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2016 年上海市奉贤区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果两个实数a、b满足a+b=0，那么a、b一定是（ ）
A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数 D．互为倒数
2．（4分）若x=2，y=﹣1，那么代数式x2+2xy+y2的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4．
3．（4分）一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（4分）一组数据3，3，2，5，8，8的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8．
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B．两个全等三角形一定关于某条直线对称
C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称
D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称
6．（4分）已知⊙O 与⊙O 外离，⊙O 的半径是5，圆心距O O =7，那么⊙O 的半
1 2 1 1 2 2
径可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）化简： = ．
8．（4分）因式分解：a2﹣a= ．
9．（4分）函数y= 的定义域是 ．
10．（4分）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的小球．
如果其中有 2个白球 n个黄球，从中随机摸出白球的概率是 ，那么 n=
．
11．（4分）不等式组 的解集是 ．
第1页（共24页）12．（4分）已知反比例函数 ，在其图象所在的每个象限内，y的值随x值的增
大而 （填“增大”或“减小”）．
13．（4分）直线y=kx+b（k≠0）平行于直线 且经过点（0，2），那么这条直线的
解析式是 ．
14．（4分）小明在高为18米的楼上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为60°，那
么这辆汽车到楼底的距离是 ．（结果保留根号）
15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且DC=2BD，点E是边AC的中点，
设 ，那么 = ；（用不 的线性组合表示）
16．（4分）四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，如果再添加一个条件，可以得到四
边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是 ．（不再添加线或字母，写
出一种情况即可）
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是边BC边上的中线，如果
AD=BC，那么cot∠CAB的值是 ．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=2，点D在BC上，将△ACD沿
直线AD翻折后，点C落在点E处，边AE交边BC于点F，如果DE∥AB，那么
的值是 ．
第2页（共24页）三、解答题：（本大题共7题，满分78）
19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AD是∠BAC的平分线，
过点D作DE⊥AD，垂足为点D，交AB于点E，且 ．
（1）求线段BD的长；
（2）求∠ADC的正切值．
22．（10分）今年3月5日，某中学组织六、七年级200位学生参与了“走出校门，
服务社会”的活动，该校某数学学习小组的同学对那天参与打扫街道、敬老院
服务和社区文艺演出的三组人数进行分别统计，部分数据如图所示：
（1）参与社区文艺演出的学生人数是 人，参与敬老院服务的学生人数是
人；
（2）该数学学习小组的同学还发现，六、七年级参与打扫街道的学生人数分别比
参与敬老院服务的学生人数多了40%和60%，求参与敬老院服务的六、七年级
学生分别有多少人？
第3页（共24页）23．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，AC、BD是对角线，E是
AB延长线上一点，且∠BCE=∠ACD，联结CE．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；
（2）求证：AC2=AD•AE．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交
于点A（﹣1，0）与点C（3，0），与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射
线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连结BC，当P点坐标为（0， ）时，求△EBC的面积；
（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．
25．（14分）如图，边长为5的菱形ABCD中，cosA= ，点P为边AB上一点，以A为
圆心，AP为半径的⊙A与边AD交于点E，射线CE与⊙A另一个交点为点F．
（1）当点E与点D重合时，求EF的长；
第4页（共24页）（2）设AP=x，CE=y，求y关于x的函数关系式及定义域；
（3）是否存在一点P，使得 =2 ？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．
第5页（共24页）2016 年上海市奉贤区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如果两个实数a、b满足a+b=0，那么a、b一定是（ ）
A．都等于0 B．一正一负 C．互为相反数 D．互为倒数
【考点】2C：实数的运算．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】利用相反数的性质判断即可．
