文档内容
2012年上海市奉贤区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）计算 的结果是（ ）
A．2 B．±2 C．﹣2 D．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（2a）3＝6a3
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．a3÷a＝a2
3．（4分）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、
c，且a＝3，b＝4，那么∠B的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小亮的
行程s（km）与所花时间t（min）之间的函数关系．下列说法错误的是（ ）
A．他离家8km共用了30min
B．他等公交车时间为6min
C．他步行的速度是100m/min
D．公交车的速度是350m/min
5．（4分）解方程 时，如果设y＝x2﹣x，那么原方程可变形为关于y
的整式方程是（ ）
A．y2﹣2y﹣1＝0 B．y2﹣2y+1＝0 C．y2+2y+1＝0 D．y2+2y﹣1＝0
6．（4分）已知长方体ABCD﹣EFGH如图所示，那么下列直线中与直线AB不平
行也不垂直的直线是（ ）
第1页（共27页）A．EA B．GH C．HC D．EF
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）函数 中，自变量x的取值范围是 ．
8．（4分）2010年11月，我国进行了第六次全国人口普查，据统计全国人口为
1370536875人，将这个总人口数（保留三个有效数字）用科学记数法可以表示
为 ．
9．（4分）方程 的根是 ．
10．（4分）分解因式：x2﹣2x﹣1＝ ．
11．（4分）已知关于x的方程x2﹣4x+a＝0有两个相同的实数根，则a的值是
．
12．（4分）如果反比例函数 的图象在x＜0的范围内，y随x的增大而减小，
那么m的取值范围是 ．
13．（4分）为响应“红歌唱响中国”活动，某乡镇举行了一场“红歌”歌咏比赛．
组委会现定：任问一名参赛选手的成绩x满足：60≤x＜100，赛后整理所有参
赛选手的成绩如表（一）
分数段 频数 频率
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 m 0.45
80≤x＜90 60 n
90≤x＜100 20 0.1
表（一）
根据表（一）提供的信息n＝ ．
14．（4分）小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打
120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为 x
第2页（共27页）个/分钟，则列方程为 ．
15．（4分）梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是AD、BC的中点，若 ， ，那么
用 、 的线性组合表示向量 ＝ ．
16．（4分）已知两圆的半径R、r分别为方程x2﹣5x+6＝0的两根，两圆的圆心距
为1，两圆的位置关系是 ．
17．（4分）已知△ABC中，点G是△ABC的重心，过点G作DE∥BC，与AB相交
于点D，与AC相交于点E，如果△ABC的面积为9．那么△ADE的面积是
．
18．（4分）矩形ABCD中，AD＝4，CD＝2，边AD绕A旋转使得点D落在射线CB
上P处，那么∠DPC的度数为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
21．（10分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了
以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB
的坡度 ，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方
案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面 AE的坡度
．
（1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）；
（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶
沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？
第3页（共27页）22．（10分）某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动．活动结束后，
初三（2）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调
査（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如图所示的扇形统
计图．
（1）该班学生选择“和谐”观点的有 人，在扇形统计图中，“和谐”观点
所在扇形区域的圆心角是 ．
