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2016 年上海市徐汇区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的
1．（4分）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
2．（4分）如图，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
3．（4分）将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新
抛物线的表达式是（ ）
A．y=2（x+3）2 B．y=（x+3）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2（x﹣1）2
4．（4分）点G是△ABC的重心，如果AB=AC=5，BC=8，那么AG的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（4分）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，
甲船在乙船的（ ）
A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向
C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向
6．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB上的一点，
∠ECD=45°，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠AED=∠ECB B．∠ADE=∠ACE C．BE= AD D．BC= CE
二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)
第1页（共32页）7．（4分）计算：2（2 +3 ）﹣ + = ．
8．（4分）如果 = ，那么 = ．
9．（4分）已知二次函数y=2x2﹣1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是
．
10．（4分）如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是
11．（4分）如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到
离地10米的平台，那么该货物经过的路程是 米．
12．（4分）已知点M（1，4）在抛物线y=ax2﹣4ax+1上，如果点N和点M关于该抛
物线的对称轴对称，那么点N的坐标是 ．
13．（4分）点D在△ABC的边AB上，AC=3，AB=4，∠ACD=∠B，那么AD的长是
．
14．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，AD=4，∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于
F、E，那么 = ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分
别在边AB、AC上，点G、F在边BC上．如果BC=20，正方形DEFG的面积为25，
那么AH的长是 ．
第2页（共32页）16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD= ，
AB=5，那么CD的长是 ．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是CD的中点，AC与BE
交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是 ．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，cosB= ，将△ABC绕着点A旋
转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是 ．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分
满分78分）
19．（10分）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+ ．
20．（10分）抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，
如果AB=2，求新抛物线的表达式．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， = ，AE=3，CE=1，
第3页（共32页）BC=6．
（1）求DE的长；
（2）过点D作DF∥AC交BC于F，设 = ， = ，求向量 （用向量 、 表示）
22．（10分）如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角
是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测
得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD的高度．
参考数据： ≈1.41， ≈1.73．
23．（12分）如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AC上，AB=BD，BE=ED，且
∠CBE=∠ABD，DE与CB交于点F．求证：
（1）BD2=AD•BE；
（2）CD•BF=BC•DF．
24．（12分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知点A（﹣1，﹣1），点B在第二象
限，OB=2 ，抛物线y= x2+bx+c经过点A和B．
（1）求点B的坐标；
第4页（共32页）（2）求抛物线y= x2+bx+c的对称轴；
（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线
AB上，当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标．
25．（14分）如图，四边形ABCD中，∠C=60°，AB=AD=5，CB=CD=8，点P、Q分别是
边AD、BC上的动点，AQ和BP交于点E，且∠BEQ=90°﹣ ∠BAD，设A、P两点
的距离为x．
