文档内容
2012年上海市徐汇区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列实数中，无理数是（ ）
A． B．
C． D．3.3030030003
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．等边三角形
3．（4分）如果a﹣2b＝3，那么6﹣2a+4b的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
4．（4分）下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（ ）
A．瓮中捉鳖 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下
5．（4分）某商店在一周内卖出某种品牌球鞋的尺寸（单位：码）整理后的数据如
下：36，38，38，39，40，40，41，41，41，41，42，43，44．那么这组数据的中位数和
众数分别为（ ）
A．40，40 B．41，40 C．40，41 D．41，41
6．（4分）下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且垂直 D．对角线互相平分且相等
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）（请将结果直接填入答题纸
的相应位置上）
7．（4分）计算：3a•2a2＝ ．
8．（4分）求值：sin60°﹣tan30°＝ ．
9．（4分）函数 的定义域是 ．
10．（4分）如果方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 ．
11．（4分）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么
平移后的抛物线表达式是 ．
12．（4分）纳米是一个长度单位，1纳米＝0.000 000 001米，如果把水分子看成
第1页（共26页）是球形，它的直径约为0.4纳米，用科学记数法表示为4×10n米，那么n的值是
．
13．（4分）如图，一斜坡AB的坡比i＝1：4，如果坡高AC＝2米，那么它的水平宽
度BC的长是 米．
14．（4分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x、y的部分对应值如下表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 8 5 2 ﹣1 ﹣4 …
那么关于x的不等式kx+b≥﹣1的解集是 ．
15．（4分）点G是△ABC的重心，如果 ， ，那么向量 用向量 和 表示
为 ．
16．（4分）为了了解全区近6000名初三学生数学学习状况，随机抽取600名学生
的测试成绩作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：（每组数据含最低
值，不含最高值）
分组（分） 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100
频数 12 18 180
频率 0.16 0.04
根据上表信息，由此样本请你估计全区此次测试成绩在 70～80分的人数大约是
．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴
上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标是 ．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，点E在射线CB上，BE＝1，
如果AE与射线DB相交于点O，那么DO＝ ．
第2页（共26页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）化简： ．
20．（10分）如图，在△AOB中，点A（﹣1，0），点B在y轴正半轴上，且OB＝
2OA．
（1）求点B的坐标；
（2）将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，点B落在x轴正半轴的点B′处，抛物线
y＝ax2+bx+2经过点A、B′两点，求此抛物线的解析式及对称轴．
21．（10分）如图，AC和BD相交于点O，∠D＝∠B，AB＝2CD．
（1）如果△COD的周长是9，求△AOB的周长；
（2）连接AD，如果△AOB的面积是16，求△ACD的面积．
22．（10分）为迎接“五一”国际劳动节，某公司机床车间举行“车工技能竞赛”
活动，竞赛规则：先车好240个零件的选手获胜．小李为了这次比赛刻苦训练、
积极准备，在比赛中，小李每小时比原来多车10个零件，结果比原来提前2小
时完成任务，荣获第一名．问小李比赛中每小时车多少个零件？
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AC平分∠DAB，AC⊥BC，∠B＝
第3页（共26页）60°．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）取边AB的中点E，连接DE．求证：四边形DEBC是菱形．
24．（12分）函数 和 （k≠0）的图象关于y轴对称，我们把函数 和
（k≠0）叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数y＝（f x）和y＝h（x）的
图象关于y轴对称，那么我们就把函数y＝f（x）和y＝h（x）叫做互为“镜子”
函数．
（1）请写出函数y＝3x﹣4的“镜子”函数： ；
（2）函数 的“镜子”函数是y＝x2﹣2x+3；
（3）如图，一条直线与一对“镜子”函数 （x＞0）和 （x＜0）的图象分别
交于点A、B、C，如果CB：AB＝1：2，点C在函数 （x＜0）的“镜子”函数
上的对应点的横坐标是 ，求点B的坐标．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， ， B的半径长为1， B
⊙ ⊙
交边CB于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将 B绕点P旋转180°得到 M，请判断 M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
