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2012年上海市松江区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．a2•a＝2a3 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5
3．（4分）在平面直角坐标系中，点A和点B关于原点对称，已知点A 的坐标为
（﹣2，3），那么点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，﹣3）
4．（4分）如果正五边形绕着它的中心旋转 角后与它本身重合，那么 角的大小
可以是（ ）
α α
A．36° B．45° C．72° D．90°
5．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，那么下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）下列四个命题中真命题是（ ）
A．矩形的对角线平分对角
B．菱形的对角线互相垂直平分
C．梯形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）计算：2﹣2＝ ．
8．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有两个不相等的实数根，那么a
的取值范围是 ．
9．（4分）方程 的解是 ．
10．（4分）用换元法解方程 时，如设y＝x2﹣2x，则将原方程化为
第1页（共26页）关于y的整式方程是 ．
11．（4分）已知函数 ，那么f（4）＝ ．
12．（4分）已知反比例函数 （k≠0）的图象经过点A（﹣3，2），那么k＝
．
13．（4分）已知包裹邮资为每千克2元，每件另加手续费3元，若一件包裹重x千
克，则该包裹邮资y（元）与重量x（千克）之间的函数关系式为 ．
14．（4分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和6个白球，除顔色不同外其余
都相同，从口袋中任意摸一个球摸到的是红球的概率为 ．
15．（4分）已知 O 和 O 外切，O O ＝8，若 O 的半径为3，则 O 的半径为
1 2 1 2 1 2
．
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设 ，
，那么 ＝ ．
17．（4分）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形凉衣架．已知其中每个菱形
的边长为 13cm， ，那么凉衣架两顶点 A、E 之间的距离为
cm．
18．（4分）将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面
线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的
直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以
是 （写出2个）．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
第2页（共26页）19．（10分）计算： ．
20．（10分）解方程组： ．
21．（10分）某公园有一圆弧形的拱桥，如图已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥
顶D到水面AB的距离DC＝4米．
（1）求水面宽度AB的大小；
（2）当水面上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为 ，若cot ＝3，求水面上升
的高度．
α α
22．（10分）随着“微博潮”的流行，初中学生也开始忙着“织围脖”，某校在上
微博的280名学生中随机抽取了部分学生调查他们平常每天上微博的时间，
绘制了扇形统计图和频数分布直方图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生；将频数分布直方图补充完整；
（2）被调查的学生中上微博时间中位数落在 这一小组内；
（3）样本中，平均每天上微博的时间为0.5小时这一组的频率是 ；
（4）请估计该校上微博的学生中，大约有 名学生平均每天上微博的时间
不少于1小时．
23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝DC，点E在对角
线BD上，作∠ECF＝90°，连接DF，且满足CF＝EC．
第3页（共26页）（1）求证：BD⊥DF．
（2）当BC2＝DE•DB时，试判断四边形DECF的形状，并说明理由．
24．（12分）已知直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2+2x+c
经过点A，B．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴
的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．
求点D的坐标；
将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x﹣3交
①
②
于点E，若tan∠DPE＝ ，求四边形BDEP的面积．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠ABC＝ ，点D在AB边上（点
D与点A，B不重合），DE∥BC交AC边于点E，点F在线段EC上，且EF＝
第4页（共26页）AE，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFG，连接BG．
（1）当EF＝FC时，求△ADE的面积；
（2）设AE＝x，△DBG的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△DBG是以DB为腰的等腰三角形，求AD的值．
