文档内容
2016 年上海市宝山区中考数学一模试卷
一.选择题
1．（2分）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA= ，下列判断正确的是（
）
A．∠A=30° B．AC= C．AB=2 D．AC=2
2．（2分）抛物线y=﹣4x2+5的开口方向（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
3．（2分）如图，D、E在△ABC的边上，如果ED∥BC，AE：BE=1：2，BC=6，那么 的
模为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
4．（2分）已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，
4），则点M与⊙O的位置关系为（ ）
A．M在⊙O上 B．M在⊙O内
C．M在⊙O外 D．M在⊙O右上方
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆
分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
第1页（共30页）A．26° B．64° C．52° D．128°
6．（2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的
是（ ）
A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＜0
C．b=2a D．9a+3b+c=0
二.填空题
7．（5分）如果： ，那么： = ．
8．（5分）两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为 ．
9．（5分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件
是 ．
10．（5分）如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD=
．
11．（5分）计算：2（3 +4 ）﹣5 = ．
12．（5分）如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC= ，则对角线AC的长为
．
第2页（共30页）13．（5分）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 ．
14．（5分）若A（1，2），B（3，2），C（0，5），D（m，5）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的
四点，则m= ．
15．（5分）已知A（4，y ）、B（﹣4，y ）是抛物线y=（x+3）2﹣2的图象上两点，则y
1 2 1
y ．
2
16．（5分）已知⊙O中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为 ．
17．（5分）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆
时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为 ．
18．（5分）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C
（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个
单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为 （面积单位）．
三.解答题（8+8+8+8+10+10+12+14）
第3页（共30页）19．（8分）计算： ﹣ ．
20．（8分）已知某二次函数的对称轴平行于y轴，图象顶点为A（1，0），且与y轴
交于点B（0，1）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设C为该二次函数图象上横坐标为2的点，记 = ， = ，试用 、 表示 ．
21．（8分）如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC的坡度
为1：2，AC的长度为5 米，AB为底楼地面，CD为二楼侧面，EF为二楼楼顶，
当然有 EF∥AB∥CD，E 为自动扶梯 AC 的最高端 C 的正上方，过 C 的直线
EG⊥AB于G，在自动扶梯的底端A测得E的仰角为42°，求该商场二楼的楼高
CE．
（参考数据：sin42°= ，cos42°= ，tan42°= ）
22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，若AC=2 ，AE=3，CE=
，求弧BD的长度．（保留π）
23．（10分）如图，D为△ABC边AB上一点，且CD分△ABC为两个相似比为1：
的一对相似三角形；（不妨如图假设左小右大），求：
（1）△BCD与△ACD的面积比；
（2）△ABC的各内角度数．
第4页（共30页）24．（10分）如图，△ABC中，AB=AC=6，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，
∠DFE=∠B．
（1）求证： = ；
（2）若EF∥CD，求DE的长度．
25．（12分）（1）已知二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）的图象如图，请根据图象直接写出
该二次函数图象经过怎样的左右平移，新图象通过坐标原点？
（2）在关于二次函数图象的研究中，秦篆晔同学发现抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）和
抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）关于y轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀
化“a、c不变，b相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了
“a、c相反，b不变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线
也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物y=（x﹣1）（x﹣3）的对称图形的解
析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；
（3）抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，M
是其对称轴上一点，点N在x轴上，当点N满足怎样的条件，以点N、B、C为顶
点的三角形与△MAB有可能相似，请写出所有满足条件的点N的坐标；
（4）E、F为抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）上两点，且E、F关于D（ ，0）对称，请直接写
出E、F两点的坐标．
第5页（共30页）26．（14分）如图点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB=4，∠ABC=30°，D为
边AB上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上
满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的
直线的交点，
（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判断．
（2）设AD=x，EF=y 求y关于x的函数及其定义域；
（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则
请说明理由．
（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．
第6页（共30页）2016 年上海市宝山区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题
1．（2分）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA= ，下列判断正确的是（
）
A．∠A=30° B．AC= C．AB=2 D．AC=2
【考点】T7：解直角三角形．
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【专题】2B：探究型．
【分析】根据在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA= ，可以得到AC、BC的长，同
时tanA= ，tan30°= ，可以判断∠A是否等于30°，从而可以得到问题的答案
【解答】解：∵在直角△ABC中，∠C=90°，BC=1，tanA= ，tanA= ，
∴AC= ，
∴AB= ，
∵tanA= ，tan30°= ，
∴∠A≠30°，
故选：D．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是明确题意，找出各边之间的关系，
进而判断选项是否正确．
第7页（共30页）2．（2分）抛物线y=﹣4x2+5的开口方向（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】根据抛物线y=﹣4x2+5，可知二次项系数是﹣4，从而可以得到该函数的开
口方向．
【解答】解：∵抛物线y=﹣4x2+5，﹣4＜0，
∴该抛物线的开口向下，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是由二次项系数可以判断抛物线
的开口方向．
3．（2分）如图，D、E在△ABC的边上，如果ED∥BC，AE：BE=1：2，BC=6，那么 的
模为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由ED∥BC，可证得△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例，
求得ED：BC=1：3，则可得 =﹣ ，又由BC=6，即可求得 的模．
【解答】解：∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ED：BC=AE：AB，
∵AE：BE=1：2，
∴AE：AB=1：3，
∴ED：BC=1：3，
∴ =﹣ ，
∵BC=6，
第8页（共30页）∴| |= | |=2．
故选：C．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及相似三角形的判定与性质．注意利用相
似三角形的性质，求得 = 是解此题的关键．
4．（2分）已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（﹣3，
4），则点M与⊙O的位置关系为（ ）
A．M在⊙O上 B．M在⊙O内
C．M在⊙O外 D．M在⊙O右上方
【考点】D5：坐标与图形性质；M8：点与圆的位置关系．
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【分析】根据勾股定理，可得OM的长，根据点与圆心的距离d，则d＞r时，点在圆
外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．
【解答】解：OM= =5，
OM=r=5．
故选：A．
