文档内容
2016 年上海市崇明县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．a3•a2=a6 C．（﹣a3）2=a9 D．（﹣a2）3=﹣a6
2．（4分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
3．（4分）抛物线y=x2﹣8x﹣1的对称轴为（ ）
A．直线x=4 B．直线x=﹣4 C．直线x=8 D．直线x=﹣8
4．（4分）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了
颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心
距OM和 的长分别为（ ）
A．2， B．2 ，π C． ， D．2 ，
6．（4分）下列判断错误的是（ ）
A．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线相互垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相互平分的四边形是平行四边形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4 分）购买单价为 a 元的笔记本 3 本和单价为 b 元的铅笔 5 支应付款
元．
第1页（共27页）8．（4分）分解因式：x2﹣2x﹣8= ．
9．（4分）方程 =x的根是 ．
10．（4分）函数 的定义域为 ．
11．（4分）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么
k的取值范围是 ．
12．（4分）如果一个正比例函数的图象过点（2，﹣4），那么这个正比例函数的解
析式为 ．
13．（4分）崇明县校园足球运动正在蓬勃发展，已知某校学生“足球社团”成员
的年龄与人数情况如下表所示：那么“足球社团”成员年龄的中位数是
岁．
年龄（岁） 11 12 13 14 15
人数 3 3 7 12 14
14．（4分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为 ．
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
15．（4分）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα= ．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量 = ， = ，如果用向
量 ， 表示向量 ，那 = ．
第2页（共27页）17．（4分）如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1：2的两部分，
那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当
“协调边”为3时，它的周长为 ．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转
60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是 ．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过
A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数y= （m≠0）的图象在第一象限内交于
点M，若△OBM的面积是2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P是x轴正半轴上一点且∠AMP=90°，求点P的坐标．
第3页（共27页）22．（10分）如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心
位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向
西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60
千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．
（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；
又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；
（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？
请说明理由（参考数据 ≈1.41， ≈1.73）．
23．（12分）已知正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、
BC于点E、F，作BH⊥AF，垂足为H，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．
（1）求证：AE=BG；
（2）求证：GO•AG=CG•AO．
第4页（共27页）24．（12分）已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于
点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作
DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求证：GH=HK；
（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．
25．（14分）如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作
AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长
线交半圆O于点F．
（1）求证：AH=BD；
（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；
