文档内容
2017 年上海市宝山区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．（4分）5的相反数是（ ）
A．2 B．﹣5 C．5 D．
2．（4分）方程3x2﹣2x+1=0实数根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（4分）下列函数中，满足y的值随x的增大而增大的是（ ）
A．y=﹣2x B．y=x﹣3 C．y= D．y=x2
4．（4分）某老师在试卷分析中说：参加这次考试的41位同学中，考121分的人数
最多，虽然最高的同学获得了满分150分，但是十分遗憾最低的同学仍然只得
了56分，其中分数居第21位的同学获得116分．这说明本次考试分数的中位
数是（ ）
A．21 B．103 C．116 D．121
5．（4分）下列命题为真命题的是（ ）
A．由两边及一角对应相等的两三角形全等
B．两个相似三角形的面积比等于其相似比
C．同旁内角相等
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
6．（4分）如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，
EF∥CD，那么一定有（ ）
A．DE2=AD•AE B．AD2=AF•AB C．AE2=AF•AD D．AD2=AE•AC
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
第1页（共27页）7．（4分）计算：﹣ ÷ = ．
8．（4分）计算：（2a﹣b）2= ．
9．（4分）计算：x • = ．
10．（4分）方程x+ =0的解是 ．
11．（4分）如果正比例函数y=（k﹣1）x的图象经过原点和第一、第三象限，那么k
．
12．（4分）二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线 ．
13．（4分）一枚（形状为正方体的）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中的任
意一个，用这个骰子随机掷出的一个数替代二次根式 中的字母x，使该二
次根式有意义的概率是 ．
14．（4分）为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生
中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”．由此，
估计该校九年级全体学生中约有 名学生“骑共享单车上学”．
15．（4分）已知在△ABC中，点M、N分别是边AB、AC的中点，如果 = ， = ，
那么向量 = （结果用 、 表示）．
16．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，
分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于 PQ的长为半径作弧，
两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为
17．（4分）已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的
坡角度数约为 （备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）
18．（4分）如图，E、F分别为正方形ABCD的边AB、AD上的点，且AE=AF，连接EF，
将△AEF绕点A逆时针旋转45°，使E落在E ，F落在F ，连接BE 并延长交DF
1 1 1 1
于点G，如果AB=2 ，AE=1，则DG= ．
第2页（共27页）三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．（10分）化简，再求值： + ，其中x= ．
20．（10分）解方程组 ．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠B=45°，点D为△ABC的边AC上一点，且AD：
CD=1：2，过D作DE⊥AB于E，C作CF⊥AB于F，连接BD，如果AB=7，BC=4 ，
求线段CF和BE的长度．
22．（10分）如图，由正比例函数y=﹣x沿y轴的正方向平移4个单位而成的一次
函数y=﹣x+b的图象与反比例函数y= （k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）
和B两点．
（1）求一次函数y=﹣x+b和反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接
第3页（共27页）DF，
（1）求证：CF=2AF；
（2）求tan∠CFD的值．
24．（12分）如图，已知直线y= x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=
x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；
（3）连接AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFG面积最大时，写出该
矩形在AB边上的顶点的坐标．
25．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB=10，∠A=30°，半径为1的动圆Q
的圆心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动
点P从点B出发，沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动
时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PB长为半径的⊙P与AB、BC的另一个交点
分别为E、D，连结ED、EQ．
（1）判断并证明ED与BC的位置关系，并求当点Q与点D重合时t的值；
（2）当⊙P和AC相交时，设CQ为x，⊙P被AC截得的弦长为y，求y关于x的函数；
并求当⊙Q过点B时⊙P被AC截得的弦长；