【解答】解：由a+b=0，得到a，b互为相反数，
故选：C．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2．（4分）若x=2，y=﹣1，那么代数式x2+2xy+y2的值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4．
【考点】33：代数式求值．
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【分析】首先利用完全平方公式的逆运算，然后代入即可．
【解答】解：x2+2xy+y2=（x+y）2=（2﹣1）2=1，
故选：B．
【点评】本题主要考查了代数式求值，利用完全平方公式的逆运算，然后代入是解
答此题的关键．
3．（4分）一次函数y=﹣2x+3的图象不经过的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F5：一次函数的性质．
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【分析】首先确定k，k＞0，必过第二、四象限，再确定b，看与y轴交点，即可得到
答案．
【解答】解：∵y=﹣2x+3中，k=﹣2＜0，
∴必过第二、四象限，
∵b=3，
∴交y轴于正半轴．
第6页（共24页）∴过第一、二、四象限，不过第三象限，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一次函数的性质，直线所过象限，受k，b的影响．
4．（4分）一组数据3，3，2，5，8，8的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8．
【考点】W4：中位数．
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【分析】根据中位数计算：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如
果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组
数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，3，3，5，8，8，
∴这组数据的中位数是 =4，
故选：B．
【点评】本题考查了中位数的定义，解题的关键是牢记定义，此题比较简单，易于
掌握．
5．（4分）下列说法中，正确的是（ ）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B．两个全等三角形一定关于某条直线对称
C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称
D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称
【考点】P2：轴对称的性质．
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【分析】认真阅读各选项提供的已知条件，根据轴对称的性质对个选项逐一验证，
其中选项A是正确的．
【解答】解：A、关于某条直线对称的两个图形能够完全重合，所以关于某条直线对
称的两个三角形是全等三角形，正确；
B、全等三角形不一定关于某直线对称，错误；
C、面积相等的两个三角形不一定关于某条直线之间对称，错误；
D、周长相等的两个三角形不一定关于某条直线之间对称，错误；
故选：A．
【点评】主要考查了轴对称的性质；找着每个选项正误的具体原因是正确解答本
第7页（共24页）题的关键．
6．（4分）已知⊙O 与⊙O 外离，⊙O 的半径是5，圆心距O O =7，那么⊙O 的半
1 2 1 1 2 2
径可以是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】由⊙O 与⊙O 外离，⊙O 的半径是5，圆心距O O =7，可求得⊙O 的半径
1 2 1 1 2 2
＜2，继而求得答案．
【解答】解：∵⊙O 与⊙O 外离，圆心距O O =7，
1 2 1 2
∴⊙O 与⊙O 的半径和＜7，
1 2
∵⊙O 的半径是5，
1
∴⊙O 的半径＜2，
2
∴⊙O 的半径可以是：1．
2
故选：D．
【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆
半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）化简： = 4 ．
【考点】73：二次根式的性质与化简．
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【分析】根据二次根式的性质，化简即可．
【解答】解： ，
故答案为：4 ．
【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．
8．（4分）因式分解：a2﹣a= a （ a﹣ 1 ） ．
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
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【分析】直接提取公因式a，进而分解因式得出即可．
【解答】解：a2﹣a=a（a﹣1）．
故答案为：a（a﹣1）．
【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
9．（4分）函数y= 的定义域是 x ≠ 1 ．
第8页（共24页）【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：由题意得，x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为：x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
10．（4分）一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外形状大小完全相同的小球．
如果其中有2个白球n个黄球，从中随机摸出白球的概率是 ，那么n= 1 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】根据有2个白球n个黄球，从中随机摸出白球的概率是 ，列出等式解答
