文档内容
2013年上海市浦东新区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列分数中，能化为有限小数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（4分）如果 ＝2a﹣1，那么（ ）
A．a B．a≤ C．a D．a≥
3．（4分）下列图形中，是旋转对称但不是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．正五边形 C．正八边形 D．圆
4．（4分）如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，那么它的
周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．21
5．（4分）一组数据共有6个正整数，分别为6、7、8、9、10、n，如果这组数据的众
数和平均数相同，那么n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．（4分）如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）
A．1、10 B．5、8 C．25、40 D．20、30
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）8的立方根是 ．
8．（4分）太阳半径约为 696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为
．
9．（4分）计算：（x2）3＝ ．
10．（4分）已知反比例函数y＝ （k≠0），点（﹣2，3）在这个函数的图象上，那么
当x＞0时，随x的增大而 ．（增大或减小）
11．（4分）在1～9这九个数中，任何一个数能被3整除的概率是 ．
12．（4分）如图，已知C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°的方向，
那么∠ACB＝ 度．
第1页（共27页）13．（4分）化简：2（ ﹣ ）﹣3（ + ）＝ ．
14．（4分）在中考体育测试前，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将
测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出 90～100和100﹣110两
组的频率和是0.12，小明计算出90～100组的频率为0.04，结合统计图中的信
息，可知这次共抽取了 名学生的一分钟跳绳测试成绩．
15．（4分）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC＝BD，且AC⊥BD，如果梯形
的高DE＝3，那么梯形ABCD的中位线长为 ．
16．（4分）如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以O为
圆心的同一圆弧上，且∠ADE＝∠CDF，那么 的长度等于 ．（结果保
留 ）
π
17．（4分）如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距
离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积是 cm2．
第2页（共27页）18．（4分）边长为1的正方形内有一个正三角形，如果这个正三角形的一个顶点
与正方形的一个顶点重合，另两个顶点都在这个正方形的边上，那么这个正三
角形的边长是 ．
三、解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）计算：（ ﹣ ）0﹣（ ）﹣1+|2﹣ |+ ．
π
20．（10分）先化简，再求值： ﹣ ﹣ ，其中x＝ ．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，
点B恰好落在边AC上的点D处，点F在线段AE的延长线上，如果∠FCA＝
∠B＝2∠ACB，AB＝5，AC＝9．
求：（1） 的值；
（2）CE的值．
22．（10分）学校组织“义捐义卖”活动，小明的小组准备自制贺年卡进行义卖．
活动当天，为了方便，小组准备了一些零钱备用，按照定价售出一些贺年卡后，
又降价出售，小组所拥有的所有钱数y（元）与售出卡片数x（张）之间的关系如
图所示．
（1）求降价前y（元）与x（张）之间的函数解析式，并写出定义域．
（2）如果按照定价打八折后，将剩余的卡片全部卖出，这时，小组一共有280元
（含备用零钱），求该小组一共准备了多少张卡片．
第3页（共27页）23．（12分）已知：平行四边形ABCD中，点M为边CD的中点，点N为边AB的中
点，连接AM、CN，
（1）求证：AM∥CN．
（2）过点B作BH⊥AM，垂足为H，联结CH，求证：△BCH是等腰三角形．
24．（12分）已知：如图，点A（2，0），点B在y轴正半轴上，且OB＝ OA，将点B
绕点A顺时针方向旋转90°至点C．旋转前后的点B和点C都在抛物线y＝﹣
x2+bx+c上，
（1）求点B、C的坐标；
（2）求该抛物线的表达式；
（3）联结AC，该抛物线上是否存在异于点B的点P，使点P与AC构成以AC为直
角边的等腰直角三角形？如果存在，求出符合所有条件的P点坐标；如果不存
在，请说明理由．