（2）如果该校有1500名初三学生．利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生
约有 人．
（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查．
求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率．
23．（12分）已知：直角坐标平面内有点A（﹣1，2），过原点O的直线l⊥OA，且与
过点A、O的抛物线相交于第一象限的B点，若OB＝2OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作BC⊥x轴于点C，设有直线x＝m（m＞0）交直线l于P，交抛物线于点Q，若
B、C、P、Q组成的四边形是平行四边形，求m的值．
24．（12分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点．
操作：过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，在AD的
延长线上截取DF＝BE．连接EF、BD．
第4页（共27页）（1）试判断EF与BD之间具有怎样的关系？并证明你所得的结论．
（2）如果AF＝13，CD＝6，求AC的长．
25．（14分）已知：半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中
点B作垂线交 O于点C，射线PC交 O于点D，连接OD．
（1）若 ，求弦CD的长．
⊙ ⊙
（2）若点C在 上时，设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取
值范围；
（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF＝1时，请直接写出
tan∠P的值．
第5页（共27页）2012 年上海市奉贤区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）计算 的结果是（ ）
A．2 B．±2 C．﹣2 D．
【考点】22：算术平方根．
菁优网版权所有
【分析】 即为4的算术平方根，根据算术平方根的意义求值．
【解答】解： ＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根．关键是理解算式是意义．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．（2a）3＝6a3
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．a3÷a＝a2
【考点】35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法；4C：完全
平方公式．
菁优网版权所有
【分析】根据合并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂
的除法法则逐项计算即可．
【解答】解：A，a+a＝2a≠a2，故该选项错误；
B，（2a）3＝8a3≠6a3，故该选项错误
C，（a﹣1）2＝a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；
D，a3÷a＝a2，故该选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底
数幂的除法法则，解题的关键是熟记以上各种运算法则．
3．（4分）已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、
c，且a＝3，b＝4，那么∠B的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】KQ：勾股定理；T1：锐角三角函数的定义．
菁优网版权所有
第6页（共27页）【分析】首先根据勾股定理求c的值，然后根据锐角三角函数的定义即可求出结果．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，
∴c＝5，
∴sinB＝4：5．
故选：B．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义、勾股定理，解题的关键在于求出斜
边c的长度．
4．（4分）小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校．图中的折线表示小亮的
行程s（km）与所花时间t（min）之间的函数关系．下列说法错误的是（ ）
A．他离家8km共用了30min
B．他等公交车时间为6min
C．他步行的速度是100m/min
D．公交车的速度是350m/min
【考点】E6：函数的图象．
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题；31：数形结合．
【分析】根据图象可以确定他离家8km用了多长时间，等公交车时间是多少，他步
行的时间和对应的路程，公交车运行的时间和对应的路程，然后确定各自的速
度．
【解答】解：A、依题意得他离家8km共用了30min，故A选项正确；
