文档内容
2012年上海市长宁区中考数学一模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如图，EC与BD交于点A，则下列比例式中不能判断出DE∥BC的是（
）
A． B． C． D．
2．（4分）已知 是锐角，cos ＝ ，则 等于（ ）
A．30° α B．45° α C α．60° D．90°
3．（4分）如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为
（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
5．（4分）如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
第1页（共29页）A． B．
C． D．
6．（4分）为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为 ，则楼
房BC的高为（ ）
α
A．30tan 米 B． 米 C．30sin 米 D． 米
二、填空题：α （本大题共12题，每题4分，满分48 α分）
7．（4分）已知线段a＝6厘米，c＝3厘米，若b是线段 a、c的比例中项，则b＝
厘米．
8．（4分）已知 ，那么 ＝ ．
9．（4分）若向量 与单位向量 的方向相反，且 ，则 ＝ ．（用 表
示）
10．（4分）已知斜坡的坡度为1： ，如果斜坡长为100米，那么此斜坡的高为
米．
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD边的中点，若
， ，则 ＝ ．（结果用 、 表示）
12．（4分）已知点G是△ABC的重心，若S ＝k•S ，则k＝ ．
△ABC △GBC
13．（4分）抛物线y＝a（x﹣1）2+c的图象如图所示，该抛物线与x轴交于A、B两
第2页（共29页）点，B点的坐标为B（ ，0），则A点的坐标为 ．
14．（4分）在平面直角坐标系中，平移抛物线y＝﹣x2+2x﹣8使它经过原点，写出
平移后抛物线的一个解析式 ．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞
CE，AE与BD相交于点F．那么BF：FD的值为 ．
16．（4分）如图， O的直径为26cm，弦AB长为24cm，则点O到AB的距离OP
为 cm．
⊙
17．（4分）已知△ABC，AB＝8，AC＝6，点D在边AC上，AD＝2．若要在AB上找
一点E，使△ADE∽△ABC，则AE＝ ．
18．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝ ，∠B＝45°．直
角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与
CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于 ．
第3页（共29页）三、解答题：（19、20、21、22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分
78分）
19．（10分）计算：cos45°﹣tan60°+ （sin45°﹣cos30°）
20．（10 分）如图，已知正方形网格中的向量 、 先化简，再求作：
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量．）
21．（10分）如图，已知AB是 O的弦，半径OC、OD与AB分别交于点E、F，且
AE＝BF．
⊙
求证： ．
22．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交
AC于F，BE的延长线交CD的延长线于G．
（1）求证： ；
（2）若GE＝2，BF＝3，求线段EF的长．
第4页（共29页）23．（12分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图1，虚线为楼梯的
斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角 ，一般情况下，倾角 愈小，楼梯的安全
程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由 减至
θ θ 1
，这样楼梯占用地板的长度由d 增加到d ，已知d ＝4m，∠ ＝40°，∠ ＝
2 1 2 1 1 θ 2
36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01m）
θ θ θ
参考数据：sin36°＝0.5878，cos36°＝0.8090，tan36°＝0.7265，sin40°＝0.6428，
cos40°＝0.7660，tan40°＝0.8391．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是射线DA上的一个动点，
将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另
一直角边交射线BA于点E．
（1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；
（2）设PD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求
出PD的长；若不存在，请简要说明理由．
第5页（共29页）25．（14分）如图，点A在x正半轴上，点B在y正半轴上．tan∠OAB＝2．抛物线y
＝x2+mx+2的顶点为D，且经过A、B两点．
（1）求抛物线解析式；
（2）将△OAB绕点A旋转90°后，点B落在点C处．将上述抛物线沿y轴上下平移
后过C点．写出点C坐标及平移后的抛物线解析式；
