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2013年上海市长宁区中考数学二模试卷
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数是无理数的是（ ）
A．0.37 B．3.14 C． D．0
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a3÷a2＝a
3．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）一次函数y＝﹣3x﹣2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9
环，方差分别是S 2＝0.65，S 2＝0.55，S 2＝0.50，S 2＝0.45，则射箭成绩最
甲 乙 丙 丁
稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）函数 的定义域是 ．
8．（4分）在实数范围内分解因式：x2﹣3＝ ．
9．（4分）不等式组： 的解集是 ．
第1页（共25页）10．（4分）计算： ﹣2（ ﹣ ）＝ ．
11．（4分）已知，△ABC的重心G到BC边中点D的距离是2，则BC边上的中线
长是 ．
12．（4分）方程 的根是 ．
13．（4分）若将抛物线y＝x2﹣2x+1沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平
移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是 ．
14．（4分）如图，某超市的自动扶梯长度为13米，该自动扶梯到达的最大高度是
5米，设自动扶梯与地面所成的角为 ，则tan ＝ ．
θ θ
15．（4分）为了解某区高三学生的身体发育状况，抽查了该区100名年龄为17.5
岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图，从图中可知，这100名学生
中体重不小于55.5kg且小于65.5kg的学生人数是 ．
16．（4分）若实数x、y满足：|x|＞|y|，则称：x比y远离0．如图，已知A、B、C、D、E
五点在数轴上对应的实数分别是a、b、c、d、e．若从这五个数中随机选一个数，
则这个数比其它数都远离0的概率是 ．
17．（4分）如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF，顶点A恰好落在
CD边上的中点P处，B点落在点Q处，PQ与CF交于点G．设C 为△PCG的
1
第2页（共25页）周长，C 为△PDE的周长，则C ：C ＝ ．
2 1 2
18．（4分）已知边长为1的正方形，按如图所示的方式分割，第1次分割后的阴影
部分面积S ＝ ，第2次分割后的阴影部分面积S ＝ ，第3次分割后的阴影
1 2
部分面积S ＝ ，…．按照这样的规律分割，则第n（n为正整数）次分割后的阴
3
影部分面积可用n表示为S ＝ ．
n
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ）2+（ ）﹣1tan30°﹣ ．
20．（10分）解方程：
21．（10分）如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，圆心O在△ABC内部，
且 O经过B、C两点，若BC＝8，AO＝1，求 O的半径．
⊙ ⊙
22．（10分）周末，小明和爸爸骑电动自行车从家里出发到郊外踏青．从家出发0.5
小时后到达A地，游玩一段时间后再前往B地．小明和爸爸离家1.5小时后，妈
妈驾车沿相同路线直接前往B地，如图是他们离家的路程y（千米）与离家时间
第3页（共25页）t（小时）的函数图象．
（1）根据函数图象写出小明和爸爸在A地游玩的时间；
（2）分别求小明和爸爸骑车的速度及妈妈的驾车速度；
（3）妈妈出发时，小明和爸爸距离B地有多远？
23．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，
F在DE延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
24．（12分）如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，O是坐标原点，A（﹣3，0）
且sin∠ABO＝ ，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，C（﹣1，0）．
（1）求直线AB和抛物线的解析式；
（2）若点D（2，0），在直线AB上有点P，使得△ABO和△ADP相似，求出点P的
坐标；
（3）在（2）的条件下，以A为圆心，AP长为半径画 A，再以D为圆心，DO长为半
径画 D，判断 A和 D的位置关系，并说明理由．
⊙
⊙ ⊙ ⊙
第4页（共25页）25．（14分）△ABC和△DEF的顶点A与D重合，已知∠B＝90°，∠BAC＝30°，
BC＝6，∠FDE＝90°，DF＝DE＝4．
（1）如图 ，EF与边AC、AB分别交于点G、H，且FG＝EH．设 ＝ ，在射线DF
上取一点P，记： ＝x ，联结CP．设△DPC的面积为y，求y关于x的函数解
①
析式，并写出定义域；
（2）在（1）的条件下，求当x为何值时PC∥AB；
（3）如图 ，先将△DEF绕点D逆时针旋转，使点E恰好落在AC边上，在保持
DE边与AC边完全重合的条件下，使△DEF沿着AC方向移动．当△DEF移动
②
到什么位置时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形．
第5页（共25页）2013 年上海市长宁区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1．（4分）下列各数是无理数的是（ ）
A．0.37 B．3.14 C． D．0
【考点】26：无理数．