⊙ ⊙ ⊙
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的 N和以OA为半径的
第4页（共26页）
⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
⊙
第5页（共26页）2012 年上海市徐汇区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列实数中，无理数是（ ）
A． B．
C． D．3.3030030003
【考点】26：无理数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】无理数包括 开方开不尽的数， 无限不循环小数， 含有 的数，结合
选项即可得出答案．
① ② ③ π
【解答】解：A、 ＝3，是有理数，故本选项错误；
B、 ＝2，是有理数，故本选项错误；
C、 是无理数，故本选项正确；
D、3.3030030003是有理数，故本选项错误；
故选：C．
【点评】此题考查了无理数的概念，注意掌握无理数的三种形式，属于基础题．
2．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形是（ ）
A．正六边形 B．正五边形 C．等腰梯形 D．等边三角形
【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直
线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴
如果一个图形绕某一点旋转 180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中
心对称图形，这个点叫做对称中心．
【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
第6页（共26页）C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，
旋转180度后两部分重合．
3．（4分）如果a﹣2b＝3，那么6﹣2a+4b的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【考点】33：代数式求值．
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【专题】36：整体思想．
【分析】把6﹣2a+4b变形为6﹣2（a﹣2b），再代入，即可求出答案．
【解答】解：∵a﹣2b＝3，
∴6﹣2a+4b，
＝6﹣2（a﹣2b），
＝6﹣2×3，
＝0，
故选：D．
【点评】本题考查了求代数式的值的应用，用了整体代入的方法，即把a﹣2b当作
一个整体进行代入．
4．（4分）下列成语或词语所反映的事件中，可能性大小最小的是（ ）
A．瓮中捉鳖 B．守株待兔 C．旭日东升 D．夕阳西下
【考点】X2：可能性的大小．
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【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
【解答】解：A．瓮中捉鳖，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B．守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
C．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
D．夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．
一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机
第7页（共26页）事件发生的可能性大小在0至1之间．
5．（4分）某商店在一周内卖出某种品牌球鞋的尺寸（单位：码）整理后的数据如
下：36，38，38，39，40，40，41，41，41，41，42，43，44．那么这组数据的中位数和
众数分别为（ ）
A．40，40 B．41，40 C．40，41 D．41，41
【考点】W4：中位数；W5：众数．
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【分析】首先把所给数据重新从小到大排序，然后根据中位数和众数的定义即可
求出结果．
【解答】解：把已知数据重新从小到大排序后为36，38，38，39，40，40，41，41，41，
41，42，43，44，
∴中位数为41，众数为41．
故选：D．
【点评】本题用到的知识点是：
一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位
数；
①
给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．一组数据是不
一定存在众数的；如果一组数据存在众数，则众数一定是数据集里的数．
②
6．（4分）下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分且垂直 D．对角线互相平分且相等
【考点】LC：矩形的判定．
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【分析】根据矩形的判定方法： 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩
形； 有三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形
①
（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”），针对每一个选项进行分析，
② ③
可选出答案．
【解答】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故此选项
错误；
B、对角线互相垂直不一定是矩形，菱形对角线也互相垂直，故此选项错误；
C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不是矩形，故此选项错误；
D、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项正确；
