文档内容
2012年上海市静安区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定的
3．（4分）函数y＝（1﹣k）x中，如果y随着x增大而减小，那么常数k的取值范围
是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≥1
4．（4分）在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球和2个白球，从中
随机摸出两个球，摸到的两个球颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）对角线互相平分且相等的四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
6．（4分）如果 O 的半径是 5， O 的半径为8，O O ＝4，那么 O 与 O 的位
1 2 1 2 1 2
置关系是（ ）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
A．内含 B．内切 C．相交 D．外离
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格
内直接填写答案]
7．（4分）化简： ＝ ．
8．（4分）化简：6a6÷3a3＝ ．
9．（4分）不等式组 的整数解是 ．
10．（4分）方程 ＝x的根是 ．
11．（4分）函数 的定义域为 ．
第1页（共25页）12．（4分）已知x2+xy﹣2y2＝0（y≠0），那么 ＝ ．
13．（4分）如果点A、B在一个反比例函数的图象上，点A的坐标为（1，2），点B横
坐标为2，那么A、B两点之间的距离为 ．
14．（4分）数据3、4、5、5、6、7的方差是 ．
15．（4分）在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只
需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只要填写一种情况）
16．（4分）在△ABC中，点D在边BC上，CD＝2BD， ，那么 ＝
．
17．（4分）如图，点A、B、C在半径为2的 O上，四边形OABC是菱形，那么由
和弦BC所组成的弓形面积是 ．
⊙
18．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，BC＝3， ，
△DBC沿着CD翻折后，点B落到点E，那么AE的长为 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上]
19．（10分）化简： ，并求当 时的值．
20．（10分）解方程组： ．
第2页（共25页）21．（10分）已知：如图，在 ▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，AE⊥BC，垂足为E，
．
求：（1）DE的长；
（2）∠CDE的正弦值．
22．（10分）20个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共120吨，每个集装箱都只装
载一种商品，根据下表提供的信息，解答以下问题：
商品类型 甲 乙 丙
每个集装箱装载量（吨） 8 6 5
每吨价值（万元） 12 15 20
（1）如果甲种商品装x个集装箱，乙种商品装y个集装箱，求y与x之间的关系式；
（2）如果其中5个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，点E在BA的
延长线上，AE＝BC，∠AED＝ ．
（1）求证：∠BCD＝2 ；
α
（2）当ED平分∠BEC时，求证：△EBC是等腰直角三角形．
α
24．（12分）如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．二次函
数的图象与y轴的正半轴相交于点C，与这个一次函数的图象相交于点A、D，
且sin∠ACB＝ ．
第3页（共25页）（1）求点C的坐标；
（2）如果∠CDB＝∠ACB，求这个二次函数的解析式．
25．（14分）如图， O的半径为6，线段AB与 O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD
＝∠A，OB与 O相交于点E，设OA＝x，CD＝y．
⊙ ⊙
（1）求BD长；
⊙
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
（3）当CE⊥OD时，求AO的长．
第4页（共25页）2012 年上海市静安区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，
在答题纸相应题号的选项上用2B铅笔正确填涂]
1．（4分）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】2F：分数指数幂．
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【专题】17：推理填空题．
【分析】求出 ＝ ≠ ，即不等于3，即可判断A、B；求出 ＝ ＝3，即
可判断C、D．
【解答】解：A、 ＝ ≠3，故本选项错误；
B、 ＝ ≠±3，故本选项错误；
C、 ＝ ＝3，故本选项正确；
D、 ＝3≠±3，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了对分数指数幂的应用，主要考查了学生的辨析能力和计算能
力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