B、依题意在第10min开始等公交车，第16min结束，故他等公交车时间为6min，
故B选项正确；
C、他步行10min走了1000m，故他步行的速度为他步行的速度是100m/min，故C
选项正确；
D、公交车（30﹣16）min走了（8﹣1）km，故公交车的速度为7000÷14＝500m/min，
故D选项错误．
第7页（共27页）故选：D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表
示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注
意计算单位的统一．
5．（4分）解方程 时，如果设y＝x2﹣x，那么原方程可变形为关于y
的整式方程是（ ）
A．y2﹣2y﹣1＝0 B．y2﹣2y+1＝0 C．y2+2y+1＝0 D．y2+2y﹣1＝0
【考点】B4：换元法解分式方程．
菁优网版权所有
【分析】本题考查用换元法解分式方程的能力．可根据方程特点设y＝x2﹣x，则原
方程可化为y+2＝ ，然后去分母、移项即可．
【解答】解：原方程可化为：y+2＝ ，
去分母得：y2+2y＝1，
移项得：y2+2y﹣1＝0，
故选：D．
【点评】本题考查了用换元法解分式方程的能力，用换元法解一些复杂的分式方
程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题
简单化，注意求出方程解后要验根．
6．（4分）已知长方体ABCD﹣EFGH如图所示，那么下列直线中与直线AB不平
行也不垂直的直线是（ ）
A．EA B．GH C．HC D．EF
【考点】I1：认识立体图形；J3：垂线；J7：平行线．
菁优网版权所有
【专题】1：常规题型．
【分析】根据长方体的棱要么互相平行，要么互相垂直，结合选项找出不是长方体
的棱所在的直线的直线即可．
第8页（共27页）【解答】解：A、EA是长方体的棱，与AB互相垂直，故本选项错误；
B、GH是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误；
C、HC不是长方体的棱，与AB不平行也不垂直，故本选项正确；
D、EF是长方体的棱，与AB互相平行，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题借助长方体考查了平行线与垂线的知识，熟悉长方体的各棱之间的
关系是解题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）函数 中，自变量x的取值范围是 x ≥﹣ 2 且 x ≠ 1 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
菁优网版权所有
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，
就可以求解
【解答】解：根据题意得： ，
解得：x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是
非负数．
8．（4分）2010年11月，我国进行了第六次全国人口普查，据统计全国人口为
1370536875人，将这个总人口数（保留三个有效数字）用科学记数法可以表示
为 1.37×1 0 9 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数；
保留有效数字只保留a部分即可．
【解答】解：1370536875＝1.370536875×109≈1.37×109．
故答案为：1.37×109．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
第9页（共27页）9．（4分）方程 的根是 x ＝ 3 ．
【考点】B3：解分式方程．
菁优网版权所有
【分析】观察可得最简公分母是（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程
转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x﹣1），得
2＝x﹣1，
解得x＝3．
检验：把x＝3代入（x﹣1）＝2≠0．
∴原方程的解为：x＝3．
【点评】本题考查了分式方程的解法：
（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
10．（4分）分解因式：x2﹣2x﹣1＝ ．
【考点】58：实数范围内分解因式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先令x2﹣2x﹣1＝0，解得x＝1± ，即可对所给代数式因式分解．
【解答】解：先令x2﹣2x﹣1＝0，
解得x＝1± ，
∴x2﹣2x﹣1＝[x﹣（1+ ）][x﹣（1﹣ ）]＝（x﹣1﹣ ）（x﹣1+ ）．
故答案是（x﹣1﹣ ）（x﹣1+ ）．
【点评】本题考查了分解因式．解题的关键是利用公式法求一元二方程的根．
11．（4分）已知关于x的方程x2﹣4x+a＝0有两个相同的实数根，则a的值是 4
．
【考点】AA：根的判别式．
菁优网版权所有
【分析】若一元二次方程有两个相等实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＝0，建立
