文档内容
2012年上海市杨浦区中考数学二模试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝±2 B．﹣（x﹣1）＝﹣x﹣1
C．﹣32＝9 D．﹣|﹣2|＝﹣2
3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的情况无法确定
4．（4分）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某
条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
6．（4分）下列命题中，正确的是（ ）
A．Rt△ABC中，CD是AB上中线，则CD＝ AB
B．点P是∠AOB的平分线上一点，点M、N分别在OA、OB上，则PM＝PN
C．Rt△ABC中，若∠B＝30°，则AC＝ AB
第1页（共25页）D．一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形
二、填空题：（本大题12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：﹣2x3y2÷xy＝ ．
8．（4分）分解因式：x2﹣9＝ ．
9．（4分）方程 的解是x＝ ．
10．（4分）若点M（x﹣1，3﹣x）在第二象限，则x的取值范围是 ．
11．（4分）已知反比例函数 的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是
．
12．（4分）如果一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且过点（﹣3，5），那
么该一次函数解析式为 ．
13．（4分）如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放
在桌上，从中抽出一张，则抽到奇数的概率是 ．
14．（4分）在 ▱ABCD中，AC与BD相交于点O， ， ，那么 ＝
（用 和 表示）．
15．（4分）在半径为5的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 （结果保留 ）．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
π
若CD＝5cm，则EF＝ cm．
17．（4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B＝100°，∠F＝
50°，则∠ 的度数是 ．
α
第2页（共25页）18．（4分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的
半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则S ：S 的值为
四边形ADCE 正方形ABCD
．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：| ﹣2|+20100﹣（﹣ ）﹣1+3tan30°．
20．（10分）解方程： ．
21．（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、
B、C．
（1）请完成如下操作：
以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
①
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
②
写出点的坐标：C 、D ；
D的半径＝ ；
①
（3）求∠ACO的正弦值．
②⊙
22．（10分）小明家买了一辆小轿车，小明连续记录了某一周每天行驶的路程：
第3页（共25页）星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
路程（千米） 6 6 8 8 10 20 12
请你用学过的知识解决下面的问题：
（1）请你估计小明家的轿车每月（按30天计算）要行驶多少千米？
（2）已知每行驶100千米需汽油x升，汽油每升y元，试用含x、y的代数式表示小
明家每月的汽油费，此代数式为 ；
（3）设x＝10，y＝8，请你求出小明家一年（按12个月计算）的汽油费用大约是多
少元（精确到千元）．
（注：第（1）、（3）小题须写出必要步骤）
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，
DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD＝DE．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣x﹣c过点A（﹣6，0），与y轴交于点B，顶点为
D，对称轴是直线x＝﹣2．
（1）求此抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）连接DO，求证：∠AOD＝∠ABO；
（3）点P在y轴上，且△ADP与△AOB相似，求点P的坐标．
25．（14分）如图，已知：正方形ABCD中，AB＝8，点O为边AB上一动点，以点O
第4页（共25页）为圆心，OB为半径的 O交边AD于点E（不与点A、D重合），EF⊥OE交边
CD于点F．设BO＝x，AE＝y．
⊙
（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x
的代数式表示△EFD的周长；如果不变化，请求出△EFD的周长；
（3）以点A为圆心，OA为半径作圆，在点O运动的过程中，讨论 O与 A的位
置关系，并写出相应的x的取值范围．
⊙ ⊙
第5页（共25页）2012 年上海市杨浦区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有
且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1．（4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
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【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次
