文档内容
2012年上海市崇明县中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7x D．y＝﹣
2．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣4一定经过点（ ）
A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么 等于（ ）
A．tanA B．cotA C．sinA D．cosA
4．（4分）把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍，得Rt△A B C ，那么锐角的正弦值
1 1 1
的关系为（ ）
A．2sinA＝sinA B．sinA＝2sinA
1 1
C．sinA＝sinA D．不能确定
1
5．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短
边长为9，那么△DEF的周长等于（ ）
A．14 B． C．21 D．42
6．（4分）已知两圆的半径分别为3和4，若两圆有公共点，那么圆心距d的取值
范围是（ ）
A．1＜d＜7 B．1≤d≤7 C．d＞7或d＜1 D．d≥7或d≤1
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果 ＝ ，那么 ＝ ．
8．（4分）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC， ＝ ，那么
的值等于 ．
9．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝
cm．
第1页（共25页）10．（4分）如果抛物线y＝（4+k）x2+k的开口向下，那么k的取值范围是 ．
11．（4分）二次函数y＝x2+6x+m图象上的最低点的横坐标为 ．
12．（4分）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x厘米，面积随之增加
y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 ．
13．（4分）已知在 O中，AB、CD分别是弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是点
E、F，要使得OE＝OF，可以添加的条件是 ．
⊙
14．（4分）向量 与单位向量 的方向相反，且长度为5，那么用向量 表示向量
为 ．
15．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，点G为重心，那么
tan∠GCB的值为 ．
16．（4分）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，
那么管内污水深度为 米．
17．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边AB上的一 点，∠ACD
＝∠B，∠BAC的平分线AQ与CD、BC分别相交于点P和点Q，那么 的值
等于 ．
18．（4分）将等腰△ABC绕着底边BC的中点M旋转30°后，如果点B恰好落在
原△ABC的边AB上，那么∠A的余切值等于 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知抛物线y＝x2+mx+3的对称轴为x＝﹣2．
（1）求m的值；
（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y轴的交点坐标．
20．（10分）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，CD：AD＝1：2， ＝ ， ＝
．
（1）试用向量 表示向量 ；
第2页（共25页）（2）求作： ﹣ ．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：
（1）求∠C的余弦值；
（2）如果以点A为圆心的圆与线段BC有两个公共点，求圆A的半径R的取值范
围．
22．（10分）已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分
别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，
AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．
23．（12分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的
同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，
在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，
tan76°≈4.01）
第3页（共25页）24．（12分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，CD⊥AB于D点，
∠BAC的角平分线交BC于，点E，交线段BD于点F．
（1）求证：AC•AF＝AE•AD；
（2）试判断线段DF与BE有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（3）若令线段DF的长为x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数关系式．
25．（14分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣ x2+bx+c的图
象经过点A（﹣1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交
于点C和点D．
（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
（2）求证：∠ABO＝∠CBO；
（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．
