文档内容
2016 年上海市杨浦区中考数学一模试卷
一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）
1．（4分）将抛物线y=2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是（ ）
A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2 C．y=2（x﹣2）2 D．y=2x2﹣2
2．（4分）以下图形中一定属于互相放缩关系的是（ ）
A．斜边长分别是10和5的两直角三角形
B．腰长分别是10和5的两等腰三角形
C．边长分别是10和5的两个菱形
D．边长分别是10和5的两个正方形
3．（4分）如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点， ， ，那么 等于（
）
A． B． C． D．
4．（4分）坡度等于1： 的斜坡的坡角等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．（4分）下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠F
C．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且
6．（4分）下列图象中，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是（
）
A． B．
第1页（共27页）C． D．
二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）
7．（4分）如果 ，那么 = ．
8．（4分）如图，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，EF∥AB，那么CF：BF=
．
9．（4分）已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE
和AC平行，那么BE= ．
10．（4分）如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长
边是10cm，那么△DEF的最短边是 cm．
11．（4分）如果AB∥CD，2AB=3CD， 与 的方向相反，那么 = ．
12．（4分）计算：sin60°﹣cot30°=
13．（4分）在△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ，AB=6，那么BC= ．
14．（4分）如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为 ．
15．（4分）抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线 ．
16．（4分）如果A（﹣1，y ），B（﹣2，y ）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么
1 2
y y （填“＜”或者“＞”）
1 2
17．（4分）请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线
x=﹣1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为
．
18．（4分）如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC
的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是 ．
第2页（共27页）三、解答题（共78分）
19．（10 分）如图，已知两个不平行的向量 ．先化简，再求作：
．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
20．（10分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐
标y的对应值如下表所示：
x … ﹣1 0 2 4 …
y … ﹣5 1 1 m …
求：
（1）这个二次函数的解析式；
（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．
21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E为边DC的中点，BE交AC
于点F．求：
（1）AF：FC的值；
（2）EF：BF的值．
22．（10分）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点
测得该塔顶端F的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．
求：
第3页（共27页）（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；
（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确
到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，
tan65°=2.1）
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边
AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC的中点时，求证： ．
24．（12分）已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ +bx+c与x轴相交于点A，
B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q
的坐标；
（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．
