文档内容
2012年上海市普陀区中考数学一模试卷
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在锐角△ABC中，如果各边长都扩大2倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．大小不变 D．不能确定
2．（4分）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
3．（4分）如果k＜0（k为常数），那么二次函数y＝kx2﹣x+k2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．当半径大于点到圆心的距离时，点在圆外
C．圆心角相等，它们所对的弧相等
D．边长为R的正六边形的边心距等于
5．（4分）已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，
DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）如图，由5个同样大小的正方形合成一个矩形，那么∠ABD+∠ADB的
度数是（ ）
第1页（共29页）A．90° B．60° C．45° D．不能确定
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：tan30°×cos60°＝ ．
8．（4分）已知抛物线的表达式是 ，那么它的顶点坐标是 ．
9．（4分）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y＝3x2+5向右平移4个单位，那么
所得抛物线的表达式为 ．
10．（4分）已知线段a＝4，c＝9，那么a和c的比例中项b＝ ．
11．（4分）如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么它们的周长比为 ．
12．（4分）小王在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是35°，那么点B处
得小明看点A处的小王的俯角等于 度．
13．（4分）如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果
，那么 ＝ ．
14．（4分）如图，DE∥BC， ，请用向量 表示向量 ，那么 ＝ ．
15．（4分）如图，G为△ABC的重心，若EF过点G且EF∥BC，交AB、AC于E、
F，则 的值为 ．
第2页（共29页）16．（4分）已知两圆相切，半径分别为2cm和5cm，那么两圆的圆心距等于
厘米．
17．（4分）如图是一张直角三角形的纸片，直角边 AC＝6cm， ，现将
△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么DE的长等于 ．
18．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A（﹣1，0），B（3，0），C（0，
2），已知动直线y＝m（0＜m＜2）与线段AC、BC分别交于D、E两点，而在x轴
上存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形，那么m的值等于 ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量 、．先化简，再求作：2（ + ）﹣ （2
﹣4 ）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
20．（10分）如图，点A，B是 O上两点，AB＝10，点P是 O上的动点（P与A，B
不重合），连接AP，BP，过点O分别作OE⊥AP，OF⊥BP，点E、F分别是垂足．
⊙ ⊙
（1）求线段EF的长；
（2）点O到AB的距离为2，求 O的半径．
⊙
第3页（共29页）21．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+5（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应
值如表：
x … ﹣1 … … 2 …
y … 10 … … 1 …
（1）求这个二次函数的解析式及图象的对称轴；
（2）设m≥2，且A（m，y ），B（m+1，y ）两点都在该函数的图象上，试比较y 与y
1 2 1 2
的大小：y y （填“大于”“等于”或“小于”）．
1 2
22．（10分）如图所示，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿
折线A→D→C→B到达B地，现在直线AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可
沿直线AB从A地直达B地，已知BC＝1000m，∠A＝45°，∠B＝37°．问：现在
从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（结果精确到1m．参考数据： ，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
23．（12分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ACD＝∠B，
AD2＝AE•AC．求证：
（1）DE∥BC；
