周长分别为24、36，又∵BC＝8，则下列判断正确的（ ）
A．DE＝12 B．EF＝12 C．DE＝18 D．EF＝18
【考点】S7：相似三角形的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比求出△ABC与△DEF的相似比，然
后根据相似三角形对应边成比例列式即可求出EF的长，从而选择答案即可．
【解答】解：∵△ABC和△DEF的周长分别为24、36，
∴△ABC和△DEF的相似比为 ＝ ，
∴ ＝ ，
第7页（共28页）∵BC＝8，
∴ ＝ ，
解得EF＝12，
∵AB的边长不知道，
∴DE的长度无法求出．
故选：B．
【点评】本题主要考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质，相似三角形对
应边成比例的性质，找准对应边是解题的关键．
5．（4分）飞机在空中测得地面上某观测目标A的俯角为 ，且飞机与目标A相距
12千米，那么这时飞机离地面的高度为（ ）
α
A．12sin B．12cos C．12tan D．12cot
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
α α α α
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】已知直角三角形的一个锐角和斜边求锐角所对的直角边，运用三角函数
定义解答．
【解答】解：如图：BC为飞机离地面的高度，
所以在直角三角形ABC中，∠BAC＝ ，AB＝12，
则BC＝AB•sin ＝12sin ，
α
故选：A．
α α
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键要求学生借助俯角构造
直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
6．（4分）下列关于向量的说法中，不正确的是（ ）
A．
B．
C．若 （k为实数），则 ∥
D．若 ，则 或
第8页（共28页）【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】根据平面向量的性质分别进行解答，即可判断出正确答案．
【解答】解：A、根据数与向量的乘积的模等于该数与向量的模的乘积，即
，故本选项正确；
B、根据数与向量和的乘积等于该数与各个向量乘积的和，即 ，故
本选项正确；
C、若 （k为实数），可得 与 的方向相同或相反，均有 ∥ ，故本选项正确；
D、向量既有大小又有方向，假如 且 ，则 或且 ，故本
选项错误；
故选：D．
【点评】本题考查了平面向量，解题的关键是根据平面向量的性质进行解答，属于
中难度题．
二．填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：3﹣2＝ ．
【考点】6F：负整数指数幂．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数为正整数指数的倒数计算．
【解答】解：3﹣2＝ ．故答案为 ．
【点评】本题主要考查了负指数幂的运算，比较简单．
8．（4分）已知向量 、 满足 ，则 ＝ ．（用向量 表示）
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先去括号，然后根据向量的运算法则进行计算即可得出 的表示形式．
【解答】解：由题意得， ﹣ ＝ + ，
移项得， ＝﹣ ，
∴ ＝﹣ ．
第9页（共28页）故答案为：﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的运算，属于基础题，关键是掌握平面向量的运算方
法，难度一般．
9．（4分）分解因式：x4+x2﹣2＝ （ x 2 + 2 ）（ x + 1 ）（ x ﹣ 1 ） ．
【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．
菁优网版权所有
【分析】将x2看作整体，常数项﹣2可以写成﹣1×2，﹣1+2）＝1，符合x2+（p+q）
x+pq型的式子的因式分解，再利用平方差公式分解．
【解答】解：原式＝（x2+2）（x2﹣1），
＝（x2+2）（x+1）（x﹣1）．
故答案为：（x2+2）（x+1）（x﹣1）．
【点评】此题主要考查了二次三项式的分解因式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q），
将x2看作整体先因式分解是解题关键．
10．（4分）已知抛物线y＝（1﹣a）x2+1的顶点是它的最高点，则a的取值范围是
a ＞ 1 ．
【考点】H2：二次函数的图象；H3：二次函数的性质；H7：二次函数的最值．
菁优网版权所有
【专题】2B：探究型．
【分析】根据抛物线有最高点可知1﹣a＜0，求出a的取值范围即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（1﹣a）x2+1的顶点是它的最高点，
∴1﹣a＜0，解得a＞1．
故答案为：a＞1．
【点评】本题考查的是二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数的最值，
11．（4分）如图，已知抛物线y＝x2，把该抛物线向上平移，使平移后的抛物线经过
点A（1，3），那么平移后的抛物线的表达式是 y ＝ x 2 + 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
菁优网版权所有
【专题】25：动点型．