第4页（共27页）25．（14分）已知：如图，在RT△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tan∠CAB＝ ，点O
在边AC上，以点O为圆心的圆过A、B两点，点P为 上一动点．
（1）求 O的半径；
（2）联结AP并延长，交边CB延长线于点D，设AP＝x，BD＝y，求y关于x的函数
⊙
解析式，并写出定义域；
（3）联结BP，当点P是 的中点时，求△ABP的面积与△ABD的面积比 ．
第5页（共27页）2013 年上海市浦东新区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）
1．（4分）下列分数中，能化为有限小数的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】1D：有理数的除法．
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【专题】11：计算题．
【分析】本题需根据有理数的除法法则分别对每一项进行计算，即可求出结果．
【解答】解：A∵ ＝0.3…故本选项错误；
B、∵ ＝0.2故本选项正确；
C、 ＝0.142857…故本选项错误；
D、 ＝0.1…故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数的除法，在解题时要根据有理数的除法法则分别
计算是解题的关键．
2．（4分）如果 ＝2a﹣1，那么（ ）
A．a B．a≤ C．a D．a≥
【考点】73：二次根式的性质与化简．
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【专题】11：计算题．
【分析】由二次根式的化简公式得到1﹣2a为非正数，即可求出a的范围．
【解答】解：∵ ＝|1﹣2a|＝2a﹣1，
∴1﹣2a≤0，
第6页（共27页）解得：a≥ ．
故选：D．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解
本题的关键．
3．（4分）下列图形中，是旋转对称但不是中心对称图形的是（ ）
A．线段 B．正五边形 C．正八边形 D．圆
【考点】R3：旋转对称图形；R5：中心对称图形．
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【分析】根据旋转对称图形和中心对称图形的概念即可作出判断．
【解答】解：A、线段是旋转对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
B、正五边形是旋转对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；
C、正八边形是旋转对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
D、圆是旋转对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了旋转对称图形和中心对称图形的概念．
中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与
原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
旋转对称图形的概念：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）
后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．
4．（4分）如果等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两根，那么它的
周长为（ ）
A．10 B．13 C．17 D．21
【考点】A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边关系；KH：等腰三角
形的性质．
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【分析】先解方程x2﹣10x+21＝0求出x的值，即求出等腰三角形的边长，然后再
求三角形的周长就容易了，注意要分两种情况讨论，以防漏解．
【解答】解：∵x2﹣10x+21＝0，
∴（x﹣3）（x﹣7）＝0，
∴x ＝3，x ＝7，
1 2
当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去；
第7页（共27页）当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17．
故选：C．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的性质，解题的
关键是求出方程的两根，此题注意分类思想的运用．
5．（4分）一组数据共有6个正整数，分别为6、7、8、9、10、n，如果这组数据的众
数和平均数相同，那么n的值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】W1：算术平均数；W5：众数．
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【分析】将6、7、8、9分别代入以上数据进行验证即可．
【解答】解：A、当n＝6时，众数为6， ≠6，故本选项错误；
B、当n＝7时，众数为7， ≠7，故本选项错误；
C、当n＝8时，众数为8， ＝8，故本选项正确；