（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求
BD的长度．
第5页（共27页）2016 年上海市崇明县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列计算中，正确的是（ ）
A．a3+a3=a6 B．a3•a2=a6 C．（﹣a3）2=a9 D．（﹣a2）3=﹣a6
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方．
菁优网版权所有
【分析】分别根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项的法则进行
逐一计算即可．
【解答】解：A、a3+a3=2a3，错误；
B、a3•a2=a5，错误；
C、（﹣a3）2=a6，错误；
D、（﹣a2）3=﹣a6，正确．
故选：D．
【点评】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握
性质和法则是解题的关键．
2．（4分）下列说法不一定成立的是（ ）
A．若a＞b，则a+c＞b+c B．若a+c＞b+c，则a＞b
C．若a＞b，则ac2＞bc2 D．若ac2＞bc2，则a＞b
【考点】C2：不等式的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据不等式的性质进行判断．
【解答】解：A、在不等式a＞b的两边同时加上c，不等式仍成立，即a+c＞b+c，不
符合题意；
B、在不等式a+c＞b+c的两边同时减去c，不等式仍成立，即a＞b，不符合题意；
C、当c=0时，若a＞b，则不等式ac2＞bc2不成立，符合题意；
D、在不等式ac2＞bc2的两边同时除以不为0的c2，该不等式仍成立，即a＞b，不
符合题意．
故选：C．
【点评】主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等
第6页（共27页）式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本
性质：
（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．
（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．（4分）抛物线y=x2﹣8x﹣1的对称轴为（ ）
A．直线x=4 B．直线x=﹣4 C．直线x=8 D．直线x=﹣8
【考点】H3：二次函数的性质．
菁优网版权所有
【分析】根据抛物线对称轴公式：x=﹣ 代入计算即可．
【解答】解：抛物线：y=x2﹣8x﹣1，的对称轴x=﹣ =﹣ =4，
故选：A．
【点评】本题考查抛物线的对称轴公式，记住对称轴公式是解题的关键，也可以用
配方法确定对称轴，解题时灵活应用，属于中考常考题型．
4．（4分）一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球和1个绿球，这些球除了
颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】直接根据概率公式求解．
【解答】解：从中随机摸出一个小球，恰好是黄球的概率= = ．
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果
数除以所有可能出现的结果数．
5．（4分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心
距OM和 的长分别为（ ）
第7页（共27页）A．2， B．2 ，π C． ， D．2 ，
【考点】MM：正多边形和圆；MN：弧长的计算．
菁优网版权所有
【专题】16：压轴题．
【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形
的边角关系即可求出OM，再利用弧长公式求解即可．
【解答】解：连接OB，
∵OB=4，
∴BM=2，
∴OM=2 ，
= = π，
故选：D．
【点评】本题考查了正多边形和圆以及弧长的计算，将扇形的弧长公式与多边形
的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质，是一道好题．
6．（4分）下列判断错误的是（ ）
A．对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形
B．对角线相互垂直平分的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线相互平分的四边形是平行四边形
第8页（共27页）【考点】L1：多边形．
菁优网版权所有
【分析】根据平行四边形的判定方法、正方形的判定方法、矩形的判定方法以及菱
形的判定方法逐项分析即可．
【解答】解：A、对角线相互垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
B、对角线相互垂直平分的四边形是菱形，正确；
C、对角线相等平分的四边形是矩形，错误；
D、对角线相互平分的四边形是平行四边形，正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定等内容，要求学生对这
些基本的图形熟练掌握．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）购买单价为a元的笔记本3本和单价为b元的铅笔5支应付款 3 a + 5b
元．
【考点】32：列代数式．
菁优网版权所有
【分析】用3本笔记本的总价加上5支铅笔的总价即可．
【解答】解：应付款3a+5b元．
故答案为：3a+5b．
【点评】此题考查列代数式，理解题意，利用单价×数量=总价三者之间的关系解
决问题．
8．（4分）分解因式：x2﹣2x﹣8= （ x﹣4 ）（ x + 2 ） ．
【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．
菁优网版权所有