第10页（共28页）【分析】可设所求的函数解析式为y＝x2+k，把A坐标代入可得平移后的抛物线．
【解答】解：设所求的函数解析式为y＝x2+k，
∵点A（1，3）在抛物线上，
∴k＝2，
∴y＝x2+2．
故答案为：y＝x2+2．
【点评】考查二次函数的平移问题；用到的知识点为：上下平移不改变二次项系数
及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减．
12．（4分）已知抛物线y＝﹣x2+2x+2的顶点为A，与y轴交于点B，C是其对称轴
上的一点，O为原点，若四边形ABOC是等腰梯形，则点C的坐标为 （ 1 ，﹣
1 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；LJ：等腰梯形的
性质．
菁优网版权所有
【分析】由于y＝﹣x2+2x+2＝y＝﹣x2+2x﹣1+3＝﹣（x﹣1）2+3，由此得到A的坐标，
同时也可以得到B的坐标，而C是其对称轴上的一点，四边形ABOC是等腰梯
形，根据平移规律可以求出C′的坐标，然后利用对称性即可求出C的坐标．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+2＝y＝﹣x2+2x﹣1+3＝﹣（x﹣1）2+3，
∴A的坐标为（1，3），
当x＝0时，y＝2，
∴B的坐标为（0，2），
而C是其对称轴上的一点，O为原点，
过O作OC′∥BA，
∴根据平移规律知道C′的坐标为（1，1）
又四边形ABOC是等腰梯形，
∴C和C关于x轴对称，
∴C的坐标为（1，﹣1）．
故答案为（1，﹣1）．
第11页（共28页）【点评】此题主要考查了二次函数的性质，也利用了二次函数图象的点的坐标特
点及等腰梯形的性质，有一定的综合性．
13．（4分）如图，已知平行四边形ABCD，E是边AB的中点，连接AC、DE交于点
O．则 的值为 ．
【考点】L5：平行四边形的性质；S4：平行线分线段成比例．
菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么有 AB∥CD，AB＝CD，于是
△AOE∽△COD，那么AO：OC＝AE：CD，由E是AB中点，易知AE＝ AB，即
可得AE＝ CD，从而可求AO：OC．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△AOE∽△COD，
∴AO：OC＝AE：CD，
∵E是AB中点，
∴AE＝ AB，
第12页（共28页）∴AE＝ CD，
∴AO：OC＝ ．
故答案是 ．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，
解题的关键是证明△AOE∽△COD．
14．（4分）已知一个斜坡的坡角为 ，坡度为1：3，则cot 的值为 3 ．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
α α
菁优网版权所有
【分析】根据坡度的定义，它是铅直高度与水平距离的比值，即tan ＝ ，得出
α
cot 即可．
【解答】解：∵一个斜坡的坡角为 ，坡度为1：3，
α
∴tan ＝ ， α
∴cot α＝3．
故答案为：3．
α
【点评】此题主要考查了坡度的定义，正确的得出tan 是铅直高度与水平距离的
比值是解决问题的关键．
α
15．（4分）如图，△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且DE∥AB，
DF∥AC，若BD：DC＝1：2，△ABC的面积为9cm2，则四边形AEDF的面积为
4 cm2．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
第13页（共28页）【分析】由DE∥AB，DF∥AC可以得出△BDE∽△BCA，△CDE∽△CBA，由BD：
DC＝1：2可以得出BD：BC＝1：3，CD：BC＝2：3，根据相似三角形的性质求出
△BDE和△CDE的面积，就可以求出四边形AEDF的面积．
【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△BDE∽△BCA，△CDE∽△CBA，
∴ ， ．
∵BD：DC＝1：2，
∴BD：BC＝1：3，CD：BC＝2：3，
∵S ＝9cm2，
△ABC
∴ ， ，
∴S ＝1，S ＝4，
△BDE △CDE
∴四边形AEDF的面积＝9﹣1﹣4＝4．
故答案为：4
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，本题的关键是利用相似三角形的
面积比与相似比的关系解答有关三角形的面积问题．
16．（4分）如图，已知梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，且AD⊥BD，若AB＝3，
CD＝1，那么∠A的正弦值为 ．
【考点】J3：垂线；KQ：勾股定理；LI：直角梯形；T1：锐角三角函数的定义．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】由于AB⊥BC，AD⊥BD，那么∠BCD＝∠ADB＝90°，而AB∥CD，于是
∠BDC＝∠ABD，从而可证△BCD∽△ADB，再利用比例线段，可求x，进而可
求∠A的正弦值．
【解答】解：设BD＝x，
第14页（共28页）∵AB⊥BC，AD⊥BD，
∴∠BCD＝∠ADB＝90°，
又∵AB∥CD，
∴∠BDC＝∠ABD，
∴△BCD∽△ADB，
∴CD：BD＝BD：AB，
∴1：x＝x：3，
解得x＝ ，
在Rt△ABD中，sin∠A＝ ＝ ．