（1）求∠BEQ的正切值；
（2）设 =y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点的距离．
第5页（共32页）2016 年上海市徐汇区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且
只有一个选项是正确的
1．（4分）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
【考点】S5：相似图形．
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【分析】根据相似图形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个图形一定相似，
结合选项，用排除法求解．
【解答】解：A、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，
故不符合题意；
B、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题
意；
C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意；
D、两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的
定义，故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查相似形的定义，熟悉各种图形的性质是解题的关键．
2．（4分）如图，如果AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（ ）
A． = B． = C． = D． =
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】由AB∥CD∥EF，根据平行线分线段成比例定理求解即可求得答案．注意
排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、∵AB∥CD∥EF，
第6页（共32页）∴ ，故错误；
B、∵AB∥CD∥EF，
∴ ，故正确；
C、∵AB∥CD∥EF，
∴ ，故错误；
D、∵AB∥CD∥EF，
∴ ，
∴AC•DF=BD•CE，故错误．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握各线段的对应关系．
3．（4分）将抛物线y=2（x+1）2﹣2向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得新
抛物线的表达式是（ ）
A．y=2（x+3）2 B．y=（x+3）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2（x﹣1）2
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线y=2（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣
2），再利用点平移的规律，点（﹣1，﹣2）平移后的对应点的坐标为（1，0），然后
根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【解答】解：抛物线y=2（x+1）2﹣2的顶点坐标为（﹣1，﹣2），把点（﹣1，﹣2）向右
平移2个单位，向上平移2个单位得到对应点的坐标为（1，0），所以平移后的
抛物线解析式为y=2（x﹣1）2．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
4．（4分）点G是△ABC的重心，如果AB=AC=5，BC=8，那么AG的长是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第7页（共32页）【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】根据题意画出图形，连接AG并延长交BC于点D，由等腰三角形的性质可
得出AD⊥BC，再根据勾股定理求出AD的长，由三角形重心的性质即可得出
AG的长．
【解答】解：如图所示：连接AG并延长交BC于点D，
∵G是△ABC的重心，AB=AC=5，BC=8，
∴AD⊥BC，BD= BC= ×8=4，
∴AD= = =3，
∴AG= AD= ×3=2．
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的重心，熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点
的距离之比为2：1是解答此题的关键．
5．（4分）如果从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，那么从乙船看甲船，
甲船在乙船的（ ）
A．南偏西30°方向 B．南偏西60°方向
C．南偏东30°方向 D．南偏东60°方向
【考点】IH：方向角．
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【分析】根据题意正确画出图形进而分析得出从乙船看甲船的方向．
【解答】解：如图所示：可得∠1=30°，
∵从甲船看乙船，乙船在甲船的北偏东30°方向，
∴从乙船看甲船，甲船在乙船的南偏西30°方向．
故选：A．
第8页（共32页）【点评】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．
6．（4分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，点E是边AB上的一点，
∠ECD=45°，那么下列结论错误的是（ ）
A．∠AED=∠ECB B．∠ADE=∠ACE C．BE= AD D．BC= CE
【考点】LH：梯形．
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【分析】根据等腰直角三角形的性质得出BC= AC，从而证得BC≠ CE，根据平
行线的性质得出∠DAC=∠ACB=45°，证得∠DAC=∠ABC，因为∠ACD=∠BCE，证
得△DAC∽△EBC，得出 = ， = = ，从而证得BE= AD，进一步证得
△ABC∽△DEC，得出∠EDC=∠BAC=90°，从而证得A、D在以EC为直径的圆上，
根据圆周角定理证得∠AED=∠ACD=∠ECB，∠ADE=∠ACE，根据以上结论即可
判断．