（2） ．
第4页（共29页）24．（12分）如图，梯形OABC，BC∥OA，边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正
半轴上，点B（3，4），AB＝5．
（1）求∠BAO的正切值；
（2）如果二次函数 的图象经过O、A两点，求这个二次函数的解析式
并求图象顶点M的坐标；
（3）点Q在x轴上，以点Q，点O及（2）中的点M为顶点的三角形与△ABO相似，
求点Q的坐标．
25．（14分）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板
DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射
线AB相交于点M，接着把三角形板ABC固定不动，将三角形板DEF由图11
﹣1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为 ．其中0°＜ ＜90°，射
线DF与线段BC相交于点N（如图2示）．
α α
（1）当0°＜ ＜60°时，求AM•CN的值；
（2）当0°＜ ＜60°时，设AM＝x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的
α
函数解析式并求定义域；
α
（ 3 ） 当 BM ＝ 2 时 ， 求 两 块 三 角 形 板 重 叠 部 分 的 面 积 ．
第5页（共29页）第6页（共29页）2012 年上海市普陀区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）在锐角△ABC中，如果各边长都扩大2倍，则∠A的正弦值（ ）
A．扩大2倍 B．缩小2倍 C．大小不变 D．不能确定
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】11：计算题．
【分析】设锐角△ABC的三边长为a，b，c，AC边上的高为h，则sinA＝ ，如果各
边长都扩大2倍，则AC边上的高为2h，则sinA＝ ＝ 即可得出答案．
【解答】解；设锐角△ABC的三边长为a，b，c，AC边上的高为h，则sinA＝ ，
如果各边长都扩大2倍，则AC边上的高为2h，
∴sinA＝ ＝ ，
故∠A的正弦值大小不变，
故选：C．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，属于基础题，关键是掌握锐角三角函数
的定义．
2．（4分）下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个等腰梯形
【考点】S5：相似图形．
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【专题】12：应用题．
【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分
析判断后利用排除法解答．
【解答】A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，
故本选项错误；
第7页（共29页）B、两个菱形，形状不一定相同，故本选项错误；
C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故本选项正确；
D、两个等腰梯形不一定相似，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形相似的判定，熟练掌握矩形、等腰梯形、菱形、正方形
的性质是解题的关键，难度适中．
3．（4分）如果k＜0（k为常数），那么二次函数y＝kx2﹣x+k2的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】H2：二次函数的图象．
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【分析】二次函数y＝kx2﹣x+k2中k＜0，可根据开口方向，对称轴的位置确定抛物
线的位置．
【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣x+k2中k＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴x＝﹣ ＜0，在y轴左边．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线解析式的系数与抛物线图象位置的关系．
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．三个点确定一个圆
B．当半径大于点到圆心的距离时，点在圆外
C．圆心角相等，它们所对的弧相等
D．边长为R的正六边形的边心距等于
【考点】M5：圆周角定理；M8：点与圆的位置关系；M9：确定圆的条件；MM：正多
边形和圆．
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第8页（共29页）【专题】2B：探究型．
【分析】分别根据确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及圆内
接正六边形的性质对各选项进行逐一判断．
【解答】解：A、只有不在同一条直线上的三点才可以确定一个圆，故本选项错误；
B、当半径大于点到圆心的距离时，点在圆内，故本选项错误；