【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆
心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点
在圆内．
5．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=26°，以点C为圆心，BC为半径的圆
分别交AB、AC于点D、点E，则弧BD的度数为（ ）
A．26° B．64° C．52° D．128°
【考点】M4：圆心角、弧、弦的关系．
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【分析】先利用互余计算出∠B=64°，再利用半径相等和等腰三角形的性质得到
∠CDB=∠B=64°，则根据三角形内角和定理可计算出∠BCD，然后根据圆心角的
第9页（共30页）度数等于它所对弧的度数求解．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=26°，
∴∠B=64°，
∵CB=CD，
∴∠CDB=∠B=64°，
∴∠BCD=180°﹣64°﹣64°=52°，
∴ 的度数为52°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两
条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
6．（2分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的
是（ ）
A．ac＞0 B．当x＞﹣1时，y＜0
C．b=2a D．9a+3b+c=0
【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．
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【分析】A、由抛物线的开口方向，抛物线与y轴交点的位置即可确定a、c的符号；
B、根据抛物线与x轴的交点，可得出y＜0时，x的取值范围；
C、根据抛物线的对称轴直接得出答案；
D、根据抛物线与x轴的交点和抛物线的对称轴，即可得出抛物线与x轴的另一个
交点，然后把x=3代入方程即可求得相应的y的符号．
【解答】解：A、由抛物线的开口向上，得a＞0，抛物线与y轴负半轴相交，得c＜0，
则ac＜0，故本选项错误；
B、根据抛物线与x轴的交点，可得出y＜0时，﹣1＜x＜3，故本选项错误；
C、根据抛物线的对称轴x=﹣ =1，直接得出b=﹣2a，故本选项错误；
第10页（共30页）D、根据抛物线与x轴的一个交点（﹣1，0）和抛物线的对称轴x=1，即可得出抛物
线与x轴的另一个交点（3，0），然后把x=3代入方程即9a+3b+c=0，故本选项正
确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）系数
符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个
数确定．
二.填空题
7．（5分）如果： ，那么： = ．
【考点】65：分式的基本性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】由已知可知，2a=3b，再代入所求式进行化简．
【解答】解：∵ ，
∴2a=3b，
∴ = = = ．
故答案为 ．
【点评】本题的关键是找到a，b的关系．
8．（5分）两个相似比为1：4的相似三角形的一组对应边上的中线比为 1 ： 4 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答即可．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为1：4，
∴这两个相似三角形的一组对应边上的中线比为1：4，
故答案为：1：4．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线
的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．
9．（5分）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件
第11页（共30页）是 ∠ AED = ∠ B 或 ∠ ADE = ∠ C 或 ．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【专题】16：压轴题；26：开放型．
【分析】由本题图形相似已经有一个公共角，再找一组对应角相等或公共角的两
边对应成比例即可．
【解答】解：∵∠A=∠A，当∠AED=∠B，
∴△AED∽△ABC，
∵∠A=∠A，当∠ADE=∠C，
∴△AED∽△ABC，
∵∠A=∠A，当 ，
∴△AED∽△ABC，
故答案为：∠AED=∠B或∠ADE=∠C或 ．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况．
10．（5分）如图，△ABC中，∠C=90°，若CD⊥AB于D，且BD=4，AD=9，则CD= 6
．
【考点】SE：射影定理．
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【分析】根据射影定理得到等积式，代入已知数据计算即可．
【解答】解：∵∠C=90°，CD⊥AB，
∴CD2=BD•AD=36，
∴CD=6．
故答案为：6．
第12页（共30页）【点评】本题考查的是射影定理的应用，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角
边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．