【分析】因为﹣4×2=﹣8，﹣4+2=﹣2，所以利用十字相乘法分解因式即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣8=（x﹣4）（x+2），
故答案为：（x﹣4）（x+2）．
【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，
尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程．
9．（4分）方程 =x的根是 x=2 ．
【考点】AG：无理方程．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2=x2，解此一元二次方程得
第9页（共27页）到x =2，x =﹣1，把它们分别代入原方程得到x =﹣1是原方程的增根，由此得
1 2 2
到原方程的根为x=2．
【解答】解：方程两边平方得，x+2=x2，
解方程x2﹣x﹣2=0得x =2，x =﹣1，
1 2
经检验x =﹣1是原方程的增根，
2
所以原方程的根为x=2．
故答案为x=2．
【点评】本题考查了无理方程：根号内含有未知数的方程叫无理方程；解无理方程
的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，常常采用平方法去根号．
10．（4分）函数 的定义域为 x ＞ 3 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
菁优网版权所有
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于0；分式有意义的条件是
分母不为0．依此即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣3＞0，
解得：x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
11．（4分）如果关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么
k的取值范围是 k ＜ 1 ．
【考点】AA：根的判别式．
菁优网版权所有
【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式的意义得到△＞0，即
（﹣2）2﹣4×1×k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+k=0（k为常数）有两个不相等的实数根，
∴△＞0，即（﹣2）2﹣4×1×k＞0，
解得k＜1，
∴k的取值范围为k＜1．
第10页（共27页）故答案为：k＜1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式
△=b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等
的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
12．（4分）如果一个正比例函数的图象过点（2，﹣4），那么这个正比例函数的解
析式为 y=﹣2 x ．
【考点】FB：待定系数法求正比例函数解析式．
菁优网版权所有
【专题】11：计算题；533：一次函数及其应用．
【分析】设正比例函数解析式为y=kx，将已知点坐标代入求出k的值，即可确定出
解析式．
【解答】解；设正比例函数解析式为y=kx，
将（2，﹣4）代入得：﹣4=2k，即k=﹣2，
则正比例解析式为y=﹣2x，
故答案为：y=﹣2x．
【点评】此题考查了待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解
本题的关键．
13．（4分）崇明县校园足球运动正在蓬勃发展，已知某校学生“足球社团”成员
的年龄与人数情况如下表所示：那么“足球社团”成员年龄的中位数是 14
岁．
年龄（岁） 11 12 13 14 15
人数 3 3 7 12 14
【考点】W4：中位数．
菁优网版权所有
【分析】要求中位数，因表中是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的
一个数（或最中间的两个数）即可．
【解答】解：“足球社团”成员年龄的中位数是14岁．
故答案为：14．
【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定
要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，
则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
14．（4分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：
第11页（共27页）若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为 105 ° ．
①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；
②作直线MN交AB于点D，连接CD．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；N2：作图—基本作图．
菁优网版权所有
【分析】根据要求先画出图形，利用等腰三角形的性质以及三角形外角定理求出
∠CDB和∠ACD即可．
【解答】解：直线MN如图所示：
∵MN垂直平分BC，
∴CD=BD，
∴∠DBC=∠DCB
∵CD=AC，∠A=50°，
∴∠CDA=∠A=50°，
∵∠CDA=∠DBC+∠DCB，
∴∠DCB=∠DBC=25°，∠DCA=180°﹣∠CDA﹣∠A=80°，
∴∠ACB=∠CDB+∠ACD=25°+80°=105°．
故答案为105°．
第12页（共27页）【点评】本题考查基本作图、垂直平分线的性质、三角形的外角定理、等腰三角形
的性质等知识，解题的关键是灵活应用这些性质解决问题，属于中考常考题型
15．（4分）已知一斜坡的坡比为1：2，坡角为α，那么sinα= ．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