【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴BC= AC，
∵EC＞AC，
∴BC≠ CE，
∵AD∥BC，∠ECD=45°，
∴∠DAC=∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠ABC，∠ACD=∠BCE，
∴△DAC∽△EBC，
第9页（共32页）∴ = ，
∵∠ACB=∠ECD=45°，
∴△ABC∽△DEC，
∴∠EDC=∠BAC=90°，
∴A、D在以EC为直径的圆上，
∴∠AED=∠ACD，∠ADE=∠ACE，
∵∠ACD=∠ECB，
∴∠AED=∠ECB，
∵△DAC∽△EBC，
∴ = = ，
∴BE= AD，
故选：D．
【点评】本题考查了梯形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定和性
质，圆周角定理等，熟练掌握这些性质定理是解题的关键．
二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)
7．（4分）计算：2（2 +3 ）﹣ + = + ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．
【解答】解：2（2 +3 ）﹣ +
=4 +6 ﹣ +
= + ．
故答案为： + ．
【点评】此题考查了平面向量的运算．注意掌握去括号时符号的变化是解此题的
关键．
8．（4分）如果 = ，那么 = ．
第10页（共32页）【考点】S1：比例的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用比例的性质由 = 得到 = ，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t
代入 中进行分式的运算即可．
【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
设a=2t，b=3t，
∴ = = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性
质；分比性质；合分比性质；等比性质．
9．（4分）已知二次函数y=2x2﹣1，如果y随x的增大而增大，那么x的取值范围是
x ＞ 0 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】由于抛物线y=2x2﹣1的对称轴是y轴，所以当x≥0时，y随x的增大而增
大．
【解答】解：∵抛物线y=2x2﹣1中a=2＞0，
∴二次函数图象开口向上，且对称轴是y轴，
∴当x≥0时，y随x的增大而增大．
故答案为：x＞0．
【点评】本题考查了抛物线y=ax2+b的性质：①图象是一条抛物线；②开口方向与a
有关；③对称轴是y轴；④顶点（0，b）．
10．（4分）如果两个相似三角形的面积比是4：9，那么它们对应高的比是 2 ： 3
．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，根据相似三角
第11页（共32页）形对应高的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是4：9，
∴两个相似三角形相似比是2：3，
∴它们对应高的比是2：3．
故答案为：2：3．
【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．相似三角形周长的比等于相似比；相
似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比
对应角平分线的比都等于相似比．
11．（4分）如图所示，一皮带轮的坡比是1：2.4，如果将货物从地面用皮带轮送到
离地10米的平台，那么该货物经过的路程是 2 6 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】首先根据题意画出图形，根据坡度的定义，由勾股定理即可求得答案．
【解答】解：如图，由题意得：斜坡AB的坡比i=1：2.4，AE=10米，AE⊥BD，
∵i= = ，
∴BE=24米，
∴在Rt△ABE中，AB= =26（米）．
故答案为：26．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．此题比较简单，注意掌
握数形结合思想的应用，注意理解坡比的定义．
12．（4分）已知点M（1，4）在抛物线y=ax2﹣4ax+1上，如果点N和点M关于该抛
物线的对称轴对称，那么点N的坐标是 （ 3 ， 4 ） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】首先求得抛物线y=ax2﹣4ax+1对称轴为x=﹣ =2，进一步利用二次函
第12页（共32页）数的对称性求得点M关于此抛物线对称轴的对称点N的坐标是即可．
【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣4ax+1对称轴为x=﹣ =2，
∴点M（1，4）关于该抛物线的对称轴对称点N的坐标是（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，求得对称
轴，掌握二次函数的对称性是解决问题的关键．
13．（4分）点D在△ABC的边AB上，AC=3，AB=4，∠ACD=∠B，那么AD的长是
．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】由∠A=∠A，∠ACD=∠B，得到△ABC∽△ACD，根据相似三角形的性质得
到 ，代入数据即可得到结论．
【解答】解：∵∠A=∠A，∠ACD=∠B，
∴△ABC∽△ACD，
∴ ，
即： ，
∴AD= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定的应用，注意：①相似三角形的对应
边的比相等，②有两角对应相等的两三角形相似．
14．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，AD=4，∠BAD的平分线AE分别交BD、CD于
第13页（共32页）F、E，那么 = ．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，CD=AB=6，由平行线的性质得到
∠AED=∠EAB，由角平分线的定义得到∠DAE=∠BAE，等量代换得到
∠DAE=∠AED，根据等腰三角形的判定得到DE=AD=4，由相似三角形的性质得
到 = = ，
【解答】解：在 ▱ABCD中，