根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、 ＝2 ，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
B、 ，符合最简二次根式的定义；
C、 ＝a2，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式；
D、 ，被开方数含分母，不是最简二次根式；
故选：B．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式
必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2．（4分）下列运算正确的是（ ）
A． ＝±2 B．﹣（x﹣1）＝﹣x﹣1
C．﹣32＝9 D．﹣|﹣2|＝﹣2
【考点】15：绝对值；1E：有理数的乘方；22：算术平方根；36：去括号与添括号．
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【专题】1：常规题型．
【分析】根据算术平方根的定义，去括号法则，有理数的乘方，绝对值的性质，对各
选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、 ＝2，故本选项错误；
第6页（共25页）B、﹣（x﹣1）＝﹣x+1，故本选项错误；
C、﹣32＝﹣9，故本选项错误；
D、﹣|﹣2|＝﹣2，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题综合考查了算术平方根的定义，绝对值的性质，有理数的乘方，去括
号法则，要注意乘方时有括号与没有括号的区别．
3．（4分）关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．根的情况无法确定
【考点】1F：非负数的性质：偶次方；AA：根的判别式．
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【分析】由一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0，即可得判别式△＝a2+4＞0，则可得关于x
的一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0根的情况是有两个不相等的实数根．
【解答】解：∵△＝（﹣a）2﹣4×1×（﹣1）＝a2+4＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣ax﹣1＝0根的情况是：有两个不相等的实数根．
故选：C．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式的知识．此题难度不大，注意一元二
次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： 当△＞0时，方
程有两个不相等的两个实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根
①
当△＜0时，方程无实数根；反之也成立．
②
4．（4分）下列四个函数图象中，当x＞0时，y随x的增大而增大的是（ ）
③
A． B．
C． D．
【考点】F3：一次函数的图象；G2：反比例函数的图象；H2：二次函数的图象．
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【专题】16：压轴题．
【分析】分别根据各函数图象的特点进行逐一分析即可．
【解答】解：A、错误，此函数为减函数，y随x的增大而减小；
第7页（共25页）B、错误，此函数为反比例函数，x＞0时，y随x的增大而减小；
C、正确，此函数为二次函数，x＞0时，y随x的增大而增大；
D、错误，此函数为二次函数，x＞0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对
称轴的右侧y随x的增大而增大．
故选：C．
【点评】此类题可用数形结合的思想进行解答．
5．（4分）一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某
条对角线对称，那么下列图案中不符合要求的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】P3：轴对称图形．
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【分析】轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直
线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合．
【解答】解：A、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故符
合要求；
B、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故符合要求；
C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故符合要求；
D、图象关于对角线所在的直线不对称；故不符合要求；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿
对称轴折叠后可重合．
6．（4分）下列命题中，正确的是（ ）
A．Rt△ABC中，CD是AB上中线，则CD＝ AB
B．点P是∠AOB的平分线上一点，点M、N分别在OA、OB上，则PM＝PN
C．Rt△ABC中，若∠B＝30°，则AC＝ AB
D．一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形
【考点】O1：命题与定理．
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【分析】根据直角三角形的性质、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质、
第8页（共25页）直角三角形的判定即可作出判断．