11．（5分）计算：2（3 +4 ）﹣5 = + 8 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】直接利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．
【解答】解：2（3 +4 ）﹣5 =6 +8 ﹣5 = +8 ．
故答案为： +8 ．
【点评】此题考查了平面向量的运算法则．注意掌握去括号法则是解此题的关键．
12．（5分）如图，菱形ABCD的边长为10，sin∠BAC= ，则对角线AC的长为 1 6
．
【考点】L8：菱形的性质．
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【分析】根据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出
AO的长，即可求出AC的长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，
在Rt△AOB中，∵AB=10，sin∠BAC= ，
∴sin∠BAC= = ，
∴BO= ×10=6，
∴AB2=OB2+AO2，
∴AO= = =8，
∴AC=2AO=16．
第13页（共30页）故答案为：16．
【点评】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、解直角三角形的知识；解答本题
的关键是掌握菱形的对角线互相垂直平分，此题难度不大．
13．（5分）抛物线y=﹣2（x﹣3）2+4的顶点坐标是 （ 3 ， 4 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而
得出对称轴．
【解答】解：y=﹣2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．
故答案为：（3，4）．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式y=a（x﹣h）2+k，顶
点坐标是（h，k），对称轴是x=h．
14．（5分）若A（1，2），B（3，2），C（0，5），D（m，5）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的
四点，则m= 4 ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据对称点A（1，2），B（3，2）得到抛物线的对称轴为直线x=2，然后根据
对称点C（0，5），D（m，5）得出 =2，即可求得m的值．
【解答】解：∵A（1，2），B（3，2）是抛物线y=ax2+bx+c图象上的点，
∴抛物线的对称轴为直线x= =2，
∵C（0，5），D（m，5）是对称点，
∴ =2，
解得m=4
故答案为4．
第14页（共30页）【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：根据对称点（x ，m）、（x ，m）
1 2
得到抛物线的对称轴为直线x= ．
15．（5分）已知A（4，y ）、B（﹣4，y ）是抛物线y=（x+3）2﹣2的图象上两点，则y
1 2 1
＞ y ．
2
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】先求得函数y=（x+3）2﹣2的对称轴为x=﹣3，再判断A（4，y ）、B（﹣4，y ）
1 2
离对称轴的远近，从而判断出y 与y 的大小关系．
1 2
【解答】解：由y=（x+3）2﹣2可知抛物线的对称轴为直线x=﹣3，
∵抛物线开口向上，而点A（4，y ）到对称轴的距离比B（﹣4，y ）远，
1 2
∴y ＞y ．
1 2
故答案为＞．
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，利用已知解析式得出对称轴
进而利用二次函数增减性得出是解题关键．
16．（5分）已知⊙O中一条长为24的弦的弦心距为5，则此圆的半径长为 1 3
．
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】利用垂径定理得到C为AB的中点，由AB的长求出AC的长，在直角三角
形AOC中，由AC与OC的长，利用勾股定理求出OA的长即可．
【解答】解：如图所示，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC= AB=12，
在Rt△AOC中，AC=12，OC=5，
根据勾股定理得：AO= = =13，
即此圆的半径长为13；
故答案为：13．
第15页（共30页）【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出
AO是解本题的关键．
17．（5分）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆
时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正弦值为 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据等边三角形的性质得AB=AC，∠BAC=60°，再根据旋转的性质得
∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，于是可判断△ADE为等边三角形，所以
DE=AD=5，作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE﹣DH=5﹣x
，利用勾股定理得到42﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得x= ，则可计算出CH= ，然后根
据正弦的定义求解．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=60°，