∵AB∥CD，CD=AB=6，
∴∠AED=∠EAB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=4，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△ABF，
∴ = = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，角平分线的定
义，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
15．（4分）如图，在△ABC中，AH⊥BC于H，正方形DEFG内接于△ABC，点D、E分
别在边AB、AC上，点G、F在边BC上．如果BC=20，正方形DEFG的面积为25，
那么AH的长是 ．
第14页（共32页）【考点】LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】根据DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相
似比，列方程求解．
【解答】解：由正方形DEFG得，DE GF，即DE∥BC，
∵AH⊥BC，
∴AP⊥DE，
∵DG∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
解得：AH= ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，关键是由平行线得
到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，tan∠ACD= ，
AB=5，那么CD的长是 ．
第15页（共32页）【考点】T7：解直角三角形．
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【分析】根据余角的性质得到∠B=∠ACD，由tan∠ACD= ，得到tan∠B= = ，设
AC=3x，BC=4x，根据勾股定理得到AC=3，BC=4，根据三角形的面积公式即可得
到结论．．
【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BCD=∠BCD+∠B=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵tan∠ACD= ，
∴tan∠B= = ，
设AC=3x，BC=4x，
∵AC2+BC2=AB2，
∴（3x）2+（4x）2=52，
解得：x=1，
∴AC=3，BC=4，
∵S = ，
△ABC
∴CD= = ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积公式，熟记三角形的
面积公式是解题的关键．
17．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，点E是CD的中点，AC与BE
交于点F，那么△ABF和△CEF的面积比是 6 ： 1 ．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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第16页（共32页）【分析】延长BE，AD交于G，根据平行线的性质得到∠G=∠EBC，根据全等三角形
的性质得到DG=BC=2AD，GE=BE，于是得到AG=3AD，通过△AGF∽△BCF，得到
= ，设GF=3x，BF=2x，求得 ，由 = = ，得到S =
△ABF
S ，由 = =4，得到S = S ，即可得到结论．
△BCF △CEF △BCF
【解答】解：延长BE，AD交于G，
∵AD∥BC，
∴∠G=∠EBC，
在△DGE与△BCE中，
，
∴DG=BC=2AD，GE=BE，
∴AG=3AD，
∵AD∥BC，
∴△AGF∽△BCF，
∴ = ，
∴设GF=3x，BF=2x，
∴BG=5x，
∴BE=GE=2.5x，
∴EF= x，
∴ ，
∴ = = ，
第17页（共32页）∴S = S ，
△ABF △BCF
∵ = =4，
∴S = S ，
△CEF △BCF
∴△ABF和△CEF的面积比= =6：1．
故答案为：6：1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线
的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
18．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，cosB= ，将△ABC绕着点A旋
转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，联结CE，那么CE的长是 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】先利用余弦定义计算出BC=5，再利用勾股定理计算出AC=4，接着根据旋
转的性质得 AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，利用三角形内角和定理易得
∠ACE=∠B，作AH⊥CE于H，由等腰三角形的性质得EH=CH，如图，在Rt△ACH
第18页（共32页）中，利用cos∠ACH= = 可计算出CH= AC= ，所以CE=2CH= ．
【解答】解：∵∠BAC=90°，AB=3，cosB= = ，
∴BC=5，
∴AC= =4，
∵△ABC绕着点A旋转得△ADE，点B的对应点D落在边BC上，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，
∵∠B= （180°﹣∠BAD），∠ACE= （180°﹣∠CAE），
∴∠ACE=∠B，
∴cos∠ACE=cosB= ，
作AH⊥CE于H，则EH=CH，如图，
在Rt△ACH中，∵cos∠ACH= = ，
∴CH= AC= ，
∴CE=2CH= ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证
明∠ACE=∠B．
三、（本大题共7题，第19-22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分
满分78分）
第19页（共32页）19．（10分）计算：4sin45°﹣2tan30°cos30°+ ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：原式=4× ﹣2× × +
=2 ﹣1+2