2．（4分）关于x的方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定的
【考点】AA：根的判别式．
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【专题】11：计算题．
【分析】先计算△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，由于m2为非负数，则m2+4＞0，
即△＞0，根据一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac的
第5页（共25页）意义即可判断方程根的情况．
【解答】解：△＝（﹣m）2﹣4×1×（﹣1）＝m2+4，
∵m2≥0，
∴m2+4＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：
当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当
△＜0，方程没有实数根．
3．（4分）函数y＝（1﹣k）x中，如果y随着x增大而减小，那么常数k的取值范围
是（ ）
A．k＜1 B．k＞1 C．k≤1 D．k≥1
【考点】F6：正比例函数的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先根据函数y＝（1﹣k）x中，y随着x增大而减小得出关于k的不等式，求
出k的取值范围即可．
【解答】解：∵函数y＝（1﹣k）x中，y随着x增大而减小，
∴1﹣k＜0，解得k＞1．
故选：B．
【点评】本题考查的是正比例函数的性质，即正比例函数y＝kx（k≠0）中，当k＜0
时，y随着x增大而减小．
4．（4分）在一个袋中，装有除颜色外其它完全相同的2个红球和2个白球，从中
随机摸出两个球，摸到的两个球颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】X6：列表法与树状图法．
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【分析】列举出所有情况，让摸出两个球均为红球的情况数除以总情况数即为所
求的概率．
【解答】解：画树形图得：
∵从中随机摸出两个球，摸到的两个球颜色的不同组合为12种，摸到的两个球颜
第6页（共25页）色不同的组合为：8，
∴P（摸到的两个球颜色不同）＝ ＝ ，
故选：D．
【点评】此题考查了用列表法或树状图法求随机事件的概率，树形图法可以不重
不漏的列举出所有可能发生的情况，树形图法适合于两步或两步以上完成的
事件．还要注意题目是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所
求情况数与总情况数之比．
5．（4分）对角线互相平分且相等的四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形
【考点】LC：矩形的判定．
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【分析】根据对角线互相平分得出平行四边形，再加上对角线相等即可得出矩形．
【解答】解：
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC＝BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
故选：B．
【点评】本题考查了矩形和平行四边形的判定，主要考查学生的推理能力，题目比
较好，难度不大．
6．（4分）如果 O 的半径是 5， O 的半径为8，O O ＝4，那么 O 与 O 的位
1 2 1 2 1 2
置关系是（ ）
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
第7页（共25页）A．内含 B．内切 C．相交 D．外离
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】先求出两圆半径的和与差，再与圆心距进行比较，确定两圆的位置关系．
【解答】解：∵ O 和 O 的半径分别是5和8，圆心距O O 是4，
1 2 1 2
则8﹣5＝3，5+8＝13，O O ＝4，
⊙ ⊙1 2
∴3＜O O ＜13，
1 2
两圆相交时，圆心距的长度在两圆的半径的差与和之间，
∴两圆相交．
故选：C．
【点评】考查了圆与圆的位置关系，本题利用了两圆相交，圆心距的长度在两圆的
半径的差与和之间求解．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格
内直接填写答案]
7．（4分）化简： ＝ ．
【考点】73：二次根式的性质与化简．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据二次根式的性质解答．
【解答】解：原式＝| ﹣2|＝2﹣ ．
故答案为：2﹣ ．
【点评】解答此题，要弄清性质： ＝|a|，去绝对值的法则．
8．（4分）化简：6a6÷3a3＝ 2 a 3 ．
【考点】4H：整式的除法．
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【分析】单项式除以单项式就是将系数除以系数作为结果的系数，相同字母除以
相同字母作为结果的一个因式即可．
【解答】解：6a6÷3a3
＝（6÷3）（a6÷a3）
＝2a3．
故答案为：2a3．
【点评】本题考查了整式的除法，解题的关键是牢记整式的除法的运算法则．
第8页（共25页）9．（4分）不等式组 的整数解是 ﹣ 1 ， 0 ， 1 ．