∵△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，
∴∠DAE=∠BAC=60°，AD=AE，CE=BD=6，
∵△ADE为等边三角形，
∴DE=AD=5，
作CH⊥DE于H，如图，设DH=x，则HE=DE﹣DH=5﹣x
在Rt△CDH中，CH2=CD2﹣DH2=42﹣x2，
第16页（共30页）在Rt△CEH中，CH2=CE2﹣EH2=62﹣（5﹣x）2，
∴42﹣x2=62﹣（5﹣x）2，解得x= ，
在Rt△CDH中，CH= = ，
∴sin∠CDH= = = ，
即sin∠CDH= ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是求
C点到DE的距离．
18．（5分）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3交x轴于A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于C
（0，﹣3），M是抛物线的顶点，现将抛物线沿平行于y轴的方向向上平移三个
单位，则曲线CMB在平移过程中扫过的面积为 9 （面积单位）．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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第17页（共30页）【分析】由图象可知曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面
积，求得四边形OCBD的面积即可．
【解答】解；∵曲线CMB在平移过程中扫过的面积=平行四边形OCBD的面积，
∴ 曲 线 CMB 在 平 移 过 程 中 扫 过 的 面 积 = OC•OB+ OC•BD= ×3×3+
×3×3=9，
故答案为9．
【点评】题考查了二次函数图象与几何变换，由图象可知曲线CMB在平移过程中
扫过的面积=平行四边形OCBD的面积是解题的关键．
三.解答题（8+8+8+8+10+10+12+14）
19．（8分）计算： ﹣ ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式= ﹣
= ﹣
= + ﹣
= + ．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的
三角函数值．
20．（8分）已知某二次函数的对称轴平行于y轴，图象顶点为A（1，0），且与y轴
交于点B（0，1）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设C为该二次函数图象上横坐标为2的点，记 = ， = ，试用 、 表示 ．
【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；LM：*平面向量．
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【分析】（1）由图象顶点为A（1，0），首先可设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣1）
2，又由与y轴交于点B（0，1），可利用待定系数法求得答案；
第18页（共30页）（2）首先求得点C的坐标，然后根据题意作出图形，易求得 ，然后由三角形法则，
求得答案．
【解答】解：（1）设该二次函数的解析式为：y=a（x﹣1）2，
∵与y轴交于点B（0，1），
∴a=1，
∴该二次函数的解析式为：y=（x﹣1）2；
（2）∵C为该二次函数图象上横坐标为2的点，
∴y=（2﹣1）2=1，
∴C点坐标为：（2，1），
∴BC∥x轴，
∴ =2 =2 ，
∴ = + = +2 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识、待定系数法求函数的解析式以及点与二次
函数的关系．注意结合题意画出图形，利用图形求解是关键．
21．（8分）如图是某个大型商场的自动扶梯侧面示意图，已知自动扶梯AC的坡度
为1：2，AC的长度为5 米，AB为底楼地面，CD为二楼侧面，EF为二楼楼顶，
当然有 EF∥AB∥CD，E 为自动扶梯 AC 的最高端 C 的正上方，过 C 的直线
EG⊥AB于G，在自动扶梯的底端A测得E的仰角为42°，求该商场二楼的楼高
CE．
（参考数据：sin42°= ，cos42°= ，tan42°= ）
第19页（共30页）【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】根据AC的坡度得出AG=2CG，由勾股定理得出CG2+AG2=AC2，求出CG、
AG，再由三角函数得出EG，即可得出结果．
【解答】解：根据题意得：AG=2CG，
∵∠AGE=90°，
∴由勾股定理得：CG2+AG2=AC2，
即CG2+（2CG）2=（5 ）2，
解得：CG=5（米），
∴AG=10米，
∵tan∠EAG= ，
∴EG=AG•tan42°，
∴CE=EG﹣CG=AG•tan42°﹣CG=10× ﹣5=4 ﹣5（米）；
答：该商场二楼的楼高CE为（4 ﹣5）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角、坡度、勾股定理、三角函数；由勾
股定理求出AG是解决问题的关键．
22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，若AC=2 ，AE=3，CE=
，求弧BD的长度．（保留π）
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理；MN：弧长的计算．
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第20页（共30页）【分析】连接OC，先根据勾股定理的逆定理得出△ACE是直角三角形，再由垂径定