（3）设（2）中平移后抛物线交y轴于B ，顶点为D ．点P在平移后的图象上，且
1 1
S ＝2S ，求点P坐标．
△PBB1 △PDD1
第6页（共29页）2012 年上海市长宁区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）如图，EC与BD交于点A，则下列比例式中不能判断出DE∥BC的是（
）
A． B． C． D．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【分析】根据平行线的判定定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）
所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，进行逐项分析
解答即可．
【解答】解：A、由AE：AC＝AD：AB，即可推出DE∥BC，故本选项不符合题意，
B、由AE：EC＝AD：DB，即可推出AE：AC＝AD：AB，便可推出DE∥BC，故本选
项不符合题意，
C、由AE：AB＝AD：AC，可推出△ABC∽△AED，得∠E＝∠B，并不能推出
DE∥BC，故本选项符合题意，
D、由EC：AC＝BD：AB，可推出AE：AC＝AD：AB，便可推出DE∥BC，故本选项
不符合题意，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，平行线的判定定理，比例式的性质，
关键在于熟练掌握比例式的性质．
2．（4分）已知 是锐角，cos ＝ ，则 等于（ ）
A．30° α B．45° α C α．60° D．90°
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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第7页（共29页）【分析】根据特殊角的三角函数值直接求解即可．
【解答】解：∵cos30°＝ ，
∴ ＝30°．
故选：A．
α
【点评】解答此题要熟记以下三角函数值：
sin30°＝ ，sin45°＝ ，sin60°＝ ；
cos30°＝ ，cos45°＝ ，cos60°＝ ；
tan30°＝ ，tan45°＝1，tan60°＝ ；
cot30°＝ ，cot45°＝1，cot60°＝ ．
3．（4分）如图，若DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，则△ADE的周长为
（ ）
A．1 B．2 C． D．
【考点】KX：三角形中位线定理．
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【分析】根据三角形的中位线定理，DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，得
DE＝ ，AD＝ ，AE＝ 而解得．
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，△ABC的周长为1，
∴DE＝ ，AD＝ ，AE＝
∴△ADE的周长为 ．
故选：C．
第8页（共29页）【点评】根据三角形的中位线定理，得三角形ADE的边长是三角形ABC边长的 ．
此题主要是根据三角形的中位线定理进行分析计算．
4．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，3） B．（1，3） C．（﹣1，﹣3） D．（1，﹣3）
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】16：压轴题．
【分析】根据二次函数的顶点式一般形式的特点，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3为顶点式，其顶点坐标为（1，3）．
故选：B．
【点评】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法．
5．（4分）如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】KQ：勾股定理；S8：相似三角形的判定．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC各边的长度，求出三边的比，
然后结合四个选项即可得解．
【解答】解：设网格的边长是1，
则AB＝ ＝ ，
BC＝ ＝ ，
第9页（共29页）AC＝ ＝2 ，
∴AB：AC：BC＝ ：2 ： ＝1：2： ，
A、三边之比是，2： ：3 ≠1：2： ，故本选项错误；
B、三边之比是，2：4：2 ＝1：2： ，故本选项正确；
C、三边之比是，2：3： ≠1：2： ，故本选项错误；
D、三边之比是， ： ：4≠1：2： ，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，网格图形的性质，分别求出各
图形的三角形的三边之比是解题的关键，难度不大，但计算比较复杂．
6．（4分）为测楼房BC的高，在距楼房30米的A处，测得楼顶B的仰角为 ，则楼
房BC的高为（ ）
α
A．30tan 米 B． 米 C．30sin 米 D． 米
【考点】TA α：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题α．
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【分析】利用所给角的正切函数即可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，有∠BAC＝ ，AC＝30．
∴BC＝30tan ．
α
故选：A．
α
【点评】本题考查仰角、俯角的概念，以及三角函数的应用．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）已知线段a＝6厘米，c＝3厘米，若b是线段 a、c的比例中项，则b＝