第4页（共27页）25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动
点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．
（1）求∠B的余弦值；
（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；
（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并
写出定义域．
第5页（共27页）2016 年上海市杨浦区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共6个小题，每个小题4分，共24分）
1．（4分）将抛物线y=2x2向上平移2个单位后所得抛物线的解析式是（ ）
A．y=2x2+2 B．y=2（x+2）2 C．y=2（x﹣2）2 D．y=2x2﹣2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】只要求得新抛物线的顶点坐标，就可以求得新抛物线的解析式了．
【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0），向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为
（0，2），可设新抛物线的解析式为：y=2（x﹣h）2+k，代入得：y=2x2+2．
故选：A．
【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：
左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
2．（4分）以下图形中一定属于互相放缩关系的是（ ）
A．斜边长分别是10和5的两直角三角形
B．腰长分别是10和5的两等腰三角形
C．边长分别是10和5的两个菱形
D．边长分别是10和5的两个正方形
【考点】S5：相似图形．
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【分析】根据相似图形的概念进行判断即可．
【解答】解：斜边长分别是10和5的两直角三角形，直角边不一定成比例，所以不
一定属于互相放缩关系，A不正确；
腰长分别是10和5的两等腰三角形不一定属于互相放缩关系，B不正确；
边长分别是10和5的两个菱形不一定属于互相放缩关系，C不正确；
边长分别是10和5的两个正方形属于互相放缩关系，D正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是相似图形的概念，形状相同的图形称为相似形．
3．（4分）如图，已知在△ABC中，D是边BC的中点， ， ，那么 等于（
）
第6页（共27页）A． B． C． D．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先由在△ABC中，D是边BC的中点，可求得 ，然后由三角形法则求得
．
【解答】解：∵在△ABC中，D是边BC的中点，
∴ = = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ．
故选：B．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键．
4．（4分）坡度等于1： 的斜坡的坡角等于（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据坡度就是坡角的正切值即可求解．
【解答】解：坡角α，则tanα=1： ，
则α=30°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了坡度的定义，理解坡度和坡角的关系是解题的关键．
5．（4分）下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠F
C．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形
相似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角
对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．
第7页（共27页）【解答】解：A、∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故
此选项错误；
B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此
选项错误；
C、由 可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可
以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；
D、∠A=∠E且 不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此
选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两
边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）
两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
6．（4分）下列图象中，有一个可能是函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）的图象，它是（
）
A． B．
C． D．
【考点】H2：二次函数的图象．
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第8页（共27页）【专题】2B：探究型．
【分析】根据函数y=ax2+bx+a+b（a≠0），对a、b的正负进行分类讨论，只要把选项
中一定错误的说出原因即可解答本题．
【解答】解：在函数y=ax2+bx+a+b（a≠0）中，