第5页（共26页）2012 年上海市松江区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
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【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次
根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、 ＝ ，可化简，故A选项错误；
B、 ＝ ＝2 ，可化简，故B选项错误；
C、 ＝|x|，可化简，故C选项错误；
D、 不能化简，是最简二次根式，故D选项正确．
故选：D．
【点评】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的
定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指
数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A．a+a＝a2 B．a2•a＝2a3 C．a3÷a2＝a D．（a2）3＝a5
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底
数幂的除法．
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【分析】A、根据合并同类项的法则计算；
B、根据同底数幂的乘法法则计算；
C、根据同底数幂的除法计算；
D、根据幂的乘方计算．
第6页（共26页）【解答】解：A、a+a＝2a，此选项错误；
B、a2•a＝a3，此选项错误；
C、a3÷a2＝a，此选项正确；
D、（a2）3＝a6，此选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方，解
题的关键是掌握有法则．
3．（4分）在平面直角坐标系中，点A和点B关于原点对称，已知点A 的坐标为
（﹣2，3），那么点B的坐标为（ ）
A．（3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，﹣3）
【考点】R6：关于原点对称的点的坐标．
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【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标
符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）可以直接写出
答案．
【解答】解：∵点A和点B关于原点对称，点A 的坐标为（﹣2，3），
∴B（2，﹣3）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于
原点对称的坐标变化规律．
4．（4分）如果正五边形绕着它的中心旋转 角后与它本身重合，那么 角的大小
可以是（ ）
α α
A．36° B．45° C．72° D．90°
【考点】R3：旋转对称图形．
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【分析】连接OA、OB，根据正五边形的性质求出∠AOB，即可得答案．
【解答】解：连接OA、OB，
∵O是正五边形的中心，
∴∠AOB＝360°÷5＝72°，
即正五边形ABCDE绕着它的中心旋转72°后与它本身重合，即 角的大小可以
是72°．
α
故选：C．
第7页（共26页）【点评】本题主要考查对正多边形与圆，旋转对称图形等知识点的理解和掌握，能
运用性质进行说理是解此题的关键．
5．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，那么下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】T1：锐角三角函数的定义．
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【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义进行分析、解答．
【解答】解：如图所示，AC、BC为两直角边，AB为斜边；
A、sinA＝ ＝ ；故本选项正确；
B、cosA＝ ＝ ；故本选项错误；
C、tanA＝ ＝ ；故本选项错误；
D、cotA＝ ＝ ；故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对
边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6．（4分）下列四个命题中真命题是（ ）
A．矩形的对角线平分对角
B．菱形的对角线互相垂直平分
第8页（共26页）C．梯形的对角线互相垂直
D．平行四边形的对角线相等
【考点】O1：命题与定理．
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【专题】16：压轴题．
【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除
法得出答案．
【解答】解：矩形的对角线不能平分对角，A错误；
根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直平分，B正确；
梯形的对角线不互相垂直，C错误；
平行四边形的对角线平分，但不一定相等，D错误．
故选：B．
【点评】要根据矩形、菱形、梯形和平行四边形对角线的特点做出判断．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸
的相应位置上】
7．（4分）计算：2﹣2＝ ．
【考点】6F：负整数指数幂．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数幂的定义求解：a﹣p＝ （a≠0，p为正整数）