第8页（共26页）故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定方法．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）（请将结果直接填入答题纸
的相应位置上）
7．（4分）计算：3a•2a2＝ 6 a 3 ．
【考点】49：单项式乘单项式．
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【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相
加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．
【解答】解：3a•2a2＝3×2a•a2＝6a3．
故答案为：6a3．
【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（4分）求值：sin60°﹣tan30°＝ ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据sin60°＝ ，tan30°＝ 得到原式＝ ﹣ ，然后通分合并即可．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝ ﹣
＝ ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：sin60°＝ ，tan30°＝ ．也考查了二
次根式的运算．
9．（4分）函数 的定义域是 x ≥﹣ 2 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
【解答】解：根据题意得：3x+6≥0，
解得x≥﹣2．
第9页（共26页）故答案为：x≥﹣2．
【点评】本题主要考查自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考
虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
10．（4分）如果方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，那么m的值是 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】由方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，即可得根的判别式△＝b2﹣
4ac＝0，即可得方程9﹣4m＝0，解此方程即可求得答案．
【解答】解：∵方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＝0，
解得：m＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题比较简单，注意掌握一
元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： 当△＞0
时，方程有两个不相等的两个实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的两个
①
实数根； 当△＜0时，方程无实数根．
②
11．（4分）如果将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位，再向上平移3个单位，那么
③
平移后的抛物线表达式是 y ＝（ x + 2 ） 2 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】2B：探究型．
【分析】分别根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位所
得直线的解析式为：y＝（x+2）2﹣3；
由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝（x+2）2﹣3向上平移3个单位所得抛
物线的解析式为：y＝（x+2）2．
故答案为：y＝（x+2）2．
第10页（共26页）【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是
解答此题的关键．
12．（4分）纳米是一个长度单位，1纳米＝0.000 000 001米，如果把水分子看成
是球形，它的直径约为0.4纳米，用科学记数法表示为4×10n米，那么n的值是
﹣ 1 0 ．
【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．
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【分析】首先根据0.4纳米＝0.4×0.000 000 001米，再利用绝对值小于1的正数也
可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的
是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0
的个数所决定．
【解答】解：∵1纳米＝0.000 000 001米，
∴0.4纳米＝0.4×0.000 000 001米＝4×10﹣10；
∴用科学记数法表示为4×10n米，那么n的值是：﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|
＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（4分）如图，一斜坡AB的坡比i＝1：4，如果坡高AC＝2米，那么它的水平宽
度BC的长是 8 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】利用坡比是斜坡的竖直高度与水平宽度的比即可求水平宽度．
【解答】解：∵坡比i＝竖直高度：水平宽度＝AC：BC＝2：BC＝1：4，
∴BC＝8米．
故答案为8．
【点评】本题考查了坡度或坡比的定义，解题的关键是熟知坡比是竖直高度与水
平宽度的比．
14．（4分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x、y的部分对应值如下表所示：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 8 5 2 ﹣1 ﹣4 …