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【分析】由于无理数就是无限不循环小数．初中范围内学习的无理数有：，2 等；
开方开不尽的数；以及0.1010010001…，等有这样规律的数，由此即可判定选
π π
择项．
【解答】解：A、0.37是有理数，故选项错误；
B、3.14是有理数，故选项错误；
C、∵ 是无限不循环小数，∴ 是无理数，故选项正确；
D、0是有理数，故选项错误．
故选：C．
【点评】此题主要考查了实数的分类．本题容易出现的错误是把数 看成分数，
分数是 的形式，其中A、B是整数． 是无理数而不是分数．
2．（4分）下列计算正确的是（ ）
A．a3+a2＝a5 B．a3﹣a2＝a C．a3•a2＝a6 D．a3÷a2＝a
【考点】35：合并同类项；46：同底数幂的乘法；48：同底数幂的除法．
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【分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数
不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、应为a3•a2＝a5，故本选项错误；
D、a3÷a2＝a，正确．
第6页（共25页）故选：D．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解
题的关键，不是同类项的一定不能合并．
3．（4分）下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】74：最简二次根式．
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【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含
能开得尽方的因数或因式，结合选项即可得出答案．
【解答】解：A、 含有能开尽方的数，不是最简二次根式，故本选项错误；
B、 符合最简二次根式的定义，故本选项正确；
C、 含有能开尽方的数，不是最简二次根式，故本选项错误；
D、 被开方数含分母，不是最简二次根式，故本选项错误；
故选：B．
【点评】此题考查了最简二次根式的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握最简
二次根式的定义．
4．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】R5：中心对称图形．
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【分析】根据中心对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项符合题意；
第7页（共25页）D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了对中心对称图形的定义，能熟知中心对称图形的定义是解此
题的关键．
5．（4分）一次函数y＝﹣3x﹣2的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】F5：一次函数的性质．
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【分析】根据一次函数的性质容易得出结论．
【解答】解：∵解析式y＝﹣3x﹣2中，﹣3＜0，﹣2＜0，
∴图象过二、三、四象限．
故选：A．
【点评】在直线y＝kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的
增大而减小．
6．（4分）甲、乙、丙、丁四人进行射箭测试，每人10次射箭成绩的平均数都是8.9
环，方差分别是S 2＝0.65，S 2＝0.55，S 2＝0.50，S 2＝0.45，则射箭成绩最
甲 乙 丙 丁
稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】W7：方差．
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【分析】根据方差的意义先比较出甲、乙、丙、丁四人谁的方差最小，则谁的成绩最
稳定．
【解答】解：∵ ＝0.65， ＝0.55， ＝0.50， ＝0.45，
丁的方差最小，
∴射箭成绩最稳定的是：丁．
故选：D．
【点评】此题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越
大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越
小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越
稳定．在解题时要能根据方差的意义和本题的实际，得出正确结论是本题的关
键．
第8页（共25页）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）函数 的定义域是 x ≠ 4 ．
【考点】E4：函数自变量的取值范围．
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【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0，即可求得x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣4≠0，
解得：x≠4．
故答案是：x≠4．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．
8．（4分）在实数范围内分解因式：x2﹣3＝ （ x + ）（ x ﹣ ） ．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法；58：实数范围内分解因式．