理得出CE=DE， ，由三角函数求出∠A=30°，由圆周角定理求出∠BOC，由
弧长公式得出 的长度= 的长度= π即可．
【解答】解：∵AC=2 ，AE=3，CE= ，
∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，∠AEC=90°，
∴CD⊥AB，sin∠A= = ，
∴ ，∠A=30°，
连接OC，如图所示：
则∠BOC=2∠A=60°，OC= = =2，
∴ 的长度= 的长度= = π．
【点评】本题考查的是垂径定理、勾股定理的逆定理、三角函数、弧长公式等知识；
熟练掌握勾股定理的逆定理，由垂径定理得出 是解决问题的关键．
23．（10分）如图，D为△ABC边AB上一点，且CD分△ABC为两个相似比为1：
的一对相似三角形；（不妨如图假设左小右大），求：
（1）△BCD与△ACD的面积比；
（2）△ABC的各内角度数．
第21页（共30页）【考点】S7：相似三角形的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答；
（2）根据锐角三角函数的概念解答即可．
【解答】解：（1）∵△BCD和△CAD的相似比为1： ，
∴△BCD和△CAD的面积比为1：3；
（2）∵△BCD∽△CAD，
∴∠BDC=∠ADC=90°，
tanA= = = ，
∴∠A=30°，
tanB= = ，
∴∠B=60°，
∴∠ACB=90°．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比
的平方以及锐角三角函数的概念是解题的关键．
24．（10分）如图，△ABC中，AB=AC=6，F为BC的中点，D为CA延长线上一点，
∠DFE=∠B．
（1）求证： = ；
（2）若EF∥CD，求DE的长度．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据外角的性质得到∠EFB=∠FDC，由等腰三角形的性质得到
∠C=∠B，证得△CDF∽△BFE，根据相似三角形的性质得到 ；
（2）根据平行线的性质得到∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，根据等腰三角形的性质得
第22页（共30页）到∠B=∠C，等量代换得到∠FDC=∠C，推出 DF=CF，得到 BF=DF，推出
△DFE≌△BFE，根据全等三角形的性质得到结论．
【解答】（1）证明：∵∠DFB=∠DFE+∠EFB=∠C+∠FDC，
∴∠EFB=∠FDC，
∵AB=AC，
∴∠C=∠B，
∴△CDF∽△BFE，
∴ ；
（2）解：∵EF∥CD，
∴∠EFD=∠FDC，∠C=∠EFB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠FDC=∠C，
∴DF=CF，
∴BF=DF，
∴EF= AC=3，∠DFE=∠BFE，
在△DFE与△BFE中，
，
∴△DFE≌△BFE，
∴DE=BE=3．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线
的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
25．（12分）（1）已知二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）的图象如图，请根据图象直接写出
该二次函数图象经过怎样的左右平移，新图象通过坐标原点？
（2）在关于二次函数图象的研究中，秦篆晔同学发现抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）和
抛物线y=ax2﹣bx+c（a≠0）关于y轴对称，基于协作共享，秦同学将其发现口诀
第23页（共30页）化“a、c不变，b相反”供大家分享，而在旁边补笔记的胡庄韵同学听成了
“a、c相反，b不变”，并按此法误写，然而按此误写的抛物线恰巧与原抛物线
也对称，请你写出小胡同学所写的与原抛物y=（x﹣1）（x﹣3）的对称图形的解
析式，并研究其与原抛物线的具体对称情况；
（3）抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，M
是其对称轴上一点，点N在x轴上，当点N满足怎样的条件，以点N、B、C为顶
点的三角形与△MAB有可能相似，请写出所有满足条件的点N的坐标；
（4）E、F为抛物线y=（x﹣1）（x﹣3）上两点，且E、F关于D（ ，0）对称，请直接写
出E、F两点的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）首先求得抛物线与x轴的交点，即可求得平移的方向和距离；
（2）根据“a、c相反，b不变”，即可求得对应的函数解析式，然后确定顶点即可
判断；
（3）△MAB中M是在抛物线的对称轴上，则△MAB为等腰三角形，则△NBC是等
腰三角形，同时根据∠OBC=45°，即已知等腰△NBC的一个角的度数，据此即可
讨论，求解；
（4）设E的坐标是（a，a2﹣4a+3），由点E与F关于点D（ ，0）对称，则可得F的坐
标，然后根据点E和点F的纵坐标互为相反数即可列方程求解．
【解答】解：（1）二次函数y=（x﹣1）（x﹣3）与x轴的交点是（1，0）和（3，0）．
抛物线向左平移1个单位长度或3个单位长度即可使新图象经过坐标原点；
（2）y=（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3．
∵小胡同学听成了a与c相反，b不变．
∴y=﹣x2﹣4x﹣3=﹣（x+2）2+1，顶点坐标是（﹣2，1），
第24页（共30页）故与原抛物线关于原点对称；
（3）∵△MAB中M是在抛物线的对称轴上，
∴MA=MB，即△MAB为等腰三角形，
又∵△MAB与△NBC相似，
∴△NBC是等腰三角形．
∵N在x轴上，
∴∠CBN=45°或135°．