【解答】解：A、只有当∠C＝90°时，如果CD是AB上的中线，才有CD＝ AB．故
命题错误；
B、点P是∠AOB的平分线上一点，如果PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，则PM＝
PN．故命题错误；
C、只有当∠C＝90°时，若∠B＝30°，才有AC＝ AB．故命题错误；
D、正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假
命题．判断命题真假的关键是要熟悉课本中的定理．
二、填空题：（本大题12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）计算：﹣2x3y2÷xy＝ ﹣ 2 x 2 y ．
【考点】4H：整式的除法．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据单项式相除，把系数和同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在
被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式，利用这个法则
即可求出结果．
【解答】解：﹣2x3y2÷xy，
＝﹣2x3﹣1y2﹣1，
＝﹣2x2y．
【点评】本题考查单项式除以单项式运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
8．（4分）分解因式：x2﹣9＝ （ x + 3 ）（ x ﹣ 3 ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法．
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【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式
的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．
9．（4分）方程 的解是x＝ ﹣ 1 ．
第9页（共25页）【考点】AG：无理方程．
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【分析】先两边平方，将无理方程转化为一元一次方程来解．
【解答】解：两边平方得：x+2＝1，
解得x＝﹣1．
故本题答案为：x＝﹣1．
【点评】解无理方程时除了须将其转化为元一次方程等有理方程外，还需要验根，
以避免负根的产生．
10．（4分）若点M（x﹣1，3﹣x）在第二象限，则x的取值范围是 x ＜ 1 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组；D1：点的坐标．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据第二象限内的点的特点列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点M（x﹣1，3﹣x）在第二象限，
∴ ，
由 得，x＜1，
由 得，x＜3，
①
所以，不等式组的解集是x＜1，
②
即x的取值范围是x＜1．
故答案为：x＜1．
【点评】本题考查了点的坐标与解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的
符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限
（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
11．（4分）已知反比例函数 的图象在第二、四象限内，那么k的取值范围是
k ＜ 1 ．
【考点】G4：反比例函数的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据k＜0时，图象是位于二、四象限即可得出结果．
【解答】解：由题意可得k﹣1＜0，
则k＜1．
第10页（共25页）故答案为：k＜1．
【点评】此题主要考查反比例函数图象的性质：（1）k＞0时，图象是位于一、三象
限．（2）k＜0时，图象是位于二、四象限．
12．（4分）如果一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，且过点（﹣3，5），那
么该一次函数解析式为 y ＝ 2 x +1 1 ．
【考点】FF：两条直线相交或平行问题．
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【分析】根据平行直线的解析式的k值相等求出k，然后把点（﹣3，5）的坐标代入
一次函数解析式计算即可得解．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与直线y＝2x平行，
∴k＝2，
∵一次函数过点（﹣3，5），
∴2×（﹣3）+b＝5，
解得b＝11，
∴一次函数解析式为y＝2x+11．
故答案为：y＝2x+11．
【点评】本题考查了两直线平行的问题，根据平行直线的解析式的k值相等求出一
次函数解析式的k值是解题的关键．
13．（4分）如图是同一副扑克中的4张扑克牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放
在桌上，从中抽出一张，则抽到奇数的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【分析】4张扑克牌中，点数为奇数的为方片3和方片7，共两张，可根据概率公式
直接解答．
【解答】解：∵一共有4张扑克牌，而点数为奇数的为方片3和方片7，共两张，
∴P（抽到奇数的概率）＝ ＝ ．
故答案 ．
第11页（共25页）【点评】本题考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性
相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
14．（4分）在 ▱ABCD中，AC与BD相交于点O， ， ，那么 ＝
（用 和 表示）．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】首先由平行四边形的性质求得： ＝ ， ＝ ，又由平行四边形法则
