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2012年上海市黄浦区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）计算（﹣3）2的结果是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
2．（4分）下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）从1，2，3，4，5，6中任意取一个数，取到的数是6的因数的概率是
（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．正十边形
6．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边相等的矩形是正方形
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a（a+2b）＝ ．
8．（4分）分母有理化 ＝ ．
9．（4分）上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”，将被改造成为一个综合性的
商业中心，该项目营业面积将达130000平方米，这个面积用科学记数法表示
为 平方米．
10．（4分）如果 ，f（2）＝﹣3，那么k＝ ．
11．（4分）若将直线y＝2x﹣1向上平移3个单位，则所得直线的表达式为
．
第1页（共26页）12．（4分）在方程 中，如果设y＝x2﹣4x，那么原方程可化为关
于y的整式方程是 ．
13．（4分）方程 ＝x的解是x＝ ．
14．（4分）用a辆车运一批橘子，平均每辆车装b千克橘子，若把这批橘子平均分
送到c个超市，则每个超市分到橘子 千克．
15．（4分）已知梯形的上底长是5cm，中位线长是7cm，那么下底长是 cm．
16．（4分）如图，AF是∠BAC的角平分线，EF∥AC，如果∠1＝25°，那么∠BAC＝
°．
17．（4分）如图，在△ABC中，点G是重心，设向量 ， ，那么向量 ＝
（结果用 、 表示）．
18．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O在AB上，且CA＝CO＝6，
cos∠CAB＝ ，若将△ACB绕点A顺时针旋转得到Rt△AC′B′，且C′落在
CO的延长线上，连接BB′交CO的延长线于点F，则BF＝ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
第2页（共26页）19．（10分）化简： ．
20．（10分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，作半径OA的垂直平分线，交圆O于C、D两
点，垂足为H，连接BC、BD．
（1）求证：BC＝BD；
（2）已知CD＝6，求圆O的半径长．
22．（10分）某公司组织员工100人外出旅游．公司制定了三种旅游方案供员工选
择：
方案一：到A地两日游，每人所需旅游费用1500元；
方案二：到B地两日游，每人所需旅游费用1200元；
方案三：到C地两日游，每人所需旅游费用1000元；
每个员工都选择了其中的一个方案，现将公司员工选择旅游方案人数的有关数据
整理后绘制成尚未完成的统计图，根据图1与图2提供的信息解答下列问题：
（1）选择旅游方案三的员工有 人，将图1补画完整；
（2）选择旅游方案三的女员工占女员工总数的 （填“几分之几”）；
（3）该公司平均每个员工所需旅游费 元；
第3页（共26页）（4）报名参加旅游的女员工所需旅游费为 57200元，参加旅游的女员工有
人．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长
BE交AD于点F．
（1）求证：∠BEC＝∠DEC；
（2）当CE＝CD时，求证：DF2＝EF•BF．
24．（12分）已知一次函数y＝x+1的图象和二次函数y＝x2+bx+c的图象都经过
A、B两点，且点A在y轴上，B点的纵坐标为5．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将此二次函数图象的顶点记作点P，求△ABP的面积；
（3）已知点C、D在射线AB上，且D点的横坐标比C点的横坐标大2，点E、F在
这个二次函数图象上，且CE、DF与y轴平行，当CF∥ED时，求C点坐标．
25．（14分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，O是BC边上的中
点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边上的点，且MN∥AO，延长
CA与直线MN相交于点D，G点是AB延长线上的点，且BG＝AN，连接MG，
设AN＝x，BM＝y．
（1）求y关于x的函数关系式及其定义域；
（2）连接CN，当以DN为半径的 D和以MG为半径的 M外切时，求∠ACN的
⊙ ⊙
第4页（共26页）正切值；
（3）当△ADN与△MBG相似时，求AN的长．
第5页（共26页）2012 年上海市黄浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）计算（﹣3）2的结果是（ ）
A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9
【考点】1E：有理数的乘方．
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【分析】根据有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．
【解答】解：（﹣3）2＝（﹣3）×（﹣3）＝9．
故选：D．
【点评】本题考查有理数的乘方运算，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．负