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
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【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据求不等式组的解集的规律：同大取大；
同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，确定不等式组的解集，最后找出
符合条件的整数解．
【解答】解： ，
由 得：x≤1，
由①得：x＞﹣ ，
②
则不等式组的解集为：﹣ ＜x≤1，
故整数解为：﹣1，0，1．
故答案为：﹣1，0，1．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，以及求不等式组的整数解，解决此
类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对
于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式
组的整数解．
10．（4分）方程 ＝x的根是 x ＝ 3 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】把方程两边平方去根号后求解．
【解答】解：由题意得：x＞0
两边平方得：x+6＝x2，
解之得x＝3或x＝﹣2（不合题意舍去）．
【点评】在解无理方程是最常用的方法是两边平方法及换元法，本题用了平方法．
11．（4分）函数 的定义域为 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，即可求得x的范围．
【解答】解：根据题意得：2x+3≠0，
第9页（共25页）解得：x≠﹣ ．
故答案是：x≠﹣ ．
【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
12．（4分）已知x2+xy﹣2y2＝0（y≠0），那么 ＝ ﹣ 2 或 1 ．
【考点】A9：换元法解一元二次方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】把x2+xy﹣2y2＝0（y≠0）两边都除以y2得到（ ）2+ ﹣2＝0，然后运用换
元法解方程，设t＝ ，则原方程转化为t2+t﹣2＝0，利用因式分解法即可得到
方程的解．
【解答】解：∵y≠0，
∴（ ）2+ ﹣2＝0，
设t＝ ，则原方程转化为t2+t﹣2＝0，
∴（t+2）（t﹣1）＝0，
∴t ＝﹣2，t ＝1，
1 2
即 ＝﹣2或1．
故答案为﹣2或1．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：运用换元法，可使方程的形式简单，
便于求方程的解．
13．（4分）如果点A、B在一个反比例函数的图象上，点A的坐标为（1，2），点B横
坐标为2，那么A、B两点之间的距离为 ．
【考点】D6：两点间的距离公式．
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第10页（共25页）【分析】根据待定系数法由点A的坐标（1，2），可求反比例函数的解析式，将点B
横坐标2，代入可求点B坐标，再根据两点间的距离公式即可求出A、B两点之
间的距离．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝ ，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴k＝1×2＝2，
∴反比例函数的解析式为y＝ ，
∵点B横坐标为2，
∴点B纵坐标为 ＝1，即点B坐标为（2，1），
∴A、B两点之间的距离为： ＝ ．
故答案为： ．
【点评】考查了待定系数法求反比例函数的解析式和两点间的距离公式，解答该
题的关键是求出点B坐标，熟记两点间的距离公式．
14．（4分）数据3、4、5、5、6、7的方差是 ．
【考点】W7：方差．
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【分析】先求平均数，再根据方差的公式计算．
【解答】解：∵平均数＝（3+4+5+5+6+6+7）÷6＝5，
∴数据的方差S2＝ [（3﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（7﹣5）2]＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题考查方差的定义，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性
越大，反之也成立．
15．（4分）在四边形ABCD中，AB＝CD，要使四边形ABCD是中心对称图形，只
需添加一个条件，这个条件可以是 不唯一，可以是： AB ∥ CD 或 AD ＝ BC ，
∠ B + ∠ C ＝ 180 ° ，∠ A + ∠ D ＝ 180 ° 等 ．（只要填写一种情况）
【考点】R5：中心对称图形．
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第11页（共25页）【专题】26：开放型．
【分析】根据平行四边形是中心对称图形，可以针对平行四边形的各种判定方法，
给出相应的条件，得出此四边形是中心对称图形．
【解答】解：∵AB＝CD，
∴当AD＝BC，（两组对边分别相等的四边形是平行四边形．）
或AB∥CD（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）时，或∠B+∠C＝180°