第11页（共26页）那么关于x的不等式kx+b≥﹣1的解集是 x ≤ 1 ．
【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．
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【分析】由表格得到函数的增减性后，再得出y＝﹣1时，对应的x的值即可．
【解答】解：当x＝1时，y＝﹣1，
根据表可以知道函数值y随x的增大而减小，
∴不等式kx+b≥﹣1的解集是x≤1．
故答案为：x≤1．
【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次
方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题
的关键．
15．（4分）点G是△ABC的重心，如果 ， ，那么向量 用向量 和 表示
为 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先根据题意画出图形，由 ， ，根据三角形法则，即可求得 的
长，又由点G是△ABC的重心，根据重心的性质，即可求得 ．
【解答】解：如图：BD是△ABC的中线，
∵ ，
∴ ＝ ，
∵ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∵点G是△ABC的重心，
∴ ＝ ＝ ×（ ﹣ ）＝ ．
故答案为： ．
第12页（共26页）【点评】此题考查了平面向量与三角形重心的知识．此题难度适中，解题的关键是
掌握三角形法则与三角形重心的性质，注意数形结合思想的应用．
16．（4分）为了了解全区近6000名初三学生数学学习状况，随机抽取600名学生
的测试成绩作为样本，将他们的成绩整理后分组情况如下：（每组数据含最低
值，不含最高值）
分组（分） 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100
频数 12 18 180
频率 0.16 0.04
根据上表信息，由此样本请你估计全区此次测试成绩在 70～80分的人数大约是
2700 ．
【考点】V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．
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【分析】先根据统计表得出40～70分的频率，再求出70～80分的频率，最后用全
区此次测试的总人数乘以70～80分的频率即可求出答案．
【解答】解：根据统计表得：
40～70分的频率是：（12+18+180）÷600＝0.35，
所以70～80分的频率是：1﹣0.35﹣0.16﹣0.04＝0.45，
所以全区此次测试成绩在70～80分的人数大约是6000×0.45＝2700；
故答案为：2700．
【点评】本题考查了统计表以及用样本估计总体的思想，此题主要考查从统计表
中获取信息的能力．统计表可以将大量数据的分类结果清晰、一目了然地表达
出来．
17．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A、B分别在y轴、x轴的正半轴
上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标是 （ 1+ 2 ， 2 ） ．
第13页（共26页）【考点】D5：坐标与图形性质；LB：矩形的性质．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出OB的长度，然后过点C作
CE⊥x轴于点E，根据直角三角形的性质求出∠CBE＝30°，在Rt△BCE中求出
CE、BE的长度，再求出OE的长度，即可得解．
【解答】解：∵AB＝2，∠OAB＝30°，
∴OB＝ AB＝1，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴∠OAB+∠ABO＝90°，∠AB0+∠CBE＝90°，
∴∠CBE＝∠OAB＝30°，
点C作CE⊥x轴于点E，
在Rt△BCE中，CE＝ BC＝ ×4＝2，BE＝ ＝ ＝2 ，
∴OE＝OB+BE＝1+2 ，
∴点C的坐标是（1+2 ，2）．
故答案为：（1+2 ，2）．
【点评】本题考查了矩形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半
的性质，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠A＝60°，点E在射线CB上，BE＝1，
如果AE与射线DB相交于点O，那么DO＝ 或 ．
【考点】L8：菱形的性质．
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第14页（共26页）【分析】本题分两种情况，如图所示， 根据△BOE∽△DOA，可求出DO的长度；
根据△BEO∽△DAO，可求出答案．
①
②
【解答】解：
∵AB＝AD，∠①A＝60°，
∴△ABD是等边三角形，BD＝AB＝3，
又∵△BOE∽△DOA，
∴ ＝ ＝ ，
故DO＝ BD＝ ；
②设BO＝x，
∵△BOE∽△DOA，
∴ ＝ ＝ ，
设BO＝x，则可得 ＝ ，
解得：x＝ ，
故OD＝OB+BD＝ +3＝ ．
综上可得DO＝ 或 ．
【点评】此题考查了菱形的性质及相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是
分类讨论，否则容易漏解，难度较大．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
第15页（共26页）19．（10分）化简： ．
【考点】6C：分式的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据分式混合运算的法则先算除法，再算减法即可．
【解答】解：原式＝ × ﹣
＝ ﹣
＝﹣ ．
【点评】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的
关键．
20．（10分）如图，在△AOB中，点A（﹣1，0），点B在y轴正半轴上，且OB＝
2OA．
（1）求点B的坐标；
（2）将△AOB绕原点O顺时针旋转90°，点B落在x轴正半轴的点B′处，抛物线