求得： ＝ + ＝ + ，则问题得解．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝ AC，AD＝BC，AD∥BC，
∴ ＝ ， ＝ ，
∵ ， ，
∴ ＝ + ＝ + ，
∴ ＝ ＝ （ + ）＝ + ．
故答案为： + ．
【点评】本题考查了平面向量的性质与平行四边形的性质．此题难度不大，注意数
形结合思想的应用．
15．（4分）在半径为5的圆中，30°的圆心角所对的弧长为 （结果保留
）．
【考点】MN：弧长的计算．
π
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【分析】直接利用弧长公式计算即可．
第12页（共25页）【解答】解：L＝ ＝ ＝ ．
【点评】主要考查弧长公式L＝ ．[常见错误]主要错误是部分学生与扇形面积
公式S＝ 混淆，得到 错误答案，或利用计算器得到0.83 或0.833
π π π
的答案．
16．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，
若CD＝5cm，则EF＝ 5 cm．
【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；KX：三角形中位线定理．
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【分析】已知CD是Rt△ABC斜边AB的中线，那么AB＝2CD；EF是△ABC的中
位线，则EF应等于AB的一半．
【解答】解：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，
∴CD＝ AB，
又∵EF是△ABC的中位线，
∴AB＝2CD＝2×5＝10cm，
∴EF＝ ×10＝5cm．
故答案为：5
【点评】用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角
第13页（共25页）形的中位线等于对应边的一半．
17．（4分）如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B＝100°，∠F＝
50°，则∠ 的度数是 50 ° ．
α
【考点】R2：旋转的性质．
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【专题】11：计算题．
【分析】由△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，根据旋转的性质得到∠C＝
∠F＝50°，∠BAE＝80°，再根据三角形的内角和定理得到∠BAC＝180°﹣∠B
﹣∠C＝180°﹣100°﹣50°＝30°，由此可得到∠ 的度数．
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，
α
∴∠C＝∠F＝50°，∠BAE＝80°，
而∠B＝100°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣100°﹣50°＝30°，
∴∠ ＝80°﹣30°＝50°．
故答案为：50°．
α
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的
连线的夹角定义旋转角；也考查了三角形的内角和定理．
18．（4分）如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的
半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则S ：S 的值为
四边形ADCE 正方形ABCD
．
【考点】LE：正方形的性质；MK：相切两圆的性质．
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【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】过点E作EF垂直于AD，交AD于点F，设EC＝x，AB＝y，由ABCD为正
第14页（共25页）方形得到四条边相等，四个角为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到
DCEF为矩形，根据矩形的性质得到CE＝DF，EF＝DC，由AD﹣DF＝AD﹣EC
＝y﹣x，再由两半圆外切，得到两圆心距等于两半径相加，可得出AE＝x+y，在
直角三角形AEF中，利用勾股定理列出关系式，整理后得到y＝4x，由四边形
AECD为直角梯形，利用直角梯形的面积公式表示出梯形AECD的面积，再利
用正方形的面积公式表示出ABCD的面积，将x＝ y代入，整理后即可求出所
求的比值．
【解答】解：过E作EF⊥AD，交AD于点F，如图所示：
可得∠EFA＝90°，
设EC＝x，AB＝y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝AB＝BC＝CD＝y，∠ADC＝∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴DFEC为矩形，
∴EF＝DC＝y，AF＝AD﹣DF＝AD﹣CE＝y﹣x，
∵圆E与圆A外切，
∴AE＝x+y，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得：AE2＝EF2+AF2，
即（x+y）2＝y2+（y﹣x）2，
整理得：y＝4x，即x＝ y，
∴S ＝ （EC+AD）•CD＝ y（x+y）＝ y2，S ＝y2，
梯形ADCE 正方形ABCD
则S ：S ＝ y2：y2＝ ．
四边形ADCE 正方形ABCD
故答案为： ．
【点评】此题考查了相切两圆的性质，正方形的性质，勾股定理，以及梯形、正方形
第15页（共25页）面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：| ﹣2|+20100﹣（﹣ ）﹣1+3tan30°．
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函
数值．
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【分析】本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简、特殊角的三角函数值