=2 +1．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，考查实数的综合运算能力，是各地中考
题中常见的计算题型．
20．（10分）抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，
如果AB=2，求新抛物线的表达式．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】46：几何变换．
【分析】（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c中求出c的值即可得到抛物线解析式，然后
配成顶点式得到顶点坐标；
（2）先确定抛物线y=x2﹣2x+1的对称轴，再利用抛物线的对称性得到A（0，0），B
（2 ，0），然后利用交点式可写出新抛物线的表达式．
【解答】解：（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c得4﹣4+c=1，解得c=1，
所以抛物线解析式为y=x2﹣2x+1，
y=（x﹣1）2，
所以抛物线顶点坐标为（1，0）；
（2）y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，抛物线的对称轴为直线x=1，
而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2，
所以A（0，0），B（2，0），
所以新抛物线的解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故
a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物
第20页（共32页）线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后
的顶点坐标，即可求出解析式．
21．（10分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， = ，AE=3，CE=1，
BC=6．
（1）求DE的长；
（2）过点D作DF∥AC交BC于F，设 = ， = ，求向量 （用向量 、 表示）
【考点】LM：*平面向量；S4：平行线分线段成比例．
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【分析】（1）由 = ，AE=3，CE=1，可得 = = ，即可证得DE∥BC，然后由平行
线分线段成比例定理，即可求得DE的长；
（2）由DF∥AC，可得 = = ，再由三角形法则，即可求得答案．
【解答】解：（1）∵AE=3，CE=1，
∴AC=AE+CE=4，
∴ = = ，
∴DE∥BC，
∴ = = ，
∴DE=BC× =6× = ；
（2）∵DF∥AC，
∴ = = ，
∴ = = （ + ）= + ．
第21页（共32页）【点评】此题考查了平行向量的知识以及平行线分线段成比例定理．注意掌握三
角形法则以及平行四边形的法则的应用是解此题的关键．
22．（10分）如图，热气球在离地面800米的A处，在A处测得一大楼顶C的俯角
是30°，热气球沿着水平方向向此大楼飞行400米后达到B处，从B处再次测
得此大楼楼顶C的俯角是45°，求该大楼CD的高度．
参考数据： ≈1.41， ≈1.73．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】作CE⊥AB交AB的延长线于E，设CE=x米，根据正切的定义分别求出AE、
BE的长，列出方程，解方程求出x的值，计算即可．
【解答】解：作CE⊥AB交AB的延长线于E，
设CE=x米，
∵∠EBC=45°，
∴BE=x米，
∵∠EAC=30°，
∴AE= = x米，
由题意得， x﹣x=400，
解得x=200（ +1）米，
则CD=800﹣200（ +1）≈254米．
答：大楼CD的高度约为254米．
第22页（共32页）【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、构
造直角三角形、熟练运用锐角三角函数的定义是解题的关键．
23．（12分）如图，在△ABC中，AC=BC，点D在边AC上，AB=BD，BE=ED，且
∠CBE=∠ABD，DE与CB交于点F．求证：
（1）BD2=AD•BE；
（2）CD•BF=BC•DF．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）由∠CBE=∠ABD，得到∠ABC=∠DBE等量代换得到∠A=∠DBE，根据
等腰三角形的性质得到 ∠A=∠ADB，∠DBE=∠BDE，等量代换得到
∠A=∠DBE=∠BDE，推出△ABD∽△DEB，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）通过△ABC≌△DBE，根据全等三角形的性质得到∠C=∠E，BE=BC，由于
∠CFD=∠EFB，证得△CFD∽△EFB，根据相似三角形的性质得到结论．
【解答】证明：（1）∵∠CBE=∠ABD，
∴∠ABC=∠DBE，
∵∠A=∠ABC，
∴∠A=∠DBE，
∵AB=BD，
∴∠A=∠ADB，
∵BE=DE，
第23页（共32页）∴∠DBE=∠BDE，
∴∠A=∠DBE=∠BDE，
∴△ABD∽△DEB，
∴ ，
即BD2=AD•BE；
（2）在△ABC与△DBE中，
，
∴△ABC≌△DBE，
∴∠C=∠E，BE=BC，
∵∠CFD=∠EFB，
∴△CFD∽△EFB，
∴ ，
∴ ，
即：CD•BF=BC•DF．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的
判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（12分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，已知点A（﹣1，﹣1），点B在第二象
限，OB=2 ，抛物线y= x2+bx+c经过点A和B．
（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线y= x2+bx+c的对称轴；
（3）如果该抛物线的对称轴分别和边AO、BO的延长线交于点C、D，设点E在直线
AB上，当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标．
第24页（共32页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据互相垂直的两直线一次项系数的乘积为﹣1，可得BO的解析式，