第4页（共25页）2012 年上海市崇明县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列函数中，属于二次函数的是（ ）
A．y＝2x﹣3 B．y＝（x+1）2﹣x2
C．y＝2x2﹣7x D．y＝﹣
【考点】H1：二次函数的定义．
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【分析】二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数．二次函数可以表
示为y＝ax2+bx+c（a不为0）．
【解答】解：A、函数y＝2x﹣3是一次函数，故本选项错误；
B、由原方程，得y＝2x+1，属于一次函数，故本选项错误；
C、函数y＝2x2﹣7x符合二次函数的定义；故本选项正确；
D、y＝﹣ 不是整式；故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的定义．二次函数y＝ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c
为常数，a≠0，自变量最高次数为2．
2．（4分）抛物线y＝﹣x2+2x﹣4一定经过点（ ）
A．（2，﹣4） B．（1，2） C．（﹣4，0） D．（3，2）
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】分别将各点代入解析式，使解析式成立者即为正确答案．
【解答】解：A、将（2，﹣4）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，﹣4＝﹣4+4﹣4，等式成立，故本
选项正确；
B、将（1，2）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，2≠﹣1+2﹣4，等式不成立，故本选项错误；
C、将（﹣4，0）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，0≠﹣16﹣8﹣4，等式不成立，故本选项错
误；
D、将（3，2）代入y＝﹣x2+2x﹣4得，2≠﹣9+6﹣4，等式不成立，故本选项错误．
故选：A．
第5页（共25页）【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要知道函数图象上的点的坐
标符合函数的解析式．
3．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么 等于（ ）
A．tanA B．cotA C．sinA D．cosA
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据题意画出图形，由锐角三角函数的定义解答即可．
【解答】解：如图，由图可知 ＝cotA．
故选：B．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4．（4分）把Rt△ABC各边的长度都扩大2倍，得Rt△A B C ，那么锐角的正弦值
1 1 1
的关系为（ ）
A．2sinA＝sinA B．sinA＝2sinA
1 1
C．sinA＝sinA D．不能确定
1
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据Rt△ABC各边的长度都扩大2倍，得Rt△A B C ，两个三角形的对应
1 1 1
角相等，因而对应角的同一个三角函数值等．即可作出判断．
【解答】解：∵Rt△ABC各边的长度都扩大2倍，得Rt△A B C ，
1 1 1
∴Rt△ABC∽Rt△A B C ，
1 1 1
∴两个三角形的对应角相等，因而对应角的同一个三角函数值相等．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的相似变化，以及相似三角形的性质，三角函数的性质，
三角函数值的大小只与角的大小有关．
5．（4分）如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短
第6页（共25页）边长为9，那么△DEF的周长等于（ ）
A．14 B． C．21 D．42
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先设△DEF的周长等于c，再根据相似三角形周长的比等于相似比即可求
出c的值．
【解答】解；设△DEF的周长等于l，
∵△ABC∽△DEF，△ABC的三边长分别为3、5、6，△DEF的最短边长为9，
∴ ＝ ，
解得c＝42．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形周长的比等于相似比．
6．（4分）已知两圆的半径分别为3和4，若两圆有公共点，那么圆心距d的取值
范围是（ ）
A．1＜d＜7 B．1≤d≤7 C．d＞7或d＜1 D．d≥7或d≤1
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【专题】11：计算题．
【分析】由两圆有公共点，得到两圆相交或相切，当两圆相切时，分为外切或内切，
此时圆心距等于两半径之和或之差；当两圆相交时，圆心距大于两圆半径之差
小于两半径之和，综上，可得到圆心距d的取值范围．
【解答】解：两圆的半径分别为3和4，圆心距为d，
∵两圆有公共点，
∴两圆相切或相交，
当两圆内切时，d＝R+r＝3+4＝7；
当两圆外切时，d＝R﹣r＝4﹣3＝1；
当两圆相交时，4﹣3＜d＜4+3，即1＜d＜7，
综上，圆心距d的取值范围是1≤d≤7．
故选：B．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，圆与圆位置关系的判断方法为：若设两圆
第7页（共25页）的半径分别为r，R，圆心距为d，当d＝R+r时，两圆外切；当d＝R﹣r时，两圆
内切；当R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；当0≤d＜R﹣r时，两圆内含；当d＞
R+r时，两圆外离．解题的关键是要理解两圆有公共点，即为两圆相切或相交，