或∠A+∠D＝180°等时，四边形ABCD是平行四边形．
故此时是中心对称图象，
故答案为：AD＝BC或AB∥CD或∠B+∠C＝180°或∠A+∠D＝180°等．
【点评】本题考查了中心对称图形的定义和平行四边形的判定，平行四边形的五
种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组
对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平
行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平
分的四边形是平行四边形．
16．（4分）在△ABC中，点D在边BC上，CD＝2BD， ，那么 ＝
．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由CD＝2BD，与 ＝ ，即可求得 的值，又由 ＝ ，利用三角形法则，
即可求得 的值，继而可得 的值．
【解答】解：如图：∵CD＝2BD， ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝﹣ ＝﹣（ + ）＝﹣（ + ）＝﹣ ﹣ ．
故答案为：﹣ ﹣ ．
第12页（共25页）【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，
注意数形结合思想的应用．
17．（4分）如图，点A、B、C在半径为2的 O上，四边形OABC是菱形，那么由
⊙
和弦BC所组成的弓形面积是 ．
【考点】L8：菱形的性质；MO：扇形面积的计算．
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【专题】11：计算题．
【分析】连接OB和AC交于点D，根据菱形及直角三角形的性质先求出AC的长
及∠AOC的度数，然后求出菱形ABCO及扇形AOC的面积，则由 和弦BC
所组成的弓形面积＝ （S ﹣S ）．
扇形AOC 菱形ABCO
【解答】解：连接OB和AC交于点D，如图所示：
∵圆的半径为2，
∴OB＝OA＝OC＝2，
又四边形OABC是菱形，
∴OB⊥AC，OD＝ OB＝1，
在Rt△COD中利用勾股定理可知：CD＝ ＝ ，AC＝2CD＝2 ，
∵sin∠COD＝ ＝ ，
∴∠COD＝60°，∠AOC＝2∠COD＝120°，
∴S ＝ OB×AC＝ ×2×2 ＝2 ，
菱形ABCO
第13页（共25页）S ＝ ＝ ，
扇形AOC
则由 和弦BC所组成的弓形面积＝ （S ﹣S ）＝ （ ﹣2 ）＝
扇形AOC 菱形ABCO
．
故答案为： ．
【点评】本题考查扇形面积的计算及菱形的性质，解题关键是熟练掌握菱形的面
积＝ a•b（a、b是两条对角线的长度）；扇形的面积＝ ，有一定的难度．
18．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，BC＝3， ，
△DBC沿着CD翻折后，点B落到点E，那么AE的长为 7 ．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】利用锐角三角函数得到，AB的长，进而利用直角三角形斜边上的中线等
于斜边的一半，得出CF的长，进而得出BE的长，即可利用勾股定理求出AE
的长．
【解答】解：连接EB，AE，EC，DE，
∵∠C＝90°，BC＝3， ，
∴ ＝ ，
第14页（共25页）∴AB＝9，
∵点D是AB中点，∠C＝90°，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B，
∴cos∠DCB＝ ＝ ，
∵BC＝3，
∴CF＝1，
由勾股定理得：BF＝2 ，由题意：BE＝4 ，
又∵D是AB中点，F是BE中点，
∴DF是中位线，
∴∠AEB＝∠DFB＝90°，
由勾股定理得：AE＝ ＝7，
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理和翻折变换的性质，根据已
知得出BE的长，进而利用勾股定理得出是解题关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的
相应位置上]
19．（10分）化简： ，并求当 时的值．
【考点】6D：分式的化简求值；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先根据负整数指数幂及0指数幂的计算法则计算出各数，再根据分式混
合运算的法则把原式进行化简，把x的值代入进行计算即可．
第15页（共25页）【解答】解：原式＝ + +1
＝
＝
＝ ．
当x＝ +1时，原式＝ ＝ ＝
【点评】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
20．（10分）解方程组： ．
【考点】&C：高次方程．
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【分析】首先假设 ，得出a，b的值，进而求出x，y的值．
【解答】解：设 ，
则 ，
解得： ，
，
即 ，
解得 ， ，
经检验：它们都是原方程组的解．
第16页（共25页）所以原方程组的解是： ， ．
【点评】此题主要考查了高次方程的解法，利用换元法达到将次目的是解题关键．
21．（10分）已知：如图，在 ▱ABCD中，AB＝5，BC＝8，AE⊥BC，垂足为E，
．
求：（1）DE的长；
（2）∠CDE的正弦值．
【考点】KQ：勾股定理；L5：平行四边形的性质；T7：解直角三角形．