D、当n＝9时，众数为9， ≠9，故本选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了众数、平均数，知道平均数的运算方法和众数的定义是解题的
关键．
6．（4分）如果两圆有两个交点，且圆心距为13，那么此两圆的半径可能为（ ）
A．1、10 B．5、8 C．25、40 D．20、30
【考点】MJ：圆与圆的位置关系．
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【分析】首先确定两圆有两个交点得到两圆相交，然后根据半径与圆心距之间的
关系找到可能的答案即可．
【解答】解：∵两圆有两个交点，
∴两圆相交，
∵圆心距为13
∴两圆的半径之差小于13，半径之和大于13，
故选：D．
【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是了解两圆相交时两圆的圆
第8页（共27页）心距和两圆的半径之间的关系．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．（4分）8的立方根是 2 ．
【考点】24：立方根．
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【专题】11：计算题．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
8．（4 分）太阳半径约为 696 000 千米，数字 696 000 用科学记数法表示为
6.96×10 5 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
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【专题】12：应用题．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题
中696 000有6位整数，n＝6﹣1＝5．
【解答】解：696 000＝6.96×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式
其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
9．（4分）计算：（x2）3＝ x 6 ．
【考点】47：幂的乘方与积的乘方．
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【分析】根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算．
【解答】解：原式＝x2×3＝x6．
故答案为x6．
【点评】此题考查了幂的乘方的性质．
10．（4分）已知反比例函数y＝ （k≠0），点（﹣2，3）在这个函数的图象上，那么
当x＞0时，随x的增大而 增大 ．（增大或减小）
【考点】G4：反比例函数的性质；G7：待定系数法求反比例函数解析式．
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【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得k＝﹣2×3＝﹣6，再根据k＜
0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大
第9页（共27页）可得答案．
【解答】解：∵反比列函数y＝ （k≠0）过点（﹣2，3），
∴k＝﹣2×3＝﹣6，
∵k＝﹣6＜0，
∴当x＞0时，随x的增大而增大，
故答案为：增大．
【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，以及反比例函数图象
的性质，关键是正确求出k的值．
11．（4分）在1～9这九个数中，任何一个数能被3整除的概率是 ．
【考点】X4：概率公式．
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【专题】2B：探究型．
【分析】先找出1～9这九个数中能被3整除的数，再求出其概率即可．
【解答】解：∵在1～9这九个数中能被3整除的数有：3，6，9共3个，
∴任何一个数能被3整除的概率＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数
之比．
12．（4分）如图，已知C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°的方向，
那么∠ACB＝ 10 5 度．
【考点】IH：方向角．
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【分析】连接AB．先求出∠CAB及∠ABC的度数，再根据三角形内角和是180°即
可进行解答．
【解答】解：连接AB．
第10页（共27页）∵C岛在A岛的北偏东60°方向，在B岛的北偏西45°方向，
∴∠CAB+∠ABC＝180°﹣（60°+45°）＝75°，
∵三角形内角和是180°，
∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°．
故答案为：105．
【点评】本题考查的是方向角的概念及三角形内角和定理，根据题意得出∠CAB
及∠ABC的度数是解答此题的关键．
13．（4分）化简：2（ ﹣ ）﹣3（ + ）＝ ﹣ 4 ．
【考点】LM：*平面向量．