y＝ax2+bx+2经过点A、B′两点，求此抛物线的解析式及对称轴．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；R7：坐标与图形变化﹣旋转．
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【专题】1：常规题型．
【分析】（1）先根据点A的坐标求出OA的长度，然后求出OB的长度，从而得解；
（2）根据旋转的旋转求出点B′的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式即可，
根据对称轴表达式列式即可得解．
【解答】解：（1）∵A（﹣1，0），
∴OA＝1，
第16页（共26页）∵OB＝2OA，
∴OB＝2，
∴B（0，2）；
（2）由题意，得B'（2，0），
所以 ，
解得， ，
所以y＝﹣x2+x+2，
对称轴为直线x＝﹣ ＝﹣ ＝ ．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，旋转变换的性质，求出点B′的坐
标是解题的关键．
21．（10分）如图，AC和BD相交于点O，∠D＝∠B，AB＝2CD．
（1）如果△COD的周长是9，求△AOB的周长；
（2）连接AD，如果△AOB的面积是16，求△ACD的面积．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据已知条件和隐藏条件：对顶角相等可判定△COD∽△AOB，再利
用相似三角形的性质即可求出△AOB的周长；
第17页（共26页）（2）由（1）可知 ，进而求出S ＝4，设△ADC中边AC上的高
△COD
为h，则△ADO和△DOC的边AO，CO上的高也为h，所以可求出S ＝8，从
△AOD
而求出△ACD的面积．
【解答】解：（1）∵∠D＝∠B，∠DOC＝∠BOA；
∴△COD∽△AOB，
∴
∵C ＝9，
△COD
∴C ＝18．
△AOB
（2）∵△COD∽△AOB，
∴ ， ．
∵S ＝16，
△AOB
∴S ＝4，
△COD
设△ADC中边AC上的高为h．
∴ ，
∴S ＝8．
△AOD
∴S ＝S +S ＝12．
△ADC △COD △AOD
【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，三角形相似的判定
一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已
有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角
形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行
分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独
使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条
件方可．
第18页（共26页）22．（10分）为迎接“五一”国际劳动节，某公司机床车间举行“车工技能竞赛”
活动，竞赛规则：先车好240个零件的选手获胜．小李为了这次比赛刻苦训练、
积极准备，在比赛中，小李每小时比原来多车10个零件，结果比原来提前2小
时完成任务，荣获第一名．问小李比赛中每小时车多少个零件？
【考点】B7：分式方程的应用．
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【专题】126：工程问题．
【分析】关系式为：原来车240个零件用的时间﹣比赛时车240个零件用的时间＝
2，把相关数值代入后求得合适的解即可．
【解答】解：设小李比赛中每小时车x个零件，则小李原来每小时车（x﹣10）个零
件．
由题意，得 ；
化简，得 x2﹣10x﹣1200＝0；
（x﹣40）（x+30）＝0，
x ＝40，x ＝﹣30；
1 2
经检验x ＝40，x ＝﹣30都是原方程的根，但x ＝﹣30不合题意，舍去．
1 2 2
答：小李比赛中每小时车40个零件．
【点评】考查分式方程的应用；得到原来车240个零件用的时间和比赛时车240个
零件用的时间的关系式是解决本题的关键．
23．（12分）如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，AC平分∠DAB，AC⊥BC，∠B＝
60°．
（1）求证：四边形ABCD是等腰梯形；
（2）取边AB的中点E，连接DE．求证：四边形DEBC是菱形．
【考点】L9：菱形的判定；LK：等腰梯形的判定．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）由等腰三角形的性质、角平分线的性质利用等量代换可以推知内错
角∠DCA＝∠CAB，利用平行线的判定定理可以证得CD∥AB；然后由直角三
第19页（共26页）角形的性质、角平分线的性质以及等腰三角形 判定定理知AD＝BC；最后由等
腰梯形的判定定理证得结论；
（2）根据菱形的判定定理（邻边相等的平行四边形是菱形）知，欲证四边形DEBC
是菱形，首先证明四边形DEBC是平行四边形，然后结合（1）知邻边CD＝BC．
【解答】证明：（1）∵AD＝CD（已知），
∴∠DCA＝∠DAC（等边对等角）；
∵AC平分∠DAB（已知），
∴∠DAC＝∠CAB（角平分线的性质），
∴∠DCA＝∠CAB（等量代换），
∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）；
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠B＝60°
∴∠CAB＝30°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠DAC＝30°，
∴∠DAB＝30°+30°＝60°＝∠B，
∴AD＝BC（等角对等边）；
∵∠B+∠DAB＝60°+60°＝120°≠180°
∴AD与BC不平行，…（1分）
∴四边形ABCD是等腰梯形． …（1分）
（2）由（1）知AD＝CD，BC＝AD，
∴BC＝CD（等量代换）；
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°
∴ （直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）；