厘米．
【考点】S2：比例线段．
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【分析】由比例中项的定义可以得出a：b＝b：c，然后将a、c的值代入比例式就可
以求出其b的值．
【解答】解：∵b是线段 a、c的比例中项，
∴a：b＝b：c，
第10页（共29页）∵a＝6厘米，c＝3厘米，
∴6：b＝b：3，
∴b2＝18
∴b＝±3 ，
∵b≥0，
∴b＝3 ．
故答案为：3 ．
【点评】本题是一道运用比例的性质解答的题目，考查了比例中项的运用．是一道
比较简单的题目．
8．（4分）已知 ，那么 ＝ ﹣ ．
【考点】S1：比例的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】先根据已知条件可求出a＝ b，然后再把a的值代入所求式子计算即可．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴a＝ b，
∴ ＝ ＝﹣ ．
故答案是：﹣ ．
【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是根据已知条件求出a＝ b．
9．（4分）若向量 与单位向量 的方向相反，且 ，则 ＝ ．（用 表
示）
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据向量的表示方法可直接进行解答．
【解答】解：∵ 长度为5，向量 是单位向量，
∴|a|＝5|e|，
第11页（共29页）∵向量 与单位向量 的方向相反，
∴ ＝﹣5 ．
故答案为：﹣5 ．
【点评】本题考查的是平面向量的知识，即长度不为0的向量叫做非零向量，向量
包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向
量只规定大小没规定方向．
10．（4分）已知斜坡的坡度为1： ，如果斜坡长为100米，那么此斜坡的高为
50 米．
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】利用所给的坡度，得到坡角的正弦值，然后求解．
【解答】解：∵斜坡的坡度为1： ，
∴斜坡的高：斜坡的水平距离＝1： ．
斜坡的高：斜坡的长＝1：2．
∵斜坡长100米，
∴斜坡的高为50米．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放
到直角三角形中进行解决．
11．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD边的中点，若
， ，则 ＝ ．（结果用 、 表示）
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】31：数形结合．
【分析】根据平行四边形对边相等的性质可得出 ， ，继而根据 ＝ ﹣ 可
第12页（共29页）得出答案．
【解答】解：∵AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别是边BC、CD边的中点，
∴ ＝﹣ ， ＝﹣ ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平面向量的知识，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的
性质，及向量的表示方法，难度一般，注意结合图形进行解答．
12．（4分）已知点G是△ABC的重心，若S ＝k•S ，则k＝ 3 ．
△ABC △GBC
【考点】K3：三角形的面积；K5：三角形的重心．
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【分析】根据题意，画出图形，三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离
的2倍，再结合三角形的面积公式求解．
【解答】解：如图，三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，
AG：GD＝2：1，
∴S ＝2S ，
△ABG △BGD
S ＝2S ，
△CAG △CGD
∴△BGC的面积为△ABC的面积的 ，
∴S ＝3S ．
△ABC △GBC
故答案为：3．
【点评】此题考查了三角形的重心的性质，结合三角形的面积公式找到三角形的
面积比．
13．（4分）抛物线y＝a（x﹣1）2+c的图象如图所示，该抛物线与x轴交于A、B两
点，B点的坐标为B（ ，0），则A点的坐标为 （ 2 ﹣ ， 0 ） ．
第13页（共29页）【考点】HA：抛物线与x轴的交点．
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【专题】16：压轴题．
【分析】利用二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称解答即可．
【解答】解：∵抛物线y＝a（x﹣1）2+c得对称轴为x＝1，
∴设A点坐标为（x ，0），
A
又∵B点的坐标为B（ ，0），则 ＝1；
解得x ＝2﹣ ．
A
则A点的坐标为（2﹣ ，0）．
故答案为：（2﹣ ，0）．
【点评】考查二次函数的对称性和抛物线与x轴交点的坐标．
14．（4分）在平面直角坐标系中，平移抛物线y＝﹣x2+2x﹣8使它经过原点，写出
平移后抛物线的一个解析式 y ＝﹣ x 2 + 2 x （答案不唯一） ．
【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征；H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】1：常规题型．