数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
2．（4分）下列二次根式中与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】77：同类二次根式．
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【分析】先把 化简为最简二次根式，再逐一判断即可．
【解答】解：∵ ＝3 ，四个选项中只有 与3 被开方数相同，是同类二次
根式．
故选：A．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方
数相同．这样的二次根式叫做同类二次根式．
3．（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】F6：正比例函数的性质；G4：反比例函数的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】分别根据一次函数及反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵正比例函数y＝ x中，k＝ ＞0，∴y随x的增大而增大，故本选
项错误；
第6页（共26页）B、∵正比例函数y＝﹣ x中，k＝﹣ ＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项正确；
C、∵反比例函数y＝ 中，k＝3＞0，∴函数图象在每一象限内y随x的增大而减
小，故本选项错误；
D、∵反比例函数y＝﹣ 中，k＝﹣3＞0，∴函数图象在每一象限内y随x的增大
而增大，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是反比例函数及正比例函数的性质，即反比例函数 y＝
（k≠0）的图象是双曲线；
当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减
小；
当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增
大．
4．（4分）从1，2，3，4，5，6中任意取一个数，取到的数是6的因数的概率是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】11：计算题．
【分析】先寻找6的因数，然后根据概率＝所求情况数与总情况数之比，即可得出
答案．
【解答】解：1，2，3，4，5，6中6的因数有：1、2、3、6，共4个．
故取到的数是6的因数的概率是： ＝ ．
故选：C．
【点评】本题主要考查概率公式的知识点，解答本题的关键是熟练掌握概率公式：
概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．（4分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．正十边形
第7页（共26页）【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心
对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部
分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，即可判断
出答案．
【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项错误；
D、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键
是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻
找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
6．（4分）下列命题中，假命题是（ ）
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．一组邻边相等的矩形是正方形
C．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
D．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形
【考点】L9：菱形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判定；LH：梯形；O1：命题
与定理．
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【分析】根据菱形的定义、正方形的定义以及梯形的定义即可作出判断．
【解答】解：A、是菱形的定义，故命题正确；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题；
C、一组对边相等且有一个角是直角的四边形不一定是矩形，
如： ，是假命题；
D、是梯形的定义，是真命题．
第8页（共26页）故选：C．
【点评】本题考查了命题与定理，正确理解菱形的定义、正方形的定义以及梯形的
定义是关键．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：a（a+2b）＝ a 2 + 2 a b ．
【考点】4A：单项式乘多项式．
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【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积
相加计算即可．
【解答】解：原式＝a2+2ab，
故答案为：a2+2ab．
【点评】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算
时要注意符号的处理．
8．（4分）分母有理化 ＝ +1 ．