当a＜0，b＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，一定经过点（0，a+b），点
（0，a+b）一定在y轴的负半轴，故选项A、B错误；
当a＞0，b＜0时，若函数过点（1，0），则a+b+a+b=0，得a与b互为相反数，则
y=ax2﹣ax=ax（x﹣1），则该函数与x轴的两个交点是（0，0）或（1，0），故选项D
错误；
当a＞0，b＜0时，若函数过点（0，1），则a+b=1，只要a、b满足和为1即可，故选
项C正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象，解题的关键是运用分类讨论的数学思想解答
问题．
二、填空题（本大题共12个小题，每个小题4分，共48分）
7．（4分）如果 ，那么 = ．
【考点】S1：比例的性质．
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【分析】先由已知条件可得2y=3（x﹣y），整理后再根据比例的性质即可求得 的
值．
【解答】解：∵ ，
∴2y=3（x﹣y），
整理，得3x=5y，
∴ = ．
故答案为 ．
【点评】本题是基础题，考查了比例的基本性质，比较简单．比例的基本性质：两内
项之积等于两外项之积．即若a：b=c：d，则ad=bc．
8．（4分）如图，点G为△ABC的重心，DE过点G，且DE∥BC，EF∥AB，那么CF：BF=
第9页（共27页）1 ： 2 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】连接AG并延长，交BC于H．先根据重心的性质，得出AG=2GH．再由平行
线分线段成比例定理，得出CF：BF=CE：AE=GH：AG=1：2．
【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于H．
∵点G为△ABC的重心，
∴AG=2GH．
∵DE∥BC，
∴CE：AE=GH：AG=1：2，
∵EF∥AB，
∴CF：BF=CE：AE=1：2．
故答案为1：2．
【点评】此题主要考查了重心的概念和性质以及平行线分线段成比例定理，难度
中等．三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对
边中点的距离的2倍．
9．（4分）已知在△ABC中，点D、E分别在AB和BC上，AD=2，DB=1，BC=6，要使DE
和AC平行，那么BE= 2 ．
【考点】S4：平行线分线段成比例；S6：相似多边形的性质；S7：相似三角形的性质．
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【分析】求出 = ，根据相似三角形的判定得出△BED∽△BCA，推出
∠BED=∠C，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：BE=2，
第10页（共27页）理由是：如图：
∵AD=2，DB=1，
∴AB=2+1=3，
∵BC=6，BE=2，
∴ = ，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴∠BED=∠C，
∴DE∥AC．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行线
的判定的应用，能推出△BED∽△BCA是解此题的关键．
10．（4分）如果△ABC与△DEF相似，△ABC的三边之比为3：4：6，△DEF的最长
边是10cm，那么△DEF的最短边是 5 cm．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】设△DEF的最短边为x，由△ABC的三边之比为3：4：6，则可设△ABC的三
边分别为3a，4a，6a，由于△ABC与△DEF相似，根据相似三角形的性质得到
3a：x=6a：10，即可求出x=5．
【解答】解：设△DEF的最短边为x，△ABC的三边分别为3a，4a，6a，
∵△ABC与△DEF相似，
∴3a：x=6a：10，
∴x=5，
即△DEF的最短边是5cm．
故答案为5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相
第11页（共27页）等．
11．（4分）如果AB∥CD，2AB=3CD， 与 的方向相反，那么 = ﹣ ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由AB∥CD，2AB=3CD， 与 的方向相反，可得2 =﹣3 ，继而求得答
案．
【解答】解：∵AB∥CD，2AB=3CD， 与 的方向相反，
∴2 =﹣3 ，
∴ =﹣ ．
故答案为：﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意根据题意得到2 =﹣3 是解此题的
关键．
12．（4分）计算：sin60°﹣cot30°=
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角的三角函数值计算．
【解答】解：原式= ﹣ =﹣ ．
【点评】本题考查特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经
常出现，题型以选择题、填空题为主．
【相关链接】特殊角三角函数值：
sin30°= ，cos30°= ，tan30°= ，cot30°= ；
sin45°= ，cos45°= ，tan45°=1，cot45°=1；
sin60°= ，cos60°= ，tan60°= ，cot60°= ．
13．（4分）在△ABC中，∠C=90°，如果sinA= ，AB=6，那么BC= 2 ．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
第12页（共27页）【解答】解：sinA= = ，得
BC=AB× =6× =2，
故答案为：2．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
14．（4分）如果二次函数y=x2+bx+c配方后为y=（x﹣2）2+1，那么c的值为 5 ．