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【分析】根据向量的运算，先去掉括号，再合并即可得解．
【解答】解：2（ ﹣ ）﹣3（ + ）
＝2 ﹣ ﹣ ﹣3
＝ ﹣4 ．
故答案为： ﹣4 ．
【点评】本题考查了向量的计算，是基础题，计算时要注意符号的处理．
14．（4分）在中考体育测试前，某校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，将
测试成绩整理后作出如图所示的统计图．小红计算出 90～100和100﹣110两
组的频率和是0.12，小明计算出90～100组的频率为0.04，结合统计图中的信
息，可知这次共抽取了 15 0 名学生的一分钟跳绳测试成绩．
第11页（共27页）【考点】V8：频数（率）分布直方图．
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【分析】首先求得100﹣110两组的频率，利用12除以这组的频率即可求解．
【解答】解：100﹣110两组的频率是：0.12﹣0.04＝0.08，
则抽查的总人数是：12÷0.08＝150（人）．
故答案是：150．
【点评】本题用到的知识点是：频率＝频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的
百分比即可．
15．（4分）如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AC＝BD，且AC⊥BD，如果梯形
的高DE＝3，那么梯形ABCD的中位线长为 3 ．
【考点】LL：梯形中位线定理．
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【分析】过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，可得四边形ACFD是平行四边形，
根据平行四边形的性质可得AD＝CF，再判定△BDF是等腰直角三角形，根据
等腰直角三角形的性质求出DE＝ BF，再根据梯形的中位线等于两底边和的
一半解答．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，
则四边形ACFD是平行四边形，
∴AD＝CF，
∴AD+BC＝BF，
∵AC＝BD，AC⊥BD，
第12页（共27页）∴△BDF是等腰直角三角形，
∴DE＝ BF，
∴梯形的中位线长等于DE的长度，
∵DE＝3，
∴梯形的中位线长为3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了梯形的中位线，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的
判定与性质，梯形的问题关键在于准确作出辅助线．
16．（4分）如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以O为
圆心的同一圆弧上，且∠ADE＝∠CDF，那么 的长度等于 ．（结果保
留 ）
π
【考点】KM：等边三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；MN：弧长的计算．
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【分析】B，C两点恰好落在扇形AEF的 上，即B、C在同一个圆上，连接BD，易
证△BDC是等边三角形，即可求得 的圆心角的度数，根据∠ADE＝∠CDF
可知∠ADC＝∠EDF，即可证明 的长＝2 ，然后利用弧长公式即可求解．
【解答】解：连接BD，
∵菱形ABCD中，DC＝BC，
又∵BD＝DC，
∴BD＝DC＝BC，即△DBC是等边三角形．
∴∠BDC＝60°，
∴ ＝ ＝ ，
第13页（共27页）∵∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADC＝∠EDF，
∵∠ADC＝2∠BDC，
∴∠EDF＝2∠BDC，
∴ ＝2 ＝2× ＝ ．
【点评】本题考查了弧长公式，理解B，C两点恰好落在扇形AEF的 上，即B、C
在同一个圆上，得到△BDC是等边三角形是关键．
17．（4分）如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF位置，平移的距
离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积是 3 6 cm2．
【考点】Q2：平移的性质．
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【分析】根据平移的性质可以知道四边形ACED的面积是三个△ABC的面积，依
此计算即可．
【解答】解：∵平移的距离是边BC长的两倍，
∴BC＝CE＝EF，
∴四边形ACED的面积是三个△ABC的面积；
∴四边形ACED的面积＝12×3＝36cm2．
【点评】本题的关键是得出四边形ACED的面积是三个△ABC的面积．然后根据
已知条件计算．
18．（4分）边长为1的正方形内有一个正三角形，如果这个正三角形的一个顶点
与正方形的一个顶点重合，另两个顶点都在这个正方形的边上，那么这个正三
角形的边长是 ﹣ ．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；LE：正方形的性质．