C、只有在同圆或等圆中圆心角相等，它们所对的弧相等，故本选项错误；
D、边长为R的正六边形的边心距等于 R，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是确定圆的条件，点与圆的位置关系，圆心角、弧、弦的关系及
圆内接正六边形的性质，熟练掌握以上知识是解答此题的关键．
5．（4分）已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，
DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】S4：平行线分线段成比例．
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【专题】11：计算题；31：数形结合．
【分析】首先根据题意画出图形，由相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，
△BDF∽△BAC；又由相似三角形的对应边成比例与平行线分线段成比例定理
可得B正确．
【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，
∴△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴ ，故A错误，
，故B正确，
， ，故C错误，
，故D错误．
故选：B．
第9页（共29页）【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理与相似三角形的判定与性质．解题
的关键是注意根据题意作图，利用数形结合思想求解．
6．（4分）如图，由5个同样大小的正方形合成一个矩形，那么∠ABD+∠ADB的
度数是（ ）
A．90° B．60° C．45° D．不能确定
【考点】LB：矩形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】利用勾股定理分别计算出△ACD和△ADB的各个边长，根据有三边比值
相等的两三角形相似可判定△ACD和△ADB相定理即可求出似，再根据相似
三角形的性质：对应角相等和三角形外角和定理即可求出∠ABD+∠ADB的度
数．
【解答】解：设每个小正方形的边长为1，
由勾股定理得：AC＝ ，AD＝ ，AB＝ ，
又∵DC＝1，BD＝5，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴△ADC∽△BDA，
∴∠DAC＝∠ABD，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACB＝∠DAC+∠ADB＝45°，
∴∠ABD+∠ADB＝45°．
故选：C．
第10页（共29页）【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质以及勾股定理的运用
和三角形的外角和不相邻的两内角之间的关系．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：tan30°×cos60°＝ ．
【考点】T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】将tan30°＝ ，cos60°＝ 代入进行运算即可．
【解答】解：将tan30°＝ ，cos60°＝ 代入，
原式＝ × ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌
握一些特殊角的三角函数值，需要我们熟练记忆．
8．（4分）已知抛物线的表达式是 ，那么它的顶点坐标是 （ 0 ， 0 ） ．
【考点】H3：二次函数的性质．
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【专题】2B：探究型．
【分析】根据二次函数的性质，y有最小值，当x＝0时，y取得最小值0，故其顶点
坐标为其最小值点（0，0）．
【解答】解：根据二次函数的性质，
∵﹣ ＜0，
∴图象开口向下，
函数有最小值，
其最小值点为但x＝0时取得的点（0，0）．
故答案为（0，0）．
第11页（共29页）【点评】本题考查了二次函数的性质，要熟悉式子的特点并能结合图象．
9．（4分）在平面直角坐标系中，如果把抛物线y＝3x2+5向右平移4个单位，那么
所得抛物线的表达式为 y ＝ 3 （ x ﹣ 4 ） 2 + 5 ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【分析】易得原抛物线的顶点及平移后新抛物线的顶点，利用顶点式根据平移不
改变二次项系数可得新抛物线解析式．
【解答】解：∵抛物线y＝3x2+5的顶点为（0，5），
∴向右平移4个单位得到的顶点为（4，5），
∴把抛物线y＝3x2+5向右平移4个单位，
那么所得抛物线的表达式为 y＝3（x﹣4）2+5．
故答案为 y＝3（x﹣4）2+5
【点评】考查二次函数的平移情况；用到的知识点为：二次函数的平移不改变二次
项的系数；关键是根据左右平移只改变二次函数的顶点的横坐标得到新抛物
线的顶点．
10．（4分）已知线段a＝4，c＝9，那么a和c的比例中项b＝ 6 ．
【考点】S2：比例线段．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据比例中项的定义可得b2＝ac，从而易求b．