即可．
【解答】解：∵有2个白球n个黄球，从中随机摸出白球的概率是 ，
∴ = ，
解得n=1；
故答案为：1．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
11．（4分）不等式组 的解集是 x ＞ 3 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
第9页（共24页）【解答】解： ，
解①得x＞3，
解②得x＞﹣4．
则不等式组的解集是：x＞3．
故答案是：x＞3．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判
断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于
两数之间．
12．（4分）已知反比例函数 ，在其图象所在的每个象限内，y的值随x值的增
大而 减小 （填“增大”或“减小”）．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【分析】根据反比例函数的性质，k=3＞0，y随x的增大而减小．
【解答】解：反比例函数y= 中，k=3＞0，故每个象限内，y随x增大而减小．
故答案为：减小．
【点评】本题考查了反比例函数的性质，应注意y= 中k的取值．
13．（4分）直线y=kx+b（k≠0）平行于直线 且经过点（0，2），那么这条直线的
解析式是 y = x + 2 ．
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】根据两直线平行的问题得到k= ，然后把（0，2）代入y= x+b，求出b的值
即可．
【解答】解：根据题意得k= ，
把（0，2）代入y= x+b得b=2，
第10页（共24页）所以直线解析式为y= x+2．
故答案为y= x+2．
【点评】本题考查了两直线平行或相交的问题：直线 y=k x+b （k ≠0）和直线
1 1 1
y=k x+b（k ≠0）平行，则k =k ；若直线y=k x+b（k ≠0）和直线y=k x+b（k ≠0）
2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2
相交，则交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式
14．（4分）小明在高为18米的楼上看到停在地面上的一辆汽车的俯角为60°，那
么这辆汽车到楼底的距离是 6 米 ．（结果保留根号）
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】由俯角的正切值和楼高可求得这辆汽车到楼底的距离．
【解答】解：由于楼高18米，塔顶看停在地面上的一辆汽车的俯角为60°，
则这辆汽车到楼底的距离为 =6 （米）．
故答案是：6 米．
【点评】本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三
角形．
15．（4分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，且DC=2BD，点E是边AC的中点，
设 ，那么 = ﹣ ；（用不 的线性组合表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由在△ABC中，点D在边BC上，且DC=2BD，点E是边AC的中点，设
，可表示出 与 ，然后利用三角形法则求解即可求得答案．
【解答】解：∵DC=2BD，点E是边AC的中点，设 ，
∴ = = ， = = ，
第11页（共24页）∴ = ﹣ = ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是解此题的关
键．
16．（4分）四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，如果再添加一个条件，可以得到四
边形ABCD是矩形，那么可以添加的条件是 AD=BC ．（不再添加线或字母，
写出一种情况即可）
【考点】LC：矩形的判定．
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【分析】添加AD=BC，再有条件AD∥BC可得四边形ABCD是平行四边形，再加上
条件∠D=90°可根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判定四边形 ABCD是
矩形．
【解答】解：添加AD=BC，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
故答案为：AD=BC．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形
是矩形．
17．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是边BC边上的中线，如果
AD=BC，那么cot∠CAB的值是 ．
第12页（共24页）【考点】KO：含30度角的直角三角形；T7：解直角三角形．
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【专题】11：计算题．
【分析】设AD=BC=2x，利用中线定义得到CD=BD=x，则可根据勾股定理表示出AC，
然后利用余切的定义求解．
【解答】解：设AD=BC=2x，则CD=BD=x，
在Rt△ACD中，AC= = = x，
在Rt△ABC中，cot∠CAB= = = ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过
程就是解直角三角形．解决本题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数
的定义．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=2，点D在BC上，将△ACD沿
直线AD翻折后，点C落在点E处，边AE交边BC于点F，如果DE∥AB，那么
的值是 + 1 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】作AM⊥BC垂足为M，先求出AM、BM、MC，再证明CA=CF，由此即可解决
问题．
【解答】解：如图作AM⊥BC垂足为M，
第13页（共24页）∵△ADE是由△ADC翻折，