【考点】76：分母有理化．
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【分析】分母有理化就是指通过分子分母同时乘以同一个数，来消去分母中的根
号，从而使分母变为有理数．完成分母有理化，常要用到平方差公式．
【解答】解： ＝ ＝ ．
【点评】要正确使用平方差公式，去掉分母中的根号．
9．（4分）上海原世博园区最大单体建筑“世博轴”，将被改造成为一个综合性的
商业中心，该项目营业面积将达130000平方米，这个面积用科学记数法表示
为 1.3×1 0 5 平方米．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n
的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动
的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：130000＝1.3×105．
故答案为：1.3×105．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n
的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
第9页（共26页）10．（4分）如果 ，f（2）＝﹣3，那么k＝ ﹣ 6 ．
【考点】E5：函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据f（2）＝﹣3，代入自变量与函数的值，解关于k的方程即可．
【解答】解：f（2）＝ ＝﹣3，
解得k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了函数值，主要渗透了待定系数法求函数解析式的思想，把自变
量与函数值同时代入进行计算即可，比较简单．
11．（4分）若将直线y＝2x﹣1向上平移3个单位，则所得直线的表达式为 y ＝
2 x +2 ．
【考点】F9：一次函数图象与几何变换．
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【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将直线y＝2x﹣1向上平移2个单位后，
所得直线的表达式是y＝2x﹣1+3，即y＝2x+2．
故答案为：y＝2x+2．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是
解答此题的关键．
12．（4分）在方程 中，如果设y＝x2﹣4x，那么原方程可化为关
于y的整式方程是 y 2 + 4 y + 3 ＝ 0 ．
【考点】B4：换元法解分式方程．
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【分析】先把方程整理出含有x2﹣4x的形式，然后换成y再去分母即可得解．
【解答】解：方程整理得，x2﹣4x+ +4＝0，
设y＝x2﹣4x，
原方程可化为，y+ +4＝0，
方程两边都乘以y，去分母得，
y2+4y+3＝0．
第10页（共26页）故答案为：y2+4y+3＝0．
【点评】本题考查了用换元法解方程，解题关键是能准确的找出可用替换的代数
式x2﹣4x，再用字母y代替解方程．
13．（4分）方程 ＝x的解是x＝ 2 ．
【考点】AG：无理方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题含根号，计算比较不便，因此可先对方程两边平方，得到x+2＝x2，再
对方程进行因式分解即可解出本题．
【解答】解：原方程变形为：x+2＝x2即x2﹣x﹣2＝0
∴（x﹣2）（x+1）＝0
∴x＝2或x＝﹣1
∵x＝﹣1时不满足题意．
∴x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开
平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的提点灵活选用合适的方法
本题运用的是因式分解法和平方法．
14．（4分）用a辆车运一批橘子，平均每辆车装b千克橘子，若把这批橘子平均分
送到c个超市，则每个超市分到橘子 千克．
【考点】32：列代数式．
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【分析】先根据a辆车运一批橘子，平均每辆车装b千克橘子求出总的橘子数，再
除以c即可．
【解答】解：每个超市分到橘子 千克．
故答案为： ．
【点评】此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量
关系列出代数式．
15．（4分）已知梯形的上底长是5cm，中位线长是7cm，那么下底长是 9 cm．
【考点】LL：梯形中位线定理．
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第11页（共26页）【分析】根据“梯形中位线的长等于上底与下底和的一半”可求得其下底．
【解答】解：由已知得，下底＝2×7﹣5＝9cm．
故答案为9．
【点评】主要考查了梯形中位线定理的数量关系：梯形中位线的长等于上底与下
底和的一半．
16．（4分）如图，AF是∠BAC的角平分线，EF∥AC，如果∠1＝25°，那么∠BAC＝
50 °．
【考点】IJ：角平分线的定义；JA：平行线的性质．
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【分析】先根据两直线平行，同位角相等求出∠FAC的度数，再根据角平分线的定
义解答．
【解答】解：∵EF∥AC，∠1＝25°，
∴∠FAC＝∠1＝25°，
∵AF是∠BAC的角平分线，
∴∠BAC＝2∠FAC＝2×25°＝50°．
故答案为：50．
【点评】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，角平分线的，是基础题，准确