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【分析】（1）由已知条件可先求出BE的长，然后利用勾股定理求出AE的长，再根
据平行四边形的性质和勾股定理即可求出DE的长；
（2）首先计算CE＝5，所以CD＝CD，进而得到∠CDE＝∠CED＝∠ADE，所以
cos∠CDE＝cos∠ADE问题的解．
【解答】解：（1）∵Rt△ABE中， ，
∴BE＝AB ．
∴AE＝ ，
∵ ▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°，AD＝BC＝8，
∴DE＝ ；
（2）∵CD＝AB＝5，CE＝BC﹣BE＝8﹣3＝5，
∴CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED＝∠ADE，
∴sin∠CDE＝sin∠ADE＝ ．
第17页（共25页）【点评】本题考查了解直角三角形的运用、勾股定理的运用、平行四边形的性质和
等腰三角形的判定和性质，解题的关键是找到图形中相等的角．
22．（10分）20个集装箱装满了甲、乙、丙三种商品共120吨，每个集装箱都只装
载一种商品，根据下表提供的信息，解答以下问题：
商品类型 甲 乙 丙
每个集装箱装载量（吨） 8 6 5
每吨价值（万元） 12 15 20
（1）如果甲种商品装x个集装箱，乙种商品装y个集装箱，求y与x之间的关系式；
（2）如果其中5个集装箱装了甲种商品，求每个集装箱装载商品总价值的中位数
【考点】FH：一次函数的应用；W4：中位数．
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【专题】12：应用题．
【分析】（1）由于甲种商品装x个集装箱，乙种商品装y个集装箱，而共有20个集
装箱，则丙种商品装（20﹣x﹣y）个集装箱，由表中数据得到每个集装箱可装甲
8吨或乙6吨或5吨，然后根据总吨数可列关系式8x+6y+5（20﹣x﹣y）＝120，
整理可得y与x之间的关系式；
（2）把x＝5代入y与x之间的关系式可得到y＝5，则20﹣x﹣y＝10，根据表中数
据可得到装甲、乙、丙的每个集装箱装载商品总价值分别为96、90、100万元，
然后把20个集装箱装载商品总价值从小到大排列，可得第10、11个数分别是
96、100万元，再根据中位数的定义即可得到这组数据的中位数．
【解答】解：（1）丙种商品装（20﹣x﹣y）个集装箱，
∴8x+6y+5（20﹣x﹣y）＝120，
∴y＝﹣3x+20（0＜x＜ 的整数）；
（2）当x＝5时，y＝20﹣3×5＝5，20﹣x﹣y＝20﹣5﹣5＝10，
∴甲、乙、丙三种商品装载集装箱个数分别是5、5、10，则相应的每个集装箱装载
商品总价值分别为96、90、100万元，
∴20个集装箱装载商品总价值从小到大排列后第10、11个数分别是96、100万
元，
∴每个集装箱装载商品总价值的中位数是 （万元）．
【点评】本题考查了一次函数的应用：先利用实际问题中数量关系确定一次函数
第18页（共25页）关系式，然后根据一次函数的性质解决实际问题；也考查了从表格中获取信息
的能力以及中位数的定义．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD，点E在BA的
延长线上，AE＝BC，∠AED＝ ．
（1）求证：∠BCD＝2 ；
α
（2）当ED平分∠BEC时，求证：△EBC是等腰直角三角形．
α
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形；LH：梯形．
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【分析】（1）首先连接AC，由在梯形ABCD中，AD∥BC，易得∠EAD＝∠B，然后
利用SAS即可判定△DEA≌△ABC，继而求得∠BCA＝∠AED＝ ，又由AD＝
CD，即可求得∠DCA＝∠DAC＝∠ACB＝ ，则可证得：∠BCD＝2 ；
α
（2）由ED平分∠BEC时，可得∠BEC＝2 ，然后求得∠B＝2 ，∠BCE＝4 ，即可
α α
求得∠BCE＝90°，BC＝CE，即可判定△EBC是等腰直角三角形．
α α α
【解答】证明：（1）连接AC，
∵梯形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EAD＝∠B，
在△DEA和△ABC中，
，
∴△DEA≌△ABC（SAS），
∵∠AED＝ ，
∴∠BCA＝∠AED＝ ，
α
∵AD＝CD，
α
∴∠DCA＝∠DAC＝∠ACB＝ ，
α
第19页（共25页）∴∠BCD＝∠DCA+∠ACB＝2 ；
α
（2）∵ED平分∠BEC，
∴∠AEC＝2∠AED＝2 ．
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，
α
∴∠EAD＝∠B＝∠BCD＝2 ＝∠AEC，
∴CE＝BC＝AE，
α
∴∠ECA＝∠EAC＝∠EAD+∠DAC＝3 ，
∴∠ECB＝∠ECA+∠ACB＝4 ．
α
∵∠B+∠BEC+∠BCE＝180°，
α
∴2 +2 +4 ＝180°，
∴∠ECB＝4 ＝90°．
α α α
∴△EBC是等腰直角三角形．
α
【点评】此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性
质以及等腰直角三角形判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思
想的应用，注意掌握辅助线的作法．
24．（12分）如图，一次函数y＝x+1的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B．二次函