不能内含或外离．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）如果 ＝ ，那么 ＝ 9 ．
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】由题干可得x＝ ，将其代入要求的式子即可得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴x＝ ，
∴ ＝ ＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查比例的性质．属于基础题，比较简单．
8．（4分）已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC， ＝ ，那么
的值等于 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线分线段成比例定理求得 ＝ ＝ ；然后利用比例的性质求
得 的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ；
第8页（共25页）又 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ；
故答案是： ．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例．解答本题的关键是利用平行条件，写出
要求的线段与已知线段之间的数量关系．
9．（4分）已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝ 3（
﹣ 1 ） cm．
【考点】S3：黄金分割．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据黄金分割的概念得到AP＝ AB，把AB＝6cm代入计算即可．
【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP＝ AB，
而AB＝6cm，
∴AP＝6× ＝3（ ﹣1）cm．
故答案为3（ ﹣1）．
【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且
较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄
金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的 倍．
第9页（共25页）10．（4分）如果抛物线y＝（4+k）x2+k的开口向下，那么k的取值范围是 k ＜﹣ 4
．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数4+k＜0．
【解答】解：因为抛物线y＝（4+k）x2+k的开口向下，
所以4+k＜0，即k＜﹣4，
故答案为k＜﹣4．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜
0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下．
11．（4分）二次函数y＝x2+6x+m图象上的最低点的横坐标为 ﹣ 3 ．
【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据二次函数的性质，当x的值取对称轴时，对应的顶点坐标为最低点坐
标．
【解答】解：二次函数的对称轴为x＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟悉二次函数的性质是解题
的关键．
12．（4分）一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x厘米，面积随之增加
y平方厘米，那么y关于x的函数解析式是 y ＝ x 2 + 4 x ．
【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．
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【分析】首先表示出原边长为2厘米的正方形面积，再表示出边长增加x厘米后正
方形的面积，再根据面积随之增加y平方厘米可列出方程．
【解答】解：原边长为2厘米的正方形面积为：2×2＝4（平方厘米），
边长增加x厘米后边长变为：x+2，
则面积为：（x+2）2平方厘米，
∴y＝（x+2）2﹣4＝x2+4x．
故答案为：y＝x2+4x．
【点评】此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，关键是正确表示出正
第10页（共25页）方形的面积．
13．（4分）已知在 O中，AB、CD分别是弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是点
E、F，要使得OE＝OF，可以添加的条件是 AB ＝ CD 答案不唯一 ．
⊙
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【专题】26：开放型．
【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的
结论．
【解答】解：根据已知如图：
∵OE＝OF，
∴AB＝CD．（在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心
距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．答案不唯一）．
故答案为：AB＝CD答案不唯一．
【点评】此题考查的知识点是垂径定理，关键明确在同圆或等圆中，如果两个圆心
角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其
余各组量都分别相等．
14．（4分）向量 与单位向量 的方向相反，且长度为5，那么用向量 表示向量
为 ﹣ 5 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．