【考点】H9：二次函数的三种形式．
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【分析】把配方后的函数解析式转化为一般形式，然后根据对应项系数相等解答．
【解答】解：∵y=（x﹣2）2+1
=x2﹣4x+4+1
=x2﹣4x+5，
∴c的值为5．
故答案是：5．
【点评】本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；
（2）顶点式：y=a（x﹣h）2+k；
（3）交点式（与x轴）：y=a（x﹣x ）（x﹣x ）．
1 2
15．（4分）抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线 x=1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】根据抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣ 进行计算．
【解答】解：抛物线y=﹣2x2+4x﹣1的对称轴是直线x=﹣ =1．
故答案为x=1．
【点评】此题考查了抛物线的对称轴的求法，能够熟练运用公式法求解，也能够运
用配方法求解．
16．（4分）如果A（﹣1，y ），B（﹣2，y ）是二次函数y=x2+m图象上的两个点，那么
1 2
y ＜ y （填“＜”或者“＞”）
1 2
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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第13页（共27页）【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=0，图象开口向上；利用对称轴左侧
y随x的增大而减小，可判断y ＜y ．
1 2
【解答】解：∵二次函数y=x2+m中a=1＞0，
∴抛物线开口向上．
∵x=﹣ =0，﹣1＜﹣2，
∴A（﹣1，y ），B（﹣2，y ）在对称轴的左侧，且y随x的增大而减小，
1 2
∴y ＜y ．故答案为：＜．
1 2
【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二次函数图象上各点
的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
17．（4分）请写出一个二次函数的解析式，满足：图象的开口向下，对称轴是直线
x=﹣1，且与y轴的交点在x轴的下方，那么这个二次函数的解析式可以为 y =
﹣x 2 ﹣2x﹣1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】26：开放型．
【分析】由题意可知：写出的函数解析式满足a＜0，﹣ =﹣1，c＜0，由此举例得
出答案即可．
【解答】解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．
∵图象的开口向下，∴a＜0，可取a=﹣1；
∵对称轴是直线x=﹣1，∴﹣ =﹣1，得b=2a=﹣2；
∵与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0，可取c=﹣1；
∴函数解析式可以为：y=﹣x2﹣2x﹣1．
故答案为：y=﹣x2﹣2x﹣1．
【点评】本题考查了二次函数的性质，用到的知识点：
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣ ；当a＞0时，抛物线开口向
上，当a＜0时，抛物线开口向下；二次函数与y轴交于点（0，c）．
18．（4分）如图，已知△ABC沿角平分线BE所在的直线翻折，点A恰好落在边BC
第14页（共27页）的中点M处，且AM=BE，那么∠EBC的正切值是 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，证出MF为△BCE的中
位线，由三角形中位线定理得出MF= BE，由翻折变换的性质得出：AM⊥BE，
AD=MD，同理由三角形中位线定理得出 DE= MF，设 DE=a，则 MF=2a，
AM=BE=4a，得出BD=3a，MD= AM=2a，即可得出结果．
【解答】解：设AM与BE交点为D，过M作MF∥BE交AC于F，如图所示：
∵M为BC的中点，
∴F为CE的中点，
∴MF为△BCE的中位线，
∴MF= BE，
由翻折变换的性质得：AM⊥BE，AD=MD，
同理：DE是△AMF的中位线，
∴DE= MF，
设DE=a，则MF=2a，AM=BE=4a，
∴BD=3a，MD= AM=2a，
∵∠BDM=90°，
∴tan∠EBC= = = ．
故答案为： ．
第15页（共27页）【点评】本题考查了翻折变换的性质、三角形中位线定理、平行线的性质、三角函
数；熟练掌握翻折变换的性质，通过作辅助线由三角形中位线定理得出MF=
BE，DE= MF是解决问题的关键．
三、解答题（共78分）
19．（10 分）如图，已知两个不平行的向量 ．先化简，再求作：
．
（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先利用平面向量的加减运算法则化简原式，再利用三角形法则画出图
形．
【解答】解： = +3 ﹣ ﹣ =﹣ +2 ．
如图： =2 ， =﹣ ，
则 =﹣ +2 ，
即 即为所求．
第16页（共27页）【点评】此题考查了平面向量的运算法则以及作法．注意作图时准确利用三角形
法则是关键．
20．（10分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐
标y的对应值如下表所示：
x … ﹣1 0 2 4 …
y … ﹣5 1 1 m …
求：
（1）这个二次函数的解析式；
（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．
【考点】H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数解析式．