【解答】解：∵b是a、c的比例中项，
∴b2＝ac，
即b2＝36，
∴b＝6（负数舍去），
故答案是6．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是理解比例中项的含义．
11．（4分）如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么它们的周长比为 3 ： 2 ．
【考点】S7：相似三角形的性质．
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【分析】根据相似三角形的性质：周长比等于相似比即可解得．
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为3：2，
∴它们的周长比为3：2．
【点评】此题主要考查相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比．
第12页（共29页）12．（4分）小王在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是35°，那么点B处
得小明看点A处的小王的俯角等于 35 ° 度．
【考点】TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】两点之间的仰角与俯角正好是两条水平线夹角的内错角，应相等．
【解答】解：从点A看点B的仰角与从点B看点A的俯角互为内错角，大小相等．
点B处的小明看点A处的小李的俯角是35度．
故答案为：35°．
【点评】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，主要考查仰角、俯角的概念，
以及仰角与俯角的关系．
13．（4分）如图，平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果
，那么 ＝ ．
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】首先由四边形ABCD是平行四边形，可知BC＝AD，那么求 的值，就转
化为求 的值．又由于BE∥AD，可证△BEF∽△DAF，则 ＝ ，从而得
出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∴ ＝ ．
又∵BE∥AD，
∴∠BEF＝∠DAF，∠EBF＝∠ADF，
∴△BEF∽△DAF，
∴ ＝ ，
第13页（共29页）∴ ＝ ．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，有两角对应相等的两个三角
形相似，相似三角形的三边对应成比例．
14．（4分）如图，DE∥BC， ，请用向量 表示向量 ，那么 ＝ ﹣ 3
．
【考点】LM：*平面向量；S4：平行线分线段成比例．
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【专题】31：数形结合．
【分析】先由平行线分线段成比例的性质得出线段ED和线段BC的数量关系，可
用向量 表示向量 ．
【解答】解：∵DE∥BC， ，
∴ ＝ ＝ ，
即BC＝3ED，
又∵向量 和向量 方向相反，
∴ ＝﹣3 ．
故答案为：﹣3 ．
【点评】此题考查了平面向量的知识及平行线分线段成比例的知识，解答本题的
关键是先得出两线段的数量关系，再确定方向是否一样，难度一般．
15．（4分）如图，G为△ABC的重心，若EF过点G且EF∥BC，交AB、AC于E、
F，则 的值为 ．
第14页（共29页）【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】16：压轴题．
【分析】如果连接AG并延长，交BC于点P，由三角形的重心的性质可知AG＝
2GP，则 AG：AP＝2：3．又 EF∥BC，根据相似三角形的判定可知
△AGF∽△APC，得出AF：AC＝2：3，最后由EF∥BC，得出△AEF∽△ABC，从
而求出EF：BC＝AF：AC＝2：3．
【解答】解：如图，连接AG并延长，交BC于点P．
∵G为△ABC的重心，
∴AG＝2GP，
∴AG：AP＝2：3，
∵EF过点G且EF∥BC，
∴△AGF∽△APC，
∴AF：AC＝AG：AP＝2：3．
又∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定及性质．
三角形三边的中线相交于一点，这点叫做三角形的重心．重心到顶点的距离等于
它到对边中点距离的两倍．
第15页（共29页）平行于三角形一边的直线截其它两边，所得三角形与原三角形相似．
相似三角形的三边对应成比例．
16．（4分）已知两圆相切，半径分别为2cm和5cm，那么两圆的圆心距等于 7 或
3 厘米．
【考点】MJ：圆与圆的位置关系；MK：相切两圆的性质．
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【分析】已知两圆的半径，分两种情况： 当两圆外切时； 当两圆内切时；即可
求得两圆的圆心距．
① ②
【解答】解：∵两圆半径分别为2cm和5cm
∴当两圆外切时，圆心距为2+5＝7cm；
当两圆内切时，圆心距为5﹣2＝3cm．
故答案为7或3．
【点评】本题考查了两圆相切的性质，以及两圆的半径与圆心距的关系，注意有两
种情况．