【解答】解：2﹣2＝ ＝ ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了负整数指数幂的定义，解题时牢记定义是关键，此题比较简单，
易于掌握．
8．（4分）如果关于x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有两个不相等的实数根，那么a
的取值范围是 ．
【考点】AA：根的判别式．
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【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，方程x2﹣x+a＝0有两个不相等的
第9页（共26页）实数根，方程必须满足△＝b2﹣4ac＞0，即可求得．
【解答】解：x的一元二次方程x2﹣x+a＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4a＞0，
解得a＜ ．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情
况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△＝0 方程有两个相等的实数根；
⇔
（3）△＜0 方程没有实数根．
⇔
9．（4分）方程 的解是 x ＝ 4 ．
⇔
【考点】AG：无理方程．
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【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，
然后进行检验即可．
【解答】解：两边平方得：2x+1＝9，
解得：x＝4．
检验：x＝4是方程的解．
故答案是：x＝4．
【点评】本题主要考查无理方程的知识点，在解无理方程是最常用的方法是两边
平方法及换元法，本题用了平方法．
10．（4分）用换元法解方程 时，如设y＝x2﹣2x，则将原方程化为
关于y的整式方程是 y 2 ﹣ y ﹣ 2 ＝ 0 ．
【考点】A9：换元法解一元二次方程．
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【分析】由于方程中含有x2﹣2x，故设x2﹣2x＝y，代入方程后，把原方程化为整式
方程．
【解答】解：设x2﹣2x＝y．
∴y﹣ ＝1，
∴y2﹣2＝y，
∴y2﹣y﹣2＝0．
第10页（共26页）故答案为：y2﹣y﹣2＝0．
【点评】此题考查了用换元法解一元二次方程，此题要掌握数学中的换元思想，比
较简单．
11．（4分）已知函数 ，那么f（4）＝ 1 ．
【考点】E5：函数值．
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【分析】把x＝4代入函数式，化简求值．
【解答】解：依题意，得 ＝ ＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了求函数值．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式
的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
12．（4分）已知反比例函数 （k≠0）的图象经过点A（﹣3，2），那么k＝ ﹣ 6
．
【考点】G7：待定系数法求反比例函数解析式．
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【专题】11：计算题．
【分析】由反比例函数 （k≠0）的图象经过点A（﹣3，2），将x＝3，y＝2代入反
比例解析式中计算，即可得到k的值．
【解答】解：∵反比例函数 （k≠0）的图象经过点A（﹣3，2），
∴将x＝﹣3，y＝2代入反比例解析式得：2＝ ，
解得：k＝﹣6．
故答案为：﹣6
【点评】此题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法
是解本题的关键．
13．（4分）已知包裹邮资为每千克2元，每件另加手续费3元，若一件包裹重x千
克，则该包裹邮资y（元）与重量x（千克）之间的函数关系式为 y ＝ 2 x + 3 ．
【考点】FG：根据实际问题列一次函数关系式．
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【分析】根据题意，一次函数的比例系数k等于2，常数b等于3，写出一次函数关
第11页（共26页）系式即可．
【解答】解：根据题意，k＝2，b＝3，
则y＝2x+3；
故答案为：y＝2x+3．
【点评】本题主要考查一次函数解析式的理解，从题中找出k、b的值是解题的关
键．
14．（4分）在一个不透明的口袋中，装有4个红球和6个白球，除顔色不同外其余
都相同，从口袋中任意摸一个球摸到的是红球的概率为 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】先算出袋子中球的总数，再让红球的个数除以球的总数即为所求的概率．
【解答】解：袋子中球的总数为4+6＝10，
红球有4个，
则摸出红球的概率为 ＝ ；
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
15．（4分）已知 O 和 O 外切，O O ＝8，若 O 的半径为3，则 O 的半径为
1 2 1 2 1 2
5 ．
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】根据两圆外切时，圆心距等于两圆半径的和，进行计算．
【解答】解：根据题意，两圆外切得： O 的半径＝8﹣3＝5．
2
故答案为：5．
⊙
【点评】本题考查了两圆的位置关系与数量之间的联系．
16．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设 ，
，那么 ＝ ．
第12页（共26页）【考点】LM：*平面向量．