（3）若⊙P与⊙Q相交，写出t的取值范围．
第4页（共27页）第5页（共27页）2017 年上海市宝山区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
1．（4分）5的相反数是（ ）
A．2 B．﹣5 C．5 D．
【考点】14：相反数．
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【分析】依据相反数的定义解答即可．
【解答】解：5的相反数是﹣5．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2．（4分）方程3x2﹣2x+1=0实数根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=﹣8＜0，由此即可得出原方
程无解．
【解答】解：∵在方程3x2﹣2x+1=0中，△=（﹣2）2﹣4×3×1=﹣8＜0，
∴方程3x2﹣2x+1=0没有实数根．
故选：A．
【点评】本考查了根的判别式，熟练掌握“当△＜0时，方程无实数根”是解题的
关键．
3．（4分）下列函数中，满足y的值随x的增大而增大的是（ ）
A．y=﹣2x B．y=x﹣3 C．y= D．y=x2
【考点】F5：一次函数的性质；G4：反比例函数的性质；H3：二次函数的性质．
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【分析】根据一次函数、反比例函数、二次函数的性质考虑4个选项的单调性，由
此即可得出结论．
【解答】解：A、在y=﹣2x中，k=﹣2＜0，
∴y的值随x的值增大而减小；
第6页（共27页）B、在y=x﹣3中，k=1＞0，
∴y的值随x的值增大而增大；
C、在y= 中，k=1＞0，
∴y的值随x的值增大而减小；
D、二次函数y=x2，
当x＜0时，y的值随x的值增大而减小；
当x＞0时，y的值随x的值增大而增大．
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数的性质、反比例函数的性质以及二次函数的性质，解
题的关键是根据函数的性质考虑其单调性．本题属于基础题，难度不大，解决
该题型题目时，熟悉各类函数的性质及其图象是解题的关键．
4．（4分）某老师在试卷分析中说：参加这次考试的41位同学中，考121分的人数
最多，虽然最高的同学获得了满分150分，但是十分遗憾最低的同学仍然只得
了56分，其中分数居第21位的同学获得116分．这说明本次考试分数的中位
数是（ ）
A．21 B．103 C．116 D．121
【考点】W4：中位数．
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【分析】根据中位数的定义解答即可得．
【解答】解：由题意知，共有41为同学的数学成绩，
∴其中位数为第21名同学的成绩，即中位数为116，
故选：C．
【点评】本题主要考查中位数，熟练掌握中位数的定义：将一组数据按照从小到大
（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是
这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就
是这组数据的中位数，是解题的关键．
5．（4分）下列命题为真命题的是（ ）
A．由两边及一角对应相等的两三角形全等
B．两个相似三角形的面积比等于其相似比
C．同旁内角相等
第7页（共27页）D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】利用三角形全等的判定、相似三角形的性质、平行线的性质及平行四边形
的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、由两边及夹角对应相等的两三角形全等，故错误，是假命题；
B、两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，故错误，是假命题；
C、两直线平行，同旁内角互补，故错误，是假命题；
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故正确，是真命题，
故选：D．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形全等的判定、相
似三角形的性质、平行线的性质及平行四边形的判定，难度不大．
6．（4分）如图，△ABC中，点D、F在边AB上，点E在边AC上，如果DE∥BC，
EF∥CD，那么一定有（ ）
A．DE2=AD•AE B．AD2=AF•AB C．AE2=AF•AD D．AD2=AE•AC
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】先证明△ADE∽△ABC得到AD：AB=AE：AC，再证明△AEF∽△ACD得到
AF：AD=AE：AC，则AD：AB=AF：AD，然后利用比例的性质得到AD2=AF•AB．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC，
∵EF∥CD，
∴△AEF∽△ACD，
∴AF：AD=AE：AC，
∴AD：AB=AF：AD，
第8页（共27页）∴AD2=AF•AB．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定于性质：在判定两个三角形相似时，应注意
利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，
寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用相似三
角形的性质时利用相似比表示线段之间的关系．
二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
7．（4分）计算：﹣ ÷ = ﹣ ．
【考点】1D：有理数的除法．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】原式利用除法法则变形，计算即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣ ×3=﹣ ，