17．（4分）如图是一张直角三角形的纸片，直角边 AC＝6cm， ，现将
△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么DE的长等于 cm ．
【考点】KQ：勾股定理；PB：翻折变换（折叠问题）；T1：锐角三角函数的定义．
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【专题】31：数形结合．
【分析】在RT△ABC中，可求出AB的长度，根据折叠的性质可得出AE＝EB＝
AB，在RT△ADE中，利用sinB＝sin∠DAE即可得出DE的长度．
【解答】解：∵AC＝6cm， ，
∴AB＝ ＝10cm，tanB＝ ，
由折叠的性质得，∠B＝∠DAE，AE＝EB＝ AB＝5cm，
第16页（共29页）∴DE＝AEtan∠DAE＝ cm．
故答案为： cm．
【点评】此题考查了翻折变换、勾股定理及锐角三角函数的定义，属于基础题，解
答本题的关键是掌握翻折变换前后对应边相等、对应角相等，难度一般．
18．（4分）在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别是A（﹣1，0），B（3，0），C（0，
2），已知动直线y＝m（0＜m＜2）与线段AC、BC分别交于D、E两点，而在x轴
上存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形，那么m的值等于 或 1 ．
【考点】D5：坐标与图形性质；KW：等腰直角三角形．
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【专题】25：动点型；2C：存在型．
【分析】因为△ABC的顶点分别为A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），动直线y＝m（0
＜m＜2）与线段AC，BC分别交于D，E，要使△DEP为等腰直角三角形，（1）
DE＝EP，（或DP），∠DEP（或∠EDP）＝90°或（2）PD＝PE，∠EPD＝90°，由
直线方程和等腰直角三角形的性质及勾股定理求解．
【解答】解：△DEP为等腰直角三角形分两种情况：
（1））DE＝EP，（或DP），∠DEP（或∠EDP）＝90°时，
设D（x ，m），E（x ，m），
1 2
∴ ＝m2，
由已知得CA方程：y＝2x+2，
∴x ＝ ＝ ﹣1，
1
CB方程：y＝﹣ x+2，
∴x ＝﹣ ＝﹣ +3，
2
∴得：4（m﹣2）2＝m2，
解得：m ＝ ，m ＝4（与0＜m＜2不符舍去），
1 2
∴m＝ ；
第17页（共29页）（2）PD＝PE，∠EPD＝90°时，
则 ＝m2，
∴ ＝4m2，
∴4（m﹣2）2＝4m2，
解得：m＝1，
综上：当m＝ 或m＝1时，△DEP为等腰直角三角形，故答案为： 或1．
【点评】此题考查的知识点是等腰直角三角形的性质运用及坐标与图形的性质，
关键是确定等腰直角三角形的两种情况，然后分别求解．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）如图，已知两个不平行的向量 、．先化简，再求作：2（ + ）﹣ （2
﹣4 ）．（不要求写作法，但要指出图中表示结论的向量）
【考点】LM：*平面向量．
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【专题】13：作图题．
【分析】首先将原式化简，再根据向量的意义画图即可．
【解答】解：原式＝ ＝ ．
∴ ＝ ．
∴ 为所求向量
第18页（共29页）【点评】此题考查了向量的计算与向量的意义．此题培养了学生的动手能力，要注
意分析．
20．（10分）如图，点A，B是 O上两点，AB＝10，点P是 O上的动点（P与A，B
不重合），连接AP，BP，过点O分别作OE⊥AP，OF⊥BP，点E、F分别是垂足．
⊙ ⊙
（1）求线段EF的长；
（2）点O到AB的距离为2，求 O的半径．
⊙
【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】（1）由于OE⊥AP，OF⊥BP，点E、F分别是垂足，根据垂径定理可以得到
E、F分别是AP、BP的中点，然后利用中位线定理即可求解；
（2）如图，过O作OC⊥AB于C，连接OB，利用垂径定理和勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵OE⊥AP，OF⊥BP，点E、F分别是垂足，
∴AE＝EP，PF＝BF，
∴EF＝ AB，而AB＝10，
∴EF＝5；
（2）如图，过O作OC⊥AB于C，连接OB，
∴C为AB的中点，
∴BC＝5，
而OC＝2，
第19页（共29页）∴OB＝ ＝ ，
∴ O的半径为 ．
⊙
【点评】此题考查了垂径定理和勾股定理，解题时首先根据垂径定理证明中位线，
然后利用勾股定理计算即可解决问题．
21．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+5（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应
值如表：
x … ﹣1 … … 2 …
y … 10 … … 1 …
（1）求这个二次函数的解析式及图象的对称轴；
（2）设m≥2，且A（m，y ），B（m+1，y ）两点都在该函数的图象上，试比较y 与y
1 2 1 2
的大小：y 小于 y （填“大于”“等于”或“小于”）．