关于a的方程，求出a的值．
【解答】解：由题意得：△＝0，
则：（﹣4）2﹣4×1×a＝0，
解得：a＝4，
第10页（共27页）故答案为：4．
【点评】此题主要考查了利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的
根的情况．关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
12．（4分）如⇔果反比例函数 的图象在x＜0的范围内，y随x的增大而减小，
那么m的取值范围是 m ＞ 3 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数的性质知： 的图象在x＜0的范围内y随x的增大
而减小，得出m﹣3＞0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵反比例函数 的图象在x＜0的范围内y随x的增大而减小，
∴m﹣3＞0，
∴m＞3．
故答案为：m＞3．
【点评】本题主要考查对反比例函数的性质，解一元一次不等式等知识点的理解
和掌握，能熟练地运用反比例函数的性质进行计算是解此题的关键．
13．（4分）为响应“红歌唱响中国”活动，某乡镇举行了一场“红歌”歌咏比赛．
组委会现定：任问一名参赛选手的成绩x满足：60≤x＜100，赛后整理所有参
赛选手的成绩如表（一）
分数段 频数 频率
60≤x＜70 30 0.15
70≤x＜80 m 0.45
80≤x＜90 60 n
90≤x＜100 20 0.1
表（一）
根据表（一）提供的信息n＝ 0. 3 ．
【考点】V7：频数（率）分布表．
菁优网版权所有
第11页（共27页）【专题】11：计算题；27：图表型．
【分析】根据60≤x＜70，可知其分数段内的频数为30，频率为0.15，可求出总人
数，然后n＝ ，从而得结果．
【解答】解：∵60≤x＜70，可知其分数段内的频数为30，频率为0.15，
∴30÷0.15＝200（人）
∴n＝ ＝0.3．
故答案为：0.3．
【点评】本题考查频数，频率，总数之间的关系，频率＝ ，从而知道任何两个
可求出另外一个，从而求出解．
14．（4分）小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打
120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为 x
个/分钟，则列方程为 ＝ ．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
菁优网版权所有
【分析】设小明打字速度为x个/分钟，根据小明每分钟比小张少打6个字，小明打
120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等，可列出方程．
【解答】解：设小明打字速度为x个/分钟，
＝ ．
故答案为： ＝ ．
【点评】本题考查理解题意的能力，设出打字速度，以时间做为等量关系列方程．
15．（4分）梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是AD、BC的中点，若 ， ，那么
用 、 的线性组合表示向量 ＝ （ ﹣ ） ．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】由梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是AD、BC的中点，即可得EF是梯形
第12页（共27页）ABCD 的中位线，根据梯形中位线的性质，可得 EF∥AB∥CD，EF＝
（AB +CD），又由 ， ，即可求得答案．
【解答】解：∵梯形ABCD中，AB∥CD，E、F是AD、BC的中点，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF∥AB∥CD，EF＝ （AB+CD），
∵ ， ，
∴ ＝﹣
∴ ＝ （ ﹣ ）．
故答案为： （ ﹣ ）．
【点评】此题考查了梯形中位线的性质与平面向量的知识．此题难度不大，注意掌
握平行向量间的关系，注意数形结合思想的应用．
16．（4分）已知两圆的半径R、r分别为方程x2﹣5x+6＝0的两根，两圆的圆心距
为1，两圆的位置关系是 内切 ．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；MJ：圆与圆的位置关系．
菁优网版权所有
【分析】本题可先求出方程的根即两圆的半径R、r，再根据由数量关系来判断两圆
位置关系的方法，确定两圆的位置关系．设两圆圆心距为P，两圆半径分别为R
和r，且R≥r，则有：外离P＞R+r；外切P＝R+r；相交R﹣r＜P＜R+r；内切P
＝R﹣r；内含P＜R﹣r．
【解答】解：∵两圆的半径分别是方程x2﹣5x+6＝0的两根，
∴两圆半径和为：R+r＝5，半径积为：Rr＝6，
∴半径差＝|R﹣r|＝ ＝ ＝ ＝1，
即圆心距等于半径差，
∴根据圆心距与半径之间的数量关系可知 O 与 O 的位置关系是内切．
1 2
第13页（共⊙27页） ⊙故答案为：内切．
【点评】本题考查了解一元二次方程和由数量关系来判断两圆位置关系的方法．
注意此类题型可直接求出解判断，也可利用根与系数的关系找到两个根的差