根据勾股定理，可得B点坐标；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式，根据配方法，可得答案；
（3）根据待定系数，可得AB的解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得E、
F点的坐标，分类讨论：△BCD∽△BEO时，可得F点坐标；△BCD∽△BOE时，
根据相似于同一个三角形的两个三角形相似，可得△BFO∽BOE，根据相似三
角形的性质，可得BF的长，根据勾股定理，可得F点坐标．
【解答】解：（1）AO的解析式为y=x，AO⊥BO，
BO的解析式为y=﹣x，设B点坐标为（a，﹣a），
由OB=2 ，得
=2 ．
解得a=2（不符合题意，舍），或a=﹣2，
B（﹣2，2）；
（2）将A、B点坐标代入函数解析式，得
，
解得 ，
y= x2﹣ x﹣ = （x﹣1）2﹣ ，
第25页（共32页）对称轴是直线x=1；
（3）设AB的解析式为y=kx+b，
将A、B点的坐标代入，得
，
解得 ，
AB的解析式为y=﹣3x﹣4．
当y=0时，x=﹣ ，即F（﹣ ，0）．
AO：y=x，当x=1时，y=1，即C（1，1）；
BO：y=﹣x，当x=1时，y=﹣1，即D（1，﹣1）；
AB=BC= ，AO=OC= ．
①图1 ，
∠CBD=∠ABD，∠BOF=∠BDC=45°，△BCD∽△BEO时．
此时，F与E重合，E（﹣ ，0）；
②图2 ，设E点坐标为（b，﹣3b﹣4），
△BCD∽△BOE时，
第26页（共32页）∵△BCD∽△BFO，
∴△BFO∽BOE，
= ，
∴BO2=BF•BE，
8= •BE，
BE= ，
= ，
解得b=﹣ ，﹣3b﹣4=﹣3×（﹣ ）﹣4=﹣ ，
∴E（﹣ ，﹣ ），
综上所述：当△BOE和△BCD相似时，直接写出点E的坐标（﹣ ，0），（﹣ ，﹣
）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用互相垂直的两直线一次项系数的乘积
为﹣1得出BO的解析式是解题关键；利用配方法得出对称轴是解题关键；利
用相似于同一个三角形的两个三角形相似得出△BFO∽BOE，又利用了相似三
角形的性质．
25．（14分）如图，四边形ABCD中，∠C=60°，AB=AD=5，CB=CD=8，点P、Q分别是
边AD、BC上的动点，AQ和BP交于点E，且∠BEQ=90°﹣ ∠BAD，设A、P两点
的距离为x．
（1）求∠BEQ的正切值；
（2）设 =y，求y关于x的函数解析式及定义域；
（3）当△AEP是等腰三角形时，求B、Q两点的距离．
第27页（共32页）【考点】SO：相似形综合题．
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【分析】（1）求∠BEQ的正切值，要把∠BEQ放在直角三角形中进行解决，根据
AB=AD=5，CB=CD=8可知，连接四边形ABCD的对角线可得到AC⊥BD，可通过
∠BEQ=90°﹣ ∠BAD 和∠ABD=90°﹣ ∠BAD，可知∠BEQ=∠ABD，通过求
∠ABD的正切值来求得∠BEQ的正切值．
（2）设AQ与BD交于点F，由（1）中的∠BEQ=∠ABD，AB=AD，CB=CD，得到
∠AEP=∠ADF，从而可得△FAB∽△PBD，△APE∽△AFD．先由△FAB∽△PBD中
的比例式 = 用含x的式子表示BF= （5﹣x），DF=BD﹣BF= ，再用
△APE∽△AFD中的比例式 = 用含x的式子表示y= （因为点P是在
线段AD上移动，所以x的取值范围是0＜x＜5）．
（3）由于题中没有说明△AEP中那两条边相等，所以要分情况讨论：①当AE=PE时，
y= =1 可得 x= ，可求出 OF=1，作 QH⊥BD，构造相似三角形，
Rt△QHF∽Rt△AOF设BQ=a，用含有a的式子表示BH= a，QH= a，根据 =
= ，可解得BQ=a=9﹣3 ；②当AP=PE时，易证△PAE∽△ABD，根据 =
= ，可得x=﹣ ，因为不合题意，故此种情况舍去；③当AP=AE时，易证
第28页（共32页）△AEP∽△ABD，利用 = = ，可得AP=5，此时B、Q重合，即BQ=0（舍去）．
综合这三种情况可以求得B、Q两点间距离为9﹣3 ．
【解答】解：
（1）
连接BD、AC，交点于点O，（图1）
∵AB=AD=5，CB=CD=8
∴AC⊥BD，且OB=OD= BD=4
∴∠ABD=90°﹣∠BAC=90°﹣ ∠BAD
∴∠BEQ=∠ABD
在Rt△ABO中，AB=5，OB=4
∴tan∠BEQ=tan∠ABO= =
第29页（共32页）（2）
设AQ与BD交于点F（图2）
∵∠BEQ=∠ABD=∠AEP∠AFB=∠BFE
∴△FBE∽△FAB，△FBE∽△PBD
∴△FAB∽△PBD
= ，即 =
∴BF= （5﹣x），DF=BD﹣BF=
又∵∠BEQ=∠ABD=∠AEP=∠ADB∠EAP=∠DAF
∴△APE∽△AFD
∴y= = =
整理得：y= （0＜x＜5）
（3）如图3
第30页（共32页）①当AE=PE时，y= =1
解得 x=
∵y= = =
∴DF= =5
∴OF=DF﹣OD=5﹣4=1
作QH⊥BD，
∵AO⊥BD，∠ACB=30°
∴∠BQH=30°，Rt△QHF∽Rt△AOF
设BQ=a，则BH= a，QH= a，则
= = ，即 = ，解得BQ=a=9﹣3 ；
②当AP=PE时，∠PAE=∠PEA
∵∠AEP=∠BEQ=∠ABD=∠ADB
∴△PAE∽△ABD
又∵BD=BC=CD=8
第31页（共32页）∴ = = ，即 = ，
解得x=﹣ （不合题意，舍去）
③当AP=AE时，∠AEP=∠APE=∠ABD=∠ADB
∴△AEP∽△ABD
∴ = = ，即 = ，解得x=5，即AP=5
此时B、Q重合，即BQ=0（舍去）．
综上可知，B、Q两点间距离为9﹣3 ．
【点评】本题考查的知识点有：①通过等量代换的方法把一个角放到直角三角形
中求三角函数值的方法；②利用相似三角形的相似比作为等量关系，用含x的
式子表示某条线段或线段比；③利用△AEP是等腰三角形，求B、Q两点的距离
时，没有说清那两条边相等的情况下要分三种情况考虑问题，然后再根据相等
的角或边找到对应的等量关系求x的值．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:16:19；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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