菁优网版权所有
【分析】坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为x，水平直角边为2x，由勾股定理求
出斜边，进而可求出α的正弦值．
【解答】解：如图所示：
由题意，得：tanα=i= ，
设竖直直角边为x，水平直角边为2x，
则斜边= = x，
则sinα= = ．
故答案为 ．
【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比
是解决问题的关键．
16．（4分）如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量 = ， = ，如果用向
量 ， 表示向量 ，那 = 2 ﹣2 ．
【考点】LM：*平面向量．
菁优网版权所有
【分析】由向量 = ， = ，利用三角形法则，即可求得 ，再由AD是边BC上的
中线，即可求得答案．
【解答】解：∵向量 = ， = ，
第13页（共27页）∴ = ﹣ = ﹣ ，
∵AD是边BC上的中线，
∴ =2 =2（ ﹣ ）=2 ﹣2 ．
故答案为：2 ﹣2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用．
17．（4分）如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1：2的两部分，
那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当
“协调边”为3时，它的周长为 8 或 1 0 ．
【考点】L5：平行四边形的性质．
菁优网版权所有
【专题】32：分类讨论．
【分析】由平行四边形的性质和角平分线的定义得出AB=AE；分两种情况：①当
AE=1，DE=2时；②当AE=2，DE=1时；即可求出平行四边形ABCD的周长．
【解答】解：如图所示：①当AE=1，DE=2时，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=3，AB=CD，AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE=1，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=8；
②当AE=2，DE=1时，
同理得：AB=AE=2，
∴平行四边形ABCD的周长=2（AB+AD）=10；
故答案为：8或10．
第14页（共27页）【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形
的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键；注意分类讨论思想的运用，避
免漏解．
18．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C逆时针旋转
60°，得到△MNC，连接BM，那么BM的长是 ．
【考点】R2：旋转的性质．
菁优网版权所有
【分析】如图，连接AM，由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，得到△ACM为等边三角
形根据 AB=BC，CM=AM，得出 BM 垂直平分 AC，于是求出 BO= AC= ，
OM=CM•sin60°= ，最终得到BM=BO+OM．
【解答】解：如图，连接AM，
由题意得：CA=CM，∠ACM=60°，
∴△ACM为等边三角形，
∴AM=CM，∠MAC=∠MCA=∠AMC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC=CM=2 ，
∵AB=BC，CM=AM，
∴BM垂直平分AC，
∴BO= AC= ，OM=CM•sin60°= ，
∴BM=BO+OM= + ，
故答案为： + ．
第15页（共27页）【点评】本题考查了图形的变换﹣旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判
定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】2F：分数指数幂；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运
算．
菁优网版权所有
【分析】分别依据分数指数幂、完全平方公式、负整数指数幂、分母有理化化简各
式，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式= +（ ）2﹣2 +1﹣ +
=3+3﹣2 +1﹣2+
=4﹣ ．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握分式的混合运算顺序是解题的
根本，准确运算分数指数幂、负整数指数幂、完全平方公式及分母有理化等是
解题的关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
菁优网版权所有
【分析】先将第2个方程变形为x﹣2y=0，x﹣y=0，从而得到两个二元一次方程组，
再分别求解即可．
【解答】解：
由②得：x﹣2y=0，x﹣y=0，
第16页（共27页）原方程组可化为 ， ，
故原方程组的解为 ， ．
【点评】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一
次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过
A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数y= （m≠0）的图象在第一象限内交于
点M，若△OBM的面积是2．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点P是x轴正半轴上一点且∠AMP=90°，求点P的坐标．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
菁优网版权所有
【分析】（1）把A、B两点代入y=kx+b即可求出一次函数解析式，根据面积求出点