故答案为：﹣
【点评】此题考查了有理数的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键．
8．（4分）计算：（2a﹣b）2= 4 a 2 ﹣4ab + b 2 ．
【考点】4C：完全平方公式．
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【专题】11：计算题；512：整式．
【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果．
【解答】解：原式=4a2﹣4ab+b2，
故答案为：4a2﹣4ab+b2
【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
9．（4分）计算：x • = x 2 ．
【考点】2C：实数的运算；2F：分数指数幂．
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【专题】11：计算题；511：实数．
【分析】原式利用分数指数幂，以及平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：原式= •x =x2．
故答案为：x2
第9页（共27页）【点评】此题考查了实数的运算，以及分数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的
关键．
10．（4分）方程x+ =0的解是 0 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x=x2，再对方
程进行因式分解即可解出本题．
【解答】解：原方程变形为：x=x2即x2﹣x=0
∴（x﹣1）x=0
∴x=0或x=1
∵x=1时不满足题意．
∴x=0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开
平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法
本题运用的是因式分解法和平方法．
11．（4分）如果正比例函数y=（k﹣1）x的图象经过原点和第一、第三象限，那么k
＞ 1 ．
【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征．
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【分析】根据正比例函数的性质进行选择即可．
【解答】解：∵正比例函数y=（k﹣1）x的图象经过原点和第一、第三象限，
∴k﹣1＞0，
∴k＞1，
故答案为＞1．
【点评】本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．
12．（4分）二次函数y=x2﹣2x的图象的对称轴是直线 x=1 ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【分析】先把二次函数y=x2﹣2x写成顶点坐标式y=（x﹣1）2﹣1，进而写出图象的
对称轴方程．
【解答】解：∵y=x2﹣2x，
∴y=（x﹣1）2﹣1，
第10页（共27页）∴二次函数的图象对称轴为x=1．
故答案为x=1．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解答本题的关键是把二次函数写出顶
点坐标式，此题难度不大．
13．（4分）一枚（形状为正方体的）骰子可以掷出1、2、3、4、5、6这六个数中的任
意一个，用这个骰子随机掷出的一个数替代二次根式 中的字母x，使该二
次根式有意义的概率是 ．
【考点】72：二次根式有意义的条件；X4：概率公式．
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【分析】据二次根式中被开方数的取值范围即二次根式中的被开方数是非负数，
进而得出答案．
【解答】解：∵1、2、3、4、5、6这十个数中，
只有x=3，4，5，6时，二次根式 中的字母x使所得二次根式有意义，
∴二次根式 有意义的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式以及二次根式有意义的条件，得出具体符合题
意的值是解题关键．
14．（4分）为了解某中学九年级学生的上学方式，从该校九年级全体300名学生
中，随机抽查了60名学生，结果显示有5名学生“骑共享单车上学”．由此，
估计该校九年级全体学生中约有 2 5 名学生“骑共享单车上学”．
【考点】V5：用样本估计总体．
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【分析】用样本中“骑共享单车上学”的人数所占比例乘以总人数300即可得．
【解答】解：根据题意，估计该校九年级全体学生中“骑共享单车上学”的人数为
300× =25名，
故答案为：25．
【点评】本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，利用样本中的数
据对整体进行估算是统计学中最常用的估算方法．
15．（4分）已知在△ABC中，点M、N分别是边AB、AC的中点，如果 = ， = ，
第11页（共27页）那么向量 = （ ﹣ ） （结果用 、 表示）．
【考点】KX：三角形中位线定理；LM：*平面向量．
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【分析】由 = ， = ，利用三角形法则求解即可求得 ，又由在△ABC中，D、E
分别是边AB、边AC的中点，可得DE是△ABC的中位线，然后利用三角形中位
线的性质求解即可求得答案．
【解答】解：∵ = ， = ，
∴ = ﹣ = ﹣ ．
又∵点M、N分别是边AB、AC的中点，
∴ = = （ ﹣ ）．
故答案是： （ ﹣ ）．
【点评】此题考查了平面向量的知识以及三角形中位线的性质．注意掌握三角形
法则的应用．
16．（4分）如图，在 ▱ABCD中，AB=3，BC=5，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，