∴∠C=∠E=30°，
∵AB∥DE，
∴∠E=∠BAF=30°，
∴∠AFC=∠B+∠BAF=75°，
∴∠CAF=180°﹣∠AFC﹣∠C=75°，
∴∠CAF=∠CFA=75°，
∴CA=CF=2，
在RT△AMC中，∵∠C=30°，AC=2，
∴AM=1，MC= ，
∵∠B=∠BAM=45°，
∴MB=AM=1，
∴BC=1+ ，BF=1+ ﹣2= ﹣1
∴ = = +1．
故答案为 +1．
【点评】本题考查翻折变换、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅
助线构造直角三角形是解决问题的关键，解题时要善于发现特殊三角形，属于
中考常考题型．
三、解答题：（本大题共7题，满分78）
19．（10分）计算： ．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特
第14页（共24页）殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，
第三项利用立方根定义计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可
得到结果．
【解答】解：原式=1﹣ ﹣2+2﹣ =1﹣ ．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）解方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】观察可得最简公分母是（x2﹣4），方程两边乘最简公分母，可以把分式方
程转化为整式方程求解．
【解答】解：方程的两边同乘（x2﹣4），得
（x+2）2﹣（x﹣2）=16，
解得x =2，x =﹣5．
1 2
检验：把x=2代入（x2﹣4）=0，
所以x=2是原方程的增根．
把x=﹣5代入（x2﹣4）=21≠0，
∴原方程的解为x=﹣5．
【点评】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，
把分式方程转化为整式方程求解．
（2）解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=4，AD是∠BAC的平分线，
过点D作DE⊥AD，垂足为点D，交AB于点E，且 ．
（1）求线段BD的长；
（2）求∠ADC的正切值．
第15页（共24页）【考点】S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据余角的性质得到∠CAD=∠DAB，推出∠BAD=∠BDE，得到
△BED∽△BDA，由相似三角形的性质得到BD2=BE•BA，即可得到结论；
（2）由余角的性质得到∠ADE=∠AED，根据余角的性质得到 ，根据三角形
函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）∵DE⊥AD，
∴∠BDE=∠CAD=90°﹣∠CDA，
∵∠CAD=∠DAB，
∴∠BAD=∠BDE，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BDA，
∴BD2=BE•BA，
∵AB=4， ，
∴BE=1，
∴BD2=1×4=4，
∴BD=2；
（2）∵DE⊥AD，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵∠CAD=∠DAB，
∵△ACD∽△ADE，
∴ ，
∵△BED∽△BDA，
第16页（共24页）∴ = ，
∴tan∠ADC=tan∠AED= =2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，熟练掌握相似三
角形的判定和性质是解题的关键．
22．（10分）今年3月5日，某中学组织六、七年级200位学生参与了“走出校门，
服务社会”的活动，该校某数学学习小组的同学对那天参与打扫街道、敬老院
服务和社区文艺演出的三组人数进行分别统计，部分数据如图所示：
（1）参与社区文艺演出的学生人数是 5 0 人，参与敬老院服务的学生人数是
60 人；
（2）该数学学习小组的同学还发现，六、七年级参与打扫街道的学生人数分别比
参与敬老院服务的学生人数多了40%和60%，求参与敬老院服务的六、七年级
学生分别有多少人？
【考点】VB：扇形统计图．
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【分析】（1）用学生总数乘以参与社区文艺演出的学生所占百分比得到参与社区
文艺演出的学生人数；用学生总数分别减去打扫街道、社区文艺演出的人数得
到参与敬老院服务的学生人数；
（2）设六年级参与敬老院服务的学生有x人，则七年级参与敬老院服务的学生有
（60﹣x）人，根据六、七年级参与打扫街道总人数为90人列出方程求解可得．
【解答】解：（1）参与社区文艺演出的学生人数是：200×25%=50人，
第17页（共24页）参与敬老院服务的学生人数是：200﹣90﹣50=60人；
（2）设六年级参与敬老院服务的学生有x人，则七年级参与敬老院服务的学生有
（60﹣x）人，
根据题意，得：（1+40%）x+（1+60%）（60﹣x）=90，
解得：x=30，
答：六年级参与敬老院服务的学生有 30人，则七年级参与敬老院服务的学生有
30人．
【点评】本题主要考查读扇形统计图和列方程解决实际问题的能力，根据扇形统
计图读出有用信息依据计算公式计算是基础，抓住相等关系列方程解决实际
问题是关键．
23．（12分）已知：如图，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，AC、BD是对角线，E是
AB延长线上一点，且∠BCE=∠ACD，联结CE．
（1）求证：四边形DBEC是平行四边形；
（2）求证：AC2=AD•AE．
【考点】L6：平行四边形的判定；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）由等腰梯形的性质得出∠ADC=∠BCD，由SAS证明△ADC≌△BCD，得
出∠ACD=∠BDC，由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BCE=∠CBD，证出
BD∥CE，即可得出结论；
（2）证出CE=AC，证明△EAC∽△EBC，得出对应边成比例 ，即可得出结论．
【解答】证明：（1）∵梯形ABCD中，DC∥AB，AD=BC=DC，