M坐标，即可求出反比例函数解析式．
（2）由△OAB∽△MPB，利用相似三角形的性质求出PB即可．
【解答】解：（1）∵一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，
∴ 解得 ，
∴一次函数的解析式为y=2x﹣2，
设点M的坐标为（x，2x﹣2），
∵△OBM的面积是2，M在第一象限内，
∴ ×1×（2x﹣2）=2
第17页（共27页）∴x=3，
∴M（3，4），
∵点M（3，4）在反比例函数y= （m≠0）的图象上，
∴m=12，
∴反比例函数的解析式为y= ．
（2）∵A（0，﹣2），B（1，0），O（0，0），M（3，4），
∴OB=1，AB= = ，MB= =2 ，
∵∠AOB=∠AMP=90°，
∠OBA=∠MBP，
∴△OAB∽△MPB，
∴ ，
∴BP=10，
∴P（11，0）．
【点评】本题考查一次函数以及反比例函数的有关性质，学会待定系数法确定函
数的解析式，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题的，属于中考常考
题型．
22．（10分）如图，在某海滨城市O附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心
位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向
西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60
千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．
（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 10 0 千米；
又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 （ 6 0 + 10 t ） 千
米；
（2）当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？
请说明理由（参考数据 ≈1.41， ≈1.73）．
第18页（共27页）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．
菁优网版权所有
【专题】12：应用题．
【分析】（1）根据题意易求；
（2）实质就是将最近距离与区域半径进行比较，所以需作垂线．作OH⊥PQ于点
H，在Rt△OPH中，∠OPH=45°，OP=200，运用三角函数求出PH的长，从而求出
时间再求半径，比较后得结论．
【解答】解：（1）60+10×4=100；（60+10t）；
（2）作OH⊥PQ于点H，∴∠OHP=90°，
∵∠OPH=70°﹣25°=45°，
在等腰直角三角形OPH中，OP=200千米，
根据勾股定理可算得OH=100 ≈141（千米），
设经过t小时时，台风中心从P移动到H，
则PH=20t=100 ，算得t=5 （小时），
此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：
60+10×5 ≈130.5（千米）＜141（千米）．
∴城市O不会受到侵袭．
第19页（共27页）【点评】此题的难度在于半径的变化，理解半径又是随时间的变化而变化，所以转
化为求时间，又已知速度，归结为求路程即三角形边长，解三角形求解．
23．（12分）已知正方形ABCD的对角线相交于点O，∠CAB的平分线分别交BD、
BC于点E、F，作BH⊥AF，垂足为H，BH的延长线分别交AC、CD于点G、P．
（1）求证：AE=BG；
（2）求证：GO•AG=CG•AO．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判定
与性质．
菁优网版权所有
【专题】14：证明题．
【分析】（1）利用“ASA”证明△OAE≌△OBG可得到AE=BG；
（2）由△OAE≌△OBG得到OG=OE，再由AB∥CD得到PC：AB=CG：AG，即PC：
BC=CG：AG，再证明Rt△OAE∽Rt△CBP得到OA：BC=OE：PC，用等线段代换得
到PC：BC=OG：OA，利用等量代换得到OG：OA=CG：AG，然后利用比例性质即可
得到结论．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB，∠AOE=∠BOG=90°，
∵BH⊥AF，
第20页（共27页）∴∠AHG=90°，
∵∠GAH+∠AGH=90°，∠OBG+∠AGH=90°，
∴∠GAH=∠OBG，
在△OAE和△OBG中，
，
∴△OAE≌△OBG（ASA），
∴AE=BG；
（2）∵△OAE≌△OBG，
∴OG=OE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，AB∥CD
∴PC：AB=CG：AG，
∴PC：BC=CG：AG，
∵∠AHG=∠ABC=90°
∴∠FAB+∠ABH=∠CBP+∠ABH=90°，
∴∠FAB=∠CBP，
∵AF平分∠CAB，
∴∠FAC=∠FAB，
∴∠FAC=∠CBP，
∴Rt△OAE∽Rt△CBP，
∴OA：BC=OE：PC，
∵OE=OG，
即PC：BC=OG：OA，
∴OG：OA=CG：AG，
即GO•AG=CG•AO．
第21页（共27页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：两个三角形相似对应角相等，对应
边的比相等．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公
共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．解决本题的关键是灵活应用正
方形的性质和利用结论找相似三角形．
24．（12分）已知，一条抛物线的顶点为E（﹣1，4），且过点A（﹣3，0），与y轴交于
点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且﹣3＜m＜﹣1，过点D作