∴CD＝BE（等量代换），
∵DC∥AB（梯形的性质），
∴四边形DEBC是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∵BC＝CD，
∴四边形DEBC是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
第20页（共26页）【点评】本题考查了等腰梯形的性质、菱形的判定．学生在证明四边形为等腰梯形
时，常直接找所需条件：同一底上的两底角相等或两条腰相等，而常忽略﹣关
键要素：已经证明该四边形为梯形了吗？
24．（12分）函数 和 （k≠0）的图象关于y轴对称，我们把函数 和
（k≠0）叫做互为“镜子”函数．类似地，如果函数y＝（f x）和y＝h（x）的
图象关于y轴对称，那么我们就把函数y＝f（x）和y＝h（x）叫做互为“镜子”
函数．
（1）请写出函数y＝3x﹣4的“镜子”函数： y ＝﹣ 3 x ﹣ 4 ；
（2）函数 y ＝ x 2 + 2 x + 3 的“镜子”函数是y＝x2﹣2x+3；
（3）如图，一条直线与一对“镜子”函数 （x＞0）和 （x＜0）的图象分别
交于点A、B、C，如果CB：AB＝1：2，点C在函数 （x＜0）的“镜子”函数
上的对应点的横坐标是 ，求点B的坐标．
【考点】GB：反比例函数综合题．
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【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数
则两个解析式的k值应互为相反数，得出答案即可；
（2）函数y＝x2﹣2x+3的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变，得y＝
（﹣x）2﹣2（﹣x）+3＝x2+2x+3，即可．
第21页（共26页）（3）首先作CC'、BB'、AA'垂直于x轴，再利用设点 、 ，得出
A'B'＝n﹣m，B′C′＝m+ ，即可得出等式方程，求出m的值即可．
【解答】解：（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标不变，横坐标互为相反
数得出：
函数y＝3x﹣4的“镜子”函数：y＝﹣3x﹣4；
故答案为：y＝﹣3x﹣4；
（2）y＝x2﹣2x+3的图象关于y轴对称的抛物线x互为相反数，y不变．得
y＝（﹣x）2﹣2（﹣x）+3＝x2+2x+3．
故答案为：y＝x2+2x+3；
（3）过点C作CC'垂直于x轴，垂足为C'，过点B作BB'垂直于x轴，垂足为B'，过
点A作AA'垂直于x轴，垂足为A'．
设点 、 ，其中m＞0，n＞0．
由题意，得 点 ．
∴CC'＝4，BB′＝ ，AA′＝ ，
A'B'＝n﹣m，B′C′＝m+ ．
易知 CC'∥BB'∥AA'，
又CB：AB＝1：2，
所以，可得 ，
化简，得 ，
解得 （负值舍去），
第22页（共26页）∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了反比例函数的综合、一次函数、二次函数图象与几何变换的知
识，根据已知利用平行线分线段成比例定理得出等式方程是解题关键．
25．（14分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6， ， B的半径长为1， B
⊙ ⊙
交边CB于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将 B绕点P旋转180°得到 M，请判断 M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
⊙ ⊙ ⊙
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的 N和以OA为半径的
O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
⊙
⊙
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题；16：压轴题．
【分析】（1）过点M作MD⊥AB，垂足为D，根据MB＝2，结合sin∠B的值，可得
出MD的长，与圆M的半径进行比较即可得出 M与直线AB的位置关系；
（2）根据（1）得出MD＞MP，OM＞MP，从而△OMP是等腰三角形可分两种情况
⊙
讨论， OP＝MP， OM＝OP，分别运用相似三角形的性质求解OA即可；
（3）先表示出NF、BF，从而可得出OF的表达式，由 N和 O外切，可得出ON
① ②
⊙ ⊙
第23页（共26页）＝x+y，在Rt△NFO中利用勾股定理，可得出y与x的关系式，也可得出自变量
的定义域．
【解答】解：（1） M与直线AB相离，理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
⊙
∵ ，AC＝6，
∴AB＝10， ．
过点M作MD⊥AB，垂足为D，
在Rt△MDB中，∠MDB＝90°， ，
∵MB＝2，
∴ ＞1，
故可得 M与直线AB相离；
（2）∵⊙ ＞1＝MP，
∴OM＞MP．
分两种情况讨论，
1°当OP＝MP时，此时OP＝MP＝PB，
故易得∠MOB＝90°，
∴ ，
∴OB＝
∴OA＝ ；
2°当OM＝OP时，过点O作OE⊥BC，垂足为E
EB＝EP+PB＝ +1＝ ，
此时 ，
∴OB＝ ，
第24页（共26页）∴OA＝ ．
综上可得，当△OMP是等腰三角形时，OA的长为 或 ；
（3）连接ON，过点N作NF⊥AB，垂足为F．
在Rt△NFB中，∠NFB＝90°， ，
设NB＝y，则NF＝ y，BF＝ y，
故可得OF＝10﹣x﹣ y，
∵ N和 O外切，
∴ON＝x+y，
⊙ ⊙
在Rt△NFO中，∠NFO＝90°，则ON2＝OF2+NF2，
即 ，
故可得 ，定义域为：0＜x＜5．
第25页（共26页）【点评】此题属于圆的综合题，涉及了直线与圆的位置关系、勾股定理及等腰三角
形的性质，综合性较强，难点在第二问和第三问，解答时注意分类讨论思想的
运用，另外要求我们能将所学知识融会贯通．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:35:28；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第26页（共26页）