当∠CBN=135°时，即N点在B的右侧且BC=BN，则N的坐标是（3+3 ，0）；
当∠CBN=45°时，即N在点B的左侧，
若△MAB的底角为45°，此时三角形为等腰直角三角形，则N的坐标是（0，0）或
（﹣3，0）；
若△MAB的顶角是45°时，在△NBC中，BC=BN=3 ，则N的坐标是（3﹣3 ，0）；
（4）设E的坐标是（a，a2﹣4a+3），
由点E与F关于点D（ ，0）对称，则可得F（3﹣a，a2﹣2a），
∴点E和点F的纵坐标互为相反数，即a2﹣4a+3+a2﹣2a=0，
解得：a = ，a = （舍去），
1 2
∴E的纵坐标是（ ， ），F的坐标是（ ，﹣ ）．
【点评】本题考查了二次函数与等腰三角形的性质，相似三角形的性质，正确理解
△NBC是等腰三角形是本题的关键．
26．（14分）如图点C在以AB为直径的半圆的圆周上，若AB=4，∠ABC=30°，D为
边AB上一动点，点E和D关于AC对称，当D与A重合时，F为EC的延长线上
满足CF=EC的点，当D与A不重合时，F为EC的延长线与过D且垂直于DE的
直线的交点，
（1）当D与A不重合时，CF=EC的结论是否成立？试证明你的判断．
（2）设AD=x，EF=y 求y关于x的函数及其定义域；
（3）如存在E或F恰好落在弧AC或弧BC上时，求出此时AD的值；如不存在，则
请说明理由．
（4）请直接写出当D从A运动到B时，线段EF扫过的面积．
第25页（共30页）【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）设DE交AC于M，DF交BC于N．由轴对称图形的性质可知EM=DM，
ED⊥AC，然后可证明AC∥DF，由平行线分线成比例定理可知 ；
（2）①当D与A不重合时．先证明四边形CNDM是矩形，从而得到MD∥BC，由平
行线的性质可知∠ADM=∠ABC=30°，由特殊锐角三角函数可知ED= ，DN=
= （4﹣x）=2﹣ ，然后由平行线分线段成比例定理可知DN=NF，从而
得到DF=2DN=4﹣x，最后在Rt△EFD中，由勾股定理可求得y与x的函数关系
式；②当D与A重合时，y=2AC=4；
（3）①当点E在弧AC上时．由题意可知∠CAD=60°，由点E与点D关于AC对称可
知：∠EAD=120°，故此点E不在弧AC上，故当且仅当点D与点A重合是，点E
也与点A重合时，成立；②当点F在 上时，如图3所示，连接BF、AF．由题意
可知∠FDB=60°，由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，故此DF=DB，从而可证明△DFB
为等边三角形，于是得到DB=DF，然后再证明AD=DF，从而可知点D与点O重
合，于是得到AD= =2；
（4）由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，故此点E运动的轨迹为一条线段，由（3）可
知∠FBD=60°，故此点F运动的轨迹也是一条线段，然后画出图形，最后利用三
角形的面积公式即可求得答案．
【解答】解：（1）成立．
如图1所示：设DE交AC于M，DF交BC于N．
第26页（共30页）∵点E与点D关于AC对称，
∴EM=DM，ED⊥AC．
又∵DE⊥DF，
∴AC∥DF．
∴ ．
∴CE=CF．
（2）①当D与A不重合时．
∵∠CMD=∠MDN=∠MCN=90°，
∴四边形CNDM是矩形．
∴MD∥BC．
∴∠ADM=∠ABC=30°．
∵在Rt△AMD中，∠ADM=30°，
∴MD= = ．
∴ED= ．
在Rt△BDN中，∠DBN=30°，
∴DN= = （4﹣x）=2﹣ ．
∵MD∥BC，
∴ ．
∴DN=NF．
∴DF=2DN=4﹣x．
在 Rt△ EDF 中 ， 由 勾 股 定 理 可 知 EF=y= = =2
第27页（共30页）（0＜x≤4）；
②当D与A重合时，如图2所示；
∵CF=EF，
∴y=2AC=4．
（3）①当点E在弧AC上时．
∵∠CAD=60°，点E与点D关于AC对称，
∴∠EAD=∠DAM=60°．
∴∠EAD=120°．
∵当点E在弧AC上时，∠EAD≤90°，
∴此种情况不成立．
故当且仅当点D与点A重合是，点E也与点A重合时，成立．
∴AD=0．
②当点F在 上时，如图3所示，连接BF、AF．
∵∠DBN=30°，∠BND=90°，
∴∠FDB=60°．
∵由（2）可知DF=2DN，DB=2DN，
∴DF=DB．
∴△DFB为等边三角形．
∴∠DBF=60°，∠DFB=60°．
第28页（共30页）∴∠AFD=30°．
∵AB是圆O的直径，
∴∠AFB=90°．
∵∠CFA=∠CBA=30°，
∴∠CFB=120°．
∴∠CFB+∠FBD=180°．
∴∠CF∥DB．
∴∠FAD=∠CFA=30°．
∴∠FAD=∠AFD=30°．
∴AD=DF=DB．
∴点D与点O重合．
∴AD= =2．
综上所述，AD=0或AD=2．
（4）如图4所示；E、F的初始位置为E 、F ，E 与A点重合，E、F的终止位置为E 、
1 1 1 2
F ，F 与B点重合．
2 2
∵由（2）可知∠EAD=2∠CAD=120°，
∴点E运动的轨迹为线段AE ．
1
∵由（3）可知∠FBD=60°，
∴点F运动的轨迹为线段BF ．
2
∴阴影部分的面积即为所求，S=2× ×AC•BC=2× ×2 ×2=4 ．
【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了轴对称图形的性
质、平行线分线段成比例定理、等边三角形的性质和判定、等腰三角形的性质
和判定，根据∠EAD和∠FBD为固定值，判断点E、F运动的轨迹都是一条线段
第29页（共30页）是解题的关键．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:16:44；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第30页（共30页）