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【分析】把3写成 的平方，然后再利用平方差公式进行分解因式．
【解答】解：x2﹣3＝x2﹣（ ）2＝（x+ ）（x﹣ ）．
【点评】本题考查平方差公式分解因式，把3写成 的平方是利用平方差公式的
关键．
9．（4分）不等式组： 的解集是 x ≥ 2 ．
【考点】CB：解一元一次不等式组．
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【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．
【解答】解： ，
由 得，x≥2，
由①得，x＞ ，
所②以，不等式组的解集是x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀
求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小
小找不到（无解）．
10．（4分）计算： ﹣2（ ﹣ ）＝ 2 ．
【考点】LM：*平面向量．
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第9页（共25页）【分析】利用平面向量的加减运算法则求解即可求得答案．
【解答】解： ﹣2（ ﹣ ）
＝ ﹣ +2
＝2 ．
故答案为：2 ．
【点评】此题考查了平面向量的加减运算．此题比较简单，注意掌握运算法则是解
题的关键．
11．（4分）已知，△ABC的重心G到BC边中点D的距离是2，则BC边上的中线
长是 6 ．
【考点】K5：三角形的重心．
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【分析】根据三角形重心的性质：三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的
距离的2倍求解即可．
【解答】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2GD＝4；
∴AD＝AG+GD＝6，即BC边上的中线长是6．
故答案为：6．
【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，
且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
12．（4分）方程 的根是 x ＝ 1 0 ．
【考点】AG：无理方程．
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【分析】把方程两边平方去根号后求解．
【解答】解：两边平方得：x﹣1＝9
x＝10．
检验：当x＝10时，
原方程的左边＝3，右边＝3
∴x＝10是原方程的根．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查解无理方程，在解无理方程是最常用的方法是两边平方法
及换元法，本题用了平方法．注意，要把求得的x的值代入原方程进行检验．
第10页（共25页）13．（4分）若将抛物线y＝x2﹣2x+1沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平
移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是 （ 0 ，﹣ 2 ） ．
【考点】H6：二次函数图象与几何变换．
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【专题】46：几何变换．
【分析】先配方得到y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，则抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为
（1，0），然后把点（1，0）沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单
位得到点（0，﹣2）．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为（1，0），
∵抛物线y＝x2﹣2x+1沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，
∴平移后得抛物线的顶点坐标为（0，﹣2）．
故答案为（0，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换：先把二次函数 y＝ax2+bx+c
（a≠0）配成顶点式y＝a（x﹣ ）2+ ，对称轴为直线x＝﹣ ，顶点坐
标为（﹣ ， ）；然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．也
考查了二次函数的三种形式．
14．（4分）如图，某超市的自动扶梯长度为13米，该自动扶梯到达的最大高度是
5米，设自动扶梯与地面所成的角为 ，则tan ＝ ．
θ θ
【考点】T9：解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
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【分析】首先利用勾股定理求得水平宽度，然后利用三角函数的定义即可求解．
【解答】解：根据勾股定理可以得到水平宽度是： ＝12米，
第11页（共25页）则tan ＝ ．
θ
故答案为 ．
【点评】本题考查了三角函数以及勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．
15．（4分）为了解某区高三学生的身体发育状况，抽查了该区100名年龄为17.5
岁～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图，从图中可知，这100名学生
中体重不小于55.5kg且小于65.5kg的学生人数是 3 5 ．