【解答】解：∵ 的长度为5，向量 是单位向量，
∴a＝5e，
∵ 与单位向量 的方向相反，
∴ ＝﹣5 ．
故答案为：﹣5 ．
【点评】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量
第11页（共25页）包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向
量只规定大小没规定方向．
15．（4分）已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AB＝10，点G为重心，那么
tan∠GCB的值为 ．
【考点】K5：三角形的重心；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】11：计算题．
【分析】作出草图，连接CG并延长交AB于点D，根据重心定义可知点 CD是
△ABC的中线，求出CD，BD的长度，再过点D作DE⊥BC于点E，根据等腰三
角形三线合一的性质求出CE的长度，再利用勾股定理求出DE的长度，然后
根据锐角三角函数的定义进行解答即可．
【解答】解：如图，连接CG并延长交AB于点D，
∵点G为重心，
∴CD是△ABC的中线，
∴CD＝BD＝ AB＝ ×10＝5，
过点D作DE⊥BC于点E，
则CE＝BE＝ BC＝ ×8＝4，
在Rt△CDE中，DE＝ ＝ ＝3，
∴tan∠GCB＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了三角形的重心，锐角三角函数的定义，明确三角形的重心是三
边中线的交点，并作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
16．（4分）一根横截面为圆形的下水管的直径为1米，管内污水的水面宽为0.8米，
第12页（共25页）那么管内污水深度为 0. 2 或 0. 8 米．
【考点】M3：垂径定理的应用．
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【专题】2B：探究型．
【分析】分为两种情况，画出图形，先连接OA，过O作OC⊥AB于点D，由垂径定
理可知AD＝ AB，再在Rt△OAD中利用勾股定理可求出OD的长，再根据
CD＝OC﹣OD或CD＝OC+OD即可得出结论．
【解答】解：分为两种情况： 如图所示：连接OA，过O作OC⊥AB于点D，
∵OC⊥AB，AB＝0.8米．
①
∴AD＝ AB＝ ×0.8＝0.4米，
∵圆形污水管道的直径为1米，
∴OA＝OC＝0.5米，
在Rt△OAD中，OD＝ ＝ ＝0.3（米），
∴CD＝OC﹣OD＝0.5﹣0.3＝0.2（米）．
如图CD＝0.5+0.3＝0.8（米）
②故答案为：0.2或0.8．
【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三
角形是解答此题的关键．
17．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝3，AC＝2，D是边AB上的一 点，∠ACD
＝∠B，∠BAC的平分线AQ与CD、BC分别相交于点P和点Q，那么 的值
第13页（共25页）等于 ．
【考点】IJ：角平分线的定义；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据角平分线的定义得∠BAQ＝∠CAP，而∠ACD＝∠B，根据相似三角
形的判定得到△ABQ∽△ACP，由相似三角形的性质得到 ＝ ，把AB＝3，
AC＝2代入即可得到答案．
【解答】解：∵AQ平分∠BAC，
∴∠BAQ＝∠CAP，
而∠ACD＝∠B，
∴△ABQ∽△ACP，
∴ ＝ ，
又∵AB＝3，AC＝2，
∴ ＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形有两组角对应相
等，那么这两个三角形相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了角平分
线的定义．
18．（4分）将等腰△ABC绕着底边BC的中点M旋转30°后，如果点B恰好落在
原△ABC的边AB上，那么∠A的余切值等于 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质；R2：旋转的性质；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】11：计算题．
【分析】由△ABC绕点M旋转30°得到△A′B′C′，根据旋转的性质得到MB＝
第14页（共25页）MB′，∠BMB′＝30°，根据等腰三角形的性质计算出∠B＝ （180°﹣30°）＝
75°，则∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，再根据余切的定义即可得到∠A的余切值．
【解答】解：如图，
∵△ABC绕点M旋转30°得到△A′B′C′，
∴MB＝MB′，∠BMB′＝30°，
∴∠B＝ （180°﹣30°）＝75°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠A的余切值为 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两个图形全等，即对应角相等，对应线
段相等；也考查了等腰直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）已知抛物线y＝x2+mx+3的对称轴为x＝﹣2．
（1）求m的值；
（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y轴的交点坐标．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】（1）根据对称轴方程x＝﹣ 求m的值；
（2）利用（1）的结果求得该抛物线的解析式，然后根据“左加右减”的原则求得
第15页（共25页）平移后的抛物线的解析式；最后令x＝0即可求得所得抛物线与y轴的交点坐
标．
【解答】解：（1）由题意，得﹣ ＝﹣2．…（2分）
∴m＝4．…（2分）
（2）由（1）知，m＝4，