1 2
【考点】H3：二次函数的性质；H5：二次函数图象上点的坐标特征；H8：待定系数
法求二次函数解析式．
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【分析】（1）利用待定系数法求得该二次函数的解析式，由对称轴方程求得该二
次函数图象的对称轴；
（2）根据二次函数图象的单调性填空．
【解答】解：（1）根据图表知，该二次函数的图象经过点（﹣1，10）、（2，1），
∴ ，
解得， ，
∴该二次函数的解析式是：y＝x2﹣4x+5，
∴该二次函数图象的对称轴是：x＝﹣ ＝2，即x＝2；
第20页（共29页）（2）∵1＞0，
∴二次函数y＝x2﹣4x+5的开口向上；
∴该二次函数图象在当x＞2时，y随x的增大而增大；
又∵m≥2，A（m，y ），B（m+1，y ）两点都在该函数的图象上，
1 2
∴y ＜y ；
1 2
故答案是：小于．
【点评】本题综合考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象上点的
坐标特征以及二次函数图象的性质．解答该题的关键是根据图表提取关键性
信息．
22．（10分）如图所示，A，B两地隔河相望，原来从A地到B地需要经过桥DC，沿
折线A→D→C→B到达B地，现在直线AB（与桥DC平行）上建了新桥EF，可
沿直线AB从A地直达B地，已知BC＝1000m，∠A＝45°，∠B＝37°．问：现在
从A地到达B地可比原来少走多少路程？
（结果精确到1m．参考数据： ，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】少走路程就是（AD+CD+BC﹣AB）的长．过点 D作DH⊥AB于H，
DG∥CB交AB于G．将梯形问题转化为三角形中求解．
【解答】解：如图，过点D作DH⊥AB于H，DG∥CB交AB于G．
∵DC∥AB，
∴四边形DCBG为平行四边形．
∴DC＝GB，GD＝BC＝1000．
∴两条路线路程之差为AD+DG﹣AG．
第21页（共29页）在Rt△DGH中，
DH＝DG•sin37°≈1000×0.60＝600m，
GH＝DG•cos37°≈1000×0.80≈800m．
在Rt△ADH中，
AD＝ DH≈1.41×600≈846m．
AH＝DH≈600m．
∴AD+DG﹣AG＝（846+1000）﹣（600+800）≈446（m）．
即现在从A地到B地可比原来少走约446m．
【点评】本题考查了解直角三角形的实际应用，将梯形中的问题转化为三角形问
题是解决梯形问题的常用方法，常作的辅助线有平移腰、平移对角线、作高等．
23．（12分）如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，∠ACD＝∠B，
AD2＝AE•AC．求证：
（1）DE∥BC；
（2） ．
【考点】J9：平行线的判定；K3：三角形的面积；S9：相似三角形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
第22页（共29页）【分析】（1）利用隐藏条件：∠A＝∠A 和已知条件：∠ACD＝∠B 可判定
△ADC∽△ACB，再利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可得比例式，
再由已知的比例式可证明： ，即可证明DE∥BC；
（2）有（1）可知：DE∥BC，所以△DEC和△BCD中DE和BC边上的高相等，即面
积比等于底之比，问题得证．
【解答】证明：（1）∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠B，
∴△ADC∽△ACB，
∵ ，
∵AD2＝AE•AC
∴ ，
∴ ，
∴DE∥BC；
（2）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵DE∥BC，
∴ ，
∴ ．
【点评】本题考查了利用平行线判定两线平行和相似三角形的判定以及相似三角
形的性质和平行线之间的距离相等这一性质．
24．（12分）如图，梯形OABC，BC∥OA，边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正
半轴上，点B（3，4），AB＝5．
第23页（共29页）（1）求∠BAO的正切值；
（2）如果二次函数 的图象经过O、A两点，求这个二次函数的解析式
并求图象顶点M的坐标；
（3）点Q在x轴上，以点Q，点O及（2）中的点M为顶点的三角形与△ABO相似，
求点Q的坐标．
【考点】D5：坐标与图形性质；H3：二次函数的性质；H8：待定系数法求二次函数
解析式；HF：二次函数综合题；LI：直角梯形；S7：相似三角形的性质；T1：锐角
三角函数的定义．
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【分析】（1）作BD⊥OA于点D，由点B的坐标可以求出BD、OD的值，在直角三
角形ABD中由勾股定理可以求出AD的值，从而可以求出∠BAO的正切值．
（2）由条件可以求出A点的坐标，利用待定系数法就可以直接求出抛物线的解析
式．
（3）根据条件当△ABO∽△MQO和△ABO∽△QMO时，从两种情况根据相似三
角形的性质就可以求出OQ的值，从而求出Q点的坐标．
【解答】解：（1）作BD⊥OA于点D，
∴∠ADB＝90°，
∴在Rt△ABD中，由勾股定理得