4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法
则求得计算结果．
【解答】解：原式＝2﹣ +1+3+3×
＝6．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此
类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值、特殊角
的三角函数值等考点的运算．
20．（10分）解方程： ．
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；B3：解分式方程．
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【专题】11：计算题．
【分析】观察可得方程最简公分母为（x2﹣9）．去分母，转化为整式方程求解．结果
要检验．
【解答】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得：（1分）
4x＝x2﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3），（2分）
整理得：x2﹣4x+3＝0，（2分）
解得：x ＝1，x ＝3，（3分）
1 2
经检验：x ＝3是原方程的增根，（1分）
2
所以，原方程的解为x＝1．（1分）
【点评】（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方
程求解；
（2）解分式方程一定注意要验根．
21．（10分）如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过网格的交点A、
第16页（共25页）B、C．
（1）请完成如下操作：
以点O为原点、网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD．
①
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
②
写出点的坐标：C （ 6 ， 2 ） 、D D （ 2 ， 0 ） ；
D的半径＝ 2 ；
①
（3）求∠ACO的正弦值．
②⊙
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）根据点的坐标的表示，C的坐标即可得到，首先作出弦AB与BC的中
垂线，中垂线的交点就是D，即可确定点D的坐标；
（2） 根据（1）中的平面直角坐标系直接填空；
在直角△AOD中，利用勾股定理即可求解；
①
（3）连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．利用三角
②
形AOC的面积等积转换求得AM的长度，然后在
Rt△AMC中利用正弦函数的定义求得∠ACO的正弦值．
【解答】解：（1）直角坐标系、点D的在该坐标系中的位置如图所示：
（2）解： 根据图示知，C（6，2），D（2，0），
故答案为：（6，2），（2，0）；
①
解：在直角△AOD中，根据勾股定理知 D的半径AD＝ ＝
② ⊙
＝2 ，
第17页（共25页）故答案为：2 ；
（3）解：连接AC、OC．过C作CH⊥AO于点H，过点A作AM⊥CO于点M．
则 OA•CH＝ OC•AM，即 ×4×6＝ ×2 •AM，
解得，AM＝ ；
在Rt△AMC中，sin∠ACO＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了圆的综合题．涉及的知识有：坐标与图形性质，垂径定理，勾股
定理，利用了数形结合的思想，根据题意画出相应的图形是解本题的关键．
22．（10分）小明家买了一辆小轿车，小明连续记录了某一周每天行驶的路程：
星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日
路程（千米） 6 6 8 8 10 20 12
请你用学过的知识解决下面的问题：
（1）请你估计小明家的轿车每月（按30天计算）要行驶多少千米？
（2）已知每行驶100千米需汽油x升，汽油每升y元，试用含x、y的代数式表示小
明家每月的汽油费，此代数式为 3 x y ；
（3）设x＝10，y＝8，请你求出小明家一年（按12个月计算）的汽油费用大约是多
少元（精确到千元）．
（注：第（1）、（3）小题须写出必要步骤）
【考点】32：列代数式；33：代数式求值；V5：用样本估计总体．
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【分析】（1）首先求得这一周的平均数，然后乘以30天即可求得总里程；
（2）用总里程除以100求得总耗油量，然后求得总费用即可；
（3）将x＝10，y＝8代入到上题求得结果即可．
第18页（共25页）【解答】解：（1） 千米；
答：小明家的轿车每月（按30天计算）要行驶300千米．
（2）∵汽车行驶300千米的耗油量为：（300÷100）x＝3x升，
∴每月的汽油费为3xy元．
（3）当x＝10，y＝8时，
小明家一年的汽油费用大约是12×3xy＝12×3×10×8＝2880元，
≈3千元．
答：小明家一年（按12个月计算）的汽油费用大约是3千元（精确到千元）．
【点评】本题考查了用样本估计总体、列代数式及代数式求值的知识，平均数的计
算方法是求出所有数据的和，然后除以数据的总个数．用样本估计总体的思想
方法要会运用．
23．（12分）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，
DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD＝DE．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LH：梯形．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）由CF平分∠BCD可知∠BCF＝∠DCF，然后通过SAS就能证出
△BFC≌△DFC．
（2）要证明AD＝DE，连接BD，证明△BAD≌△BED则可．AB∥DF ∠ABD＝
∠BDF，又BF＝DF ∠DBF＝∠BDF，∴∠ABD＝∠EBD，BD＝BD，再证明