分别交BA、BC于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于 PQ的长为半径作弧，
两弧在∠ABC内交于点M，连接BM并延长交AD于点E，则DE的长为 2 ．
【考点】L5：平行四边形的性质．
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【分析】根据作图过程可得得BE平分∠ABC；再根据角平分线的性质和平行四边
第12页（共27页）形的性质可证明∠AEB=∠CBE，证出AE=AB=3，即可得出DE的长．，
【解答】解：根据作图的方法得：BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=5，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=3，
∴DE=AD﹣AE=5﹣3=2；
故答案为：2．
【点评】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形
的性质，证出AE=AB是解决问题的关键．
17．（4分）已知一条长度为10米的斜坡两端的垂直高度差为6米，那么该斜坡的
坡角度数约为 37 ° （备用数据：tan31°=cot59°≈0.6，sin37°=cos53°≈0.6）
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】根据题意求出斜坡的坡角的正弦，计算即可．
【解答】解：斜坡的坡角的正弦值为： =0.6，
则斜坡的坡角度数约为37°，
故答案为：37°．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概
念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
18．（4分）如图，E、F分别为正方形ABCD的边AB、AD上的点，且AE=AF，连接EF，
将△AEF绕点A逆时针旋转45°，使E落在E ，F落在F ，连接BE 并延长交DF
1 1 1 1
于点G，如果AB=2 ，AE=1，则DG= ．
第13页（共27页）【考点】LE：正方形的性质；R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】连接AC、F E 、DE ，F E 交AD于M，延长BE 交DF 于H，如图，先利用正方
1 1 1 1 1 1 1
形的性质得到∠DAC=∠BAC=45°，再根据旋转的性质得∠E AE=∠FAF =45°，
1 1
AE =AF =AE=AF=1，于是可判断点E 在AC上，△AE F 为等腰直角三角形，再证
1 1 1 1 1
明E F ∥AB，作E N⊥AB于N，计算出BE = ，易证得△ABE ≌△ADE ≌△ADF
1 1 1 1 1 1 1
得到DE =DF =BE = ，∠ABH=∠ADH，接着利用面积法计算出E H= ，然后
1 1 1 1
计算出HF = ，所以DH=DF ﹣HF = ．
1 1 1
【解答】解：连接AC、F E 、DE ，F E 交AD于M，延长BE 交DF 于H，如图，
1 1 1 1 1 1 1
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∵△AEF绕点A逆时针旋转45°，
∴∠E AE=∠FAF =45°，AE =AF =AE=AF=1，
1 1 1 1
∴点E 在AC上，△AE F 为等腰直角三角形，
1 1 1
∴∠AE F =45°，E F = ，AM= ，
1 1 1 1
∴E F ∥AB，DM= ，
1 1
作E N⊥AB于N，如图，AN=E N= ，
1 1
∴BE=AB﹣AN=2 ﹣ = ，
∴BE = = ，
1
易证得△ABE ≌△ADE ≌△ADF ，
1 1 1
∴DE =DF =BE = ，∠ABH=∠ADH，
1 1 1
∴∠DHB=∠DAB=90°，
∵ DM•E F = •E H•DF ，
1 1 1 1
第14页（共27页）∴E H= = ，
1
在Rt△HF E 中，HF = = ，
1 1 1
∴DH=DF ﹣HF = ．
1 1
故答案为 ．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中
心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三
角形的性质和正方形的性质．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．（10分）化简，再求值： + ，其中x= ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【专题】11：计算题．
【分析】首先化简 + ，然后把x= 代入化简后的算式，求出算式的值是多
少即可．
【解答】解： +
= +
=
=
当x= 时，
第15页（共27页）原式= =2 +4
【点评】此题主要考查了分式的化简求值问题，要熟练掌握，化简求值，一般是先
化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步
骤．
20．（10分）解方程组 ．
【考点】AF：高次方程．
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【专题】4：解题方法．
【分析】由于组中的两个高次方程都能分解为两个一次方程，所以先分解组中的
两个二元二次方程，得到四个一元一次方程，重新组合成二元一次方程组，求
出的四个二元一次方程组的解就是原方程的解．
【解答】解：
由①，得（x﹣y）2=16，
所以x﹣y=4或x﹣y=﹣4．
由②，得（x+3y）（x﹣3y）=0，
即x+3y=0或x﹣3y=0
所以原方程组可化为：
， ， ，
解这些方程组，得
， ， ， ．
所以原方程组的解为： ， ， ， ．
【点评】本题考查了二元二次方程组的解法．解决本题的关键是利用完全平方公
式、平方差公式化二元二次方程组为四个一元一次方程组．
21．（10分）如图，在△ABC中，∠B=45°，点D为△ABC的边AC上一点，且AD：