【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据频率分布直方图，求出体重不小于55.5kg且小于65.5kg的学生的频
率，乘以100即可得到结果．
【解答】解：根据题意列得：100×[1﹣（0.024+0.04+0.03+0.02+0.012+0.004）×5]＝35
（人），
则这100名学生中体重不小于55.5kg且小于65.5kg的学生人数是35．
故答案为：35．
【点评】此题考查了频数（率）分布直方图，弄清题中的数据是解本题的关键．
16．（4分）若实数x、y满足：|x|＞|y|，则称：x比y远离0．如图，已知A、B、C、D、E
五点在数轴上对应的实数分别是a、b、c、d、e．若从这五个数中随机选一个数，
则这个数比其它数都远离0的概率是 0 ．
【考点】29：实数与数轴；X4：概率公式．
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【专题】2C：存在型．
【分析】根据|x|＞|y|，则称：x比y远离0，利用|a|＝|e|，且两数绝对值最大，进而得
第12页（共25页）出随机选一个数，这个数比其它数都远离0的概率．
【解答】解：∵a对应实数为﹣3，e对应实数为3，b，c，d对应数绝对值都小于3，
∴无论得到哪一个数，则这个数不可能比其它数都远离0，
故这个数比其它数都远离0的概率是：0．
故答案为：0．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用以及根据材料获取正确的信息，得出|a|
＝|e|是解题关键．
17．（4分）如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF，顶点A恰好落在
CD边上的中点P处，B点落在点Q处，PQ与CF交于点G．设C 为△PCG的
1
周长，C 为△PDE的周长，则C ：C ＝ 4 ： 3 ．
2 1 2
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）．
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【分析】根据翻折的性质可得EP＝AE，设ED＝x，表示出EP，然后在Rt△EDP中
利用勾股定理列式求解得到x的值，再求出△EPD和△PGC相似，根据相似三
角形周长的比等于相似比解答．
【解答】解：由翻折性质可得EP＝AE，
设ED＝x，则EP＝AE＝2﹣x，
在Rt△EDP中，EP2＝ED2+DP2，
即（2﹣x）2＝x2+12，
解得：x＝ ，
∵∠PED+∠EPD＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∠EPD+∠GPC＝180°﹣∠EPG＝180°﹣90°＝90°，
∴∠EPD＝∠GPC，
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△EPD∽△PGC，
第13页（共25页）∴△EDP与△PCG的周长之比＝ ＝ ，
∴设C 为△PCG的周长，C 为△PDE的周长，则C ：C ＝4：3．
1 2 1 2
故答案为：4：3．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定，相似三角形
周长的比等于相似比的性质，利用勾股定理列式求出ED的长是解题的关键．
18．（4分）已知边长为1的正方形，按如图所示的方式分割，第1次分割后的阴影
部分面积S ＝ ，第2次分割后的阴影部分面积S ＝ ，第3次分割后的阴影
1 2
部分面积S ＝ ，…．按照这样的规律分割，则第n（n为正整数）次分割后的阴
3
影部分面积可用n表示为S ＝ 1 ﹣ ．
n
【考点】38：规律型：图形的变化类．
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【分析】根据第一次为S ＝ ＝1﹣ ，第二次为S ＝ ＝1﹣ ，…，从而得到规律．
1 1
【解答】解：第一次为S ＝ ＝1﹣ ，
1
第二次为S ＝ ＝1﹣ ，
2
S ＝ ＝﹣1 ，
3
…
S ＝1﹣ ，
n
故答案为：1﹣ ．
【点评】本题考查了图形的变化类问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
注意由特殊到一般的分析方法．
第14页（共25页）三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ）2+（ ）﹣1tan30°﹣ ．
【考点】6F：负整数指数幂；79：二次根式的混合运算；T5：特殊角的三角函数值．
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【专题】11：计算题．
【分析】根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值和分母有理化得到原式＝2+3×
﹣2（2﹣ ），然后进行乘法运算后合并即可．
【解答】解：原式＝2+3× ﹣2（2﹣ ）
＝2+ ﹣4+2
＝3 ﹣2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，在
进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了负整数指数幂以
及特殊角的三角函数值．
20．（10分）解方程：
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；B3：解分式方程．
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【分析】本题的最简公分母是3x（x﹣1），方程两边都乘最简公分母，可把分式方程
转换为整式方程求解．
【解答】解：方程两边都乘3x（x﹣1），
得：3（x+1）﹣（x﹣1）＝（x+5）x，
整理得：x2+3x﹣4＝0，解得：x ＝﹣4，x ＝1．