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【分析】由 ， ，利用三角形法则，即可求得 的值，又由四边形ABCD是
平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可求得 的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ＝ ，
∵ ， ，
∴ ＝ ﹣ ＝ ﹣ ，
∴ ＝ （ ﹣ ）＝ ﹣ ．
故答案为： ﹣ ．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与平面向量的知识．此题难度不大，注意掌
握三角形法则的应用，注意数形结合思想的应用．
17．（4分）如图是利用四边形的不稳定性制作的菱形凉衣架．已知其中每个菱形
的边长为13cm， ，那么凉衣架两顶点A、E之间的距离为
cm．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
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【分析】由图可得：AE两点之间的距离是较长对角线的长；根据已知可分别求得
较短和较长的对角线的长，则不难求得AE的长．
【解答】解：连接AC、BD交于点O，作AM⊥BC于点M，
∵AB＝BC＝13cm， ，
∴BM＝BC•cos∠ABC＝13× ＝5，
第13页（共26页）∴由勾股定理得：AM＝12
∴MC＝8，
由勾股定理得：AC＝4
∴在直角三角形ABO中，BO＝ ＝3
∴BD＝2BO＝6
∴凉衣架两顶点A、E之间的距离为6
故答案为：6
【点评】本题考查了解直角三角形的应用及菱形的性质，解题的关键是正确的构
造直角三角形并求解．
18．（4分）将一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的“面
线”，“面线”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的“面径”，例如圆的
直径就是它的“面径”．已知等边三角形的边长为2，则它的“面径”长可以
是 ， （或介于 和 之间的任意两个实数） （写出2个）．
【考点】KK：等边三角形的性质．
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【专题】16：压轴题；23：新定义．
【分析】根据等边三角形的性质，最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等
边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面
径，根据等边三角形的性质求出高线，然后写出即可．
【解答】解：如图，EF∥BC时，EF为最短面径，
此时，（ ）2＝ ，
即 ＝ ，
解得EF＝ ，
等边三角形的高AD是最长的面径，
AD＝ ×2＝ ，
第14页（共26页）所以，它的面径长可以是 ， （或介于 和 之间的任意两个实数）．
故答案为： ， （或介于 和 之间的任意两个实数）．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判
断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算： ．
【考点】6C：分式的混合运算．
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【专题】11：计算题．
【分析】将原式括号中两项的分母分别分解因式，找出最简公分母，通分并利用同
分母分式的减法法则计算，除式的分子利用十字相乘法分解因式，然后利用除
以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到
结果．
【解答】解：原式＝[ ﹣ ]÷
＝[ ﹣ ]÷
＝ •
＝
＝ ．
【点评】此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是
找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时
分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．
第15页（共26页）20．（10分）解方程组： ．
【考点】AF：高次方程．
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【分析】先将x2+xy﹣2y2＝0转化为x﹣y＝0和x+2y＝0．可得两个方程组
，求解即可．
【解答】解：由x2+xy﹣2y2＝0得x﹣y＝0和x+2y＝0．
原方程组可化为 ， ，
解得原方程组的解为 ， ．
【点评】本题考查了高次方程，难度较大，需要先将方程转化为二元一次方程，然
后解答；格外注意，本题有两组解．
21．（10分）某公园有一圆弧形的拱桥，如图已知拱桥所在圆的半径为10米，拱桥
顶D到水面AB的距离DC＝4米．
（1）求水面宽度AB的大小；
（2）当水面上升到EF时，从点E测得桥顶D的仰角为 ，若cot ＝3，求水面上升
的高度．
α α
【考点】KQ：勾股定理；M3：垂径定理的应用；TA：解直角三角形的应用﹣仰角俯
角问题．
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【分析】（1）设拱桥所在圆的圆心为O，由题意可知，点O在DC的延长线上，连
接OA，在Rt△ADO中利用勾股定理求出AD的长，再由垂径定理求出AB＝
2AC即可得出答案；
（2）设OD与EF相交于点G，连接OE，由EF∥AB，OD⊥AB，可知OD⊥EF，
第16页（共26页）∠EGC＝∠EGO＝90°，在Rt△EGC中，由cot ＝ ＝3，可知EG＝3CG，设水
α
面上升的高度为x米，即DG＝x，则CG＝4﹣x，则EG＝12﹣3x，在Rt△EGO
中，利用勾股定理即可求出x的值，进而得出结论．
【解答】解：（1）设拱桥所在圆的圆心为O，由题意可知，点O在DC的延长线上，
连接OA，
∵OD⊥AB，