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第14页（共27页）【分析】设AE＝x，CF＝y，利用正方形的性质及勾股定理求出x＝y，然后列出关于
x的一元二次方程，求出x的值，最后求出正三角形的边长．
【解答】解：设AE＝x，CF＝y，
在Rt△BAE中，
∵AB＝1，AE＝x，
∴BE＝ ，
在Rt△BCD中，
∵BC＝1，CF＝y，
∴BF＝ ，
∵BE＝BF，
∴x＝y，
在Rt△EDF中，
∴DE＝DF＝1﹣x，
∴EF＝ （1﹣x），
∵BE＝BF＝EF，
∴ ＝ （1﹣x），
解得x＝2﹣ ，
∴BE＝ ＝ ＝ ＝ ﹣ ．
故答案为 ﹣ ．
【点评】本题主要考查正方形的性质和勾股定理的知识点，解答本题的关键是求
出AE＝CF，此题难度不大．
三、解答题（共7小题，满分78分）
第15页（共27页）19．（10分）计算：（ ﹣ ）0﹣（ ）﹣1+|2﹣ |+ ．
【考点】2C：实数的运算π；2F：分数指数幂；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．
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【分析】分别进行零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方等运算，然后按照实数的
运算法则计算即可．
【解答】解：原式＝1﹣3+2﹣ +
＝0．
【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂、绝对值、乘方等
知识，属于基础题．
20．（10分）先化简，再求值： ﹣ ﹣ ，其中x＝ ．
【考点】6D：分式的化简求值．
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【分析】原式三项通分并利用同分母分式的加减法则计算得到最简结果，将x的值
代入计算即可求出值．
【解答】解：原式＝ ﹣ ﹣
＝
＝
＝
＝ ，
当x＝ ﹣2时，原式＝ ＝1+ ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是
找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
21．（10分）已知：如图，在△ABC中，点E在边BC上，将△ABE沿直线AE折叠，
点B恰好落在边AC上的点D处，点F在线段AE的延长线上，如果∠FCA＝
∠B＝2∠ACB，AB＝5，AC＝9．
求：（1） 的值；
第16页（共27页）（2）CE的值．
【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；S9：相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）先由折叠的性质得出△ABE≌△ADE，则∠B＝∠ADE，AB＝AD＝5，
再由∠FCA＝∠B，得到∠FCA＝∠ADE，判定DE∥CF，则△ADE∽△ACF，根
据相似三角形对应边成比例得到 ＝ ＝ ，即可求出 的值；
（2）先由已知条件及平行线的性质得出∠ACE＝∠DEC，根据等角对等边得到
DE＝DC＝4，再由△ABE≌△ADE，得出BE＝DE＝4，∠BAE＝∠DAE，然后由
角平分线的性质得到 ＝ ，将数值代入，即可求出CE的值．
【解答】解：（1）∵将△ABE沿直线AE折叠，点B恰好落在边AC上的点D处，
∴△ABE≌△ADE，
∴∠B＝∠ADE，AB＝AD＝5，
∵∠FCA＝∠B，
∴∠FCA＝∠ADE，
∴DE∥CF，
∴△ADE∽△ACF，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ；
（2）∵∠FCA＝2∠ACB，
∴∠ACE＝∠FCE．
∵DE∥CF，
∴∠DEC＝∠FCE，
第17页（共27页）∴∠ACE＝∠DEC，
∴DE＝DC＝AC﹣AD＝9﹣5＝4，
∵△ABE≌△ADE，
∴BE＝DE＝4，∠BAE＝∠DAE，
∴ ＝ ， ＝ ，
解得CE＝ ．
【点评】本题考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性
质，等腰三角形的判定，角平分线的性质等知识，综合性较强，有一定难度．
22．（10分）学校组织“义捐义卖”活动，小明的小组准备自制贺年卡进行义卖．
活动当天，为了方便，小组准备了一些零钱备用，按照定价售出一些贺年卡后，
又降价出售，小组所拥有的所有钱数y（元）与售出卡片数x（张）之间的关系如
图所示．
（1）求降价前y（元）与x（张）之间的函数解析式，并写出定义域．
（2）如果按照定价打八折后，将剩余的卡片全部卖出，这时，小组一共有280元
（含备用零钱），求该小组一共准备了多少张卡片．
【考点】FH：一次函数的应用．
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【分析】（1）根据函数图象由待定系数法就可以直接求出降价前y（元）与x（张）
之间的函数解析式；
（2）根据（1）的结论求出卡片原来的定价，设一共准备了a张卡片，则降价出售了
（a﹣30）张，就有由条件建立方程求出其值．
【解答】解：设降价前y（元）与x（张）之间的函数解析式为y＝kx+b，根据图象得
，
第18页（共27页）解得： ，
∴降价前y（元）与x（张）之间的函数解析式为：y＝5x+50．
由图象得自变量的取值范围为：0≤x≤30（且x为正整数）
（2）由题意，得