识图是解题的关键．
17．（4分）如图，在△ABC中，点G是重心，设向量 ， ，那么向量 ＝
（结果用 、 表示）．
【考点】K5：三角形的重心；LM：*平面向量．
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【分析】根据三角形的重心的定义知AG＝2GD，BD＝DC；然后根据向量加法的三
第12页（共26页）角形法则进行计算即可．
【解答】解：∵在△ABC中，点G是重心， ，
∴ ＝3 ， ＝2 ；
又∵ ＝ ﹣ ， ＝ ，
∴ ＝2（3 ﹣ ）＝﹣ +6 ；
故答案是：﹣ +6 ．
【点评】本题考查了平面向量、三角形的重心．注意，向量是既有大小又有方向的．
18．（4分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O在AB上，且CA＝CO＝6，
cos∠CAB＝ ，若将△ACB绕点A顺时针旋转得到Rt△AC′B′，且C′落在
CO的延长线上，连接BB′交CO的延长线于点F，则BF＝ 1 4 ．
【考点】R2：旋转的性质．
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【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD＝DO，
然后根据∠CAB的余弦值列式求出AB、AD的值，再求出AO的值，根据BO＝
AB﹣AO代入数据求出BO，然后根据旋转的性质可得AC＝AC′，AB＝AB′，
再根据旋转角得到∠CAC′＝∠BAB′，然后根据三角形的内角和定理求出
∠ABB′＝∠ACC′，从而求出∠BOF＝∠BFO，根据等角对等边的性质可得
BF＝BO，从而得解．
【解答】解：过C作CD⊥AB于点D，
∵CA＝CO，
∴AD＝DO，
在Rt△ACB中，cos∠CAB＝ ＝ ＝ ，
∴AB＝3AC＝18，
在Rt△ADC中：cos∠CAB＝ ＝ ，
第13页（共26页）∴AD＝ AC＝2，
∴AO＝2AD＝4，
∴BO＝AB﹣AO＝18﹣4＝14，
∵△AC′B′是由△ACB旋转得到，
∴AC＝AC′，AB＝AB′，∠CAC′＝∠BAB′，
∵∠ACC′＝ （180°﹣∠CAC′），∠ABB′＝ （180°﹣∠BAB′），
∴∠ABB′＝∠ACC′，
∴在△CAO和△BFO中，∠BFO＝∠CAO，
∵CA＝CO，
∴∠COA＝∠CAO，
又∵∠COA＝∠BOF（对顶角相等），
∴∠BOF＝∠BFO，
∴BF＝BO＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的内角和定
理，以及锐角三角函数的应用，求出BO的长度之后，难点在于求BF＝BO．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）化简： ．
【考点】6C：分式的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】先将括号内部分通分，再根据分式除法法则运算，然后再通分计算加减．
【解答】解：原式＝ …（4分）
第14页（共26页）＝ …（4分）
＝ ． …（2分）
【点评】本题考查了分式的混合运算，关键是通分，因式分解，注意混合运算的运
算顺序．
20．（10分）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
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【专题】11：计算题．
【分析】将不等式组的两不等式分别记作 和 ，由不等式 移项，将x的系数
化为1，求出x的范围，由不等式 左边去括号后，移项并将x的系数化为1求
① ② ①
出解集，找出两解集的公共部分，确定出原不等式组的解集，并将此解集表示
②
在数轴上即可．
【解答】解： ，
由不等式 移项得：4x+x＞1﹣6，
整理得：5x＞﹣5，
①
解得：x＞﹣1，…（1分）
由不等式 去括号得：3x﹣3≤x+5，
移项得：3x﹣x≤5+3，
②
合并得：2x≤8，
解得：x≤4，…（2分）
则不等式组的解集为﹣1＜x≤4．…（4分）
在数轴上表示不等式组的解集如图所示，…（6分）
【点评】此题考查了一元一出不等式组的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，
分别求出不等式组中两不等式的解集，然后利用取解集的方法（同大取大，同
小取小，大小小大取中间，大大小小无解）来找出不等式组的解集．
21．（10分）如图，AB是圆O的直径，作半径OA的垂直平分线，交圆O于C、D两
点，垂足为H，连接BC、BD．
第15页（共26页）（1）求证：BC＝BD；
（2）已知CD＝6，求圆O的半径长．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【专题】11：计算题；14：证明题．
【分析】（1）根据垂径定理得出CH＝DH，根据线段的垂直平分线性质得出BC＝
BD即可；
（2）连接OC，设圆O的半径为r，则OH＝ r，在△OCH中根据勾股定理得出一
个关于r的方程，求出方程的解即可．
【解答】（1）证明：∵AB是圆O的直径，且AB⊥CD，
∴CH＝DH，
∵AB⊥CD，
∴BC＝BD．
（2）解：连接OC，
∵CD平分OA，设圆O的半径为r，则OH＝ r，
∵CD＝6，
∴CH＝ CD＝3，
∵∠CHO＝90°，
∴OH2+CH2＝CO2，
第16页（共26页）∴ +32＝r2，
∴r＝2 ，
答：圆O的半径长是2 ．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线定理，勾股定理，垂径定理的应用，主要培
养了学生运用定理解推理和计算的能力，用了方程思想．
22．（10分）某公司组织员工100人外出旅游．公司制定了三种旅游方案供员工选
择：
方案一：到A地两日游，每人所需旅游费用1500元；
方案二：到B地两日游，每人所需旅游费用1200元；