或和．
17．（4分）已知△ABC中，点G是△ABC的重心，过点G作DE∥BC，与AB相交
于点D，与AC相交于点E，如果△ABC的面积为9．那么△ADE的面积是 4
．
【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．
菁优网版权所有
【分析】根据DE∥BC判断出△ADE和△ABC相似，再根据重心到顶点的距离等
于到对边中点的距离的2倍，求出两三角形对应中线的比，也就是相似比，再
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解．
【解答】解：如图所示，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵点G是△ABC的重心，
∴AG＝2GF，
∴AG＝ AF，
∴ ＝ ，
即△ADE和△ABC的相似比为 ，
＝（ ）2＝ ，
∵△ABC的面积为9，
∴△ADE的面积＝ ×9＝4．
故答案为：4．
第14页（共27页）【点评】本题考查了三角形的重心，相似三角形的判定与性质，熟记三角形的重心
到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍求出两三角形的对应中线的比，
也就是相似比是解题的关键．
18．（4分）矩形ABCD中，AD＝4，CD＝2，边AD绕A旋转使得点D落在射线CB
上P处，那么∠DPC的度数为 75 ° 或 15 ° ．
【考点】KO：含30度角的直角三角形；LB：矩形的性质；R2：旋转的性质．
菁优网版权所有
【分析】A旋转使得点D落在射线CB上P处，则P在线段BC上或P在CB的延
长线上，应分两种情况进行讨论，根据等腰三角形的性质：等边对等角即可求
解．
【解答】解：当P在线段CB上时，
∵AP＝AD＝4，AB＝CD＝2，
∴在直角△ABP中，∠APB＝30°，
∵AD∥BC
∴∠DAP＝∠APB＝30°，
∵AP＝AD
∴∠APD＝∠ADP＝ ＝75°．
∴∠DPC＝180°﹣∠APB﹣∠APD＝180°﹣30°﹣75°＝75°；
当P′在CB的延长线上时，
同理，在直角△AP′B中，∠AP′B＝30°，∠P′AB＝60°，
则∠P′AD＝∠P′AB+∠BAD＝60°+90°＝150°，
∵AP′＝AD，
∴∠AP′D＝∠ADP′＝ ＝15°，
∴∠DP′C＝∠AP′B﹣∠AP′D＝30°﹣15°＝15°．
故∠DPC的度数为：75°或15°
第15页（共27页）【点评】本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，以及解直角三角形，正确理
解分两种情况讨论是关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
菁优网版权所有
【分析】本题涉及负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4
个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法
则求得计算结果．
【解答】解：原式＝﹣4+3 +3﹣ +
＝3 ﹣1．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次
根式化简等考点的运算．
20．（10分）解不等式组： ，并把它的解集在数轴上表示出来．
【考点】C2：不等式的性质；C4：在数轴上表示不等式的解集；C6：解一元一次不等
式；CB：解一元一次不等式组．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】根据不等式的性质求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律
找出即可．
【解答】解： ，
∵由 得x＜1，
由 得x≥﹣1，
①
∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜1，
②
在数轴上表示不等式组的解集为： ．
【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式
第16页（共27页）组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集，题目比较
典型，难度不大．
21．（10分）在一次课题设计活动中，小明对修建一座87m长的水库大坝提出了
以下方案；大坝的横截面为等腰梯形，如图，AD∥BC，坝高10m，迎水坡面AB
的坡度 ，老师看后，从力学的角度对此方案提出了建议，小明决定在原方
案的基础上，将迎水坡面AB的坡度进行修改，修改后的迎水坡面 AE的坡度
．
（1）求原方案中此大坝迎水坡AB的长（结果保留根号）；
（2）如果方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变，在方案修改后，若坝顶
沿EC方向拓宽2.7m，求坝底将会沿AD方向加宽多少米？
【考点】LJ：等腰梯形的性质；T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）过点B作BF⊥AD于F，在直角三角形ABF中解得AF，AB的值．