∴∠ADO＝90°，
在Rt△ADO中，OA＝10，OD＝OC﹣DC＝10﹣4＝6，
∴AD＝8，
∵OD⊥AB，OC是半径，
∴AB＝2AD＝16，
即水面宽度AB的长为16米．
（2）设OD与EF相交于点G，连接OE，
∵EF∥AB，OD⊥AB
∴OD⊥EF，
∴∠EGC＝∠EGO＝90°，
在Rt△EGC中，cot ＝ ＝3，
∴EG＝3CG， α
设水面上升的高度为x米，即DG＝x，则CG＝4﹣x，
∴EG＝12﹣3x
在Rt△EGO中，EG2+OG2＝OE2，（12﹣3x）2+（6+x）2＝102，化简得 x2﹣6x+8＝0
解得x ＝4（舍去），x ＝2，
1 2
答：水面上升的高度为2米．
第17页（共26页）【点评】本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三
角形是解答此题的关键．
22．（10分）随着“微博潮”的流行，初中学生也开始忙着“织围脖”，某校在上
微博的280名学生中随机抽取了部分学生调查他们平常每天上微博的时间，
绘制了扇形统计图和频数分布直方图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 4 0 名学生；将频数分布直方图补充完整；
（2）被调查的学生中上微博时间中位数落在 1 小时 这一小组内；
（3）样本中，平均每天上微博的时间为0.5小时这一组的频率是 0.47 5 ；
（4）请估计该校上微博的学生中，大约有 14 7 名学生平均每天上微博的时间
不少于1小时．
【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数（率）分布直方图；VB：扇形统计图．
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【分析】（1）先根据平均每天上微博的时间为1.5小时的人数和所占的百分比，求
出总数，即可得出平均每天上微博的时间为1小时的人数，画出图形即可；
（2）根据总人数确定中位数是那两个人的平均数即可确定中位数落在那个小组
内；
（3）用平均每天上微博的时间为0.5小时的人数除以总数即可得出这一组的频率；
（4）用280乘以平均每天上微博的时间不少于1小时的人数的频率，即可得出答
第18页（共26页）案．
【解答】解：（1）本次调查共抽取了6÷15%＝40名学生；
平均每天上微博的时间为1小时的学生数是40﹣19﹣6﹣4＝11；
如图：
（2）共40个人，中位数应为第20和第21个的平均数，
由统计图知第20和第21个落在1小时这一组内
（4）平均每天上微博的时间为0.5小时这一组的频率是 ＝0.475；
该校上微博的学生中，平均每天上微博的时间不少于1小时的学生数是280×（1
﹣0.475）＝147（人）．
【点评】本题考查了频数分布表和频数分布直方图的知识，解题的关键是仔细的
读图并从中找到进一步解题的有关信息．
23．（12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝DC，点E在对角
线BD上，作∠ECF＝90°，连接DF，且满足CF＝EC．
（1）求证：BD⊥DF．
（2）当BC2＝DE•DB时，试判断四边形DECF的形状，并说明理由．
第19页（共26页）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LF：正方形的判定；LH：梯形；S9：相似三
角形的判定与性质．
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【分析】（1）利用互余关系证明∠BCE＝∠DCF，又有BC＝DC，EC＝CF，可证
△BCE≌△DCF，得出∠EBC＝∠FDC，由已知可知△BCD为等腰直角三角形
故有∠BDC＝∠EBC＝∠FDC＝45°，可证∠FDB＝90°，证明BD⊥DF；
（2）四边形DECF是正方形．由BC2＝DE•DB及BC＝DC，得DC2＝DE•DB，转化
为比例式，利用公共角∠CDE＝∠BDC，证明△CDE∽△BDC，则有∠DEC＝
∠DCB＝90°，判断四边形 DECF是矩形，结合条件 CE＝CF，可证四边形
DECF是正方形．
【解答】（1）证明：∵∠BCD＝∠ECF＝90°，∴∠BCE＝∠DCF，
∵BC＝DC，EC＝CF，∴△BCE≌△DCF，
∴∠EBC＝∠FDC，
∵BC＝DC，∠BCD＝90°，∴∠DBC＝∠BDC＝45°，
∴∠FDC＝45°，∴∠FDB＝90°，
∴BD⊥DF；
（2）解：四边形DECF是正方形．
∵BC2＝DE•DB，BC＝DC，∴DC2＝DE•DB，∴ ，
∵∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC，
∴∠DEC＝∠DCB＝90°，
∵∠FDE＝∠ECF＝90°，∴四边形DECF是矩形，
∵CE＝CF，∴四边形DECF是正方形．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形
的判定．关键是利用已知条件证明等腰直角三角形，全等三角形，判断垂直关
系，利用条件证明相似三角形，判断直角，矩形及正方形．
24．（12分）已知直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B，抛物线y＝ax2+2x+c
经过点A，B．
（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；
（2）记该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，若点D在y轴
的正半轴上，且四边形ABCD为梯形．
第20页（共26页）求点D的坐标；
将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P，其对称轴与直线y＝3x﹣3交
①
②
于点E，若tan∠DPE＝ ，求四边形BDEP的面积．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题；2B：探究型．