【分析】求出抛物线与y轴的交点，然后向上平移8个单位即可．
【解答】解：当x＝0时，y＝﹣8，
∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣8），
向上平移8个单位为y＝﹣x2+2x．
故答案为：y＝﹣x2+2x（答案不唯一）．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，先求出与坐标轴的一个交点，然后
平移即可，注意平移前后的抛物线形状不变，只是位置发生变化．
15．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的黄金分割点，且BE＞
第14页（共29页）CE，AE与BD相交于点F．那么BF：FD的值为 ．
【考点】S3：黄金分割；S4：平行线分线段成比例．
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【分析】由平行四边形的性质可证△BEF∽△DAF，再根据相似三角形的性质得
BE：DA＝BF：DF，再根据点E是边BC上的黄金分割点，得出BE：BC的值，即
可求出结果．
【解答】解：ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD
∴△BEF∽△DAF
∴BE：DA＝BF：DF
∵BC＝AD
∴BF：DF＝BE：BC，
∵点E是边BC上的黄金分割点，
∴BE：BC＝ ，
∴BF：FD＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了黄金分割；解题的关键是根据平行四边形的性质及相似
三角形的判定定理列出比例式．
16．（4分）如图， O的直径为26cm，弦AB长为24cm，则点O到AB的距离OP
为 5 cm．
⊙
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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第15页（共29页）【分析】根据垂径定理和勾股定理解答．
【解答】解：∵AB⊥OP，OP过圆心
∴AP＝ AB＝ ×24＝12cm
∵直径26cm
∴OA＝ ×26＝13cm
根据勾股定理OP＝ ＝ ＝5cm
则点O到AB的距离OP为5cm．
【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理，同时此题还可根据相交弦定理解答．
17．（4分）已知△ABC，AB＝8，AC＝6，点D在边AC上，AD＝2．若要在AB上找
一点E，使△ADE∽△ABC，则AE＝ ．
【考点】S8：相似三角形的判定．
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【专题】26：开放型．
【分析】根据相似三角形对应边成比例解答即可．
【解答】解：∵△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴ ，
∴AE＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了相似三角形的性质，在解答此类题目时要找出对应的角和边．
18．（4分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝4AD＝ ，∠B＝45°．直
角三角板含45°角的顶点E在边BC上移动，一直角边始终经过点A，斜边与
CD交于点F．若△ABE为等腰三角形，则CF的长等于 2 ， ﹣ 3 ， ．
第16页（共29页）【考点】LJ：等腰梯形的性质．
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【专题】16：压轴题．
【分析】首先理解题意，得出此题应该分三种情况进行分析，分别是AB＝AE，AB
＝BE，AE＝BE，从而得到最后答案．
【解答】解：作AM⊥BC，DN⊥BC，
根据已知条件可得，BM＝（BC﹣AD）÷2，
在直角三角形ABM中，cosB＝ ，
则AB＝（BC﹣AD）÷2÷cosB＝3，
当AB＝AE′时，如图，
①
∠B＝45°，∠AE′B＝45°，
∴AE′＝AB＝3，
则在Rt△ABE′中，BE′＝ ＝3 ，
第17页（共29页）故E′C＝4 ﹣3 ＝ ．
易得△FE′C为等腰直角三角形，
故CF＝ ＝2．
当AB＝BE″时，
②
∵AB＝3，
∴BE″＝3，
∵∠AE″B＝∠BAE″＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，
∴∠FE″C＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，
∴∠CFE″＝180°﹣∠C﹣∠FE″C＝67.5°，
∵△E″CF为等腰三角形，
∴CF＝CE″＝CB﹣BE″＝4 ﹣3；
当AE＝BE′″时，△ABE′″和△CFE′″是等腰Rt△，
③
∴BE′″＝ ，
第18页（共29页）∴CE′″＝
∴CF＝FE′″＝ ．
故答案为：2，4 ﹣3， ．
【点评】本题要注意分析出现等腰三角形的情况．
三、解答题：（19、20、21、22题每题10分，23、24题每题12分，25题14分，满分
78分）
19．（10分）计算：cos45°﹣tan60°+ （sin45°﹣cos30°）
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】将cos45°＝ ，tan60°＝ ，sin45°＝ ，cos30°＝ 代入运算，继而可
得出答案．
【解答】解：原式＝
＝ ．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是掌握一
些特殊角的三角函数值，是需要我们熟练记忆的内容，难度一般．
20．（10 分）如图，已知正方形网格中的向量 、 先化简，再求作：