∴∠ADC=∠BCD，
在△ADC和△BCD中，
，
第18页（共24页）∴△ADC≌△BCD（SAS），
∴∠ACD=∠BDC，
∵BC=DC，
∴∠CBD=∠BDC，
∴∠CBD=∠ACD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BCE=∠CBD，
∴BD∥CE，
又∵DC∥AB，
∴四边形DBEC是平行四边形；
（2）由（1）得：四边形DBEC是平行四边形，
∴∠E=∠BDC，
∵DC∥AB，
∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BCE=∠ACD，
∴∠BAC=∠BCE=∠E，
∴CE=AC，
又∵∠B=∠B，
∴△EAC∽△EBC，
∴ ，
即 ，
∴AC2=AD•AE．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三
角形的判定与性质、等腰梯形的性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握平
行四边形的判定与性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题（2）的关键．
24．（12分）已知在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交
于点A（﹣1，0）与点C（3，0），与y轴交于点B，点P为OB上一点，过点B作射
线AP的垂线，垂足为点D，射线BD交x轴于点E．
（1）求该抛物线的解析式；
第19页（共24页）（2）连结BC，当P点坐标为（0， ）时，求△EBC的面积；
（3）当点D落在抛物线的对称轴上时，求点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）将A、C点的坐标代入抛物线解析式，得到关于b、c的二元一次方程，
解方程即可得出结论；
（2）由∠APO、∠AED 均匀∠PAO 互余得出∠APO=∠AED，再结合
∠AOP=∠BOE=90°可得出△AOP∽△BOE，由相似三角形的性质得出 ，
代入数据可得出OE的长度，结合C点坐标可得出CE长度，将CE、OB的长度代
入三角形的面积公式，即可得出结论；
（3）令对称轴与 x 轴的交点为 H，过点 B 作 BF⊥直线 x=1 于点 F，先证
△ADH∽△DBF，再由相似三角形的性质找出 ，设DH=a，由此可得出关
于a的一元二次方程，解方程可求出a的值，再根据 可得出OP的长
度，从而得出P点的坐标．
【解答】解：（1）将点A（﹣1，0），点C（3，0）的坐标代入抛物线解析式，得：
，
解得： ．
故该抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
第20页（共24页）（2）∵BD⊥AD，
∴∠ADE=90°，
∴∠PAO+∠APO=∠PAO+∠AED=90°，
∴∠APO=∠AED=∠BEO，
又∵∠AOP=∠BOE=90°，
∴△AOP∽△BOE，
∴ ．
令x=0，y=3，即点B的坐标为（0，3），
∵点A（﹣1，0），点C（3，0），点P（0， ），
∴OE=2，
∴CE=OC﹣OE=3﹣2=1．
S = CE•OB= ．
△EBC
（3）抛物线对称轴直线x=﹣ =1，令对称轴与x轴的交点为H，过点B作BF⊥直
线x=1于点F，如图所示．
∵DH⊥x轴，BF⊥FD，
∴∠AHD=∠DFB=90°，
∵∠BDF+∠BDA+∠ADH=180°，∠BDA=90°，∠BDF+∠DBF=90°，
∴∠ADH=∠DBF，
∴△ADH∽△DBF，
第21页（共24页）∴ ．
设DH=a．
∵AH=2，DF=BO﹣DH=3﹣a，FB=1，
∴有 ，
解得：a =1，a =2．
1 2
又∵ ，
∴OP= 或1．
故点P的坐标为（0，1）或（0， ）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质、解一元
二次方程，解题的关键：（1）待定系数法求解析式的系数；（2）找出线段CE的
长度；（3）由相似三角形的性质找出关于a的一元二次方程．本题属于中档题，
（1）难度不大；（2）（3）有点难度．解决该类问题，利用相似三角形的性质找出
比例关系，解方程即可得出结论．
25．（14分）如图，边长为5的菱形ABCD中，cosA= ，点P为边AB上一点，以A为
圆心，AP为半径的⊙A与边AD交于点E，射线CE与⊙A另一个交点为点F．
（1）当点E与点D重合时，求EF的长；
（2）设AP=x，CE=y，求y关于x的函数关系式及定义域；
（3）是否存在一点P，使得 =2 ？若存在，求AP的长；若不存在，请说明理由．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）由平行四边形的性质得到∠AEF=DAB，再利用cos∠DAB=cos∠AEF=
第22页（共24页）= 即可求解；
（2）由平行四边形的性质得到∠CGD=∠BAD，再利用勾股定理即可求解；
（3）由平行四边形的性质得到∠GCE=∠HAE=∠DAB，利用cosA= 计算即可．
【解答】解：（1）过点A作AH⊥EF于点H，
∴EF=2EH，
∵点E与点D重合，
∴EF∥AB，
∴∠AEF=DAB，
∴cos∠DAB=cos∠AEF= = ，
∵AE=5，
∴EH=3，
∴EF=6；
（2）如图，
过点C作CG⊥AD，
在Rt△CGD中，cos∠CDG=cos∠BAD= ，
∴DG=3，CG=4，
在Rt△CGE中，GE=8﹣x，
∴y2=16+（8﹣x）2，
y= （0＜x≤5），
（3）∵cos∠DAB= ，
∴tan∠DAB= ，
∵∠GCE=∠HAE=∠DAB，
∴tan∠DAB= = ，
∴x= ，
第23页（共24页）即：AP的长为 ．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，平行四边形的性质，勾股定理
以及锐角三角函数，锐角三角函数的运用是解本题的关键．
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日期：2018/12/24 0:19:38；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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