【分析】（1）先根据直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B两点求出A、B两
点的坐标，再把AB两点的坐标代入
抛物线y＝ax2+2x+c即可得出a、c的值，进而得出抛物线的解析式，故可得出其
对称轴方程及顶点坐标；
（2） 由于B、C两点关于直线x＝﹣1对称，故C（﹣2，﹣3），BC∥x轴，点D在y
轴的正半轴所以AD不能平行于BC，故AB∥CD，设直线CD的解析式为y＝
①
3x+b，把C点坐标代入即可得出直线CD的解析式，故可得出D点坐标；
作DF⊥PE于F，则PF＝7，在Rt△DFP中，tan∠DPE＝ ＝ ＝ 可得出
②
DF的长，再把x的值代入直线AB即可得出y的值，故可得出E点坐标，由梯
形的面积公式即可求出四边形BDEP的面积．
【解答】解：（1）∵直线y＝3x﹣3分别与x轴、y轴交于点A，B，
∴A（1，0），B（0，﹣3），
∵抛物线y＝ax2+2x+c过点A（1，0），B（0，﹣3）
第21页（共26页）∴ ，
解得 ．
∴y＝x2+2x﹣3，
∴y＝（x+1）2﹣4，
∴对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4）；
（2） ∵B、C两点关于直线x＝﹣1对称，
∴C（﹣2，﹣3），BC∥x轴
①
∴AB∥CD，设直线CD的解析式为y＝3x+b，
∵C（﹣2，﹣3），
∴﹣6+b＝﹣3，
∴b＝3，
∴直线CD的解析式为y＝3x+3
∴D（0，3），
作DF⊥PE于F，则PF＝7，
②在Rt△DFP中，tan∠DPE＝ ＝ ＝ ，
∴DF＝3，
∴P（3，﹣4），即EP的方程为x＝3，
∵点E在直线y＝3x﹣3上，
∴y＝3×3﹣3＝6，
∴点E（3，6），
∴S ＝ （BD+EP）•DF＝ （6+10）×3＝24．
四边形BDEP
第22页（共26页）【点评】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数及二次
函数的解析式、梯形的面积公式等知识点，根据题意画出图形，利用数形结合
求解是解答此题的关键．
25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，cos∠ABC＝ ，点D在AB边上（点
D与点A，B不重合），DE∥BC交AC边于点E，点F在线段EC上，且EF＝
AE，以DE、EF为邻边作平行四边形DEFG，连接BG．
（1）当EF＝FC时，求△ADE的面积；
（2）设AE＝x，△DBG的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）如果△DBG是以DB为腰的等腰三角形，求AD的值．
【考点】SO：相似形综合题．
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【专题】16：压轴题；2B：探究型．
【分析】（1）作AH⊥BC于H，在Rt△AHB中，cos∠ABC＝ ＝ 可得出AH、BC
的长，进而可得出△ABC 的面积，由相似三角形的判定定理得出
第23页（共26页）△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积的比等于相似比即可得出△ADE的面
积；
（2）设AH交DE、GF于点M、N，由（1）可知△ADE∽△ABC，故可得出 ＝ ＝
，再根据AE＝x，可知AM＝ x，DE＝ x，NH＝8﹣x，根据S ＝S
△DBG 梯形DBCE
﹣S ﹣S ，即可得出结论；
平行四边形DGFE 梯形GBCF
（3）作FP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，由FC＝10﹣ x，cosC＝cos∠ABC＝ ，可知
PC＝6﹣ x，BQ＝12﹣ x﹣（6﹣ x）＝6﹣ x，由勾股定理可用x表示出BG
的长，在△DBG中用x表示出DB，DG的长，再分DB＝DG和DB＝BG两种情
况进行讨论．
【解答】解：（1）作AH⊥BC于H．
在Rt△AHB中，∵cos∠ABC＝ ＝ ，AB＝10，
∴BH＝6，∴AH＝8，
∵AB＝AC，∴BC＝2BH＝12，
∴S ＝ ×12×8＝48．
△ABC
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝（ ）2，
∵EF＝ AE，EF＝FC，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴S ＝ ；
△ADE
第24页（共26页）（2）设AH交DE、GF于点M、N．
∵DE∥BC，∴ ＝ ＝ ，
∵AE＝x，∴AM＝ x，DE＝ x，
∵MN＝ AM＝ x，∴NH＝8﹣x，
∴S ＝S ﹣S ﹣S ，
△DBG 梯形DBCE 平行四边形DGFE 梯形GBCF
∴y＝ （ x+12）（8﹣ x）﹣ x• x﹣ （ x+12）（8﹣x），
∴y＝﹣ x2+ x（0＜x≤8）；
（3）作FP⊥BC于P，GQ⊥BC于Q，
在Rt△FPC中，FC＝10﹣ x，cosC＝cos∠ABC＝ ，
∴PC＝6﹣ x，
∴BQ＝12﹣ x﹣（6﹣ x）＝6﹣ x，
∴BG＝ ，
在△DBG中，DB＝10﹣x，DG＝ x，
若DB＝DG，则10﹣x＝ x，解得x＝8；
①
若DB＝BG，则10﹣x＝ ，
②
解得x ＝0（舍去），x ＝ ，
1 2
∴AD＝8或AD＝ ．
第25页（共26页）【点评】本题考查的是相似形综合题，涉及到相似三角形的判定与性质、勾股定理
及直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据题意判断出△ADE∽△ABC是
解答此题的关键．
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日期：2018/12/26 20:36:16；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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