（2）过点E作EG⊥AD于G．延长EC至点M，AD至点N，连接MN，由S ＝S
△ABE 梯
从而解得DN的值．
形CMND
【解答】解：（1）过点B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，∵i＝ ＝ ，且BF＝10m．
∴AF＝6m， ．
答：此大坝迎水坡AB的长是2 m；
（2）过点E作EG⊥AD于G．
在Rt△AEG中，∵ ，且EG＝BF＝10m
第17页（共27页）∴AG＝12m，
∵AF＝6m，
∴BE＝GF＝AG﹣AF＝6m，
如图，延长EC至点M，AD至点N，连接MN，
∵方案修改前后，修建大坝所需土石方总体积不变．S ＝S ，
△ABE 梯形CMND
∴
即BE＝MC+ND．
DN＝BE﹣MC＝6﹣2.7＝3.3（m）．
答：坝底将会沿AD方向加宽3.3m．
【点评】本题考查了直角三角形的应用，（1）过点B作BF⊥AD于F，在直角三角
形ABF中从而解得AF，AB的长度；（2）作辅助线，面积不变，由S ＝S
△ABE 梯形
，解方程组得到ND．
CMND
22．（10分）某校开展了以“人生观、价值观”为主题的班队活动．活动结束后，
初三（2）班数学兴趣小组提出了5个主要观点并在本班50名学生中进行了调
査（要求每位同学只选自己最认可的一项观点），并制成了如图所示的扇形统
计图．
（1）该班学生选择“和谐”观点的有 5 人，在扇形统计图中，“和谐”观点所
在扇形区域的圆心角是 36 ° ．
（2）如果该校有1500名初三学生．利用样本估计选择“感恩”观点的初三学生
约有 42 0 人．
（3）如果数学兴趣小组在这5个主要观点中任选两项观点在全校学生中进行调查．
求恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率．
第18页（共27页）【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；X6：列表法与树状图法．
菁优网版权所有
【专题】27：图表型．
【分析】（1）选择“和谐”观点的人数等于总人数乘以和谐观点的百分率，圆心
角就是用圆周角乘以和谐观点的百分率；
（2）用总人数乘以持感恩观点的所占的百分比即可得到选择感恩观点的学生数；
（3）列出表格，然后求解答案．
【解答】解：（1）共调查了50名学生，选择“和谐”观点的占10%，
50×10%＝5，360°×10%＝36°；
（2）∵选择“感恩”的占28%，
∴1500×28%＝420人，
（3）
互动 平等 思取 和谐 感恩
互动 （互动，平等）（互动，思取）（互动，和谐）（互动，感恩）
平等 （平等，互动） （平等，思取）（平等，和谐）（平等，感恩）
思取 （思取，互动）（思取，平等） （思取，和谐）（思取，感恩）
和谐 （和谐，互动）（和谐，平等）（和谐，思取） （和谐，感恩）
感恩 （感恩，互动）（感恩，平等）（感恩，思取）（感恩，和谐）
∴恰好选到“和谐”和“感恩”观点的概率＝ ．
【点评】本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
第19页（共27页）23．（12分）已知：直角坐标平面内有点A（﹣1，2），过原点O的直线l⊥OA，且与
过点A、O的抛物线相交于第一象限的B点，若OB＝2OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）作BC⊥x轴于点C，设有直线x＝m（m＞0）交直线l于P，交抛物线于点Q，若
B、C、P、Q组成的四边形是平行四边形，求m的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题．
【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BC⊥x轴于点C，根据点A的坐
标可得出AH及OH的长度，再由△AHO∽△OCB及OB＝2OA可求出点B的
坐标，利用待定系数法可求出函数解析式．
（2）先求出直线l的解析式，然后根据B、C、P、Q组成的四边形是平行四边形，结
合题意可得PQ＝BC，建立方程求解即可得出m的值．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥x轴于点H，过点B作BC⊥x轴于点C，
由点A坐标为（﹣1，2）可得AH＝2，OH＝1，
由直线OB⊥OA，可得△AHO∽△OCB，
故有： ，
∵OB＝2OA，
∴OC＝4，BC＝2，
∴B（4，2），
设经过点A、O、B的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），
则 ，
第20页（共27页）解得 ，
故抛物线解析式为： ．
（2）设直线l的解析式为y＝kx（k≠0），
∵直线l经过点B（4，2），
∴直线l的解析式为 ，
∵直线x＝m（m＞0）交直线l于P，交抛物线于点Q，
∴设P点坐标为 ，点Q坐标为 ，
∵由B、C、P、Q四点组成的四边形是平行四边形，
∴PQ∥BC且PQ＝BC，
即： ，
解得 或m＝2，
∵m＞0，
∴ 或2．
【点评】此题考查了二次函数的综合题，涉及了相似三角形的判定与性质、平行四
第21页（共27页）边形的判定及解方程的知识，解答此类大综合题关键是能够将所学的知识融
会贯通．