（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量．）
第19页（共29页）【考点】LM：*平面向量．
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【专题】13：作图题．
【分析】根据平面向量的概念及运算法则求解即可．
【解答】解：原式＝ ﹣2
＝ （4分）
所求作的向量如下图所示，
就是所求作的向量．（2分）
【点评】本题考查平面向量的知识，解题关键是熟练掌握平面向量这一概念及其
运算法则，难度一般．
21．（10分）如图，已知AB是 O的弦，半径OC、OD与AB分别交于点E、F，且
AE＝BF．
⊙
求证： ．
第20页（共29页）【考点】M2：垂径定理；M4：圆心角、弧、弦的关系．
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【分析】取AB中点G，连接OG并延长与 O交于H．利用圆心角、弧、弦间的关
系可以推知 ＝ ；然后根据AE＝BF以及垂径定理可知EG＝GF， ＝ ；
⊙
最后根据图形易证得结论．
【解答】证明：取AB中点G，连接OG并延长与 O交于H．
∵O是圆心，且G是弦AB的中点，
⊙
∴ ＝ ；
∵AG＝BG 且AE＝BF，
∴EG＝GF；
又∵OG过圆心，
∴ ＝ ，
∴ ﹣ ＝ ﹣ ，即 ＝ ．
【点评】本题考查了垂径定理，圆心角弧、弦间的关系．解答本题时，通过作辅助线
OH构建等弧（ ＝ ， ＝ ）来证明结论的．
22．（10分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交
AC于F，BE的延长线交CD的延长线于G．
（1）求证： ；
（2）若GE＝2，BF＝3，求线段EF的长．
第21页（共29页）【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】152：几何综合题．
【分析】（1）由于AD∥BC，易证得△GED∽△GBC；得GE：GB＝DE：BC；已知
AE＝DE，代换相等线段后即可得出本题要证的结论．
（2）按照（1）的方法，可由AE∥BC，得出AE：BC＝EF：FB，再联立（1）得出的比
例关系式，可列出关于EF的方程，即可求得EF的长．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC
∴∠GED＝∠GBC
∵∠G＝∠G
∴△GED∽△GBC
∴
∵AE＝DE
∴ ；（3分）
（2）∵AD∥BC
∴△AEF∽△CBF（4分）
∴ （5分）
由（1）问
∴ （6分）
设EF＝x，∵GE＝2，BF＝3
∴ （7分）
第22页（共29页）∴x ＝1，x ＝﹣6（不合题意，舍去）
1 2
∴EF＝1．（9分）
【点评】此题主要考查了梯形的性质，以及相似三角形的判定和性质和解一元二
次方程．
23．（12分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图1，虚线为楼梯的
斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角 ，一般情况下，倾角 愈小，楼梯的安全
程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由 减至
θ θ 1
，这样楼梯占用地板的长度由d 增加到d ，已知d ＝4m，∠ ＝40°，∠ ＝
2 1 2 1 1 θ 2
36°，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01m）
θ θ θ
参考数据：sin36°＝0.5878，cos36°＝0.8090，tan36°＝0.7265，sin40°＝0.6428，
cos40°＝0.7660，tan40°＝0.8391．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】由题意得：增加部分是CD长，分别在Rt△ABC，Rt△ABD中利用三角函
数的定义即可求出BC，BD长，然后利用已知条件即可求出CD长．
【解答】解：在Rt△ABC中，BC＝d ＝4m，∠ACB＝∠ ＝40°，
1 1
∴AB＝BC×tan40°＝4tan40°≈3.356m，
θ
在Rt△ABD中，BD＝d ，∠ADB＝ ＝36°，
2 2
∴BD＝AB÷tan36°≈4.62m
θ
∴CD＝d ﹣d ＝BD﹣CB＝4.62﹣4≈0.62m．
2 1
∴楼梯占用地板的长度增加了0.62m．
【点评】当两个直角三角形共用一条线段时，应先利用三角函数算出这条线段的
长度．此题还要注意最后计算结果要求保留2位小数，那么在计算过程中最好
保留3位小数．
24．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P是射线DA上的一个动点，
第23页（共29页）将三角板的直角顶点重合于点P，三角板两直角边中的一边始终经过点C，另
一直角边交射线BA于点E．
（1）判断△EAP与△PDC一定相似吗？请证明你的结论；
（2）设PD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）是否存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC周长的2倍？若存在，请求
出PD的长；若不存在，请简要说明理由．
【考点】LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】2C：存在型．
【分析】（1）根据当P在AD边上时以及当P在AD边上时，分别得出三角形相似；
（2）根据若点P在边AD上或点P在边DA延长线上时，利用相似三角形的性质
得出y与x的关系式；