方案三：到C地两日游，每人所需旅游费用1000元；
每个员工都选择了其中的一个方案，现将公司员工选择旅游方案人数的有关数据
整理后绘制成尚未完成的统计图，根据图1与图2提供的信息解答下列问题：
（1）选择旅游方案三的员工有 3 5 人，将图1补画完整；
（2）选择旅游方案三的女员工占女员工总数的 （填“几分之几”）；
（3）该公司平均每个员工所需旅游费 120 5 元；
（4）报名参加旅游的女员工所需旅游费为 57200元，参加旅游的女员工有 4 8
人．
【考点】VB：扇形统计图；VC：条形统计图；W2：加权平均数．
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【专题】1：常规题型．
【分析】（1）总人数为100人，而选择方案一和方案二的人数分别为25人和40人，
继而即可求出选择方案三的人数；
第17页（共26页）（2）根据图2的扇形统计图，先求出选择方案三的女员工的圆心角为360°﹣120°
﹣90°，继而即可求出选择旅游方案三的女员工占女员工总数的百分比；
（3）先求出100个员工所需的旅游费用，然后除以总人数即可；
（4）设参加旅游的女员工人数为x人，则根据选择各个方案的女员工的百分比及
各个方案的旅游费用，列方程进行求解．
【解答】解；（1）100﹣（25+40）＝35（人）；
（2） ＝ ；
（3） ＝1205（元）；
（4）设参加旅游的女员工人数为x人，
则根据题意得： ×x×1500+ ×x×1200+ ×x×1000＝57200，
解得：x＝48．
故答案为：35； ；1205；48．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同
的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出
每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
23．（12分）如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接EB、ED，延长
BE交AD于点F．
（1）求证：∠BEC＝∠DEC；
（2）当CE＝CD时，求证：DF2＝EF•BF．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质；S9：相似三角形的判
第18页（共26页）定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）利用正方形的性质，根据SAS即可证得：△BEC≌△DEC，从而求证；
（2）首先证明△FDE∽△FBD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得
，即DF2＝EF•BF．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，且∠BCE＝∠DCE，
又∵CE是公共边，
∴△BEC≌△DEC，
∴∠BEC＝∠DEC．
（2）连接BD．
∵CE＝CD，∴∠DEC＝∠EDC．
∵∠BEC＝∠DEC，∠BEC＝∠AEF，
∴∠EDC＝∠AEF．
∵∠AEF+∠FED＝∠EDC+∠ECD，
∴∠FED＝∠ECD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ECD＝ ∠BCD＝45°，∠ADB＝ ∠ADC＝45°，
∴∠ECD＝∠ADB．
∴∠FED＝∠ADB．
又∵∠BFD是公共角，
∴△FDE∽△FBD，
∴ ，即DF2＝EF•BF．
第19页（共26页）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，和正方形的性质，正确理解正方形
的性质是关键．
24．（12分）已知一次函数y＝x+1的图象和二次函数y＝x2+bx+c的图象都经过
A、B两点，且点A在y轴上，B点的纵坐标为5．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将此二次函数图象的顶点记作点P，求△ABP的面积；
（3）已知点C、D在射线AB上，且D点的横坐标比C点的横坐标大2，点E、F在
这个二次函数图象上，且CE、DF与y轴平行，当CF∥ED时，求C点坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）利用一次函数结合A、B两点的特点，求出A、B两点的坐标，然后将
A、B的坐标代入y＝x2+bx+c，即可组成方程组求出b、c的值，从而得到二次函
数的解析式；
（2）画出二次函数图象，画出一次函数AB的图象，将△APB转化为△APG和
△PGB两个三角形的面积的和来解答；
（3）设C点横坐标为a，据题意此推知C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，
a+3），E点坐标为（a，a2﹣3a+1），F点坐标为（a+2，a2+a﹣1），得到 CE＝﹣
a2+4a，DF＝a2﹣4，根据CE∥DF，CF∥ED，得出四边形CEDF是平行四边形，
第20页（共26页）根据平行四边形的性质，求出﹣a2+4a＝a2﹣4，或﹣a2+4a＝﹣a2+4求出a的值，
从而得到C点坐标．
【解答】解：（1）如图1，A点坐标为（0，1），
将y＝5代入y＝x+1，得x＝4，
∴B点坐标为（4，5），
将A、B两点坐标代入y＝x2+bx+c，
解得 ，
∴二次函数解析式为y＝x2﹣3x+1．
（2）y＝x2﹣3x+（ ）2﹣（ ）2+1＝（x﹣ ）2﹣ ，
P点坐标为（ ， ），
抛物线对称轴与直线AB的交点记作点G，则点G（ ， ），
∴PG＝ ，
∴ ．
（3）如图2，设C点横坐标为a，
则C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，a+3），
E点坐标为（a，a2﹣3a+1），F点坐标为（a+2，a2+a﹣1），