每张卡片的售价为：（200﹣50）÷30＝5元．
设一共准备了a张卡片，则降价出售了（a﹣30）张，由图象，得
5×0.8×（a﹣30）＝280﹣200，
解得：a＝50张．
答：该小组一共准备了50张卡片．
【点评】本题是一道一次函数的综合是试题，考查了运用待定系数法求一次函数
的解析式的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时弄清函数图象的
含义是关键．
23．（12分）已知：平行四边形ABCD中，点M为边CD的中点，点N为边AB的中
点，连接AM、CN，
（1）求证：AM∥CN．
（2）过点B作BH⊥AM，垂足为H，联结CH，求证：△BCH是等腰三角形．
【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KI：等腰三角形的判定；KP：直角三角形
斜边上的中线；L7：平行四边形的判定与性质．
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【专题】14：证明题．
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质，可得
AB∥CD，AB＝CD，又由点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，即可得
CM＝AN，继而可判定四边形ANCM是平行四边形，则可证得AM∥CN．
（2）由AM∥CN，BH⊥AM，点N为边AB的中点，可证得BH⊥CN，ME是△BAH
第19页（共27页）的中位线，则可得CN是BH的垂直平分线，继而证得：△BCH是等腰三角形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵点M为边CD的中点，点N为边AB的中点，
∴CM＝ CD，AN＝ AB，
∴CM＝AN，
∴四边形ANCM是平行四边形，
∴AM∥CN；
（2）设BH与CN交于点E，
∵AM∥CN，BH⊥AM，
∴BH⊥CN，
∵N是AB的中点，
∴EN是△BAH的中位线，
∴BE＝EH，
∴CH＝CB，
∴△BCH是等腰三角形．
【点评】此题考查了平行四边形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰
三角形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
24．（12分）已知：如图，点A（2，0），点B在y轴正半轴上，且OB＝ OA，将点B
绕点A顺时针方向旋转90°至点C．旋转前后的点B和点C都在抛物线y＝﹣
x2+bx+c上，
（1）求点B、C的坐标；
第20页（共27页）（2）求该抛物线的表达式；
（3）联结AC，该抛物线上是否存在异于点B的点P，使点P与AC构成以AC为直
角边的等腰直角三角形？如果存在，求出符合所有条件的P点坐标；如果不存
在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【分析】（1）由A点坐标求出OA的长，根据点B在y轴正半轴上，且OB＝ OA，
可求出点B的坐标为（0，1）；过点C作CD垂直于x轴于D，由点B绕点A顺
时针方向旋转90°至点C，根据旋转的旋转得到AB＝AC，且∠BAC为直角，可
得∠OAB与∠CAD互余，由∠AOB为直角，可得∠OAB与∠ABO互余，根据
同角的余角相等可得一对角相等，再加上一对直角相等，利用ASA可证明三角
形ACD与三角形AOB全等，根据全等三角形的对应边相等可得AD＝OB，CD
＝OA，进而求出C的坐标；
（2）将B、C两点的坐标代入抛物线解析式，运用待定系数法即可确定抛物线的解
析式；
（3）假设存在点P使△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形，分三种情况考
虑：（i）当以AC为直角边，点A为直角顶点，则延长BA至点P ，使得P A＝
1 1
CA，得到等腰直角三角形ACP ，过点P 作P M⊥x轴，如图所示，根据一对对
1 1 1
顶角相等，一对直角相等，AB＝AP ，利用AAS可证明三角形AP M与三角形
1 1
ABO全等，得出AP 与P M的长，再由P 为第四象限的点，得出此时P 的坐标，
1 1 1 1
代入抛物线解析式中检验满足；（ii）当以AC为直角边，点C为直角顶点，则过
点C作CP ⊥AC，且使得CP ＝AC，得到等腰直角三角形ACP ，过点P 作y轴
2 2 2 2
的平行线，过点C作x轴的平行线，两线交于点N，如图所示，同理证明三角形
第21页（共27页）CP N与三角形AOB全等，得出P N与CN的长，由P 为第一象限的点，写出
2 2 2
P 的坐标，代入抛物线解析式中检验满足；（iii）当以AC为直角边，点C为直
2
角顶点，则过点C作CP ⊥AC，且使得CP ＝AC，得到等腰直角三角形ACP ，
3 3 3
过点P 作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两线交于点H，如图所示，同
3
理可证明三角形CP H全等于三角形AOB，可得出P H与CH的长，由P 为第
3 3 3
一象限的点，写出P 的坐标，代入抛物线解析式检验，不满足，综上，得到所有
3
满足题意的P的坐标．
【解答】解：（1）∵点A（2，0），
∴OA＝2，
∴OB＝ OA＝1，
∵点B在y轴正半轴上，
∴点B的坐标为（0，1）；
过C作CD⊥x轴，垂足为D，
∵BA⊥AC，∴∠OAB+∠CAD＝90°，
又∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，
∴∠CAD＝∠OBA，又AB＝AC，∠AOB＝∠ADC＝90°，
∴△AOB≌△CDA，
∴OA＝CD＝2，OB＝AD＝1，
∴OD＝OA+AD＝3，又C为第一象限的点，
∴点C的坐标为（3，2）；
（2）∵点B和点C都在抛物线y＝﹣ x2+bx+c上，
∴把B（0，1），C（3，2）代入，
得 ，
解得 ，
第22页（共27页）则抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x+1；
（3）该抛物线上存在点P，△ACP是以AC为直角边的等腰直角三角形，分三种情
况：
（i）若以AC为直角边，点A为直角顶点，则延长BA至点P ，使得P A＝CA，得到
1 1
等腰直角三角形ACP ，
1
过点P 作P M⊥x轴，如图所示，
1 1
∵AP ＝CA＝AB，∠MAP ＝∠OAB，∠P MA＝∠OBA＝90°，
1 1 1
∴△AMP ≌△AOB，
1
∴AM＝AO＝2，P M＝OB＝1，
1
∴OM＝OA+AM＝4，
∴P （4，﹣1），经检验点P 在抛物线y＝﹣ x2+ x+1上；
1 1
（ii）若以AC为直角边，点C为直角顶点，则过点C作CP ⊥AC，且使得CP ＝
2 2
AC，得到等腰直角三角形ACP ，
2
过点P 作y轴的平行线，过点C作x轴的平行线，两线交于点N，如图，
2
第23页（共27页）同理可证△CP N≌△ABO，
2
∴CN＝OA＝2，NP ＝OB＝1，
2
又∵C的坐标为（3，2），
∴P （1，3），经检验P 也在抛物线y＝﹣ x2+ x+1上；
2 2
（iii）若以AC为直角边，点C为直角顶点，则过点C作CP ⊥AC，且使得CP ＝
3 3
AC，得到等腰直角三角形ACP ，
3
过点P 作x轴的平行线，过点C作y轴的平行线，两线交于点H，如图，
3
同理可证△CP H≌△BAO，
3
∴HP ＝OA＝2，CH＝OB＝1，
3
又∵C的坐标为（3，2），
∴P （5，1），经检验P 不在抛物线y＝﹣ x2+ x+1上；
3 3
则符合条件的点有P （4，﹣1），P （1，3）两点．
1 2
【点评】此题属于二次函数的综合题，涉及的知识有：全等三角形的判定与性质，
第24页（共27页）待定系数法求二次函数的解析式，以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综
合性强，难度较大，解题的关键是要注意数形结合思想、方程思想与分类讨论
思想的应用．
25．（14分）已知：如图，在RT△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，tan∠CAB＝ ，点O
在边AC上，以点O为圆心的圆过A、B两点，点P为 上一动点．
（1）求 O的半径；
（2）联结AP并延长，交边CB延长线于点D，设AP＝x，BD＝y，求y关于x的函数
⊙
解析式，并写出定义域；
（3）联结BP，当点P是 的中点时，求△ABP的面积与△ABD的面积比 ．
【考点】MR：圆的综合题．
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【专题】11：计算题．
【分析】（1）首先求出AC＝2BC，再利用勾股定理OB2＝OC2+BC2，求出r求出即
可；
（2）首先得出Rt△OAH∽Rt△DAC，进而得出y与x之间的函数关系；
（3）首先求出AQ，PQ的长，进而求出△ABP的面积与△ABD的面积比．
【解答】解：（1）连结OB，如图（1），
∵∠C＝90°，BC＝4，tan∠CAB＝ ，
∴tan∠CAB＝ ＝ ，
∴AC＝2BC＝8，
设OA＝OB＝r，则OC＝8﹣r，
第25页（共27页）在Rt△OBC中，∵OB2＝OC2+BC2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
解得：r＝5，
即 O的半径为5；
⊙
（2）作OH⊥AP，如图（1），
∴AH＝PH＝ x，
∵∠OAH＝∠DAC，
∴Rt△OAH∽Rt△DAC，
∴OH：CD＝AH：AC，
即OH：（4+y）＝ x：8，
∴OH＝ x（4+y），
在Rt△AOH中，OH＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ x（4+y），
∴y＝ ﹣4，
∵AB＝ ＝ ＝4 ，
∴定义域为0＜x＜4 ；
（3）连结OP交AB于Q，如图（2），
∵点P是 的中点，
∴OQ垂直平分AB，
∴AQ＝ AB＝2 ，
在Rt△OAQ中，OQ＝ ＝ ，
第26页（共27页）∴PQ＝PO﹣OQ＝5﹣ ，
∴S ＝ AB•PQ＝ ×4 ×（5﹣ ）＝10 ﹣10，
△PAB
在Rt△APQ中，AP2＝PQ2+AQ2＝（5﹣ ）2+（2 ）2＝50﹣10 ，
即x2＝50﹣10 ，x＝ ，
∴y＝ ﹣4＝8 ﹣4＝8× ﹣4＝4 ，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
【点评】本题考查了圆的综合题：垂径定理及其讨论在有关圆的几何计算中常常
用到，同时勾股定理以及三角形相似的性质是几何计算常用的定理．
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日期：2018/12/26 20:25:08；用户：初中数学；邮箱：xdjysx000@xyh.com；学号：25920570
第27页（共27页）