AD2＝AB2﹣BD2
∵B（3，4），
∴OD＝3，BD＝4．
∵AB＝5，
∴AD2＝25﹣16，
∴AD＝3，
∴tan∠BAD＝ ．
第24页（共29页）（2）∵AD＝3，OD＝3，
∴OA＝6，
∴A（6，0），O（0，0）
∴
∴
∴抛物线的解析式为：
∴ ，
∴M（3，﹣4）．
（3）∵M（3，﹣4），B（3，4），
∴OB＝OM，
∵BD⊥OA，OD＝AD，
∴OB＝AB＝5，
∴OM＝5．
△ABO∽△MQO时， ，
∴ ，
∴OQ＝ ，
第25页（共29页）∴Q（ ，0）
△ABO∽△QMO时， ，
∴ ，
∴QO＝6，
∴Q（6，0），
综上所述，所以Q（ ，0）或（6，0）
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，锐角三角函数的运用，勾股定理的运用，
待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质．
25．（14分）把两块边长为4的等边三角板ABC和DEF先如图1放置，使三角板
DEF的顶点D与三角板ABC的AC边的中点重合，DF经过点B，射线DE与射
线AB相交于点M，接着把三角形板ABC固定不动，将三角形板DEF由图11
﹣1所示的位置绕点D按逆时针方向旋转，设旋转角为 ．其中0°＜ ＜90°，射
线DF与线段BC相交于点N（如图2示）．
α α
（1）当0°＜ ＜60°时，求AM•CN的值；
（2）当0°＜ ＜60°时，设AM＝x，两块三角形板重叠部分的面积为y，求y与x的
α
函数解析式并求定义域；
α
（ 3 ） 当 BM ＝ 2 时 ， 求 两 块 三 角 形 板 重 叠 部 分 的 面 积 ．
第26页（共29页）【考点】K3：三角形的面积；KK：等边三角形的性质；R2：旋转的性质；S9：相似三
角形的判定与性质．
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【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠A＝∠C＝∠EDF＝60°，则
∠AMD+∠ADM＝120°，∠ADM+∠NDC＝120°，可得∠AMD＝∠NDC，根据相
似三角形的判定定理得到△AMD∽△CDN，有相似的性质得到AM：DC＝AD：
CN，即AM•CN＝DC•AD，然后把DC＝AD＝2代入计算即可；
（2）分别过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，连DB，根据等边三角形的性质
得∠A＝∠C＝60°，而DA＝DC＝2，根据含30°的直角三角形三边的关系得到
AP＝CQ＝1，DP＝DQ＝ ，由AM＝x，得CN＝ ，MB＝4﹣x，BN＝4﹣ ，两
块三角形板重叠部分为四边形DMBN，则y＝S S ，然后根据三角形的
△DBM+ △DBN
面积公式计算即可，易得到当0°＜ ＜60°时，x的取值范围为1＜x＜4；
（3）当M在线段AB上，BM＝2时，x＝4﹣2＝2，把x＝2代入（2）的关系式中计算
α
即可．当M点在线段AB的延长线上，过D作DH∥BC交AB于H，BP＝ DH
＝1，由△AMD∽△CDN，则AM：DC＝AD：CN，即AM•CN＝DC•AD，可计算
出CN，然后根据三角形的面积公式可计算出S ，即两块三角形板重叠部分
△DPN
的面积．
【解答】解：（1）∵△ABC和△DEF都是边长为4的等边三角形，
∴∠A＝∠C＝∠EDF＝60°，
∴∠AMD+∠ADM＝120°，∠ADM+∠NDC＝120°，
∴∠AMD＝∠NDC，
∴△AMD∽△CDN，
第27页（共29页）∴AM：DC＝AD：CN，即AM•CN＝DC•AD，
而D点为AC的中点，
∴DC＝AD＝2，
∴AM•CN＝4；
（2）分别过D点作DP⊥AB于P，DQ⊥BC于Q，连DB，如图
∵∠A＝∠C＝60°，DA＝DC＝2，
∴AP＝CQ＝1，
∴DP＝DQ＝ ，
AM＝x，则CN＝ ，MB＝4﹣x，BN＝4﹣ ，
∵BD为等边三角形的高，
∴点D到EF的距离为DB，
∴两块三角形板重叠部分为四边形DMBN，
∴y＝S S ＝ • •（4﹣x）+ • •（4﹣ ）
△DBM+ △DBN
＝4 ﹣ x﹣ ，
在图（1）中，AM＝1，
∴当0°＜ ＜60°时，x的取值范围为1＜x＜4；
（3）当M在线段AB上，BM＝2时，x＝4﹣2＝2，
α
即y＝4 ﹣ ×2﹣
＝2 ．
当M点在线段AB的延长线上，如图（备用图），
过D作DH∥BC交AB于H，
∴DH＝ BC＝2，BH＝2，
∵BM＝2，
∴BP＝ DH＝1，
与 一样可证得△AMD∽△CDN，
∴AM：DC＝AD：CN，即AM•CN＝DC•AD，
①
第28页（共29页）∴6×CN＝4，即CN＝ ，
∴PN＝4﹣1﹣ ＝ ，
∴S ＝ PN•DQ＝ × × ＝ ．
△DPN
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形
相似；相似三角形的对应边的比相等．也考查了等边三角形的性质、旋转的性
质以及三角形的面积公式．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:32:15；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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