CD=1：2，过D作DE⊥AB于E，C作CF⊥AB于F，连接BD，如果AB=7，BC=4 ，
求线段CF和BE的长度．
第16页（共27页）【考点】S4：平行线分线段成比例；T7：解直角三角形．
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【分析】根据等腰直角三角形的性质求出CF、BF，根据平行线分线段成比例定理求
出EF，计算即可．
【解答】解：∵CF⊥AB，∠B=45°，BC=4 ，
∴CF=BF=4，
∴AF=AB﹣BF=3，
∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE∥CF，
∴ = = ，
∴EF=2，
∴BE=EF+BF=6．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是
解题的关键．
22．（10分）如图，由正比例函数y=﹣x沿y轴的正方向平移4个单位而成的一次
函数y=﹣x+b的图象与反比例函数y= （k≠0）在第一象限的图象交于A（1，n）
和B两点．
（1）求一次函数y=﹣x+b和反比例函数的解析式；
（2）求△ABO的面积．
第17页（共27页）【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题；Q3：坐标与图形变化﹣平移．
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【分析】（1）根据“上加下减”即可求出一次函数的解析式，将x=1代入一次函数
解析式中求出n值，根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即
可求出反比例函数解析式；
（2）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，通过解方程组求出点B的坐标，
设直线y=﹣x+4与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，利用一次函数图象上
点的坐标特征可求出点M、N的坐标，根据三角形的面积结合S =S ﹣
△AOB △MON
S ﹣S 即可求出△ABO的面积．
△AON △BOM
【解答】解：（1）∵正比例函数y=﹣x沿y轴的正方向平移4个单位得到一次函数
y=﹣x+b，
∴一次函数的解析式为y=﹣x+4．
∵点A（1，n）在直线y=﹣x+4上，
∴n=3，
∴A（1，3）．
∵点A（1，3）在反比例函数y= （k≠0）的图象上，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为y= ．
（2）联立一次函数与反比例函数解析式成方程组，
，解得： ， ，
∴B（3，1）．
设直线y=﹣x+4与x轴的交点为M，与y轴的交点为N，
∴M（4，0），N（0，4），
∴S =S ﹣S ﹣S = ×4×4﹣ ×4×1﹣ ×4×1=4．
△AOB △MON △AON △BOM
第18页（共27页）【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次函数图象上点的坐
标特征、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：
（1）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点A的坐标；（2）利用分割图形求
面积法求出△ABO的面积．
23．（12分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接
DF，
（1）求证：CF=2AF；
（2）求tan∠CFD的值．
【考点】LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，得出对应边成比例，即可得出结论；
（2）作DH⊥AC于H，证出DH∥BE，得出比例式AF：FH=AE：ED=1：1，AF=FH=HC，设
AF=a，则AH=2a，CH=a，证明△ADH∽△DCH，得出对应边成比例求出DH= a，
再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE= AD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴BC=2AE，△AEF∽△CBF，
∴AF：CF=AE：BC=1：2，
∴CF=2AF；
第19页（共27页）（2）解：作DH⊥AC于H，如图所示：
∵BE⊥AC，
∴DH∥BE，
∴AF：FH=AE：ED=1：1，
∴AF=FH=HC，
设AF=a，则AH=2a，CH=a，
∵∠DAH=∠CDH=90°﹣∠ADH，∠AHD=∠DHC=90°，
∴△ADH∽△DCH，
∴ ，即 ，
解得：DH= a，
∴tan∠CFD= = ．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数，平行线分
线段成比例定理等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的
关键．
24．（12分）如图，已知直线y= x﹣2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=
x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是上述抛物线上一点，如果△ABM和△ABC相似，求点M的坐标；
（3）连接AC，求顶点D、E、F、G在△ABC各边上的矩形DEFG面积最大时，写出该
矩形在AB边上的顶点的坐标．
第20页（共27页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）先求得点B和点C的坐标，然后将B（4，0）代入抛物线的解析式求得
b的值即可；
（2）先求得抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性求得点A的坐标，依据勾
股 定 理 的 逆 定 理 可 判 定 △ ABC 为 直 角 三 角 形 ， 且 ∠ BCA=90° ， 则
△ABM≌△ABC，则点M与点C关于x= 对称；