DK⊥x轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）求证：GH=HK；
（3）当△CGH是等腰三角形时，求m的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
菁优网版权所有
【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4（ a≠0），将点A的坐标代入求得a
的值即可求得抛物线的解析式；
（2）先求得直线AE、AC的解析式，由点D的横坐标为m，可求得KG、KH的长（用
含m的式子），从而可证明GH=HK；
（3）可分为CG=CH，GH=GC，HG=HC三种情况，接下来依据两点间的距离公式列方
程求解即可．
【解答】（1）解：∵抛物线的顶点为E（﹣1，4），
∴设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4 （a≠0）．
第22页（共27页）又∵抛物线过点A（﹣3，0），
∴4a+4=0，解得：a=﹣1．
∴这条抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4．
（2）设直线AE的解析式为y=kx+b．
∵将A（﹣3，0），E（﹣1，4），代入得： ，解得：k=2，b=6，
∴直线AE的解析式为y=2x+6．
设直线AC的解析式为y=k x+b ．
1 1
∵将A（﹣3，0），C（0，3）代入得： ，解得：k=1，b=3，
∴直线AC的解析式为y=x+3．
∵D的横坐标为m，DK⊥x轴
∴G（m，2m+6），H（m，m+3）．
∵K（m，0）
∴GH=m+3，HK=m+3．
∴GH=HK．
（3）由（2）可知：C（0，3），G（m，2m+6），H（m，m+3）
①若CG=CH，则 = ，整理得：（2m+3）2=m2，解得开平方得：
2m+3=±m解得m =﹣1，m =﹣3，
1 2
∵﹣3＜m＜﹣1，
∴m≠﹣1且m≠﹣3．
∴这种情况不存在．
②若GC=GH，则 =m+3，整理得：2m2+3m=0 解得m =0（舍去），
1
．
③若HC=HG，则 =m+3，整理得：m2﹣6m﹣9=0，解得；m =3﹣3 ，m2=3+3
1
（舍去）．
综上所述：当△CGH是等腰三角形时，m的值为 或 ．
第23页（共27页）【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数
法求一次函数、二次函数的解析式、等腰三角形的判定、两点间的距离公式的
应用，依据两点间的距离公式列出关于m的方程是解题的关键．
25．（14分）如图，已知BC是半圆O的直径，BC=8，过线段BO上一动点D，作
AD⊥BC交半圆O于点A，联结AO，过点B作BH⊥AO，垂足为点H，BH的延长
线交半圆O于点F．
（1）求证：AH=BD；
（2）设BD=x，BE•BF=y，求y关于x的函数关系式；
（3）如图2，若联结FA并延长交CB的延长线于点G，当△FAE与△FBG相似时，求
BD的长度．
【考点】MR：圆的综合题．
菁优网版权所有
【专题】15：综合题；559：圆的有关概念及性质．
【分析】（1）由AD⊥BC，BH⊥AO，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对
公共角，且半径相等，利用AAS得到三角形ADO与三角形BHO全等，利用全等
三角形对应边相等得到OH=OD，利用等式的性质化简即可得证；
（2）连接AB，AF，如图1所示，利用HL得到直角三角形ADB与直角三角形BHA全
等，利用全等三角形对应角相等得到一对角相等，再由公共角相等得到三角形
ABE与三角形AFB相似，由相似得比例即可确定出y与x的函数解析式；
（3）连接OF，如图2所示，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AFO与三角
形FOG相似，由相似得比例求出BD的长即可．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，BH⊥AO，
∴∠ADO=∠BHO=90°，
在△ADO与△BHO中，
，
第24页（共27页）∴△ADO≌△BHO（AAS），
∴OH=OD，
又∵OA=OB，
∴AH=BD；
（2）解：连接AB、AF，如图1所示，
∵AO是半径，AO⊥弦BF，
∴∴AB=AF，
∴∠ABF=∠AFB，
在Rt△ADB与Rt△BHA中，
，
∴Rt△ADB≌Rt△BHA（HL），
∴∠ABF=∠BAD，
∴∠BAD=∠AFB，
又∵∠ABF=∠EBA，
∴△BEA∽△BAF，
∴ = ，
∴BA2=BE•BF，
∵BE•BF=y，
∴y=BA2，
∵∠ADO=∠ADB=90°，
∴AD2=AO2﹣DO2，AD2=AB2﹣BD2，
∴AO2﹣DO2=AB2﹣BD2，
∵直径BC=8，BD=x，
∴AB2=8x，
第25页（共27页）则y=8x（0＜x＜4）；
方法二：∵BE•BF=y，BF=2BH，
∴BE•BH= y，
∵△BED∽△BOH，
∴ = ，
∴OB•BD=BE•BH，
∴4x= y，
∴y=8x（0＜x＜4）；
（3）解：连接OF，如图2所示，
∵∠GFB是公共角，∠FAE＞∠G，
∴当△FAE∽△FBG时，∠AEF=∠G，
∵∠BHA=∠ADO=90°，
∴∠AEF+∠DAO=90°，∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠AEF=∠AOD，
∴∠G=∠AOD，
∴AG=AO=4，
∵∴∠AOD=∠AOF，
∴∠G=∠AOF，
又∵∠GFO是公共角，
∴△FAO∽△FOG，
∴ = ，
∵AB2=8x，AB=AF，
∴AF=2 x，
第26页（共27页）∴ = ，
解得：x=3± ，
∵3+ ＞4，舍去，
∴BD=3﹣ ．
【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，相似三
角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:19:46；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第27页（共27页）