1 2
经检验：x＝﹣4是原方程的解．
【点评】当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简
公分母．
21．（10分）如图，已知等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，圆心O在△ABC内部，
且 O经过B、C两点，若BC＝8，AO＝1，求 O的半径．
⊙ ⊙
第15页（共25页）【考点】KQ：勾股定理；M2：垂径定理．
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【分析】连结BO、CO，延长AO交BC于点D，由于△ABC是等腰直角三角形，故
∠BAC＝90°，AB＝AC，再根据OB＝OC，可知直线OA是线段BC的垂直平分
线，故AD⊥BC，且D是BC的中点，在Rt△ABC中根据AD＝BD＝ BC，可得
出BD＝AD，再根据AO＝1可求出OD的长，再根据勾股定理可得出OB的长．
【解答】解：连结BO、CO，延长AO交BC于D．
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC
∵O是圆心，
∴OB＝OC，
∴直线OA是线段BC的垂直平分线，
∴AD⊥BC，且D是BC的中点，
在Rt△ABC中，AD＝BD＝ BC，
∵BC＝8，
∴BD＝AD＝4，
∵AO＝1，
∴OD＝BD﹣AO＝3，
∵AD⊥BC，
∴∠BDO＝90°，
∴OB＝ ＝ ＝5．
第16页（共25页）【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用
勾股定理求解是解答此题的关键．
22．（10分）周末，小明和爸爸骑电动自行车从家里出发到郊外踏青．从家出发0.5
小时后到达A地，游玩一段时间后再前往B地．小明和爸爸离家1.5小时后，妈
妈驾车沿相同路线直接前往B地，如图是他们离家的路程y（千米）与离家时间
t（小时）的函数图象．
（1）根据函数图象写出小明和爸爸在A地游玩的时间；
（2）分别求小明和爸爸骑车的速度及妈妈的驾车速度；
（3）妈妈出发时，小明和爸爸距离B地有多远？
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）由函数图象可以直接得出小明和爸爸在A地游玩的时间为0.5小时；
（2）根据速度＝路程÷时间就可以分别求出骑车的速度和驾车的速度；
（3）根据题意可以知道妈妈出发时小明和爸爸在路上行驶的时间为1小时，由路
程＝速度×时间久可以得出结论．
【解答】解：（1）由函数图象得：
小明和爸爸在A地游玩的时间为：0.5小时；
（2）由图象，得
骑车速度：10÷0.5＝20千米/小时，
第17页（共25页）驾车速度：30÷0.5＝60千米/小时；
（3）由图象得：
妈妈出发时小明和爸爸在路上行驶的时间为1小时，
∵小明和爸爸骑车的速度为20千米/小时，
∴小明和爸爸骑车行驶的路程为1×20＝20千米，
∴妈妈出发时，小明和爸爸距离B地的距离为：30﹣20＝10，
∴妈妈出发时，小明和爸爸离B地10千米．
【点评】本题考查了学生阅读函数图象的能力和理解的能力的运用，速度＝路程÷
时间的关系式的运用，解答本题时分析清楚函数图象的数量关系式解答本题
的关键．
23．（12分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是BC、BA的中点，连接DE，
F在DE延长线上，且AF＝AE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）若四边形ACEF是菱形，求∠B的度数．
【考点】L6：平行四边形的判定；L8：菱形的性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CE＝AE＝BE，
从而得到AF＝CE，再根据等腰三角形三线合一的性质可得∠1＝∠2，根据等
边对等角可得然后∠F＝∠3，然后求出∠2＝∠F，再根据同位角相等，两直线
平行求出CE∥AF，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明
（2）根据菱形的四条边都相等可得AC＝CE，然后求出AC＝CE＝AE，从而得到
△AEC是等边三角形，再根据等边三角形的每一个角都是 60°求出∠CAE＝
60°，然后根据直角三角形两锐角互余解答．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，E是BA的中点，
∴CE＝AE＝BE，
∵AF＝AE，
第18页（共25页）∴AF＝CE，
在△BEC中，∵BE＝CE且D是BC的中点，
∴ED是等腰△BEC底边上的中线，
∴ED也是等腰△BEC的顶角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵AF＝AE，
∴∠F＝∠3，
∵∠1＝∠3，
∴∠2＝∠F，
∴CE∥AF，
又∵CE＝AF，
∴四边形ACEF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ACEF是菱形，
∴AC＝CE，
由（1）知，AE＝CE，
∴AC＝CE＝AE，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠CAE＝60°，
在Rt△ABC中，∠B＝90°﹣∠CAE＝90°﹣60°＝30°．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的判定与性质，
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及直角三角形两锐角互余的性
质，熟记各性质与判定方法是解题的关键．
24．（12分）如图，直线AB交x轴于点A，交y轴于点B，O是坐标原点，A（﹣3，0）
且sin∠ABO＝ ，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点，C（﹣1，0）．