故答案是 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、锐角三角函数，解题的关键是证明
△BCD∽△ADB．
17．（4分）如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝2DB，AE＝
EC．若设 ， ，则 ＝ ﹣ + ．（用向量 、 表示）
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】先表示出 、 ，然后利用向量的减法 ＝ ﹣ ，代入运算即可得出答
案．
【解答】解：∵AD＝2DB，AE＝EC， ， ，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
第15页（共28页）∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
故答案为：﹣ + ．
【点评】此题考查了平面向量的知识，属于基础题，解答本题的关键是正确表示出
、 ，根据 ＝ ﹣ ，进行运算，难度一般．
18．（4分）已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝9， ，把△ABC 绕着点C旋转，
使得点A落在点A′，点B落在点B′．若点A′在边AB上，则点B、B′的距
离为 ．
【考点】KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形；R2：旋转的性质；S9：相似三角形的
判定与性质；T7：解直角三角形．
菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】过点C作CH⊥AB于H，利用解直角三角形的知识，分别求出AH、AC、BC
的值，进而利用三线合一的性质得出 AA'的值，然后利用旋转的性质可判定
△ACA'∽△BCB'，继而利用相似三角形的对应边成比例的性质可得出BB'的值
【解答】解：过点C作CH⊥AB于H，
∵在RT△ABC中，∠C＝90，cosA＝ ，
∴AC＝ABcosA＝6，BC＝3 ，
在RT△ACH中，AC＝6，cosA＝ ，
∴AH＝ACcosA＝4，
由旋转的性质得，AC＝A'C，BC＝B'C，
∴△ACA'是等腰三角形，因此H也是AA'中点，
第16页（共28页）∴AA'＝2AH＝8，
又∵△BCB'和△ACA'都为等腰三角形，且顶角∠ACA'和∠BCB'都是旋转角，
∴∠ACA'＝∠BCB'，
∴△ACA'∽△BCB'，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得：BB'＝4 ．
故答案为：4 ．
【点评】此题考查了解直角三角形、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、相
似三角形的判定与性质，综合考察的知识点较多，难度较大，解答本题的关键
是得出△ACA'∽△BCB'，有一定难度．
三、（本大题共6题，第19--22题，每题8分；第23、24题，每题10分．满分52分）
19．（8分）先化简，再求值： ，其中 ．
【考点】6D：分式的化简求值．
菁优网版权所有
【分析】先通分，再把除法转化成乘法，然后约分，最后将a的值代入即可．
【解答】解：原式＝
＝
当 时，
原式＝ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值；解答此题的关键是把分式化到最简，然后代
入计算．
20．（8分）已知 ，（1）求 的值； （2）若 ，求x值．
【考点】73：二次根式的性质与化简；S1：比例的性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）设x＝2k，y＝3k，z＝4k，代入后化简即可；
（2）把x＝2k，y＝3k，z＝4k代入得出2k+3＝k2，求出方程的解，注意无理方程要进
行检验．
第17页（共28页）【解答】解 由 ，设x＝2k，y＝3k，z＝4k，
（1） ，
（2） 化为 ，
∴2k+3＝k2，即k2﹣2k﹣3＝0，
∴k＝3或k＝﹣1，
经检验，k＝﹣1不符合题意，
∴k＝3，从而x＝2k＝6，
即x＝6．
【点评】本题考查了比例的性质，二次根式的性质，解一元二次方程等知识点的应
用，注意解（1）小题的方法，解（2）小题求出k的值要进行检验．
21．（8分）已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（0，3），且对称轴为直线
x＝1，
（1）求这个函数的解析式；
（2）指出该函数图象的开口方向和顶点坐标，并说明图象的变化情况．
【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．
菁优网版权所有
【分析】（1）利用待定系数法直接就可以求出抛物线的解析式．
（2）将（1）的解析式化为顶点式，由a的值就可以确定开口方向，由顶点式就可以
确定顶点坐标，根据对称轴就可以说出图象的变化情况．
【解答】解 （1）设函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0）
由题意得 ，解得
∴函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
（2）∵函数解析式为y＝﹣x2+2x+3
∴y＝﹣（x﹣1）2+4
∵a＝﹣1＜0，
∴函数图象开口向下，顶点为（1，4），
∵直线的对称轴为x＝1，
∴在对称轴的左侧，图象上升，y随x的增大而增大，在直线x＝1的右侧，图象下