（3）此题应分两种情况考虑：①矩形有两个顶点在AB边上（设这两点为D、E），首
先设出DG的长为m，利用相似三角形△CFG∽△CBA得到的比例线段，可求得
GF的表达式，进而可根据矩形的面积公式求出关于矩形的面积和m的函数关
系式，根据函数的性质即可得到矩形的最大面积及对应的m值，从而确定出矩
形的四顶点的坐标；②矩形有一个顶点在AB边上（设为D），此时C、F重合，方
法同①，首先设DE=n，由△ADG∽△ABC求出DG的长，进而根据矩形的面积公
式得到关于矩形的面积和n的函数关系式，从而根据函数的性质求得矩形的
最大面积和对应的n值，进而确定矩形的四个顶点坐标．
【解答】解：（1）把x=0代入直线的解析式得：y=﹣2，
∴C（0，﹣2）．
将y=0代入直线的解析式得：0= x﹣2，解得x=4，
∴B（4，0）．
将点B（4，0）代入抛物线的解析式得：8+4b﹣2=0，解得b=﹣ ，
∴抛物线的解析式为y= x2﹣ x﹣2．
第21页（共27页）（2）∵抛物线的对称轴为x= ，B（4，0），
∴A（﹣1，0）．
∴AB=5，AC= = ，BC= =4 ．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC为直角三角形，且∠BCA=90°．
∵M为抛物线上的一点，
∴不可能由MB⊥AB或MA⊥AB．
∴当△ABM和△ABC相似时，一定有∠AMB=90°．
∴△BAM≌△ABC．
∴点M的坐标为（3，﹣2）．
（3）①如图①所示，矩形DEFG中D、E在AB边上．
设DG=EF=m；
由于FG∥x轴，则△CGF∽△CAB， = ，
解得FG=5﹣ m；
故矩形的面积S=DG•FG=（5﹣ m）m=﹣ m2+5m，即S=﹣ （m﹣1）2+ ，
故m=1时，矩形的面积最大为2.5；
此时D（﹣ ，0），E（2，0），G（﹣ ，﹣1），F（2，﹣1）；
②如图②所示，矩形DEFG中，F、C重合，D在AB边上．
第22页（共27页）设DE=CG=n，同①可得： = 即DG=2 ﹣2n；
故矩形的面积S=DE•DG=（2 ﹣2n）n=﹣2（n﹣ ）2+ ，即当n= 时，矩形的最
大面积为2.5；
此时BD=5× = ，OD=OB﹣BD= ，即D（ ，0）；
综上所述，矩形的最大面积为2.5，此时矩形在AB边上的顶点坐标为（﹣ ，0），
（2，0）或（ ，0）．
【点评】此题考查了二次函数解析式的确定、直角三角形的判定、矩形面积的计算
方法、二次函数最值的应用等知识，要注意（3）题中，矩形的摆放方法有两种，
不要漏解
25．（14分）如图，在△ABC中，∠ACB为直角，AB=10，∠A=30°，半径为1的动圆Q
的圆心从点C出发，沿着CB方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，同时动
点P从点B出发，沿着BA方向也以1个单位长度/秒的速度匀速运动，设运动
时间为t秒（0＜t≤5）以P为圆心，PB长为半径的⊙P与AB、BC的另一个交点
分别为E、D，连结ED、EQ．
（1）判断并证明ED与BC的位置关系，并求当点Q与点D重合时t的值；
（2）当⊙P和AC相交时，设CQ为x，⊙P被AC截得的弦长为y，求y关于x的函数；
并求当⊙Q过点B时⊙P被AC截得的弦长；
（3）若⊙P与⊙Q相交，写出t的取值范围．
第23页（共27页）【考点】MR：圆的综合题．
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【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可知∠BDE=∠BCA=90°，由此即可证
明；
（2）如图3中，设⊙P和AC相交于M、N．BP=CQ=t，AP=AB﹣BP=10﹣t，过点P作
PH⊥AC于H．在Rt△APH中，由∠A=30°，推出PH= AP= （10﹣t），在Rt△PHN
中，NH= = ，推出MN=2MH= ，即y=
，由此即可角问题．
（3）当⊙P与⊙Q外切时，如图4中，作PH⊥BC于H．易知此时∠QBP=60°，BQ=5
﹣t，PQ=t+1，BP=t，在Rt△PHQ中，利用勾股定理即可列出方程解决问题．
【解答】解：（1）结论：DE⊥BC．理由如下：
如图1中，
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°，
∴DE⊥BC，
∵∠BCA=90°，∠A=30°，
第24页（共27页）∴DE∥AC，
∴△BDE∽△BCA，
∴ = = ，
如图2中，当C、D重合时，设CQ=CD=t，则BD=5﹣t，BE=2t，
∴ = ，
∴t= ．
∴当t= 时，Q与D重合．
（2）如图3中，设⊙P和AC相交于M、N．BP=CQ=t，AP=AB﹣BP=10﹣t，
过点P作PH⊥AC于H．
在Rt△APH中，∵∠A=30°，
∴PH= AP= （10﹣t），
第25页（共27页）在Rt△PHN中，NH= = ，
MN=2MH= ，
即y= ，
当⊙O经过点B点时，CQ=CB﹣QB=4，
将t= 代入得到，MN=2 ，
（3）当⊙P与⊙Q外切时，如图4中，作PH⊥BC于H．易知此时∠QBP=60°，BQ=5
﹣t，PQ=t+1，BP=t，
∵在Rt△PBH中，BH= PB= t．PH= t，
在Rt△PHQ中，PH2+QH2=PQ2，
∴（ t）2+（5﹣ t）2=（t+1）2，
整理得2t2﹣17t+24=0，
解得t= 或 （舍弃）
∵从此时起到停止运动，⊙P与⊙Q都处于相交位置，
∴⊙P与⊙Q相交时，t的取值范围为 ＜t≤5．
【点评】本题考查圆综合题、勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、
两圆相切的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会
第26页（共27页）用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/24 0:10:41；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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