第19页（共25页）（1）求直线AB和抛物线的解析式；
（2）若点D（2，0），在直线AB上有点P，使得△ABO和△ADP相似，求出点P的
坐标；
（3）在（2）的条件下，以A为圆心，AP长为半径画 A，再以D为圆心，DO长为半
径画 D，判断 A和 D的位置关系，并说明理由．
⊙
⊙ ⊙ ⊙
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）根据sin∠ABO的值求出AB、OB的长度，从而得出点B的坐标，利用
待定系数法可求出直线AB的解析式及抛物线解析式；
（2）根据（1）求出的直线AB的解析式，可设点P的坐标为（x， x+4），
△ABO∽△APD， △ABO∽△ADP，利用对应边成比例求出点P的坐标；
（3）根据（2）的答案，求出每种情况下的圆心距，继而可判断 A和 D的位置关
① ②
系．
⊙ ⊙
【解答】解：（1）在Rt△ABO中 sin∠ABO＝ ＝ ，
∵OA＝3，
∴AB＝5
则OB＝ ＝4，
故点B的坐标为：（0，4），
设直线AB解析式为：y＝kx+b（k≠0），
将A（﹣3，0）、B（0，4）代入得 ，
解得： ，
第20页（共25页）∴AB直线解析式：y＝ x+4．
将A（﹣3，0）、C（﹣1，0）、B（0，4）代入抛物线解析式可得： ，
解得： ，
故抛物线解析式：y＝ x2+ x+4．
（2）设P（x， x+4），已知D的坐标为：（2，0），
若△ABO∽△APD，
①
则 ＝ ＝ ，即 ＝ ，
解得：DP＝ ，
故点P的坐标为（2， ）．
若△ABO∽△ADP，
②
则 ＝ ，即 ＝ ，
解得：AP＝3，
则（x+3）2+（ x+4）2＝32，
解得：x ＝﹣ ，x ＝﹣ （不符合题意，舍去），
1 2
故点P的坐标为：（﹣ ， ）．
（3） D的半径r＝2，
当点P ⊙的坐标为（2， ）时， A的半径AP＝ ，AD＝5＜ ﹣2，
⊙
故此时两圆内含；
第21页（共25页）当点P的坐标为：（﹣ ， ）时， A的半径AP＝3，AD＝5＝3+2，
⊙
故此时两圆外切．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数解析式，第二问需
要分类讨论，不要漏解，第三问要求同学们掌握判断圆与圆位置关系的方法，
有一定难度．
25．（14分）△ABC和△DEF的顶点A与D重合，已知∠B＝90°，∠BAC＝30°，
BC＝6，∠FDE＝90°，DF＝DE＝4．
（1）如图 ，EF与边AC、AB分别交于点G、H，且FG＝EH．设 ＝ ，在射线DF
上取一点P，记： ＝x ，联结CP．设△DPC的面积为y，求y关于x的函数解
①
析式，并写出定义域；
（2）在（1）的条件下，求当x为何值时PC∥AB；
（3）如图 ，先将△DEF绕点D逆时针旋转，使点E恰好落在AC边上，在保持
DE边与AC边完全重合的条件下，使△DEF沿着AC方向移动．当△DEF移动
②
到什么位置时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直角三角形．
【考点】RB：几何变换综合题．
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【分析】（1）首先证明△DFG≌△DEH（SAS），进而得出∠FDG＝∠EDH，进而得
第22页（共25页）出DF＝| |＝x| |＝x| |＝4x，在Rt△DPH中，∠FDG＝30°，可得PH′＝
DP＝2x，由y＝S ＝ DC•PH′求出即可；
△PDC
（2）由（1）知∠FDG＝30°，得出∠FDG＝∠DCP，以及DP＝PC若PH⊥AB 则
M是DC的中点 DM＝6，在Rt△DPH中，∠FDG＝30°，利用cos∠FDG＝
求出AP的长，进而得出x的值；
（3）分别利用线段AD、FC、BC的长为斜边时求出符合条件的值即可．
【解答】解：（1）如图 ，过P作PH′⊥AC于H′．
∵DF＝DE，
①
∴∠DFE＝∠E
又∵FG＝EH，
在△DFG和△DEH中
，
∴△DFG≌△DEH（SAS），
∴∠FDG＝∠EDH，
∵∠FDE＝90°，且∠FDE＝∠FDG+∠EDH+∠BAC
∵∠BAC＝30°，
∴∠FDG＝30°，
∵DF＝4，∴| |＝4
∵ ＝x ＝x ，
∴DP＝| |＝x| |＝x| |＝4x，
在Rt△DPH中，∠FDG＝30°，
∴PH′＝ DP＝2x，
∠B＝90°，∠BAC＝30°，BC＝6，
∴AC＝CD＝12，
y＝S ＝ DC•PH′＝ ×12•2x＝12x（x＞0）；
△PDC
第23页（共25页）（2）∵PC∥AB，
∴∠BAC＝∠DCP
∵∠BAC＝30°，
∴∠DCP＝30°，
由（1）知∠FDG＝30°，
∴∠FDG＝∠DCP，
∴DP＝PC
若PH⊥AB，则M是DC的中点 DM＝6，
在Rt△DPH中，∠FDG＝30°，
cos∠FDG＝ ＝ ＝ ，
∴AP＝4 ，
DP＝AP＝4x，
∴x＝ ；
（3）如图 ，设AD＝t，DC＝12﹣t （0＜t＜8）
FC2＝DF2+DC2＝42+（12﹣t）2，
②
AD2＝FC2+BC2
t2＝42+（12﹣t）2+36
①
解得：t＝ （故不合题意，舍去）
BC2＝FC2+AD2
36＝42+（12﹣t）2+t2，无解，
②
FC2＝BC2+AD2
∴42+（12﹣t）2＝36+t2
③
解得t＝ ，
∴当△DEF移动到AD＝ 时，以线段AD、FC、BC的长度为边长的三角形是直
角三角形．
第24页（共25页）【点评】此题主要考查了几何变换综合题中勾股定理的应用以及全等三角形的判
定与性质和锐角三角函数关系的应用等知识，注意利用分类讨论得出是解题
关键．
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日期：2018/12/26 20:26:28；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
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