第18页（共28页）降，y随x的增大而减小．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，顶点坐标，
对称轴的运用．
22．（8分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，点E、F在边BC上，满足∠EAF＝∠C，
求证：BF•CE＝AB2．
【考点】KH：等腰三角形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【专题】31：数形结合．
【分析】利用两角对应成比例可得△ABF∽△ECA，对应边成比例可得相应的比例
式，整理可得所求的乘积式．
【解答】证明：∵∠AFB＝∠C+∠FAC＝∠EAF+∠FAC＝∠EAC，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，即∠ABF＝∠ECA，
∴△ABF∽△ECA，
∴ ，
∴BF•EC＝AB•AC＝AB2．
【点评】考查相似三角形的判定与性质的应用；利用所给乘积式判断出应证明哪
两个三角形相似是解决本题的突破点．
23．（10分）如图，已知△ABC的边BC长15厘米，高AH为10厘米，长方形
DEFG内接于△ABC，点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB、AC上．
（1）设DG＝x，长方形DEFG的面积为y，试求y关于x的函数解析式，并写出定
义域；
（2）若长方形DEFG的面积为36，试求这时 的值．
第19页（共28页）【考点】HE：二次函数的应用；LB：矩形的性质；SA：相似三角形的应用．
菁优网版权所有
【分析】（1）易证得△ADG∽△ABC，那么它们的对应边和对应高的比相等，可据
此求出AP的表达式，进而可求出PH即DE、GF的长，已知矩形的长和宽，即
可根据矩形的面积公式得到y、x的函数关系式；
（2）根据（1）题所得函数的性质及自变量的取值范围，即可求出这时 的值．
【解答】（1）解：设AH与DG交于点P，
∵矩形DEFG，
∴DG∥BC，
∴△ADG∽△ABC，且AP⊥DG，
∴ ，
即 ，
∴ ，从而
∴ ，
定义域为 0＜x＜15；
（2）由已知， ，
解得x＝6或x＝9，
当x＝6时， ；
当x＝9时， ．
第20页（共28页）【点评】此题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及二次函数的
应用等知识，能够根据相似三角形求出矩形的宽是解答此题的关键．
24．（10分）据新华社12月13日电，参加湄公河联合巡逻执法的中国巡逻船顺利
返航．已知在巡逻过程中，某一天上午，我巡逻船正在由西向东匀速行驶，10：
00巡逻船在A处发现北偏东53.1°方向，相距10海里的C处有一个不明物体
正在向正东方向移动，10：15巡逻船在B处又测得该物体位于北偏东18.4°方
向的D处．若巡逻船的速度是每小时36海里，
（1）试在图中画出点D的大致位置，并求不明物体移动的速度；
（2）假设该不明物体移动的方向和速度保持不变，巡逻船航行的方向和速度也不
变，试问什么时间该物体与我巡逻船之间的距离最近？
[备用数据：sin53.1°＝0.8，cos53.1°＝0.6，cot53.1°＝0.75；sin18.4°＝0.32，cos18.4°
＝0.95，cot18.4°＝3；]．
【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
菁优网版权所有
【分析】（1）设10：15时，巡逻船在B处，作北偏东18.4°方向，交过点C的水平线
于点D即可；利用53.1°的三角函数值求得AF，CF长，进而求得FB即CG的
长，进而利用18.4°的正切值可得GD长，也就求得了CD长，除以时间即为移
动的速度；
（2）两者之间的最近距离为直线CD与AB的距离，根据GD和BQ相等可得相应
的关系式．
【解答】解：（1）作AE⊥AB，CF⊥AB于点F，BG⊥CD于点G，由题意，∠EAC＝
53.1°，∠GBD＝18.4°，
第21页（共28页）在△CAF中，CF⊥AB，∠ACF＝∠EAC＝53.1°
∴AF＝AC•sin53.1°＝10×0.8＝8，CF＝AC•cos53.1°＝10×0.6＝6，
∴BG＝CF＝6
又 ，
∴FB＝AB﹣AF＝9﹣8＝1，从而CG＝BF＝1
在△BDG中，BG⊥CD，∠GBD＝18.4°
∵cot18.4°＝3，
∴tan18.4°＝
∴GD＝BG•tan18.4°＝6× ＝2，
∴CD＝CG+GD＝1+2＝3， （海里/小时），
（2）由题意，不明物体沿CD移动，我巡逻船沿AB运动，且CD∥AB，
∴两者之间的最近距离为直线CD与AB的距离．
设又过了t分钟，不明物体移动到点P，我巡逻船到达点Q，这时PQ⊥AB，
则 ， ，
∴ ，解得t＝5．
∴10：20两者之间距离最近．
【点评】考查解直角三角形的应用；利用所给角的度数作出相应辅助线，得到直角
三角形是解决本题的突破点；利用相应的锐角三角函数求得相关线段长是解
第22页（共28页）决本题的关键．
四、（本大题共2题，第25题12分，第26题14分，满分26分）
25．（12分）我们知道，互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系．
如果坐标系中两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”．
如图1，P是斜坐标系xOy中的任意一点，与直角坐标系相类似，过点P分别作两
坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，若M、N在x轴、y轴上分别对应实
数a、b，则有序数对（a，b）叫做点P在斜坐标系xOy中的坐标．
（1）如图2，已知斜坐标系xOy中，∠xOy＝60°，试在该坐标系中作出点A（﹣2，
2），并求点O、A之间的距离；
（2）如图3，在斜坐标系xOy中，已知点B（4，0）、点C（0，3），P（x，y）是线段BC
上的任意一点，试求x、y之间一定满足的一个等量关系式；
（3）若问题（2）中的点P在线段BC的延长线上，其它条件都不变，试判断上述x、
y之间的等量关系是否仍然成立，并说明理由．
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；L7：平行四边形的判定与性质；S4：平行
线分线段成比例．
菁优网版权所有
【分析】（1）作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点N，构
建菱形AMON，然后根据菱形的性质以及等边三角形的判定与性质来求OA的
长度；
（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，则 PN＝x，PM＝
y；根据平行线截线段成比例分别列出关于x、y的比例式 、 ；再
由线段间的和差关系求得PC+BP＝BC知 ；
（3）当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 PN＝
﹣x，PM＝y，证明过程同（2）．
第23页（共28页）【解答】解：（1）作AM∥y轴，AM与x轴交于点M，AN∥x轴，AN与y轴交于点
N，
则四边形AMON为平行四边形，且OM＝ON，
∴AMON是菱形，OM＝AM
∴OA平分∠MON，
又∵∠xOy＝60°，
∴∠MOA＝60°，
∴△MOA是等边三角形，
∴OA＝OM＝2；
（2）过点P分别作两坐标轴的平行线，与x轴、y轴交于点M、N，
则 PN＝x，PM＝y，
由PN∥OB，得 ，即 ；
由PM∥OC，得 ，即 ；
∴ ，
即 3x+4y＝12．
（3）当点P在线段BC的延长线上时，上述结论仍然成立．理由如下：这时 PN＝
﹣x，PM＝y，
与（2）类似， ， ．
又∵ ．
∴ ，即 ．
第24页（共28页）【点评】本题综合考查了平行线截线段成比例、平行四边形的判定与性质以及等
边三角形的判定与性质．解答本题时，是通过作辅助线构建平行四边形（或菱
形）解答问题的．
26．（14分）如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分
别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于
点E，连接CD．
（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；
（2）若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时 的值；
第25页（共28页）（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比
例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．
【考点】KK：等边三角形的性质；KQ：勾股定理；S2：比例线段；S3：黄金分割；S4：
平行线分线段成比例；S9：相似三角形的判定与性质；T1：锐角三角函数的定
义．
菁优网版权所有
【专题】2C：存在型．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得出PC＝BC，∠CPD＝60°，PD∥BC，进而
得出∠DBC的正切值等于 ＝ ，即可得出答案；
（2）利用线段CD是线段DE和DB的比例中项得出△DCE∽△DBC，再利用相似
三角形的性质得出即可；
（3）由 AD∥PC，PD∥BC，得出 ， ，进而得出
，以及 ，即可得出比例系数．
【解答】解：（1）∵等边△APD和△BPC，
∴PC＝BC，∠CPD＝60°，∠DPA＝∠CBP＝60°，
∴PD∥BC，
∴∠DPC＝∠PCB＝60°，
∵BC⊥CD，
∴∠DCB＝∠PDC＝90°，
∴∠DCP＝30°，
∴tan∠DBC＝ ＝ ＝cos30°＝ ；
（2）由已知，CD2＝DE•DB，
即 ，
又∵∠CDE＝∠CDE，
第26页（共28页）∴△DCE∽△DBC，
∴ ，
又∵CP＝BC， ，
∵PD∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴CD＝BE，
∴ ，即点E是线段BD的黄金分割点．
∴ ，
又∵PC∥AD，
∴ ，
（3）设AP＝a，PB＝b，
∴ ， ，
因为AD∥PC，PD∥BC，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作DH⊥AB，
第27页（共28页）则 ， ，
∴BD2＝DH2+BH2＝（ a）2+（ a+b）2＝a2+ab+b2，
∴ ，
∴S与BD2成正比例，比例系数为 ．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练利用相似三角形的性质
得出对应边之间关系是解题关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:33:42；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第28页（共28页）