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【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式；
（2）把x=4，y=m代入解析式即可求得m的值，用配方法或公式法求二次函数的
顶点坐标．
【解答】解：（1）依题意，得 ，解得 ；
∴二次函数的解析式为：y=﹣2x2+4x+1．
（2）当x=4时，m=﹣2×16+16+1=﹣15，
由y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故其顶点坐标为（1，3）．
【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的
解法等知识，难度不大．
21．（10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E为边DC的中点，BE交AC
于点F．求：
（1）AF：FC的值；
（2）EF：BF的值．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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第17页（共27页）【专题】11：计算题．
【分析】（1）延长BE交直线AD于H，如图，先由AD∥BC得到△DEH∽△CEB，则
有 = ，易得DH=BC，加上BC=2AD，所以AH=3AD，然后证明△AHF∽△CFB，
再利用相似比可计算出AF：FC的值；
（2）由△DEH∽△CEB得到EH：BE=DE：CE=1：1，则BE=EH= BH，由△AHF∽△CFB
得到FH：BF=AF：FC=3：2；于是可设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，EH= a，接
着可计算出EF=FH﹣EH= a，然后计算EF：BF的值．
【解答】解：（1）延长BE交直线AD于H，如图，
∵AD∥BC，
∴△DEH∽△CEB，
∴ = ，
∵点E为边DC的中点，
∴DE=CE，
∴DH=BC，
而BC=2AD，
∴AH=3AD，
∵AH∥BC，
∴△AHF∽△CFB，
∴AF：FC=AH：BC=3：2；
（2）∵△DEH∽△CEB，
∴EH：BE=DE：CE=1：1，
∴BE=EH= BH，
∵△AHF∽△CFB，
∴FH：BF=AF：FC=3：2；
设BF=2a，则FH=3a，BH=BF+FH=5a，
第18页（共27页）∴EH= a，
∴EF=FH﹣EH=3a﹣ a= a，
∴EF：BF= a：2a=1：4．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意
利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，
寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三
角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．
22．（10分）如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD的A，C两点
测得该塔顶端F的仰角分别为和β，矩形建筑物宽度AD=20m，高度DC=33m．
求：
（1）试用α和β的三角比表示线段CG的长；
（2）如果α=48°，β=65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．（结果精确
到1m）（参考数据：sin48°=0.7，cos48°=0.7，tan48°=1.1，sin65°=0.9，cos65°=0.4，
tan65°=2.1）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】（1）将题目中所涉及到的仰角转换为直角三角形的内角，利用解直角三
角形的知识表示出线段CG的长即可．
第19页（共27页）（2）根据三角函数值求得CG的长，代入FG=x•tanβ即可求得．
【解答】解：（1）设CG=xm，
由图可知：EF=（x+20）•tanα，FG=x•tanβ，
则（x+20）tanα+33=xtanβ，
解得x= ；
（2）x= = =55，
则FG=x•tanβ=55×2.1=115.5≈116．
答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116m．
【点评】本题考查了仰角问题，解决此类问题的关键是正确的将仰角转化为直角
三角形的内角并选择正确的边角关系解直角三角形．
23．（12分）已知：如图，在△ABC中，点D．E分别在AB，AC上，DE∥BC，点F在边
AB上，BC2=BF•BA，CF与DE相交于点G．
（1）求证：DF•AB=BC•DG；
（2）当点E为AC的中点时，求证： ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）由BC2=BF•BA，∠ABC=∠CBF可判断△BAC∽△BCF，再由DE∥BC可
判断△BCF∽△DGF，所以△DGF∽△BAC，然后利用相似三角形的性质即可得
到结论；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，易得AH∥DE，由点E为AC的中点得
AH=2EG，再利用AH∥DG可判定△AHF∽△DGF，则根据相似三角形的性质得
= ，然后利用等线段代换即可得到 ．
第20页（共27页）【解答】证明：（1）∵BC2=BF•BA，
∴BC：BF=BA：BC，
而∠ABC=∠CBF，
∴△BAC∽△BCF，
∵DE∥BC，
∴△BCF∽△DGF，
∴△DGF∽△BAC，
∴DF：BC=DG：BA，
∴DF•AB=BC•DG；
（2）作AH∥BC交CF的延长线于H，如图，
∵DE∥BC，
∴AH∥DE，
∵点E为AC的中点，
∴AH=2EG，
∵AH∥DG，
∴△AHF∽△DGF，
∴ = ，
∴ ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意