⇒
∠BDA＝∠BDC则可，容易推理∠BDA＝∠DBC＝∠BDC．
⇒
【解答】证明：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF＝∠DCF．
第19页（共25页）在△BFC和△DFC中，
∴△BFC≌△DFC（SAS）．
（2）连接BD．
∵△BFC≌△DFC，
∴BF＝DF，∴∠FBD＝∠FDB．
∵DF∥AB，
∴∠ABD＝∠FDB．
∴∠ABD＝∠FBD．
∵AD∥BC，
∴∠BDA＝∠DBC．
∵BC＝DC，
∴∠DBC＝∠BDC．
∴∠BDA＝∠BDC．
又∵BD是公共边，
∴△BAD≌△BED（ASA）．
∴AD＝DE．
【点评】这道题是主要考查全等三角形的判定和性质，涉及的知识比较多，有点难
度．
24．（12分）已知抛物线y＝ax2﹣x﹣c过点A（﹣6，0），与y轴交于点B，顶点为
D，对称轴是直线x＝﹣2．
（1）求此抛物线的表达式及点D的坐标；
（2）连接DO，求证：∠AOD＝∠ABO；
第20页（共25页）（3）点P在y轴上，且△ADP与△AOB相似，求点P的坐标．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）将对称轴是直线x＝﹣2，以及点A（﹣6，0），代入解析式求出即可；
（2）过D作DH⊥x轴，利用D（﹣2，4），得出在Rt△DHO中tan∠AOD＝2，进而
得出∠AOD＝∠ABO；
（3）分别根据情况1：若∠DAP＝90°，情况2：若∠ADP＝90°，情况3：若∠APD＝
90°，分析得出P点坐标即可．
【解答】解：（1）由题意得 ，
解得 ，
∴抛物线的表达式为y＝﹣ x2﹣x+3，
顶点D坐标为（﹣2，4）；
（2）过D作DH⊥x轴，
∵D（﹣2，4），
∴在Rt△DHO中tan∠AOD＝2，
又∵B（0，3），A（﹣6，0），
∴在Rt△ABO中tan∠ABO＝2，
∴∠AOD＝∠ABO；
（3）∵△ADP与△AOB相似，而△AOB为直角三角形，
∴△ADP也为直角三角形，
第21页（共25页）∴情况1：若∠DAP＝90°，
∵D（﹣2，4），A（﹣6，0），
∴∠DAO＝45°，∴∠OAP＝45°，
∴P（0，﹣6）
但此时AD＝4 ，AP＝6 ，
∴ ＝ ，又 ＝ ，
∴△ADP与△AOB不相似，
∴此时点P不存在．
情况2：若∠ADP＝90°，
∵D（﹣2，4），A（﹣6，0），
∴∠ADH＝45°，∴∠HDP＝45°，
∴P（0，2）
此时， ＝ ＝ ， ＝ ，且∠ADP＝∠AOB，
∴△ADP与△AOB相似，
即当P（0，2）时，使得△ADP与△AOB相似．
情况3：若∠APD＝90°，设P（0，t），
则AP2+PD2＝AD2，
即36+t2+4+（t﹣4）2＝32，得t2﹣4t+12＝0，
∵△＜0，
∴无解，
∴点P不存在．
综上所述，点P的坐标是（0，2）．
第22页（共25页）【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的性质与
判定，以及分类讨论思想的应用，根据△ADP不同角为90度分别得出是解题
关键．
25．（14分）如图，已知：正方形ABCD中，AB＝8，点O为边AB上一动点，以点O
为圆心，OB为半径的 O交边AD于点E（不与点A、D重合），EF⊥OE交边
CD于点F．设BO＝x，AE＝y．
⊙
（1）求y关于x的函数关系式，并写出定义域；
（2）在点O运动的过程中，△EFD的周长是否发生变化？如果发生变化，请用x
的代数式表示△EFD的周长；如果不变化，请求出△EFD的周长；
（3）以点A为圆心，OA为半径作圆，在点O运动的过程中，讨论 O与 A的位
置关系，并写出相应的x的取值范围．
⊙ ⊙
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】15：综合题；32：分类讨论．
【分析】（1）OB、OE均是 O的半径，得出OB＝OE，然后在Rt△AOE中，运用勾
股定理可得出y与x的关系式，结合二次根式有意义的条件，可得出x的范围；
⊙
（2）先判断△AOE∽△DEF，然后根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得
出△DEF周长的表达式，进一步化简可得出答案；
第23页（共25页）（3）设 O的半径R ＝x，则 A的半径R ＝8﹣x，圆心距d＝OA＝8﹣x，分三种
1 2
情况讨论，依此解出x的范围即可．
⊙ ⊙
【解答】解：（1）∵以点O为圆心，OB为半径的 O交边AD于点E，
∴OB＝OE，
⊙
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝90°，
∴AO2+AE2＝OE2，即（8﹣x）2+y2＝x2，
∵y＞0，
∴y＝4 （4＜x＜8）；
（2）△EFD的周长不变．理由如下：
∵EF⊥OE，
∴∠AEO+∠DEF＝90°，
∵∠D＝∠A＝90°，
∴∠AEO+∠AOE＝90°，
∴∠DEF＝∠AOE，
∴△AOE∽△DEF，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴C ＝ ＝ ＝ ＝16；
△DEF
（3）设 O的半径R ＝x，则 A的半径R ＝8﹣x，圆心距d＝OA＝8﹣x，
1 2
∵4＜x＜8，
⊙ ⊙
∴R ＞R ，
1 2
因为点A始终在 O内，所以外离和外切都不可能；
当 O与 A相交时，R ﹣R ＜d＜R +R ，即x﹣8+x＜8﹣x＜x+8﹣x，
⊙ 1 2 1 2
①解得：⊙ 0＜x＜⊙ ，
第24页（共25页）故可得此时：4＜x＜ ；
当 O与 A内切时，d＝R ﹣R ，即8﹣x＝x﹣8+x，
1 2
②解得：⊙ x＝ ⊙；
当 O与 A内含时，0＜d＜R ﹣R ，即0＜8﹣x＜x﹣8+x，
1 2
③ ⊙ ⊙
解得： ＜x＜8．
【点评】此题属于圆的综合题目，涉及了圆与圆的位置关系判断、正方形的性质、
相似三角形的判定与性质，整体难度较大，其实第二问和第三问是独立的，分
别考查不同的知识点．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2018/12/26 20:36:54；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第25页（共25页）