（3）假如存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC的2倍，若点P在边AD上，
若点P在边DA延长线上分别得出即可．
【解答】解：（1）△EAP∽△PDC，
当P在AD边上时 如图（1），
∵矩形ABCD∠D＝∠A＝90°，
①
∴∠1+∠2＝90°，
据题意∠CPE＝90°，
∴∠3+∠2＝90°，
∴∠1＝∠3，
∴△EAP∽△PDC，
当P在AD延长线上时 如图（2）
同理可得△EAP∽△PDC；
②
（2）若点P在边AD上，
据题意：PD＝x，PA＝6﹣x，DC＝4，AE＝y，
第24页（共29页）又∵△EAP∽△PDC，
∴ ，
∴ ，
∴ （0＜x＜6），
若点P在边DA延长线上时，据题意 PD＝x，PA＝x﹣6，DC＝4，AE＝y，
∵△EAP∽△PDC，
∴ ，
∴
∴ （x＞6）；
（3）假如存在这样的点P，使△EAP周长等于△PDC的2倍，
若点P在边AD上，
∵△EAP∽△PDC，
∴C ：C ＝（6﹣x）：4，
△EAP △PDC
∴（6﹣x）：4＝2，
∴x＝﹣2 不合题意舍去，
若点P在边DA延长线上，同理得（x﹣6）：4＝2，
∴x＝14，
综上所述：存在这样的点P满足题意，此时PD＝14．
第25页（共29页）【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用分类讨论思想结合P点
位置的不同得出答案是解题关键．
25．（14分）如图，点A在x正半轴上，点B在y正半轴上．tan∠OAB＝2．抛物线y
＝x2+mx+2的顶点为D，且经过A、B两点．
（1）求抛物线解析式；
（2）将△OAB绕点A旋转90°后，点B落在点C处．将上述抛物线沿y轴上下平移
后过C点．写出点C坐标及平移后的抛物线解析式；
（3）设（2）中平移后抛物线交y轴于B ，顶点为D ．点P在平移后的图象上，且
1 1
S ＝2S ，求点P坐标．
△PBB1 △PDD1
【考点】H3：二次函数的性质；H6：二次函数图象与几何变换；H8：待定系数法求
二次函数解析式；HF：二次函数综合题；K3：三角形的面积；R2：旋转的性质．
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第26页（共29页）【分析】（1）二次函数y＝x2+mx+2的图象经过点B，可得B点坐标为（0，2），再根
据tan∠OAB＝2求出A点坐标，将A代入解析式即可求得函数解析式；
（2）根据旋转不变性分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况可求得C点坐标，由于
沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，设出解析式，代入C点作标即可
求解；
（3）由于P点位置不固定，由图可知要分 当点P在对称轴的右侧时， 当点P
在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时， 当点P在y轴的左侧时，三种情况
① ②
讨论．
③
【解答】解：（1）由题意，点B的坐标为（0，2），
∴OB＝2，
∵tan∠OAB＝2，即 ＝2．
∴OA＝1．
∴点A的坐标为（1，0），
又∵二次函数y＝x2+mx+2的图象过点A，
∴0＝12+m+2．
解得m＝﹣3，
∴所求二次函数的解析式为y＝x2﹣3x+2；
（2）如图，作CE⊥x轴于E，
由于∠BAC＝90°，可知∠CAE＝∠OBA，△CAE≌△OBA，
可得CE＝OA＝1，AE＝OB＝2，
顺时针旋转90°，则点C的坐标为（3，1），
由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，
①
第27页（共29页）设出解析式为y＝x2﹣3x+c，代入C点作标得1＝9﹣9+c，
解得c＝1，
所求二次函数解析式为y＝x2﹣3x+1，
逆时针旋转90°，则点C的坐标为（﹣1，﹣1），
由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变，
②
设出解析式为y＝x2﹣3x+c，代入C点作标得1+3+c＝﹣1，
解得c＝﹣5，
所求二次函数解析式为y＝x2﹣3x﹣5；
（3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的
图象，
那么对称轴直线x＝ 不变，且BB ＝DD ＝1，
1 1
∵点P在平移后所得二次函数图象上，
设点P的坐标为（x，x2﹣3x+1）．
在△PBB 和△PDD 中，
1 1
∵S ＝2S ，
△PBB1 △PDD1
∴边BB 上的高是边DD 上的高的2倍．
1 1
当点P在对称轴的右侧时，x＝2（x﹣ ），得x＝3，
①∴点P的坐标为（3，1）；
当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，x＝2（ ﹣x），得x＝1，
②∴点P的坐标为（1，﹣1）；
当点P在y轴的左侧时，x＜0，又﹣x＝2（ ﹣x），
③得x＝3＞0（舍去），
∴所求点P的坐标为（3，1）或（1，﹣1）；
设点P的坐标为（x，x2﹣3x﹣5），同理可得P的坐标为（3，﹣5）；（1，﹣7），
综上可知：P的坐标为：（3，1）；（3，﹣5）；（1，﹣1）；（1，﹣7）．
【点评】此题是一道中考压轴题，将解直角三角形、图形的旋转和平移以及点的存
第28页（共29页）在性的探索等问题结合起来，考查了综合应用各种知识解题的能力，思维跳跃
较大，有一定难度．
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日期：2018/12/26 20:33:01；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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