利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，
寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在运用相似三
角形的性质时，主要通过相似比得到线段之间的关系．
24．（12分）已知在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣ +bx+c与x轴相交于点A，
第21页（共27页）B，与y轴相交于点C，直线y=x+4经过A，C两点，
（1）求抛物线的表达式；
（2）如果点P，Q在抛物线上（P点在对称轴左边），且PQ∥AO，PQ=2AO，求P，Q
的坐标；
（3）动点M在直线y=x+4上，且△ABC与△COM相似，求点M的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、C点坐标，根据待定系数法，
可得函数解析式；
（2）根据平行于x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称，可得P、Q关于直线
x=﹣1对称，根据PQ的长，可得P点的横坐标，Q点的横坐标，根据自变量与
函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得CM的长，根
据等腰直角三角形的性质，可得MH的长，再根据自变量与函数值的对应关系，
可得答案．
【解答】解：（1）当x=0时，y=4，即C（0，4），
当y=0时，x+4=0，解得x=﹣4，即A（﹣4，0），
将A、C点坐标代入函数解析式，得
，
解得 ，
抛物线的表达式为y=﹣ ﹣x+4；
（2）PQ=2AO=8，
又PQ∥AO，即P、Q关于对称轴x=﹣1对称，
第22页（共27页）PQ=8，﹣1﹣4=﹣5，
当x=﹣5时，y=﹣ ×（﹣5）2﹣（﹣5）+4=﹣ ，即P（﹣5，﹣ ）；
﹣1+4=3，即Q（3，﹣ ）；
P点坐标（﹣5，﹣ ），Q点坐标（3，﹣ ）；
（3）∠MCO=∠CAB=45°，
①当△MCO∽△CAB时， = ，即 = ，
CM= ．
如图1 ，
过M作MH⊥y轴于H，MH=CH= CM= ，
当x=﹣ 时，y=﹣ +4= ，
∴M（﹣ ， ）；
当△OCM∽△CAB时， = ，即 = ，解得CM=3 ，
如图2 ，
第23页（共27页）过M作MH⊥y轴于H，MH=CH= CM=3，
当x=﹣3时，y=﹣3+4=1，
∴M（﹣3，1），
综上所述：M点的坐标为（﹣ ， ），（﹣3，1）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用平行于
x轴的直线与抛物线的交点关于对称轴对称得出P、Q关于直线x=﹣1对称是
解题关键；利用两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形得出CM的长是
解题关键．
25．（14分）已知菱形ABCD的边长为5，对角线AC的长为6，点E为边AB上的动
点，点F在射线AD上，且∠ECF=∠B，直线CF交直线AB于点M．
（1）求∠B的余弦值；
（2）当点E与点A重合时，试画出符合题意的图形，并求出BM的长；
（3）当点M在边AB的延长线上时，设BE=x，BM=y，求y关于x的函数解析式，并
写出定义域．
【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）连接 BD、AC 交于点 O，作 AH⊥BC 于 H，由菱形的性质得出
AO=OC=3，BO=4，由△ABC的面积求出AH= ，由勾股定理得出BH，即可得出
结果；
（2）由菱形的性质得出∠FAC=∠ACB，证出△ABC∽△ECF，得出对应边成比例 =
，求出EF，由平行线得出△MBC∽△MAF，得出 = = ，即可得出结果；
第24页（共27页）（3）作EM⊥BC于M，作EG∥BC交CF于G，由（1）知cos∠B= ，BE=x，得出BM=
x，由勾股定理得出EM= x，CE= = ，由平行线得出
∠GEC=∠ECB， ，证出△BCE∽△CEG，得出对应边成比例 ，得出
EG= = ，代入比例式即可得出 y 关于 x 的函数解析式为 y=
（ ＜x≤5）．
【解答】解：（1）连接BD、AC交于点O，作AH⊥BC于H，如图1所示：
则AO=OC=3，BO=4，
∵S = BC×AH= AC×BO= ×6×4=12，
△ABC
∴ ×5×AH=12，
解得：AH= ，
由勾股定理得：BH= = = ，
∴cos∠B= = = ；
（2）当点E与点A重合时，符合题意的图形，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠FAC=∠ACB，
∵∠ECF=∠B，
∴△ABC∽△ECF，
∴ = ，即 = ，
解得：EF= ，
∵BC∥AF，
第25页（共27页）∴△MBC∽△MAF，
∴ = = = ，
∴ = ，
解得：BM= ；
（3）作EH⊥BC于H，作EG∥BC交CF于G，如图3所示：
由（1）知cos∠B= ，BE=x，
∴BH= x，EH= = = x，
∴CE= = = ，
∵EG∥BC，
∴∠GEC=∠ECB， ，
∴△BCE∽△CEG，
∴ ，
则EG= = ，
∴ ，
整理得：y= ，
即y关于x的函数解析式为y= （ ＜x≤5）．
第26页（共27页）【点评】本题是相似形综合题目，考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、
平行线的性质、勾股定理、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，特别是
（3）中，需要运用勾股定理和证明三角形相似得出比例式才能得出结果．
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日期：2018/12/24 0:16:28；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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