24．（12分）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，E为AC的中点．
操作：过点C作BE的垂线，过点A作BE的平行线，两直线相交于点D，在AD的
延长线上截取DF＝BE．连接EF、BD．
（1）试判断EF与BD之间具有怎样的关系？并证明你所得的结论．
（2）如果AF＝13，CD＝6，求AC的长．
【考点】AD：一元二次方程的应用；KP：直角三角形斜边上的中线；KQ：勾股定理；
L6：平行四边形的判定；LA：菱形的判定与性质．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】（1）证平行四边形BEDF，根据直角三角形斜边上的中线证BE＝DF，推
出菱形BEDF即可；
（2）设DF＝BE＝x，则AC＝2x，AD＝AF﹣DF＝13﹣x，在Rt△ACD中根据勾股
定理求出x，即可得到答案．
【解答】解：如图：
（1）EF与BD互相垂直平分．
证明如下：连接DE、BF，∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵CD⊥BE，
∴CD⊥AD，
∵∠ABC＝90°，E为AC的中点，
∴BE＝DE＝ ，
∴四边形BEDF是菱形，
∴EF与BD互相垂直平分．
（2）解：设DF＝BE＝x，则AC＝2x，AD＝AF﹣DF＝13﹣x，
第22页（共27页）在Rt△ACD中，∵AD2+CD2＝AC2，
∴（13﹣x）2+62＝（2x）2，
3x2+26x﹣205＝0，
x ＝﹣ （舍去），x ＝5，
1 2
∴AC＝10，
答：AC的长是10．
【点评】本题主要考查对平行四边形的判定，勾股定理，解一元二次方程，直角三
角形斜边上的中线，菱形的判定和性质等知识点的理解和掌握，能求出BE＝
DE和得到关于x的方程是解此题的关键．
25．（14分）已知：半圆O的半径OA＝4，P是OA延长线上一点，过线段OP的中
点B作垂线交 O于点C，射线PC交 O于点D，连接OD．
（1）若 ，求弦CD的长．
⊙ ⊙
（2）若点C在 上时，设PA＝x，CD＝y，求y与x的函数关系式及自变量x的取
值范围；
（3）设CD的中点为E，射线BE与射线OD交于点F，当DF＝1时，请直接写出
tan∠P的值．
【考点】MR：圆的综合题．
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据 ，得出∠DOC＝∠AOC，进而求出PC＝OC，以及
第23页（共27页）△DOC∽△DPO，再利用相似三角形的性质得出即可；
（2）作OE⊥CD，求出△PBC∽△PEO，进而得出 ＝ ，即可求出y与x的关系
式；
（3）分别利用若点D在 外部时，以及利用若点D在 上时，利用等腰三角形的
性质以及锐角三角函数关系得出tan∠P的值即可．
【解答】解：（1）连接OC，如图1，
∵ ，
∴∠DOC＝∠AOC，
又∵BC垂直平分OP，
∴PC＝OC，
而OA＝4，
∴CP＝OC＝4，
∴∠P＝∠POC，
∴∠CPO＝∠COD，
而∠PDO＝∠ODC，
∴△DOC∽△DPO，
∴DC：OD＝OD：DP，即OD2＝DC•DP，
∴DC（DC+4）＝16，
∴CD＝2 ﹣2；
（2）作OE⊥CD，垂足为E，如图1，
则CE＝ CD＝ y，
∵∠P＝∠P，∠PBC＝∠PEO＝90°，
∴△PBC∽△PEO，
∴ ＝ ，
而PB＝ OP＝ （x+4），PE＝PC+CE＝4+ y，
第24页（共27页）∴ ，
∴y＝ x2+2x﹣4（4 ﹣4＜x＜4）；
（3）若点D在 外部时，
连接OC和OE．
显然可以得：Rt△CBP≌Rt△CBO，
∴∠CPB＝∠COB＝x（不妨设其大小为x）
∴∠DCO＝2x．（三角形外角的性质定理），
同时，PC＝OC＝R＝4，
∵CE＝DE（已知）
∴由垂径定理可知：OE⊥CD，
在△Rt△OEC和Rt△OED中，
∵ ，
∴Rt△OEC≌Rt△OED （SSS）
∴∠ODC＝∠OCD＝2x．
同时，由锐角三角函数定义，
在Rt△OPE中．
tan∠APD＝ ，
∵∠CBO＝∠CEO＝90°，
∴四点B，C，E，O四点共圆，
∴由同圆中，同弧上的圆周角相等可知
∠BEC＝∠BOC＝x，
∴∠DEF＝∠BEC（对顶角相等）＝∠BOC＝x．
在△DEF中，由三角形外角性质定理，
∠ODC＝∠F+∠DEF，
∴2x＝∠F+x，
第25页（共27页）∴∠F＝x．
∴△DEF为等腰三角形，
CE＝DE＝DF＝1．
∴PE＝PC+CE＝4+1＝5，
在Rt△ODE中，DE＝1，OD＝R＝4，
∴由勾股定理可得OE＝ ，
∴tan∠P＝ ＝ ，
若点D在 上时，
同理可知 CE＝DE＝DF＝1，PC＝OC＝r＝4，
故PE＝3，OE＝ ，
则tan∠P＝ ＝ ．
综上所述，tan∠P的值是 或 ．
第26页（共27页）【点评】此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定与性质以及勾股定
理和四点共圆以及等腰三角形的性质等知识，利用数形结合以及分类讨论得
出是解题关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:35:36；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第27页（共27页）