∴此抛物线的表达式为y＝x2+4x+3＝（x+2）2﹣1．…（2分）
∵向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为y＝（x﹣3）2﹣1，
即y＝x2﹣6x+8．…（2分）
当x＝0时，y＝8，
∴它与y轴的交点坐标为（0，8）．…（2分）
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象与几何变换．
解答（2）时，将抛物线的一般式方程转化为顶点式方程，为的是便于求平移后
的抛物线的关系式．
20．（10分）如图，已知在△ABC中，点D在边AC上，CD：AD＝1：2， ＝ ， ＝
．
（1）试用向量 表示向量 ；
（2）求作： ﹣ ．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】（1）根据已知条件CD：AD＝1：2，求出 的值，再根据 ＝ ， ＝ 求
出向量 ，再根据三角形法则求出 即可；
（2）根据已知条件和三角形法则，做出BC边上的中线AM即可求作 ﹣ ．
【解答】解：（1）∵CD：AD＝1：2，
第16页（共25页）∴CD＝ CA， ＝ ，
∵ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ，
∴ ＝ + ＝ （ ）＝ ．
（2）根据题意得：
＝ ；
【点评】此题考查了平面向量的三角形法则，在图形中找到相应的向量是至关重
要的．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°．求：
（1）求∠C的余弦值；
（2）如果以点A为圆心的圆与线段BC有两个公共点，求圆A的半径R的取值范
围．
【考点】MB：直线与圆的位置关系；T1：锐角三角函数的定义；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）首先作AH⊥BC，再利用∠B＝60°，AB＝6，求出BH＝3，AH＝3 ；
利用Rt△ACH中，AH＝3 ，CH＝8﹣3＝5，求出AC，进而求出∠C的余弦值；
（2）根据直线与圆的位置关系可知圆A的半径R的取值范围为：AH＜R≤AB．
【解答】解：（1）作AH⊥BC，垂足为点H．
第17页（共25页）在Rt△ABH中，∵∠AHB＝90°，∠B＝60°，AB＝6，
∴BH＝3，AH＝3 ，
∵BC＝8，
∴CH＝5．
在Rt△ACH中，∵AH＝3 ，CH＝5，
∴AC＝2 ．
∴cosC＝ ＝ ＝ ．
（2）∵AB＜AC，AH为A到BC的距离，
∴以点A为圆心的圆与线段BC有两个公共点，圆A的半径R的取值范围为：3
＜R≤6．
【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形的应用，根据已知构
建直角三角形得出是解题关键．同时考查了直线与圆的位置关系： 直线l和
O相交 d＜r； 直线l和 O相切 d＝r； 直线l和 O相离 d＞r．
①
22．（10分）已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分
⊙ ⇔ ② ⊙ ⇔ ③ ⊙ ⇔
别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC＝12，
AH＝6，EF：GF＝1：2，求矩形DEFG的周长．
【考点】86：解一元一次方程；LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】设EF＝x，则GF＝2x．根据GF∥BC，AH⊥BC得到AK⊥GF．利用
GF∥BC得到△AGF∽△ABC，然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式
第18页（共25页）即可求得x的值，进而求得矩形的周长．
【解答】解：设EF＝x，则GF＝2x．
∵GF∥BC，AH⊥BC，
∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴ ＝ ．
∵AH＝6，BC＝12，
∴ ＝ ．
解得x＝3．
∴矩形DEFG的周长为18．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，难
度适中．
23．（12分）已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的
同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，
在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：
（1）坡顶A到地面PQ的距离；
（2）古塔BC的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，
tan76°≈4.01）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题；TA：解直角三角形的应用﹣仰
角俯角问题．
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【分析】（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H，利用斜坡AP的坡度为1：2.4，得出
AH，PH，AP的关系求出即可；
第19页（共25页）（2）利用矩形性质求出设BC＝x，则x+10＝24+DH，再利用tan76°＝ ，求出即
可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥PQ，垂足为点H．
∵斜坡AP的坡度为1：2.4，∴ ＝ ，
设AH＝5km，则PH＝12km，
由勾股定理，得AP＝13km．
∴13k＝26m． 解得k＝2．
∴AH＝10m．
答：坡顶A到地面PQ的距离为10m．
（2）延长BC交PQ于点D．
∵BC⊥AC，AC∥PQ，
∴BD⊥PQ．
∴四边形AHDC是矩形，CD＝AH＝10，AC＝DH．
∵∠BPD＝45°，
∴PD＝BD．
设BC＝x，则x+10＝24+DH．∴AC＝DH＝x﹣14．
在Rt△ABC中，tan76°＝ ，即 ≈4.0，