由题意，得 CE＝﹣a2+4a，DF＝a2﹣4，
∵且CE、DF与y轴平行，
∴CE∥DF，
又∵CF∥ED，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴CE＝DF，
∴﹣a2+4a＝a2﹣4，
解得， ，
（舍），
第21页（共26页）∴C点坐标为（ ， ）．
当 CE＝﹣a2+4a，DF＝﹣a2+4，
∵且CE、DF与y轴平行，
∴CE∥DF，
又∵CF∥ED，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴CE＝DF，
∴﹣a2+4a＝﹣a2+4，
解得：a＝1，
故C点坐标为：（1，2）当C点坐标为（1，2）时CF不∥ED，舍去．
综上所述：C点坐标为（ ， ）．
【点评】本题考查了一次函数、二次函数图象上点的坐标特征，三角形面积与坐标
的关系、平行四边形的判定等内容，以二次函数为依托，将所有知识有机的结
合在一起，考查了学生的综合思维能力．
25．（14分）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，O是BC边上的中
点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边上的点，且MN∥AO，延长
CA与直线MN相交于点D，G点是AB延长线上的点，且BG＝AN，连接MG，
设AN＝x，BM＝y．
（1）求y关于x的函数关系式及其定义域；
（2）连接CN，当以DN为半径的 D和以MG为半径的 M外切时，求∠ACN的
正切值；
⊙ ⊙
（3）当△ADN与△MBG相似时，求AN的长．
第22页（共26页）【考点】JA：平行线的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KH：等腰三角形的性
质；KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形；S9：相似三角形的判定与性质；SO：
相似形综合题．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）证△BMN∽△BOA，推出 ＝ ，由勾股定理求出BC＝3 ，BO＝
，根据AN＝x，BM＝y，代入求出即可；
（2）求出MG＝MN，根据等腰三角形性质求出∠AND＝∠G，∠DAN＝∠MBG，根
据AAS证△AND≌△BGM，推出DN＝MG＝MN，求出tan∠CAO＝ ＝ ，根
据平行线性质求出∠CAO＝∠ACN，即可求出答案；
（3）分为两种情况： 若∠D＝∠BMG时，过点G作GE⊥CB，垂足为点E，求出
①
tan∠BMG＝ ＝ ，根据∠ABC＝∠GBE＝∠BGE＝45°，推出BM＝BE，根据
勾股定理得出y＝ x，与（1）得出关系式组成方程组，即可求出x； 若∠D
②
＝∠G时，过点M作MF⊥AB，垂足为点F，tan∠G＝ ，求出x＝ y，同样得
出方程组，求出x即可．
【解答】（1）解：∵MN∥AO，
∴△BMN∽△BOA，
∴ ＝ ，
∵∠C＝90°，AC＝BC，AB＝6，
第23页（共26页）∴由勾股定理得：BC＝3 ，
∵O是BC边上的中点，
∴BO＝ ，
∵AN＝x，BM＝y，
∴ ＝ ，
∴y＝ （0＜x＜6）；
（2）解：
∵以DN为半径的 D和以MG为半径的 M外切，
∴DN+MG＝DM，又DN+MN＝DM，
⊙ ⊙
∴MG＝MN，
∴∠MNG＝∠G，
又∵∠MNG＝∠AND，
∴∠AND＝∠G，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠CBA，
∴∠DAN＝∠MBG，
又∵AN＝BG，
∴△AND≌△BGM，
∴DN＝MG＝MN，
∵∠ACB＝90°，
∴CN＝DN，
∴∠ACN＝∠D，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是BC边上的中点，
第24页（共26页）∴tan∠CAO＝ ＝ ，
∵MN∥AO，
∴∠CAO＝∠D，
∴∠CAO＝∠ACN，
∴tan∠ACN＝ ；
（3）解：∵∠DAN＝∠MBG，当△ADN与△MBG相似时，分为两种情况：
若 ∠ D ＝ ∠ BMG 时 ， 过 点 G 作 GE⊥ CB ， 垂 足 为 点 E ，
①
tan∠BMG＝ ＝ ，
∵∠ACB＝90°，GE⊥BC，
∴AC∥GE，
∴∠BGE＝∠CAB＝45°，
∵∠ABC＝∠GBE＝45°，
∴∠ABC＝∠GBE＝∠BGE＝45°，
∴BE＝EG，
∴BM＝BE，
∴由勾股定理得：y＝ x，
∵由（1）知：y＝ ，
∴解得：x＝2；
第25页（共26页）若∠D＝∠G时，过点M作MF⊥AB，垂足为点F，
②
∴tan∠G＝ ＝ ，
∴FG＝2MF，
∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠MBF＝∠CAB＝45°，
∵∠MFB＝90°，
∴∠FMB＝∠MBF＝45°，
∴BF＝MF，
∵FG＝2MF＝BF+BG，
∴BF＝BG，
∴x＝ y，
由（1）知：y＝ ，
∴解得：x＝ ；
综上所述，当△ADN与△MBG相似时，AN的长为2或 ．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线
的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点的运用，主要
考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大
分类讨论思想的运用．
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日期：2018/12/26 20:35:15；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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