数的图象与y轴的正半轴相交于点C，与这个一次函数的图象相交于点A、D，
且sin∠ACB＝ ．
（1）求点C的坐标；
（2）如果∠CDB＝∠ACB，求这个二次函数的解析式．
第20页（共25页）【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】15：综合题．
【分析】（1）先求出A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（0，1），则OA＝1，OB＝1，
AB＝ ，再根据正弦的定义得sin∠ACB＝ ＝ ，而AO＝1，则AC＝
，然后根据勾股定理可计算出OC＝3，从而确定点C的坐标为（0，3）；
（2）分类讨论：当点D在AB延长线上时，如图1，过点D作DE⊥x 轴，垂足为E，
由于∠CDB＝∠ACB，∠BAC＝∠CAD，根据相似的判定得△ABC∽△ACD，则
AD：AC＝AC：AB，即AD： ＝ ： ，
可计算出AD＝5 ，易得ADE为等腰直角三角形，则DE＝AE＝ AD＝ ×5
＝5，OE＝4，得到点D的坐标为（4，5），然后设一般式，利用待点系数法求
过A（﹣1，0）、C（0，3）、D（4，5）的二次函数的解析式；当点D在射线BA上，
如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，与前面的解法相同．
【解答】解：（1）对于y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣1；x＝0，则y＝1，
∴A点坐标为（﹣1，0），OA＝1；B点坐标为（0，1），OB＝1，
∴AB＝ ，
在Rt△AOC中，∵sin∠ACB＝ ＝ ，OA＝1，
∴AC＝ ，
∴OC＝ ，
第21页（共25页）∴点C的坐标为（0，3）；
（2）当点D在AB延长线上时，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，
∵∠CDB＝∠ACB，∠BAC＝∠CAD，
∴△ABC∽△ACD，
∴AD：AC＝AC：AB，即AD： ＝ ： ，
∴AD＝5 ，
∵DE∥BO，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝ AD＝ ×5 ＝5，
∴OE＝4，
∴点D的坐标为（4，5），
设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+3，
∴ ，
∴解得 ，
∴二次函数解析式为y＝﹣ x2+ x+3；
当点D在射线BA上，如图2，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，
∵∠CDB＝∠ACB，∠CBA＝∠DBC，
∴△BAC∽△BCD，
∴BC：BD＝BA：BC，即2：BD＝ ：2，
∴BD＝2 ，
∴AD＝DB﹣AB＝2 ﹣ ＝ ，
∵△ADE为等腰直角三角形，
∴DE＝AE＝ AD＝ × ＝1
∴OE＝OA+AE＝2，
∴点D的坐标为（﹣2，﹣1），
第22页（共25页）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+3，
把D（﹣2，﹣1），A（﹣1，0）代入得 ，解得 ，
∴二次函数解析式为y＝x2+4x+3．
【点评】本题考查了二次函数综合题：熟练运用待定系数法求二次函数的解析式；
运用相似三角形的判断与性质、勾股定理和等腰直角三角形的性质计算有关
线段的长度；正确运用分类讨论的思想．
25．（14分）如图， O的半径为6，线段AB与 O相交于点C、D，AC＝4，∠BOD
＝∠A，OB与 O相交于点E，设OA＝x，CD＝y．
⊙ ⊙
（1）求BD长；
⊙
（2）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；
第23页（共25页）（3）当CE⊥OD时，求AO的长．
【考点】S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】31：数形结合．
【分析】（1）易得△OBD∽△AOC，利用相似三角形的对应边成比例可得BD长；
（2）易得△ACO∽△AOB，利用相似三角形的对应边成比例可得y与x的关系式，
根据y为正数及x为△AOC的一边可得x的取值范围；
（3）可利用等角对等边判断出AO＝AD，结合（2）得到的关系式把相关数值代入
求得合适的解即可．
【解答】解：（1）∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠OCA＝∠ODB，
∵∠BOD＝∠A，
∴△OBD∽△AOC，
∴ ，
∵OC＝OD＝6，AC＝4，
∴ ，
∴BD＝9；
（2）∵△OBD∽△AOC，
∴∠AOC＝∠B．
又∵∠A＝∠A，
∴△ACO∽△AOB，
∴ ，
第24页（共25页）∵AB＝AC+CD+BD＝y+13，
∴ ，
∴y关于x的函数解析式为 ． 定义域为 ；
（3）∵OC＝OE，CE⊥OD．∴∠COD＝∠BOD＝∠A．
∴∠AOD＝180°﹣∠A﹣∠ODC＝180°﹣∠COD﹣∠OCD＝∠ADO．
∴AD＝AO，∴y+4＝x，∴ ．
∴ （负值不符合题意，舍去）．
∴AO＝ ．
【点评】综合考查圆及相似三角形的知识；找到与所求线段相关的相似三角形是
解决本题的关键．
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日期：2018/12/26 20:35:06；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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