解得x＝ ，即x≈19，
答：古塔BC的高度约为19米．
【点评】此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得
出各边长度是解题关键．
第20页（共25页）24．（12分）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，CD⊥AB于D点，
∠BAC的角平分线交BC于，点E，交线段BD于点F．
（1）求证：AC•AF＝AE•AD；
（2）试判断线段DF与BE有怎样的数量关系？请证明你的结论；
（3）若令线段DF的长为x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数关系式．
【考点】K3：三角形的面积；KW：等腰直角三角形；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【 分 析 】 （ 1 ） 由 AE 平 分 ∠ CAB 得 到 ∠ CAE ＝ ∠ FAD ， 易 证 得
Rt△ACE∽Rt△ADF，则AC：AD＝AE：AF，变形后即可得到结论；
（2）过 E 作 EM⊥AB 于 M 点，根据角平分线定理可得 EM＝EC，则
Rt△AME≌Rt△ACE，得到AM＝AC；再根据平行线分线段成比例定理得到
＝ ，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝AC＝BC＝ AD，EM＝ BE，
代入上式得到FD＝ BE• ＝ BE；
（3）过F作FG⊥BC于点G，根据三角形的角平分线相交于一点由CD和AE为
△ABC的角平分线得到BF平分∠ABC，则FG＝FD＝x，再根据三角形的面积
公式即可得到y与x的关系．
【解答】（1）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠FAD，
而CD⊥AB，
∴∠FDA＝90°，
∴Rt△ACE∽Rt△ADF，
∴AC：AD＝AE：AF，
第21页（共25页）∴AC•AF＝AE•AD；
（2）解：线段DF＝ BE．理由如下：
过E作EM⊥AB于M点，如图，
∴EM＝EC，
∴Rt△AME≌Rt△ACE，
∴AM＝AC
∵FD∥EM，
∴ ＝ ，
∵∠ACB＝90°，CA＝CB，
∴△CAB为等腰直角三角形，
∴AM＝AC＝BC＝ AD，EM＝ BE，
∴FD＝ BE• ＝ BE；
（3）解：过F作FG⊥BC于点G，如图，
∵CD和AE为△ABC的角平分线，
∴BF平分∠ABC，
∴FG＝FD＝x，
∴y＝ FG•BE＝ x•2x＝x2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两个角对应相等的两三角形相
似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了等腰直角三角形的性质、三角形
的面积公式以及角平分线的性质．
第22页（共25页）25．（14分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣ x2+bx+c的图
象经过点A（﹣1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交
于点C和点D．
（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；
（2）求证：∠ABO＝∠CBO；
（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P的坐标．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；HF：二次函数综合题；KJ：等腰三角
形的判定与性质；S7：相似三角形的性质．
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【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）利用由直线OA的表达式y＝﹣x，得点C的坐标为（1，﹣1），进而求出AB＝
BC，OA＝OC即可得出答案；
（3）首先得出∠BOP＝∠BDC或∠BOP＝∠BCD，进而分析得出P点坐标即可．
【解答】解：（1）由题意，得 ，
解得 ，
∴所求二次函数的解析式为：y＝﹣ x2+ x+2，
对称轴为直线x＝1；
（2）证明：由直线OA的表达式y＝﹣x，得点C的坐标为（1，﹣1）．
第23页（共25页）∵AB＝ ，BC＝ ，∴AB＝BC．
又∵OA＝ ，OC＝ ，∴OA＝OC，
∴∠ABO＝∠CBO．
（3）由直线OB的表达式y＝x，得点D的坐标为（1，1）．
由直线AB的表达式：y＝ x+ ，
得直线与x轴的交点E的坐标为（﹣4，0）．
∵△POB与△BCD相似，∠ABO＝∠CBO，
∴∠BOP＝∠BDC或∠BOP＝∠BCD．
（i）当∠BOP＝∠BDC时，由∠BDC＝135°，得∠BOP＝135°．
∴点P不但在直线AB上，而且也在x轴上，即点P与点E重合．
∴点P的坐标为（﹣4，0）．
（ii）当∠BOP＝∠BCD时，连接PO，
由△POB∽△BCD，得 ＝ ．
而BO＝2 ，BD＝ ，BC＝ ，
∴BP＝ ．
又∵BE＝2 ，
∴PE＝ ．
作PH⊥x轴，垂足为点H，BF⊥x轴，垂足为点F．
∵PH∥BF，
∴ ＝ ＝ ．
而BF＝2，EF＝6，
∴PH＝ ，EH＝ ．
∴OH＝ ．
∴点P的坐标为（ ， ）．
第24页（共25页）综上所述，点P的坐标为（﹣4，0）或（ ， ）．
【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的性质和
二次函数综合应用，利用数形结合以及分类讨论求出是解题关键．
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日期：2018/12/26 20:33:19；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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